Деление уравнения на уравнение. Деление многочлена на многочлен с остатком

Несколько лет назад с удивлением узнала, что сегодня в школах (даже во многих физ-мат школах), на кружках, да и в случаях “репетирования’’ не учат делить полиномы, или многочлены, в столбик. Самое забавное при этом, что схему Горнера школьники знают и используют для деления полиномов. Похоже, считается, что деление в столбик слишком сложно для неокрепшего разума, а вот выучить наизусть табличку, которая позволяет делить на многочлен первой степени, ему вполне по силам. Естественно, никто при этом не заботится о том, чтобы школьники поняли, почему так можно делить. Чтобы восполнить вопиющий пробел в образовании таких ребят, привожу здесь метод деления полинома на полином столбиком, который на самом деле довольно прост и позволяет делить на полиномы произвольной степени.

Начнем с того, что для двух многочленов и ( не должен быть тождественно равным нулю) справедлива . Если же остаток нулевой, то говорят, что делится на без остатка.

А теперь давайте рассмотрим примеры: на них учиться делить полиномы проще.

Пример 1. Разделим на (обратите внимание, оба многочлена записаны по убыванию степеней ). Сначала запишу то, что должно получиться, а затем приведу объяснения, как это получить.

Сначала старший член делимого — это — поделим на старший член делителя, то есть на . Полученный результат, который равен , будет старшим членом частного. Теперь умножим делитель на этот многочлен (получим ) и вычтем полученный результат из делимого. Получим остаток . Старший член этого остатка, который равен снова поделим на старший член делителя, который равен , получим , что и будет вторым членом частного. Делитель, умноженный на этот член, вычитаем из первого остатка. Получаем второй остаток, который равен нулю. На этом процесс деления заканчивается.

Легко проверить, что

Вообще говоря, деление заканчивается, как только степень полученного остатка будет меньше (строго меньше!) степени делителя. Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2. Поделим на .

Деление закончено, поскольку степень последнего остатка меньше степени делителя (), иначе говоря, старший член остатка не делится нацело на старший член делителя.

Проверка. Действительно, нетрудно убедиться в том, что

Утверждение

остатком неполным частным .

Замечание

Для любых многочленов $A(x)$ и $B(x)$ (степень $B(x)$ больше 0) существуют единственные многочлены $Q(x)$ и $R(x)$ из условия утверждения.

Остаток от деления многочлена $x^{4} + 3x^{3} +5$ на $x^{2} + 1$ равен $3x + 4$:$x^{4} + 3x^{3} +5 = (x^{2} + 3x +1)(x^{2} + 1) +3x + 4.$
Остаток от деления многочлена $x^{4} + 3x^{3} +5$ на $x^{4} + 1$ равен $3x^{3} + 4$:$x^{4} + 3x^{3} +5 = 1 \cdot (x^{2} + 1) +3x^{3} + 4.$
Остаток от деления многочлена $x^{4} + 3x^{3} +5$ на $x^{6} + 1$ равен $x^{4} + 3x^{3} +5$:$x^{4} + 3x^{3} +5 = 0 \cdot (x^{6} + 1) + x^{4} + 3x^{3} +5.$

Утверждение

Для любых двух многочленов $A(x)$ и $B(x)$ (где степень многочлена $B(x)$ ненулевая), существует представление в виде многочлена $A(x)$ в виде $A(x) = Q(x)B(x) + R(x)$, где $Q(x)$ и $R(x)$ - многочлены и степень $R(x)$ меньше степени $B(x).$

Доказательство

Будем доказывать утверждение индукцией по степени многочлена $A(x).$ Обозначим её $n$. Если $n = 0$, утверждение верно: $A(x)$ можно представить как $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Теперь, пусть утверждение доказано для многочленов степени $n \leq m$. Докажем утверждение для многочленов степени $k= n+1.$

Пусть степень многочлена $B(x)$ равна $m$. Рассмотрим три случая: $k < m$, $k = m$ и $k > m$и докажем утверждение для каждого из них.

$k < m$
Многочлен $A(x)$ можно представить как
$A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$
Утверждение выполнено.
$k = m$
Пусть многочлены $A(x)$ и $B(x)$ имеют вид
$A(x) = a_{n+1}x^{n+1} + a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0}, \: \mbox{где} \: a_{n+1} \neq 0;$
$B(x) = b_{n+1}x^{n+1} + b_{n}x^{n} + \dots + b_{1}x + b_{0}, \: \mbox{где} \: b_{n+1} \neq 0.$
Представим $A(x)$ как
$A(x) = \dfrac{a_{n+1}}{b_{n+1}}B(x) - \Big(\dfrac{a_{n+1}}{b_{n+1}}B(x) - A(x)\Big).$
Заметим, что степень многочлена $\dfrac{a_{n+1}}{b_{n+1}}B(x) - A(x)$ не больше $n+1$, тогда это представление искомое и утверждение выполнено.
$k > m$
Представим многочлен $A(x)$ в виде
$A(x) = x(a_{n+1}x^{n} + a_{n}x^{n-1} + \dots + a_{1}) + a_{0}, \: \mbox{где} \: a_{n+1} \neq 0.$
Рассмотрим многочлен $A"(x) = a_{n+1}x^{n} + a_{n}x^{n-1} + \dots + a_{1}.$ Для него индукционное предположение выполнено, поэтому его можно представить как $A"(x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, где степень многочлена $R"(x)$ меньше $m$, тогда представление для $A(x)$ можно переписать как
$A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_{0} = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_{0}.$
Заметим, что степень многочлена $xR"(x)$ меньше, чем $m+1$, т.е. меньше, чем $k$. Тогда для $xR"(x)$ выполнено индукционное предположение и его можно представить как $xR"(x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, где степень многочлена $R""(x)$ меньше $m$. Перепишем представление для $A(x)$ как
$A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_{0} =$
$= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_{0}.$
Степень многочлена $R""(x) + a_{0}$ меньше $m$, поэтому утверждение выполнено.

Утверждение доказано.

При этом многочлен $R(x)$ называется остатком от деления $A(x)$ на $B(x)$, а $Q(x)$ - неполным частным.

Если остаток $R(x)$ - нулевой многочлен, то говорят, что $A(x)$ делится на $B(x)$.

Напомним, что разделить натуральное число a на натуральное число b – это значит представить число a в виде:

где частное c и остаток r – целые неотрицательные числа, причем остаток r удовлетворяет неравенству:

Если друг на друга делить многочлены, то возникает похожая ситуация.

Действительно, при выполнении над многочленами операций сложения, вычитания и умножения результатом всегда будет многочлен. В частности, при перемножении двух многочленов , отличных от нуля, степень произведения будет равна сумме степеней сомножителей.

Однако в результате деления многочленов многочлен получается далеко не всегда.

Говорят, что один многочлен нацело (без остатка) делится на другой многочлен , если результатом деления является многочлен.

Если же один многочлен не делится нацело на другой многочлен, то всегда можно выполнить деление многочленов с остатком , в результате которого и частное, и остаток будут многочленами.

Определение . Разделить многочлен a (x ) на многочлен b (x ) с остатком – это значит представить многочлен a (x ) в виде

a (x ) = b (x ) c (x ) + r (x ) ,

где многочлен c (x ) – частное , а многочлен r (x ) – остаток , причем, степень остатка удовлетворяет неравенству:

Очень важно отметить, что формула

a (x ) = b (x ) c (x ) + r (x )

является тождеством , т.е. равенством, справедливым при всех значениях переменной x .

При делении (с остатком или без остатка) многочлена на многочлен меньшей степени в частном получается многочлен, степень которого равна разности степеней делимого и делителя.

Один из способов деления многочленов с остатком – это деление многочленов «уголком» , что представляет собой полную аналогию с тем, как это происходит при делении целых чисел.

К описанию этого способа деления многочленов мы сейчас и переходим.

Пример . Заранее расположив многочлены по убывающим степеням переменной, разделим многочлен

2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1

на многочлен

x 2 - x + 1 .

Решение . Опишем алгоритм деления многочленов «уголком» по шагам:

Делим первый член делимого 2x 4 на первый член делителя x 2 . Получаем первый член частного 2x 2 .
Умножаем первый член частного 2x 2 на делитель x 2 - x + 1, а результат умножения

2x 4 - 2x 3 + 2x 2

пишем под делимым 2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1 .

Вычитаем из делимого написанный под ним многочлен. Получаем первый остаток

x 3 + 3x 2 - 8x .

Если бы этот остаток был равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя ( в данном случае меньше 2), то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

Делим первый член остатка x 3 на первый член делителя x 2 . Получаем второй член частного x .
Умножаем второй член частного x на делитель x 2 - x + 1 , а результат умножения

x 3 - x 2 + x

пишем под первым остатком x 3 + 3x 2 - 8x .

Вычитаем из первого остатка написанный под ним многочлен. Получаем второй остаток

4x 2 - 9x + 1 .

Если бы этот остаток был бы равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя, то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

Делим первый член второго остатка 4x 2 на первый член делителя x 2 . Получаем третий член частного 4 .
Умножаем третий член частного 4 на делитель x 2 - x + 1 , а результат умножения

Начнём с некоторых определений. Многочленом n-й степени (или n-го порядка) будем именовать выражение вида $P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$. Например, выражение $4x^{14}+87x^2+4x-11$ есть многочлен, степень которого равна $14$. Его можно обозначить так: $P_{14}(x)=4x^{14}+87x^2+4x-11$.

Коэффициент $a_0$ называют старшим коэффициентом многочлена $P_n(x)$. Например, для многочлена $4x^{14}+87x^2+4x-11$ старший коэффициент равен $4$ (число перед $x^{14}$). Число $a_n$ называют свободным членом многочлена $P_n(x)$. Например, для $4x^{14}+87x^2+4x-11$ свободный член равен $(-11)$. Теперь обратимся к теореме, на которой, собственно говоря, и будет основано изложение материала на данной странице.

Для любых двух многочленов $P_n(x)$ и $G_m(x)$ можно найти такие многочлены $Q_p(x)$ и $R_k(x)$, что будет выполнено равенство

\begin{equation} P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end{equation}

причём $k < m$.

Словосочетание "разделить многочлен $P_n(x)$ на многочлен $G_m(x)$" означает "представить многочлен $P_n(x)$ в форме (1)". Будем называть многочлен $P_n(x)$ - делимым, многочлен $G_m(x)$ - делителем, многочлен $Q_p(x)$ - частным от деления $P_n(x)$ на $G_m(x)$, а многочлен $R_k(x)$ - остачей от деления $P_n(x)$ на $G_m(x)$. Например, для многочленов $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ и $G_4(x)=3x^4+4x^2+2$ можно получить такое равенство:

$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$

Здесь многочлен $P_6(x)$ является делимым, многочлен $G_4(x)$ - делителем, многочлен $Q_2(x)=4x^2+x$ - частным от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$, а многочлен $R_3(x)=2x^3+1$ - остатком от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$. Замечу, что степень остатка (т.е. 3) меньше степени делителя, (т.е. 4), посему условие равенства соблюдено.

Если $R_k(x)\equiv 0$, то говорят, что многочлен $P_n(x)$ делится на многочлен $G_m(x)$ без остатка. Например, многочлен $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ делится на многочлен $3x^4+15$ без остатка, так как выполнено равенство:

$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$

Здесь многочлен $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ является делимым; многочлен $G_4(x)=3x^4+15$ - делителем; а многочлен $Q_2(x)=7x^2+2x$ - частным от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$. Остаток равен нулю.

Чтобы разделить многочлен на многочлен часто применяют деление "столбиком" или, как его ещё называют, "уголком". Реализацию этого метода разберём на примерах.

Перед тем, как перейти к примерам, я введу ещё один термин. Он не является общепринятым , и использовать его мы будем исключительно для удобства изложения материала. До конца этой страницы будем называть старшим элементом многочлена $P_n(x)$ выражение $a_{0}x^{n}$. Например, для многочлена $4x^{14}+87x^2+4x-11$ старшим элементом будет $4x^{14}$.

Пример №1

Разделить $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ на $5x^2-x+2$, используя деление "столбиком".

Итак, мы имеем два многочлена, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ и $G_2(x)=5x^2-x+2$. Степень первого равна $5$, а степень второго равна $2$. Многочлен $P_5(x)$ - делимое, а многочлен $G_2(x)$ - делитель. Наша задача состоит в нахождении частного и остатка. Поставленную задачу будем решать пошагово. Будем использовать ту же запись, что и для деления чисел:

Первый шаг

Разделим старший элемент многочлена $P_5(x)$ (т.е. $10x^5$) на старший элемент многочлена $Q_2(x)$ (т.е. $5x^2$):

$$ \frac{10x^5}{5x^2}=2x^{5-2}=2x^3. $$

Полученное выражение $2x^3$ - это первый элемент частного:

Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $2x^3$, получив при этом:

$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ многочлен $10x^5-2x^4+4x^3$:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+5 $$

На этом первый шаг заканчивается. Тот результат, что мы получили, можно записать в развёрнутой форме:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x+5 $$

Так как степень многочлена $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (т.е. 4) больше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то процесс деления надобно продолжить. Перейдём ко второму шагу.

Второй шаг

Теперь уже будем работать с многочленами $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на первом шаге, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $5x^4$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):

$$ \frac{5x^4}{5x^2}=x^{4-2}=x^2. $$

Полученное выражение $x^2$ - это второй элемент частного. Прибавим к частному $x^2$

Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $x^2$, получив при этом:

$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ многочлен $5x^4-x^3+2x^2$:

$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$

Этот многочлен допишем уже под чертой:

На этом второй шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2-2x+5 $$

Так как степень многочлена $-15x^3+23x^2-2x+5$ (т.е. 3) больше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к третьему шагу.

Третий шаг

Теперь уже будем работать с многочленами $-15x^3+23x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $-15x^3$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):

$$ \frac{-15x^3}{5x^2}=-3x^{2-1}=-3x^1=-3x. $$

Полученное выражение $(-3x)$ - это третий элемент частного. Допишем к частному $-3x$

Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $(-3x)$, получив при этом:

$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена $-15x^3+23x^2-2x+5$ многочлен $-15x^3+3x^2-6x$:

$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$

Этот многочлен допишем уже под чертой:

На этом третий шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x+5 $$

Так как степень многочлена $20x^2+4x+5$ (т.е. 2) равна степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к четвёртому шагу.

Четвёртый шаг

Теперь уже будем работать с многочленами $20x^2+4x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $20x^2$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):

$$ \frac{20x^2}{5x^2}=4x^{2-2}=4x^0=4. $$

Полученное число $4$ - это четвёртый элемент частного. Допишем к частному $4$

Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $4$, получив при этом:

$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена $20x^2+4x+5$ многочлен $20x^2-4x+8$.

Пусть требуется

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1).

Здесь дано произведение (2x 3 – 7x 2 + x + 1) и один множитель (2x – 1), – надо найти другой множитель. В данном примере сразу ясно (но вообще этого установить нельзя), что и другой, искомый, множитель, или частное, есть многочлен. Это ясно потому, что данное произведение имеет 4 члена, а данный множитель лишь 2. Однако, сказать заранее, сколько членов у искомого множителя – нельзя: может быть 2 члена, 3 члена и т. д. Вспоминая, что старший член произведения всегда получается от умножения старшего члена одного множителя на старший член другого (см. умножение многочлена на многочлен) и что членов, подобных этому, быть не может, мы уверены, что 2x 3 (старший член данного произведения) получится от умножения 2x (старший член данного множителя) на неизвестный старший член искомого множителя. Чтобы найти последний, придется, следовательно, разделить 2x 3 на 2x – получим x 2 . Это и есть старший член частного.

Вспомним затем, что при умножении многочлена на многочлен приходится каждый член одного многочлена умножать на каждый член другого. Поэтому данное произведение (2x 3 – 7x 2 + x + 1) представляет собою произведение делителя (2x – 1) на все члены частного. Но мы можем теперь найти произведение делителя на первый (старший) член частного, т. е. (2x – 1) ∙ x 2 ; получим 2x 3 – x 2 . Зная произведение делителя на все члены частного (оно = 2x 3 – 7x 2 + x + 1) и зная произведение делителя на 1-ый член частного (оно = 2x 3 – x 2), вычитанием мы можем найти произведение делителя на все остальные, кроме 1-го, члены частного. Получим

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) – (2x 3 – x 2) = 2x 3 – 7x 2 + x + 1 – 2x 3 + x 2 = –6x 2 + x + 1.

Старший член (–6x 2) этого оставшегося произведения должен представлять собою произведение старшего члена делителя (2x) на старший член остального (кроме 1-го члена) частного. Отсюда найдем старший член остального частного. Надо –6x 2 ÷ 2x, получим –3x. Это и есть второй член искомого частного. Мы можем опять найти произведение делителя (2x – 1) на второй, только что найденный, член частного, т. е. на –3x.

Получим (2x – 1) ∙ (–3x) = –6x 2 + 3x. Из всего данного произведения мы уже вычли произведение делителя на 1-ый член частного и получили остаток –6x 2 + x + 1, представляющий собою произведение делителя на остальные, кроме 1-го, члены частного. Вычитая из него только что найденное произведение –6x 2 + 3x, получим остаток, представляющий собою произведение делителя на все остальные, кроме 1-го и 2-го, члены частного:

–6x 2 + x + 1 – (–6x 2 + 3x) = –6x 2 + x + 1 + 6x 2 – 3x = –2x + 1.

Разделив старший член этого оставшегося произведения (–2x) на старший член делителя (2x), получим старший член остального частного, или его третий член, (–2x) ÷ 2x = –1, – это и есть 3-й член частного.

Умножив на него делителя, получим

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Вычтя это произведение делителя на 3-й член частного из всего оставшегося до сих пор произведения, т. е.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

мы увидим, что в нашем примере произведение делится на остальные, кроме 1-го, 2-го и 3-го, члены частного = 0, откуда заключаем, что у частного больше членов нет, т. е.

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1) = x 2 – 3x – 1.

Из предыдущего мы видим: 1) удобно располагать члены делимого и делителя по нисходящим степеням, 2) необходимо установить какой-либо порядок для выполнения вычислений. Таким удобным порядком можно считать тот, который употребляется в арифметике при делении многозначных чисел. Следуя ему, все предыдущие вычисления расположим так (сбоку даны еще краткие пояснения):

Те вычитания, какие здесь нужны, выполняются переменою знаков у членов вычитаемого, причем эти переменные знаки пишутся сверху.

Так, написано

Это значит: вычитаемое было 2x 3 – x 2 , а после перемены знаков получили –2x 3 + x 2 .

Благодаря принятому расположению вычислений, благодаря тому, что члены делимого и делителя расположены по нисходящим степеням и благодаря тому, что степени буквы x в обоих многочленах идут, понижаясь всякий раз на 1, оказалось, что подобные члены приходятся написанными друг под другом (напр.: –7x 2 и +x 2), почему легко выполнить их приведение. Можно подметить, что не все члены делимого нужны во всякий момент вычисления. Напр., член +1 не нужен в тот момент, где был найден 2-й член частного, и эту часть вычислений можно упростить.

Еще примеры:

1. (2a 4 – 3ab 3 – b 4 – 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Расположим по нисходящим степеням буквы a и делимое и делитель:

(Заметим, что здесь, благодаря отсутствию в делимом члена с a 3 , в первом вычитании оказалось, что подписаны друг под другом не подобные члены –a 2 b 2 и –2a 3 b. Конечно, они не могут быть приведены в один член и написаны под чертою оба по старшинству).

В обоих примерах надо внимательнее относиться к подобным членам: 1) друг под другом часто оказываются написанными не подобные члены и 2) иногда (как, напр., в последнем примере, члены –4a n и –a n при первом вычитании) подобные члены выходят написанными не друг под другом.

Возможно выполнять деление многочленов в ином порядке, а именно: всякий раз разыскивать младший член или всего или остающегося частного. Удобно в этом случае располагать данные многочлены по восходящим степеням какой-либо буквы. Напр.: