Дефинирайте степенна функция и дайте примери. Методика за изучаване на темата „Свойства на степенна функция“

Силова функцияе функция на формата y = xp, където p е дадено реално число.

Свойства на мощностна функция

1. Ако индикаторът p = 2n- четно естествено число:
   • домейнът на дефиницията е всички реални числа, т.е. множеството R;
   • набор от стойности - неотрицателни числа, т.е. y ≥ 0;
   • функцията е четна;
   • функцията е намаляваща на интервала x ≤ 0 и нарастваща на интервала x ≥ 0.
   Пример за функция с p = 2n: y=x4.


2. Ако индикаторът p = 2n - 1- нечетно естествено число:
   • област на дефиниране - набор R;
   • набор от стойности - набор R;
   • функцията е нечетна;
   • функцията нараства по цялата реална ос.
   Пример за функция с p = 2n - 1: y=x5.


3. Ако индикаторът p=-2n, където н- естествено число:
   • набор от стойности - положителни числа y> 0;
   • функцията е четна;
   • функцията нараства на интервала x 0.
   Пример за функция с p = -2n: y=1/x2.


4. Ако индикаторът p = -(2n - 1), където н- естествено число:
   • областта на дефиниция е множеството R, с изключение на x = 0;
   • набор от стойности - набор R, с изключение на y = 0;
   • функцията е нечетна;
   • функцията намалява на интервали x 0.
   Пример за функция с p = -(2n - 1): y=1/x3.


5. Ако индикаторът стре положително реално нецяло число:
   • област на дефиниция - неотрицателни числа x ≥ 0;
   • набор от стойности - неотрицателни числа y ≥ 0;
   • функцията нараства на интервала x ≥ 0.
   Пример за функция с показател p, където p е положително реално нецяло число: y=x4/3.


6. Ако индикаторът стре отрицателно реално нецяло число:
   • област на дефиниция - положителни числа x > 0;
   • набор от стойности - положителни числа y> 0;
   • функцията е намаляваща на интервала x > 0.
   Пример за функция с показател p, където p е отрицателно реално нецяло число: у=х-1/3.

10 клас

СИЛОВА ФУНКЦИЯ

Мощност Нареченфункция, дадена с формулакъдето, стр – някакво реално число.

аз . Индексе четно естествено число. Тогава мощностната функция къдетон

д ( г )= (−; +).

2) Обхватът на функцията е набор от неотрицателни числа, ако:

набор от неположителни числа, ако:

3) ) . Така че функциятаой .

4) Ако, тогава функцията намалява катох (-; 0] и се увеличава сх и намалява прих \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Графика (фиг. 2).

Фигура 2. Графика на функцията $f\left(x\right)=x^(2n)$

Свойства на степенна функция с естествен нечетен показател

Областта на дефиниция са всички реални числа.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ е странна функция.

$f(x)$ е непрекъснат в цялата област на дефиниция.

Диапазонът е изцяло реални числа.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Функцията нараства в цялата област на дефиниция.

$f\left(x\right)0$, за $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Функцията е вдлъбната за $x\in (-\infty ,0)$ и изпъкнала за $x\in (0,+\infty)$.

Графика (фиг. 3).

Фигура 3. Графика на функцията $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Степенна функция с цяло число

Като начало въвеждаме концепцията за степен с цяло число.

Определение 3

Степента на реално число $a$ с цяло число $n$ се ​​определя по формулата:

Фигура 4

Помислете сега за степенна функция с цяло число, нейните свойства и графика.

Определение 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ се нарича степенна функция с цяло число.

Ако степента е по-голяма от нула, тогава стигаме до случай на степенна функция с естествен показател. Вече го разгледахме по-горе. За $n=0$ получаваме линейна функция $y=1$. Разглеждането му оставяме на читателя. Остава да разгледаме свойствата на степенна функция с отрицателен цяло число

Свойства на степенна функция с цяло отрицателно число

Обхватът е $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ако показателят е четен, тогава функцията е четна; ако е нечетен, тогава функцията е нечетна.

$f(x)$ е непрекъснат в цялата област на дефиниция.

Диапазон на стойността:

Ако показателят е четен, тогава $(0,+\infty)$, ако е нечетен, тогава $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ако показателят е нечетен, функцията намалява като $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. За четен показател функцията намалява като $x\in (0,+\infty)$. и нараства като $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ над целия домейн

В областта на степенната функция y = x p са валидни следните формули:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Свойства на степенните функции и техните графики

Степенна функция с показател, равен на нула, p = 0

Ако показателят на степенната функция y = x p е равен на нула, p = 0, тогава степенната функция е дефинирана за всички x ≠ 0 и е постоянна, равна на едно:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Степенна функция с естествен нечетен показател, p = n = 1, 3, 5, ...

Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с естествен нечетен показател n = 1, 3, 5, ... . Такъв показател може да се запише и като: n = 2k + 1, където k = 0, 1, 2, 3, ... е неотрицателно цяло число. По-долу са свойствата и графиките на такива функции.

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, ... .

Домейн: -∞ < x < ∞
Множество стойности: -∞ < y < ∞
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:нараства монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при -∞< x < 0 выпукла вверх
на 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки на прекъсване: x=0, y=0
x=0, y=0
Ограничения:
;
Частни стойности:
при x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
за x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = 1 функцията е обратна на себе си: x = y
за n ≠ 1, обратната функция е корен от степен n:

Степенна функция с естествен четен показател, p = n = 2, 4, 6, ...

Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с естествен четен показател n = 2, 4, 6, ... . Такъв показател може да се запише и като: n = 2k, където k = 1, 2, 3, ... е естествено число. Свойствата и графиките на такива функции са дадени по-долу.

Графика на степенна функция y = x n с естествен четен показател за различни стойности на показателя n = 2, 4, 6, ... .

Домейн: -∞ < x < ∞
Множество стойности: 0 ≤ y< ∞
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
за x ≤ 0 монотонно намалява
за x ≥ 0 нараства монотонно
Крайности:минимум, x=0, y=0
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
за x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = 2, квадратен корен:
за n ≠ 2, корен от степен n:

Степенна функция с цяло число отрицателен показател, p = n = -1, -2, -3, ...

Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с отрицателен показател цяло число n = -1, -2, -3, ... . Ако поставим n = -k, където k = 1, 2, 3, ... е естествено число, то може да бъде представено като:

Графика на степенна функция y = x n с отрицателно цяло число за различни стойности на степента n = -1, -2, -3, ... .

Нечетен показател, n = -1, -3, -5, ...

По-долу са свойствата на функцията y = x n с нечетен отрицателен показател n = -1, -3, -5, ... .

Домейн: x ≠ 0
Множество стойности: y ≠ 0
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:намалява монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при х< 0 : выпукла вверх
за x > 0 : изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак:
при х< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = -1,
за n< -2 ,

Четен показател, n = -2, -4, -6, ...

По-долу са свойствата на функцията y = x n с четен отрицателен показател n = -2, -4, -6, ... .

Домейн: x ≠ 0
Множество стойности: y > 0
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
при х< 0 : монотонно возрастает
за x > 0 : монотонно намаляващ
Крайности:Не
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак: y > 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = -2,
за n< -2 ,

Степенна функция с рационален (дробен) показател

Да разгледаме степенна функция y = x p с рационален (дробен) показател, където n е цяло число, m > 1 е естествено число. Освен това n, m нямат общи делители.

Знаменателят на дробния показател е нечетен

Нека знаменателят на дробния показател е нечетен: m = 3, 5, 7, ... . В този случай степенната функция x p е дефинирана както за положителни, така и за отрицателни x стойности. Разгледайте свойствата на такива степенни функции, когато показателят p е в определени граници.

p е отрицателно, p< 0

Нека рационалният показател (с нечетен знаменател m = 3, 5, 7, ...) е по-малък от нула: .

Графики на експоненциални функции с рационален отрицателен показател за различни стойности на показателя, където m = 3, 5, 7, ... е странно.

Нечетен числител, n = -1, -3, -5, ...

Ето свойствата на степенна функция y = x p с рационален отрицателен показател, където n = -1, -3, -5, ... е нечетно отрицателно цяло число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено число.

Домейн: x ≠ 0
Множество стойности: y ≠ 0
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:намалява монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при х< 0 : выпукла вверх
за x > 0 : изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак:
при х< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:

Четен числител, n = -2, -4, -6, ...

Свойства на степенна функция y = x p с рационален отрицателен показател, където n = -2, -4, -6, ... е четно отрицателно цяло число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено число.

Домейн: x ≠ 0
Множество стойности: y > 0
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
при х< 0 : монотонно возрастает
за x > 0 : монотонно намаляващ
Крайности:Не
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак: y > 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:

P-стойността е положителна, по-малка от едно, 0< p < 1

Графика на степенна функция с рационален показател (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Нечетен числител, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домейн: -∞ < x < +∞
Множество стойности: -∞ < y < +∞
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:нараства монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при х< 0 : выпукла вниз
за x > 0 : изпъкнал нагоре
Точки на прекъсване: x=0, y=0
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Знак:
при х< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = -1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Обратна функция:

Четен числител, n = 2, 4, 6, ...

Представени са свойствата на степенната функция y = x p с рационален показател, намиращ се в рамките на 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домейн: -∞ < x < +∞
Множество стойности: 0 ≤ y< +∞
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
при х< 0 : монотонно убывает
за x > 0 : монотонно нарастващ
Крайности:минимум при x = 0, y = 0
Изпъкнал:изпъкнал нагоре при x ≠ 0
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Знак:за x ≠ 0, y > 0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = 1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Обратна функция:

Показателят p е по-голям от едно, p > 1

Графика на степенна функция с рационален показател (p > 1) за различни стойности на показателя, където m = 3, 5, 7, ... е нечетно.

Нечетен числител, n = 5, 7, 9, ...

Свойства на степенна функция y = x p с рационален показател, по-голям от едно: . Където n = 5, 7, 9, ... е нечетно естествено число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено число.

Домейн: -∞ < x < ∞
Множество стойности: -∞ < y < ∞
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:нараства монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при -∞< x < 0 выпукла вверх
на 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки на прекъсване: x=0, y=0
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = -1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Обратна функция:

Четен числител, n = 4, 6, 8, ...

Свойства на степенна функция y = x p с рационален показател, по-голям от едно: . Където n = 4, 6, 8, ... е четно естествено число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено число.

Домейн: -∞ < x < ∞
Множество стойности: 0 ≤ y< ∞
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
при х< 0 монотонно убывает
за x > 0 монотонно нараства
Крайности:минимум при x = 0, y = 0
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = 1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Обратна функция:

Знаменателят на дробния показател е четен

Нека знаменателят на дробния показател е четен: m = 2, 4, 6, ... . В този случай степенната функция x p не е дефинирана за отрицателни стойности на аргумента. Свойствата му съвпадат с тези на степенна функция с ирационален показател (вижте следващия раздел).

Степенна функция с ирационален показател

Да разгледаме степенна функция y = x p с ирационален показател p . Свойствата на такива функции се различават от тези, разгледани по-горе, тъй като те не са дефинирани за отрицателни стойности на аргумента x. За положителни стойности на аргумента свойствата зависят само от стойността на експонента p и не зависят от това дали p е цяло число, рационално или ирационално.

Степенна функция с отрицателно p< 0

Домейн: x > 0
Множество стойности: y > 0
Монотонен:намалява монотонно
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Ограничения: ;
частна стойност:За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Степенна функция с положителен показател p > 0

Индикаторът е по-малък от една 0< p < 1

Домейн: x ≥ 0
Множество стойности: y ≥ 0
Монотонен:нараства монотонно
Изпъкнал:изпъкнал нагоре
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
Частни стойности:За x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Индикаторът е по-голям от едно p > 1

Домейн: x ≥ 0
Множество стойности: y ≥ 0
Монотонен:нараства монотонно
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
Частни стойности:За x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
За x = 1, y(1) = 1 p = 1

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Lan, 2009.

Основните елементарни функции, присъщите им свойства и съответните графики са едни от основите на математическите знания, подобни по важност на таблицата за умножение. Елементарните функции са основата, опората за изучаване на всички теоретични въпроси.

Статията по-долу предоставя ключов материал по темата за основните елементарни функции. Ще въведем термини, ще им дадем дефиниции; Нека разгледаме подробно всеки тип елементарни функции и анализираме техните свойства.

Разграничават се следните видове основни елементарни функции:

Определение 1

• константна функция (константа);
• корен от n-та степен;
• мощностна функция;
• експоненциална функция;
• логаритмична функция;
• тригонометрични функции;
• братски тригонометрични функции.

Константна функция се дефинира от формулата: y = C (C е някакво реално число) и също има име: константа. Тази функция определя дали някоя реална стойност на независимата променлива x съответства на същата стойност на променливата y – стойността C .

Графиката на константа е права линия, която е успоредна на оста x и минава през точка с координати (0, C). За яснота представяме графики на константни функции y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (отбелязани съответно в черно, червено и синьо на чертежа).

Определение 2

Тази елементарна функция се определя от формулата y = x n (n е естествено число, по-голямо от едно).

Нека разгледаме два варианта на функцията.

1. Корен от степен n, n е четно число

За по-голяма яснота посочваме чертежа, който показва графиките на такива функции: y = x , y = x 4 и y = x 8 . Тези функции са цветно кодирани: съответно черно, червено и синьо.

Подобен изглед на графиките на функцията на равна степен за други стойности на индикатора.

Определение 3

Свойства на функцията корен от n-та степен, n е четно число

• областта на дефиниция е множеството от всички неотрицателни реални числа [ 0 , + ∞) ;
• когато x = 0, функцията y = x n има стойност равна на нула;
• тази функция е функция от общ вид (не е нито четна, нито нечетна);
• диапазон: [ 0 , + ∞) ;
• тази функция y = x n с четни показатели на корена нараства по цялата област на дефиниция;
• функцията има изпъкналост с посока нагоре по цялата област на дефиниция;
• няма инфлексни точки;
• няма асимптоти;
• графиката на функцията за четно n минава през точките (0 ; 0) и (1 ; 1) .

1. Корен от n-та степен, n е нечетно число

Такава функция е дефинирана върху цялото множество от реални числа. За по-голяма яснота разгледайте графиките на функциите y = x 3 , y = x 5 и x 9 . На чертежа те са обозначени с цветове: съответно черен, червен и син цвят на кривите.

Други нечетни стойности на експонента на корена на функцията y = x n ще дадат графика с подобна форма.

Определение 4

Свойства на функцията корен от n-та степен, n е нечетно число

• областта на дефиниция е множеството от всички реални числа;
• тази функция е странна;
• диапазонът от стойности е множеството от всички реални числа;
• функцията y = x n с нечетни показатели на корена нараства по цялата област на дефиниция;
• функцията има вдлъбнатост на интервала (- ∞ ; 0 ] и изпъкналост на интервала [ 0 , + ∞) ;
• инфлексната точка има координати (0 ; 0) ;
• няма асимптоти;
• графиката на функцията за нечетно n минава през точките (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) и (1 ; 1) .

Силова функция

Степенната функция се определя от формулата y = x a .

Видът на графиките и свойствата на функцията зависят от стойността на степента.

• когато степенна функция има цяло число степенна степен a, тогава формата на графиката на степенната функция и нейните свойства зависят от това дали показателят е четен или нечетен, както и какъв знак има показателят. Нека разгледаме всички тези специални случаи по-подробно по-долу;
• степента може да бъде дробна или ирационална - в зависимост от това видът на графиките и свойствата на функцията също варират. Ще анализираме специални случаи, като зададем няколко условия: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• степенна функция може да има нулев показател, ние също ще анализираме този случай по-подробно по-долу.

Нека анализираме степенната функция y = x a, когато a е нечетно положително число, например a = 1, 3, 5 ...

За по-голяма яснота посочваме графиките на такива мощностни функции: y = x (черен цвят на графиката), y = x 3 (син цвят на графиката), y = x 5 (червен цвят на графиката), y = x 7 (зелена графика). Когато a = 1, получаваме линейна функция y = x.

Определение 6

Свойства на степенна функция, когато показателят е странно положително

• функцията нараства за x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• функцията е изпъкнала за x ∈ (- ∞ ; 0 ] и вдлъбната за x ∈ [ 0 ; + ∞) (с изключение на линейната функция);
• инфлексната точка има координати (0; 0) (с изключение на линейната функция);
• няма асимптоти;
• точки за преминаване на функция: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Нека анализираме степенната функция y = x a, когато a е четно положително число, например a = 2, 4, 6 ...

За по-голяма яснота посочваме графиките на такива мощностни функции: y \u003d x 2 (черен цвят на графиката), y = x 4 (син цвят на графиката), y = x 8 (червен цвят на графиката). Когато a = 2, получаваме квадратична функция, чиято графика е квадратна парабола.

Определение 7

Свойства на степенна функция, когато показателят е дори положителен:

• област на дефиниция: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• намаляваща за x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• функцията е вдлъбната за x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• няма инфлексни точки;
• няма асимптоти;
• точки за преминаване на функцията: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Фигурата по-долу показва примери за графики на експоненциална функция y = x a, когато a е нечетно отрицателно число: y = x - 9 (диаграма в черно); y = x - 5 (син цвят на графиката); y \u003d x - 3 (червен цвят на графиката); y = x - 1 (зелена графика). Когато \u003d - 1, получаваме обратна пропорционалност, чиято графика е хипербола.

Определение 8

Свойства на степенната функция, когато експонентата е странно отрицателна:

Когато x \u003d 0, получаваме прекъсване от втори вид, тъй като lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ за a = - 1, - 3, - 5, .... Така правата x = 0 е вертикална асимптота;

• обхват: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• функцията е нечетна, защото y (- x) = - y (x) ;
• функцията е намаляваща при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• функцията е изпъкнала за x ∈ (- ∞ ; 0) и вдлъбната за x ∈ (0 ; + ∞) ;
• няма инфлексни точки;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, когато a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• точки за преминаване на функция: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Фигурата по-долу показва примери за графики на степенна функция y = x a, когато a е четно отрицателно число: y = x - 8 (диаграма в черно); y = x - 4 (син цвят на графиката); y = x - 2 (червен цвят на графиката).

Определение 9

Свойства на степенната функция, когато показателят е дори отрицателен:

• област на дефиниция: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Когато x \u003d 0, получаваме прекъсване от втори вид, тъй като lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ за a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Така правата x = 0 е вертикална асимптота;

• функцията е четна, защото y (- x) = y (x) ;
• функцията е нарастваща за x ∈ (- ∞ ; 0) и намаляваща за x ∈ 0 ; +∞ ;
• функцията е вдлъбната за x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• няма инфлексни точки;
• хоризонталната асимптота е права линия y = 0, защото:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, когато a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• точки за преминаване на функция: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

От самото начало обърнете внимание на следния аспект: в случай, че a е положителна дроб с нечетен знаменател, някои автори приемат интервала - ∞ като област на дефиниране на тази степенна функция; + ∞ , което уточнява, че показателят a е несъкратима дроб. В момента авторите на много образователни публикации по алгебра и началото на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенни функции, където показателят е дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. По-нататък ще се придържаме към точно такава позиция: вземаме множеството [ 0 ; +∞). Препоръка към учениците: разберете гледната точка на учителя по този въпрос, за да избегнете разногласия.

Така че нека да разгледаме степенната функция y = x a, когато показателят е рационално или ирационално число, при условие че 0< a < 1 .

Нека илюстрираме с графики степенните функции y = x a, когато a = 11 12 (диаграма в черно); a = 5 7 (червен цвят на графиката); a = 1 3 (син цвят на графиката); a = 2 5 (зелен цвят на графиката).

Други стойности на експонента a (приемайки 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Определение 10

Свойства на степенната функция при 0< a < 1:

• диапазон: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• функцията е нарастваща за x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• функцията има изпъкналост за x ∈ (0 ; + ∞) ;
• няма инфлексни точки;
• няма асимптоти;

Нека анализираме степенната функция y = x a, когато показателят е нецяло рационално или ирационално число, при условие че a > 1 .

Ние илюстрираме графиките на степенната функция y = x a при дадени условия на примера на такива функции: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (съответно черен, червен, син, зелен цвят на графиките).

Други стойности на експонента a при условие a > 1 ще дадат подобен вид на графиката.

Определение 11

Свойства на степенна функция за a > 1:

• област на дефиниция: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• диапазон: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• тази функция е функция от общ вид (не е нито нечетна, нито четна);
• функцията е нарастваща за x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• функцията е вдлъбната за x ∈ (0; + ∞) (когато 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• няма инфлексни точки;
• няма асимптоти;
• точки на преминаване на функцията: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Обръщаме внимание!Когато a е отрицателна дроб с нечетен знаменател, в трудовете на някои автори се среща мнението, че област на дефиниция в този случай е интервалът - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) с уговорката, че показателят a е несъкратима дроб. В момента авторите на учебни материали по алгебра и началото на анализа НЕ ДЕФИНИРАТ степенни функции с показател под формата на дроб с нечетен знаменател за отрицателни стойности на аргумента. Освен това, ние се придържаме точно към такъв възглед: ние приемаме множеството (0 ; + ∞) като област на степенни функции с дробни отрицателни показатели. Предложение за ученици: Изяснете визията на вашия учител в този момент, за да избегнете разногласия.

Продължаваме темата и анализираме степенната функция y = x a при условие: - 1< a < 0 .

Ето чертеж на графики на следните функции: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (съответно черни, червени, сини, зелени линии ).

Определение 12

Свойства на степенна функция при - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, когато - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• обхват: y ∈ 0 ; +∞ ;
• тази функция е функция от общ вид (не е нито нечетна, нито четна);
• няма инфлексни точки;

На чертежа по-долу са показани графики на степенни функции y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (съответно черни, червени, сини, зелени цветове на кривите).

Определение 13

Свойства на степенната функция за a< - 1:

• област на дефиниция: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, когато a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• тази функция е функция от общ вид (не е нито нечетна, нито четна);
• функцията е намаляваща при x ∈ 0; +∞ ;
• функцията е вдлъбната за x ∈ 0; +∞ ;
• няма инфлексни точки;
• хоризонтална асимптота - права y = 0 ;
• точка на преминаване на функцията: (1 ; 1) .

Когато a \u003d 0 и x ≠ 0, получаваме функцията y \u003d x 0 \u003d 1, която определя линията, от която се изключва точката (0; 1) (съгласихме се, че изразът 0 0 няма да бъде даден всяка стойност).

Експоненциалната функция има формата y = a x, където a > 0 и a ≠ 1, и графиката на тази функция изглежда различно въз основа на стойността на основата a. Нека разгледаме специални случаи.

Първо, нека анализираме ситуацията, когато основата на експоненциалната функция има стойност от нула до едно (0< a < 1) . Илюстративен пример са графиките на функциите за a = 1 2 (син цвят на кривата) и a = 5 6 (червен цвят на кривата).

Графиките на експоненциалната функция ще имат подобна форма за други стойности на основата, при условие че 0< a < 1 .

Определение 14

Свойства на експоненциална функция, когато основата е по-малка от единица:

• диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• тази функция е функция от общ вид (не е нито нечетна, нито четна);
• експоненциална функция, чиято основа е по-малка от единица, намалява в цялата област на дефиниция;
• няма инфлексни точки;
• хоризонтална асимптота - права y = 0 с променлива x, клоняща към + ∞;

Сега разгледайте случая, когато основата на експоненциалната функция е по-голяма от единица (a > 1).

Нека илюстрираме този специален случай с графиката на експоненциалните функции y = 3 2 x (син цвят на кривата) и y = e x (червен цвят на графиката).

Други стойности на основата, по-големи от единица, ще дадат подобен изглед на графиката на експоненциалната функция.

Определение 15

Свойства на експоненциалната функция, когато основата е по-голяма от единица:

• областта на дефиницията е цялото множество от реални числа;
• диапазон: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• тази функция е функция от общ вид (не е нито нечетна, нито четна);
• експоненциална функция, чиято основа е по-голяма от единица, нараства за x ∈ - ∞; +∞ ;
• функцията е вдлъбната за x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• няма инфлексни точки;
• хоризонтална асимптота - права линия y = 0 с променлива x, клоняща към - ∞;
• точка на преминаване на функцията: (0 ; 1) .

Логаритмичната функция има формата y = log a (x) , където a > 0 , a ≠ 1 .

Такава функция се дефинира само за положителни стойности на аргумента: за x ∈ 0 ; +∞.

Графиката на логаритмичната функция има различен вид, базиран на стойността на основата a.

Разгледайте първо ситуацията, когато 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Други стойности на основата, не по-големи от единица, ще дадат подобен изглед на графиката.

Определение 16

Свойства на логаритмична функция, когато основата е по-малка от единица:

• област на дефиниция: x ∈ 0 ; +∞. Тъй като x клони към нула отдясно, стойностите на функцията клонят към + ∞;
• диапазон: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• тази функция е функция от общ вид (не е нито нечетна, нито четна);
• логаритмичен
• функцията е вдлъбната за x ∈ 0; +∞ ;
• няма инфлексни точки;
• няма асимптоти;

Сега нека анализираме специален случай, когато основата на логаритмичната функция е по-голяма от едно: a > 1 . На чертежа по-долу има графики на логаритмични функции y = log 3 2 x и y = ln x (съответно син и червен цвят на графиките).

Други стойности на основата, по-големи от единица, ще дадат подобен изглед на графиката.

Определение 17

Свойства на логаритмична функция, когато основата е по-голяма от единица:

• област на дефиниция: x ∈ 0 ; +∞. Тъй като x клони към нула отдясно, стойностите на функцията клонят към - ∞;
• диапазон: y ∈ - ∞ ; + ∞ (цялото множество от реални числа);
• тази функция е функция от общ вид (не е нито нечетна, нито четна);
• логаритмичната функция е нарастваща при x ∈ 0; +∞ ;
• функцията има изпъкналост за x ∈ 0; +∞ ;
• няма инфлексни точки;
• няма асимптоти;
• точка на преминаване на функцията: (1 ; 0) .

Тригонометричните функции са синус, косинус, тангенс и котангенс. Нека анализираме свойствата на всеки от тях и съответните графики.

Като цяло всички тригонометрични функции се характеризират със свойството периодичност, т.е. когато стойностите на функциите се повтарят за различни стойности на аргумента, които се различават една от друга със стойността на периода f (x + T) = f (x) (T е периодът). По този начин елементът "най-малък положителен период" се добавя към списъка със свойства на тригонометричните функции. Освен това ще посочим такива стойности на аргумента, за които съответната функция изчезва.

1. Функция синус: y = sin(x)

Графиката на тази функция се нарича синусоида.

Определение 18

Свойства на функцията синус:

• област на дефиниция: цялото множество от реални числа x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• функцията изчезва, когато x = π k , където k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);
• функцията е нарастваща за x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z и намаляваща за x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
• функцията синус има локални максимуми в точките π 2 + 2 π · k ; 1 и локални минимуми в точки - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
• функцията синус е вдлъбната, когато x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z и изпъкнал, когато x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• няма асимптоти.

1. функция косинус: y=cos(x)

Графиката на тази функция се нарича косинусова вълна.

Определение 19

Свойства на функцията косинус:

• област на дефиниция: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• най-малкият положителен период: T \u003d 2 π;
• обхват: y ∈ - 1 ; един ;
• тази функция е четна, тъй като y (- x) = y (x) ;
• функцията е нарастваща за x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и намаляваща за x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• функцията косинус има локални максимуми в точки 2 π · k ; 1 , k ∈ Z и локални минимуми в точките π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
• функцията косинус е вдлъбната, когато x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z и изпъкнал, когато x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• точките на инфлексия имат координати π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• няма асимптоти.

1. Тангенсна функция: y = t g (x)

Графиката на тази функция се нарича тангентоид.

Определение 20

Свойства на функцията тангенс:

• област на дефиниция: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , където k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);
• Поведението на допирателната функция на границата на областта на дефиницията lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Така правите x = π 2 + π · k k ∈ Z са вертикални асимптоти;
• функцията изчезва, когато x = π k за k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);
• диапазон: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• тази функция е нечетна, защото y (- x) = - y (x) ;
• функцията нараства при - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
• функцията тангенс е вдлъбната за x ∈ [ π · k ; π 2 + π k), k ∈ Z и изпъкнал за x ∈ (- π 2 + π k ; π k ], k ∈ Z ;
• точките на инфлексия имат координати π k; 0, k ∈ Z;

1. Функция котангенс: y = c t g (x)

Графиката на тази функция се нарича котангентоид. .

Определение 21

Свойства на функцията котангенс:

• област на дефиниране: x ∈ (π k ; π + π k) , където k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);

Поведение на функцията котангенс на границата на областта на дефиниция lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Така правите x = π k k ∈ Z са вертикални асимптоти;

• най-малкият положителен период: T \u003d π;
• функцията изчезва, когато x = π 2 + π k за k ∈ Z (Z е множеството от цели числа);
• диапазон: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• тази функция е нечетна, защото y (- x) = - y (x) ;
• функцията е намаляваща за x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
• котангенсната функция е вдлъбната за x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z и изпъкнала за x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z ;
• точките на инфлексия имат координати π 2 + π · k ; 0, k ∈ Z;
• няма наклонени и хоризонтални асимптоти.

Обратните тригонометрични функции са арксинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс. Често, поради наличието на префикса "дъга" в името, обратните тригонометрични функции се наричат ​​дъгови функции. .

1. Функция арксинус: y = a r c sin (x)

Определение 22

Свойства на функцията арксинус:

• тази функция е нечетна, защото y (- x) = - y (x) ;
• функцията арксинус е вдлъбната за x ∈ 0; 1 и изпъкналост за x ∈ - 1 ; 0;
• точките на инфлексия имат координати (0 ; 0) , това е и нулата на функцията;
• няма асимптоти.

1. Аркосинус функция: y = a r c cos (x)

Определение 23

Свойства на функцията аркосинус:

• област на дефиниция: x ∈ - 1 ; един ;
• обхват: y ∈ 0 ; π;
• тази функция е от общ вид (нито четна, нито нечетна);
• функцията е намаляваща върху цялата област на дефиниране;
• функцията аркосинус е вдлъбната за x ∈ - 1; 0 и изпъкналост за x ∈ 0 ; един ;
• точките на инфлексия имат координати 0 ; π2;
• няма асимптоти.

1. Арктангенс функция: y = a r c t g (x)

Определение 24

Свойства на функцията Арктангенс:

• област на дефиниция: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• диапазон: y ∈ - π 2 ; π2;
• тази функция е нечетна, защото y (- x) = - y (x) ;
• функцията нараства в цялата област на дефиниране;
• функцията арктангенс е вдлъбната за x ∈ (- ∞ ; 0 ] и изпъкнала за x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• инфлексната точка има координати (0; 0), тя е и нула на функцията;
• хоризонталните асимптоти са прави линии y = - π 2 за x → - ∞ и y = π 2 за x → + ∞ (асимптотите на фигурата са зелени линии).

1. Функция аркотангенс: y = a r c c t g (x)

Определение 25

Свойства на аркотангенсната функция:

• област на дефиниция: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• диапазон: y ∈ (0 ; π) ;
• тази функция е от общ тип;
• функцията е намаляваща върху цялата област на дефиниране;
• функцията аркотангенс е вдлъбната за x ∈ [ 0 ; + ∞) и изпъкналост за x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• инфлексната точка има координати 0 ; π2;
• хоризонталните асимптоти са прави линии y = π при x → - ∞ (зелена линия на чертежа) и y = 0 при x → + ∞.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter