Преди няколко години бях изненадан да науча, че днес в училищата (дори в много училища по физика и математика), в кръжоците и дори в случаите на „репетиция“ не учат да разделят полиноми или полиноми в колона. Най-смешното е, че учениците знаят схемата на Хорнер и я използват за разделяне на полиноми. Изглежда, че разделянето в колона се смята за твърде трудно за крехък ум, но той е напълно способен да запомни таблет, който позволява разделяне на полином от първа степен. Естествено, в същото време никой не се интересува, че учениците разбират защо е възможно да се разделят по този начин. За да запълня очевидната празнина в образованието на такива момчета, давам тук метод за разделяне на полином на полином на колона, който всъщност е доста прост и ви позволява да разделяте на полиноми с произволна степен.
Нека започнем с факта, че за два полинома и (не трябва да бъде идентично равно на нула) е вярно. Ако остатъкът е нула, тогава казваме, че се дели на без остатък.
А сега нека да разгледаме примери: по-лесно е да се научите да разделяте полиноми върху тях.
Пример 1Разделете на (обърнете внимание, че и двата полинома са записани в низходящ ред). Първо ще напиша какво трябва да стане, а след това ще дам обяснения как да го получа.
Първо, старшият член на дивидента - това - се разделя на старшия член на делителя, тоест на. Полученият резултат, който е равен на , ще бъде водещ член на коефициента. Сега умножаваме делителя по този полином (получаваме) и изваждаме резултата от дивидента. Ние получаваме останалото. Старшият член на този остатък, който отново е разделен на старшия член на делителя, който е равен, получаваме, което ще бъде вторият член на частното. Делителят, умножен по този член, се изважда от първия остатък. Получаваме втория остатък, който е нула. Това завършва процеса на разделяне.
Това е лесно да се провери
Най-общо казано, делението завършва веднага щом степента на получения остатък е по-малка (строго по-малка!) от степента на делителя. Нека да разгледаме друг пример.
Пример 2Нека разделим на.
Делението е завършено, защото степента на последния остатък е по-малка от степента на делителя (), с други думи, най-големият член на остатъка не се дели напълно на най-големия член на делителя.
Преглед.Наистина е лесно да се провери това
Изявление
остатък непълна частна.
Коментирайте
За всякакви полиноми $A(x)$ и $B(x)$ (степента на $B(x)$ е по-голяма от 0) съществуват уникални полиноми $Q(x)$ и $R(x)$ от условие на твърдението.
- Остатъкът след разделянето на полинома $x^(4) + 3x^(3) +5$ на $x^(2) + 1$ е $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4.$
- Остатъкът след разделянето на полинома $x^(4) + 3x^(3) +5$ на $x^(4) + 1$ е $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x ^( 3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
- Остатъкът след разделянето на полинома $x^(4) + 3x^(3) +5$ на $x^(6) + 1$ е $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^( 4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$
Изявление
За всеки два полинома $A(x)$ и $B(x)$ (където степента на полинома $B(x)$ е различна от нула), съществува полиномно представяне $A(x)$ във формата $A (x) = Q (x)B(x) + R(x)$, където $Q(x)$ и $R(x)$ са полиноми и степента на $R(x)$ е по-малка от степента на $B(x).$
Доказателство
Ще докажем твърдението чрез индукция по степента на полинома $A(x).$ Означаваме го с $n$. Ако $n = 0$, твърдението е вярно: $A(x)$ може да бъде представено като $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Сега нека твърдението да бъде доказано за полиноми от степен $n \ leqm$. Нека докажем твърдението за полиноми от степен $k= n+1.$
Нека степента на полинома $B(x)$ е равна на $m$. Разгледайте три случая: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ и докажете твърдението за всяко от тях.
- $k< m$
Полиномът $A(x)$ може да бъде представен като$A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$
Твърдението е направено.
- $k = m$
Нека полиномите $A(x)$ и $B(x)$ имат формата$A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \dots + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(където ) \: a_(n+1) \neq 0;$
$B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \dots + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(където ) \: b_(n+1) \neq 0.$
Нека представим $A(x)$ като
$A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Голям).$
Обърнете внимание, че степента на полинома $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ е най-много $n+1$, тогава това представяне е желаното и твърдението е удовлетворено.
- $k > m$
Представяме полинома $A(x)$ във формата$A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (където) \: a_(n+1) \neq 0.$
Да разгледаме полинома $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ може да бъде представен като $A" (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, където степента на полинома $R"(x)$ е по-малка от $m$, тогава представянето за $A(x) $ може да се пренапише като
$A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$
Обърнете внимание, че степента на полинома $xR"(x)$ е по-малка от $m+1$, т.е. по-малка от $k$. Тогава $xR"(x)$ удовлетворява индуктивното предположение и може да бъде представено като $ xR "(x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, където степента на полинома $R""(x)$ е по-малка от $m$. Пренапишете представянето за $ A(x)$ как
$A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$
$= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$
Степента на полинома $R""(x) + a_(0)$ е по-малка от $m$, така че твърдението е вярно.
Твърдението е доказано.
В този случай се извиква полиномът $R(x)$ остатъкот разделянето на $A(x)$ на $B(x)$ и $Q(x)$ - непълен частен.
Ако остатъкът от $R(x)$ е нулев полином, тогава се казва, че $A(x)$ се дели на $B(x)$.
Припомнете си, че разделянето на естествено число a на естествено число b означава представяне на числото a във формата:
където частното c и остатъкът r са цели неотрицателни числа, а остатъкът r удовлетворява неравенството:
Ако разделим полиномите един на друг, тогава възниква подобна ситуация.
Наистина, когато се извършват операции събиране, изваждане и умножение на полиноми, резултатът винаги ще бъде полином. По-специално, когато се умножават два ненулеви полинома, степента на произведението ще бъде равна на сумата от степените на факторите.
Въпреки това, като резултат деление на полиномиполином не винаги се получава.
Казват, че един полином се дели напълно (без остатък) на друг многочленако резултатът от деленето е полином.
Ако един полином не се дели на друг полином, тогава винагиможе да се направи деление на полиноми с остатък, в резултат на което и частното, и остатъкът ще бъдат полиноми.
Определение. Разделяне на полином а(х) към полином b(х) с остатъка- означава да се представи полином а(х) като
а(х) = b(х) ° С(х) + r(х) ,
където е полиномът ° С(х) е частно , а полиномът r(х) е остатъкът, а степента на остатъка удовлетворява неравенството:
Важно е да се отбележи, че формулата
а(х) = b(х) ° С(х) + r(х)
е идентичност , т.е. равенство, валидно за всички стойности на променливата x.
При разделяне (със или без остатък) на многочлен на многочлен с по-малка степен в частното се получава полином, чиято степен е равна на разликата между степените на делителя и делителя.
Един от начините за деление на полиноми с остатък е деление на полиноми по "ъгъл", което е пълна аналогия на това как се случва при деление на цели числа.
Сега се обръщаме към описанието на този метод за разделяне на полиноми.
Пример. След като предварително сме подредили полиномите в намаляващи степени на променливата, ние разделяме полинома
2х 4 - х 3 + 5х 2 - 8х + 1
към полином
х 2 - х + 1 .
Решение . Нека опишем алгоритъма за разделяне на полиноми с „ъгъл“ на стъпки:
- Разделям първия срок на дивидента 2х 4 към първия член на делителя х 2. Получаваме първи член на ред 2х 2 .
- Умножете първи член на ред 2х 2 на разделител х 2 - х+ 1 и резултата от умножението
- Изваждаме от делимото многочлена, записан под него. Получаваме първи остатък
- Разделям първият член на остатъка х 3 към първия член на делителя х 2. Получаваме втори член на ред х .
- Умножете втори член на ред x на разделител х 2 - х + 1 , и резултата от умножението
- Изваждаме от първия остатък полинома, записан под него. Получаваме втори остатък
- Разделям първи член на втория остатък 4х 2 на член на първия делител х 2. Получаваме трети частен член 4 .
- Умножете трети частен член 4 на разделител х 2 - х + 1 , и резултата от умножението
2х 4 - 2х 3 + 2х 2
пишете под делимо 2х 4 - х 3 + 5х 2 - 8х + 1 .
х 3 + 3х 2 - 8х .
Ако този остатък беше равен на нула или беше полином, чиято степен е по-малка от степента на делителя (в този случай по-малка от 2), тогава процесът на деление ще бъде завършен. Това обаче не е така и разделението продължава.
х 3 - х 2 +х
напишете под първото х 3 + 3х 2 - 8х .
4х 2 - 9х + 1 .
Ако този остатък беше равен на нула или ако беше полином, чиято степен е по-малка от степента на делителя, тогава процесът на деление би бил завършен. Това обаче не е така и разделението продължава.
Да започнем с някои дефиниции. Израз във формата $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x ^(n)+a_(1)x^ (n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Например изразът $4x^(14)+87x^2+4x-11$ е полином, чиято степен е $14$. Може да се означи по следния начин: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.
Коефициентът $a_0$ се нарича водещ коефициент на полинома $P_n(x)$. Например за полинома $4x^(14)+87x^2+4x-11$ водещият коефициент е $4$ (числото преди $x^(14)$). Числото $a_n$ се нарича свободен член на полинома $P_n(x)$. Например за $4x^(14)+87x^2+4x-11$ пресечната точка е $(-11)$. Сега нека се обърнем към теоремата, на която всъщност ще се основава представянето на материала на тази страница.
За всеки два полинома $P_n(x)$ и $G_m(x)$ могат да се намерят полиноми $Q_p(x)$ и $R_k(x)$, така че равенството
\begin(equation) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end(equation)
и $k< m$.
Фразата "разделяне на полинома $P_n(x)$ на полинома $G_m(x)$" означава "представяне на полинома $P_n(x)$ във формата (1)". Ще наречем полинома $P_n(x)$ делим, полинома $G_m(x)$ делителя, полинома $Q_p(x)$ частното на $P_n(x)$ делено на $G_m(x)$, и полинома $ R_k(x)$ - остатък след деление на $P_n(x)$ на $G_m(x)$. Например за полиноми $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ и $G_4(x)=3x^4+4x^2+ 2 $ можете да получите това равенство:
$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$
Тук полиномът $P_6(x)$ се дели, полиномът $G_4(x)$ е делител, полиномът $Q_2(x)=4x^2+x$ е частното на $P_6(x)$ делено на $G_4(x) $, а полиномът $R_3(x)=2x^3+1$ е остатъкът след деление на $P_6(x)$ на $G_4(x)$. Отбелязвам, че степента на остатъка (т.е. 3) е по-малка от степента на делителя (т.е. 4), следователно условието за равенство е изпълнено.
Ако $R_k(x)\equiv 0$, тогава се казва, че полиномът $P_n(x)$ се дели на полинома $G_m(x)$ без остатък. Например полиномът $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ се дели на полинома $3x^4+15$ без остатък, тъй като равенството е в сила:
$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$
Тук полиномът $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ се дели; полином $G_4(x)=3x^4+15$ - делител; и полиномът $Q_2(x)=7x^2+2x$ е частното от $P_6(x)$ делено на $G_4(x)$. Остатъкът е нула.
За да се раздели полином на многочлен, често се използва разделяне на "колона" или, както се нарича още, "ъгъл". Ще анализираме изпълнението на този метод с примери.
Преди да премина към примерите, ще въведа още един термин. Той не е общоприето, и ще го използваме само за удобство на представянето на материала. До края на тази страница ще наричаме водещия елемент на полинома $P_n(x)$ израза $a_(0)x^(n)$. Например за полинома $4x^(14)+87x^2+4x-11$ водещият елемент е $4x^(14)$.
Пример #1
Разделете $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ на $5x^2-x+2$, като използвате деление в "колона".
Така че имаме два полинома, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ и $G_2(x)=5x^2-x+2$. Степента на първия е $5$, а степента на втория е $2$. Полиномът $P_5(x)$ е дивидентът, а полиномът $G_2(x)$ е делителят. Нашата задача е да намерим частното и остатъка. Проблемът ще се решава стъпка по стъпка. Ще използваме същата нотация като за деление на числа:
Първа стъпка
Разделете най-големия елемент на полинома $P_5(x)$ (т.е. $10x^5$) на най-високия елемент на полинома $Q_2(x)$ (т.е. $5x^2$):
$$ \frac(10x^5)(5x^2)=2x^(5-2)=2x^3. $$
Полученият израз $2x^3$ е първият елемент на частното:
Умножете полинома $5x^2-x+2$ по $2x^3$, за да получите:
$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$
Нека запишем резултата:
Сега извадете полинома $10x^5-2x^4+4x^3$ от полинома $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$
Тук свършва първата стъпка. Резултатът, който получихме, може да бъде написан в разширена форма:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 $$
Тъй като степента на полинома $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (т.е. 4) е по-голяма от степента на полинома $5x^2-x+2$ (т.е. 2), разделянето на процеса трябва да продължи. Да преминем към втората стъпка.
Втора стъпка
Сега ще работим с полиномите $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. По същия начин, както в първата стъпка, разделяме водещия елемент на първия полином (т.е. $5x^4$) на водещия елемент на втория полином (т.е. $5x^2$):
$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$
Полученият израз $x^2$ е вторият елемент на частното. Добавете към частното $x^2$
Умножете полинома $5x^2-x+2$ по $x^2$, за да получите:
$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$
Нека запишем резултата:
Сега извадете полинома $5x^4-x^3+2x^2$ от полинома $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$:
$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$
Добавяме този полином вече под линията:
Тук свършва втората стъпка. Полученият резултат може да бъде записан в разширена форма:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2x+5 $$
Тъй като степента на полинома $-15x^3+23x^2-2x+5$ (т.е. 3) е по-голяма от степента на полинома $5x^2-x+2$ (т.е. 2), продължаваме делението процес. Да преминем към третата стъпка.
Трета стъпка
Сега ще работим с полиномите $-15x^3+23x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. По същия начин, както в предишните стъпки, разделяме водещия елемент на първия полином (т.е. $-15x^3$) на водещия елемент на втория полином (т.е. $5x^2$):
$$ \frac(-15x^3)(5x^2)=-3x^(2-1)=-3x^1=-3x. $$
Полученият израз $(-3x)$ е третият елемент на частното. Нека добавим към частното $-3x$
Умножете полинома $5x^2-x+2$ по $(-3x)$, за да получите:
$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$
Нека запишем резултата:
Сега извадете полинома $-15x^3+3x^2-6x$ от полинома $-15x^3+23x^2-2x+5$:
$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$
Добавяме този полином вече под линията:
Тук свършва третата стъпка. Полученият резултат може да бъде записан в разширена форма:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 $$
Тъй като степента на полинома $20x^2+4x+5$ (т.е. 2) е равна на степента на полинома $5x^2-x+2$ (т.е. 2), ние продължаваме процеса на деление. Да преминем към четвъртата стъпка.
Четвърта стъпка
Сега ще работим с полиномите $20x^2+4x+5$ и $5x^2-x+2$. По същия начин, както в предишните стъпки, разделяме водещия елемент на първия полином (т.е. $20x^2$) на водещия елемент на втория полином (т.е. $5x^2$):
$$ \frac(20x^2)(5x^2)=4x^(2-2)=4x^0=4. $$
Полученото число $4$ е четвъртият елемент от частното. Нека добавим към частното $4$
Умножете полинома $5x^2-x+2$ по $4$, за да получите:
$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$
Нека запишем резултата:
Сега извадете полинома $20x^2-4x+8$ от полинома $20x^2+4x+5$.
Нека се изисква
(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).
Тук са дадени произведението (2x 3 - 7x 2 + x + 1) и един фактор (2x - 1), - трябва да намерите друг фактор. В този пример веднага става ясно (но това не може да се установи като цяло), че другият, желан фактор или коефициент също е полином. Това е ясно, защото този продукт има 4 члена, а този множител е само 2. Въпреки това е невъзможно да се каже предварително колко члена има желаният множител: може да има 2 члена, 3 члена и т.н. Не забравяйте, че най-високият член на продукта винаги се оказва от умножаването на най-големия член на един фактор по най-големия член на друг (вижте умножение на полином по полином) и че не може да има членове като този, ние сме сигурни, че 2x 3 (най-големият член на този продукт) ще се получи от умножаването на 2x (най-големият член на този фактор) по неизвестния водещ член на търсения множител. Следователно, за да намерим последното, трябва да разделим 2x 3 на 2x - получаваме x 2 . Това е старшият частник.
Припомнете си тогава, че когато умножавате полином по полином, всеки член на един полином трябва да бъде умножен по всеки член на другия. Следователно този продукт (2x 3 - 7x 2 + x + 1) е произведението на делителя (2x - 1) и всички членове на частното. Но сега можем да намерим произведението на делителя и първия (най-висок) член на частното, т.е. (2x - 1) ∙ x 2; получаваме 2x 3 - x 2 . Знаейки произведението на делителя по всички членове на частното (то = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) и знаейки произведението на делителя по първия член на частното (то = 2x 3 - x 2), чрез изваждане можем да намерим произведението на делителя от всички останали, с изключение на 1-ви, членове на частното. Вземете
(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.
Най-големият член (–6x 2) от този оставащ продукт трябва да бъде произведението на най-големия член на делителя (2x) и най-големия член на остатъка (с изключение на първия член) на частното. От тук намираме старшия член на оставащото частно. Трябва ни –6x 2 ÷ 2x, получаваме –3x. Това е вторият член на желаното частно. Отново можем да намерим произведението на делителя (2x - 1) и втория, току-що намерен частен член, т.е., -3x.
Получаваме (2x - 1) ∙ (-3x) \u003d -6x 2 + 3x. От целия този продукт вече извадихме произведението на делителя по първия член на частното и получихме остатъка -6x 2 + x + 1, който е произведението на делителя по остатъка, с изключение на първия член на коефициента. Като извадим от него току-що намереното произведение -6x 2 + 3x, получаваме остатъка, който е произведение на делителя на всички останали, с изключение на 1-ви и 2-ри, членове на частното:
-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.
Разделяйки старшия член на този оставащ продукт (–2x) на старшия член на делителя (2x), получаваме старшия член на остатъка от частното, или неговия трети член, (–2x) ÷ 2x = –1, това е третият член на частното.
Умножавайки делителя по него, получаваме
(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.
Изваждането на този продукт на делителя с 3-тия член на частното от цялото произведение, останало до момента, т.е.
(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,
ще видим, че в нашия пример произведението е разделено на останалите, с изключение на 1-ви, 2-ри и 3-ти членове на частното = 0, от което заключаваме, че частното няма повече членове, т.е.
(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.
От предишното виждаме: 1) удобно е да се подредят условията на дивидента и делителя в низходящи степени, 2) необходимо е да се установи някакъв ред за извършване на изчисления. Такъв удобен ред може да се счита за този, който се използва в аритметиката при разделяне на многозначни числа. След него подреждаме всички предишни изчисления, както следва (по-кратки обяснения са дадени отстрани):
Тези изваждания, които са необходими тук, се извършват чрез промяна на знаците на членовете на субтрахенда и тези променливи знаци се записват отгоре.
Да, написано е
Това означава: субтрахенда беше 2x 3 - x 2 и след смяната на знаците получихме -2x 3 + x 2.
Поради приетата подредба на изчисленията, поради факта, че членовете на дивидента и делителя са подредени в низходящи степени и поради факта, че степените на буквата x в двата полинома намаляват всеки път с 1, се оказа че такива термини са написани един под друг (например: –7x 2 и +x 2), защо е лесно да ги хвърляте. Може да се отбележи, че не всички членове на дивидента са необходими във всеки момент от изчислението. Например членът +1 не е необходим в момента, в който е намерен вторият член на коефициента, и тази част от изчислението може да бъде опростена.
Още примери:
1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).
Подредете буквите a в низходящи степени и делителя и делителя:
(Забележете, че тук, поради липсата на член с 3 в делимото, при първото изваждане се оказа, че не подобни членове -a 2 b 2 и -2a 3 b са подписани един под друг. Разбира се, те не може да се сведе до един мандат и двата се изписват под чертата в старшинството).
И в двата примера човек трябва да бъде по-внимателен към подобни термини: 1) несходните термини често се оказват написани един под друг и 2) понякога (както например в последния пример термините -4a n и - a n при първото изваждане) подобни членове излизат написани не един под друг.
Възможно е да се извърши разделянето на полиномите в различен ред, а именно: всеки път да се търси най-малкият член или всички или оставащото частно. В този случай е удобно тези полиноми да се подредят във възходящи степени на някаква буква. Например:
