Факторизиране голям брой- не е лесна задача.Повечето хора имат проблеми с намирането на четири или петцифрени числа. За да улесните процеса, напишете числото над двете колони.
- Нека разложим на множители числото 6552.
Разделете даденото число на най-малкия прост делител (различен от 1), който дели даденото число, без да оставя остатък.Запишете този делител в лявата колона и запишете резултата от делението в дясната колона. Както беше отбелязано по-горе, четни числалесни за разлагане, тъй като техният най-малък прост множител винаги ще бъде числото 2 (нечетните числа имат най-малкия основни факториса различни).
- В нашия пример 6552 е четно число, така че 2 е неговият най-малък прост множител. 6552 ÷ 2 = 3276. Напишете 2 в лявата колона и 3276 в дясната колона.
След това разделете числото в дясната колона на най-малкия прост множител (различен от 1), който дели числото, без да оставя остатък.
- Напишете този делител в лявата колона, а в дясната колона напишете резултата от делението (продължете този процес, докато в дясната колона не остане 1).
В нашия пример: 3276 ÷ 2 = 1638. Напишете 2 в лявата колона и 1638 в дясната колона След това: 1638 ÷ 2 = 819. Напишете 2 в лявата колона и 819 в дясната колона. имашнечетно число; За такива числа намирането на най-малкия прост делител е по-трудно.
- Ако получите нечетно число, опитайте да го разделите на най-малките прости нечетни числа: 3, 5, 7, 11.
- В нашия пример сте получили нечетно число 819. Разделете го на 3: 819 ÷ 3 = 273. Напишете 3 в лявата колона и 273 в дясната колона. Когато избирате делители, опитайте всички прости числа докорен квадратен
от най-големия делител, който сте намерили. Ако нито един делител не дели числото на цяло число, тогава най-вероятно имате просто число и можете да спрете да смятате.
- Продължете процеса на деление на числата на прости множители, докато останете с 1 в дясната колона (ако получите просто число в дясната колона, разделете го на себе си, за да получите 1).
- Нека продължим изчисленията в нашия пример:
- Разделете на 3. 91 се дели на 3 с остатък, така че разделете на 5. 91 се дели на 5 с остатък, така че разделете на 7: 91 ÷ 7 = 13. Без остатък. Запишете 7 в лявата колона и 13 в дясната колона.
- Разделете на 7. 13 се дели на 7 с остатък, така че разделете на 11. 13 се дели на 11 с остатък, така че разделете на 13: 13 ÷ 13 = 1. Няма остатък. Напишете 13 в лявата колона и 1 в дясната колона. Вашите изчисления са завършени.
Лявата колона показва простите множители на оригиналното число.С други думи, когато умножите всички числа в лявата колона, ще получите числото, изписано над колоните. Ако един и същ фактор се появява повече от веднъж в списъка с фактори, използвайте експоненти, за да го посочите. В нашия пример 2 се появява 4 пъти в списъка с множители; запишете тези фактори като 2 4 вместо 2*2*2*2.
- В нашия пример 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Разложихте 6552 на прости множители (редът на множителите в тази нотация няма значение).
(с изключение на 0 и 1) има поне два делителя: 1 и себе си. Наричат се числа, които нямат други делители просточисла. Числата, които имат други делители, се наричат композитен(или комплекс) числа. Има безкраен брой прости числа. Следните са прости числа, които не надвишават 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Умножение- една от четирите основни аритметични операции, двоична математическа операция, в който един аргумент се добавя толкова пъти, колкото показва другият. В аритметиката умножението е кратка форма на добавяне на определен брой еднакви членове.
например, нотацията 5*3 означава „добавете три петици“, тоест 5+5+5. Резултатът от умножението се нарича работа, а числата за умножение са умножителиили фактори. Първият фактор понякога се нарича " умножено».
Всяко съставно число може да бъде разложено на прости множители. С всеки метод се получава същото разширение, ако не вземете предвид реда, в който са записани факторите.
Факторизиране на число (Факторизация).
Факторизация (факторизация)- изброяване на делители - алгоритъм за разлагане на множители или тестване на простотата на число чрез пълно изброяване на всички възможни потенциални делители.
Тези., на прост език, факторизирането е името, дадено на процеса на разлагане на числа, изразено на научен език.
Последователността на действията при разлагане на прости множители:
1. Проверете дали предложеното число е просто.
2. Ако не, тогава, ръководени от знаците за разделяне, избираме делител от прости числа, започвайки с най-малкото (2, 3, 5 ...).
3. Повтаряме това действие, докато частното се окаже просто число.
Всяко съставно число може да бъде представено като произведение на неговите прости делители:
28 = 2 2 7
Десните части на получените равенства се наричат разлагане на прости множителиномера 15 и 28.
Да разложим дадено съставно число на прости множители означава да представим това число като произведение на неговите прости множители.
Разграждане дадено числочрез прости множители се извършва по следния начин:
- Първо трябва да изберете най-малкото просто число от таблицата с прости числа, което дели даденото съставно число без остатък и да извършите делението.
- След това трябва отново да изберете най-малкото просто число, на което вече полученото частно ще бъде разделено без остатък.
- Второто действие се повтаря, докато се получи единица в частното.
Като пример, нека разделим числото 940 на прости множители. Намерете най-малкото просто число, което дели 940. Това число е 2:
Сега избираме най-малкото просто число, което се дели на 470. Това число отново е 2:
Най-малкото просто число, което се дели на 235 е 5:
Числото 47 е просто, което означава, че най-малкото просто число, което може да бъде разделено на 47, е самото число:
Така получаваме числото 940, разложено на прости множители:
940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47
Ако разлагането на число на прости множители доведе до няколко идентични множители, тогава за краткост те могат да бъдат записани под формата на степен:
940 = 2 2 5 47
Най-удобно е да напишем разлагане на прости множители, както следва: първо записваме това съставно число и начертаваме вертикална линия вдясно от него:
Отдясно на реда записваме най-малкия прост делител, на който се дели даденото съставно число:
Извършваме разделянето и записваме полученото частно под дивидента:
С частното действаме по същия начин, както с даденото съставно число, т.е. избираме най-малкото просто число, на което то се дели без остатък и извършваме делението. И повтаряме това, докато получим единица в частното:
Моля, обърнете внимание, че понякога може да бъде доста трудно да разложим число на прости множители, тъй като по време на разлагането на множители може да срещнем голямо число, което е трудно веднага да определим дали е просто или съставно. И ако е съставен, тогава не винаги е лесно да се намери най-малкият му прост делител.
Нека се опитаме например да разложим числото 5106 на прости множители:
След достигане на частното 851 е трудно веднага да се определи най-малкият му делител. Обръщаме се към таблицата на простите числа. Ако в него има число, което ни затруднява, то то се дели само на себе си и на единица. Числото 851 не е в таблицата на простите числа, което означава, че е съставно. Остава само да го разделим чрез последователно търсене на прости числа: 3, 7, 11, 13, ... и така нататък, докато намерим подходящ прост делител. Чрез груба сила откриваме, че 851 се дели на числото 23.
Всяко съставно число може да бъде разложено на прости множители. Може да има няколко метода за разлагане. И двата метода дават същия резултат.
Как да разделим число на прости множители по удобен начин? Нека да разгледаме как най-добре да направим това, използвайки конкретни примери.
Примери.
1) Разложете числото 1400 на прости множители.
1400 се дели на 2. 2 е просто число; Получаваме 700. Разделяме го на 2. Получаваме 350. Разделяме също 350 на 2. Полученото число 175 може да бъде разделено на 5. Резултатът е 35 - разделяме го отново на 5. Това може да бъде само 7 делено на 7. Получаваме 1, деление върху.
Едно и също число може да бъде факторизирано по различен начин:
Удобно е да разделите 1400 на 10. 10 не е просто число, така че трябва да се разложи на прости множители: 10=2∙5. Резултатът е 140. Разделяме го отново на 10=2∙5. Получаваме 14. Ако 14 се раздели на 14, тогава то също трябва да се разложи на произведение от прости множители: 14=2∙7.
Така отново стигнахме до същото разлагане като в първия случай, но по-бързо.
Извод: когато разлагаме едно число, не е необходимо да го разделяме само на прости множители. Разделяме на това, което е по-удобно, например на 10. Просто трябва да запомните да разложите съставните делители на прости множители.
2) Разложете числото 1620 на прости множители.
Най-удобният начин да разделим числото 1620 е на 10. Тъй като 10 не е просто число, ние го представяме като произведение на прости множители: 10=2∙5. Получихме 162. Удобно е да го разделим на 2. Резултатът е 81. Числото 81 може да се раздели на 3, но на 9 е по-удобно. Тъй като 9 не е просто число, ние го разширяваме като 9=3∙3. Получаваме 9. Разделяме го също на 9 и го разширяваме в произведението на простите множители.
Какво означава факторинг? Как да стане това? Какво можете да научите от разлагането на число на прости множители? Отговорите на тези въпроси са илюстрирани с конкретни примери.
Дефиниции:
Число, което има повече от два делителя, се нарича съставно.
Разширяване естествено числода се разложи означава да се представи като произведение на естествени числа.
Да разложим естествено число на прости множители означава да го представим като произведение на прости числа.
Бележки:
- При разлагането на просто число единият множител е равен на единица, а другият е равен на самото число.
- Няма смисъл да говорим за факторизиращо единство.
- Едно съставно число може да бъде разложено на фактори, всеки от които е различен от 1.
|
Нека разложим числото 150 на множители. Например 150 е 15 по 10. 15 е съставно число. Може да се разложи на прости множители от 5 и 3. 10 е съставно число. Може да се разложи на прости множители от 5 и 2. Като записахме техните разложения на прости множители вместо на 15 и 10, получихме разлагането на числото 150. |
|
|
|
Числото 150 може да се разложи на множители по друг начин. Например 150 е произведението на числата 5 и 30. 5 е просто число. 30 е съставно число. Може да се разглежда като произведение на 10 и 3. 10 е съставно число. Може да се разложи на прости множители от 5 и 2. Получихме разлагането на 150 на прости множители по различен начин. |
|
Имайте предвид, че първото и второто разширение са еднакви. Те се различават само по реда на факторите. Прието е факторите да се записват във възходящ ред. |
|
|
Всяко съставно число може да бъде разложено на прости множители по уникален начин до реда на множителите. |
|
По време на разлагане големи числаЗа прости множители използвайте означение в колона:
 |
Най-малкото просто число, което се дели на 216 е 2. Разделяме 216 на 2. Получаваме 108. |
|
Полученото число 108 се дели на 2. Да направим разделянето. Резултатът е 54. |
|
|
Според теста за делимост на 2 числото 54 се дели на 2. След разделянето получаваме 27. |
|
|
Числото 27 завършва с нечетната цифра 7. то Не се дели на 2. Следващото просто число е 3. Разделяме 27 на 3. Получаваме 9. Най-малко просто число Числото, на което 9 се дели, е 3. Самото три е просто число, то се дели на себе си и на единица. Нека разделим 3 на себе си. В крайна сметка получихме 1. |
|
- Едно число се дели само на тези прости числа, които са част от неговото разлагане.
- Едно число се дели само на онези съставни числа, чието разлагане на прости множители се съдържа изцяло в него.
Нека да разгледаме примери:
|
4900 се дели на простите числа 2, 5 и 7 (те са включени в разширението на числото 4900), но не се дели на например 13. |
|
|
11 550 75. Това е така, защото разлагането на числото 75 се съдържа изцяло в разлагането на числото 11550. Резултатът от делението ще бъде произведението на множителите 2, 7 и 11. 11550 не се дели на 4, защото има допълнително две в разширението на четири. |
Намерете частното от деленето на числото a на числото b, ако тези числа се разложат на прости множители, както следва: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19
|
Разлагането на числото b се съдържа изцяло в разлагането на числото a. |
|
|
Резултатът от разделянето на a на b е произведението на трите числа, останали в разгръщането на a. Така че отговорът е: 30. |
Референции
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонски В.В., Якир М.С. Математика 6 клас. - Физкултурен салон. 2006 г.
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - М.: Образование, 1989.
- Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задачи за курса по математика 5-6 клас. - М .: ZSh MEPhI, 2011.
- Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6 клас в задочната школа на МИФИ. - М .: ZSh MEPhI, 2011.
- Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-събеседник за 5-6 клас гимназия. - М.: Образование, Библиотека на учителя по математика, 1989.
- Интернет портал Matematika-na.ru ().
- Интернет портал Math-portal.ru ().
домашна работа
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
- Други задачи: No133, No144.
