Графика на функция xy 0. Как да начертаем графика на функция

Функция $f(x)=|x|$

$|x|$ - модул. Дефинира се по следния начин: Ако реалното число е неотрицателно, тогава стойността на модула съвпада със самото число. Ако е отрицателна, тогава стойността на модула съвпада с абсолютната стойност на даденото число.

Математически това може да се напише по следния начин:

Пример 1

Функция $f(x)=[x]$

Функцията $f\left(x\right)=[x]$ е функция на цялата част от число. Намира се чрез закръгляване на числото (ако самото то не е цяло число) „надолу“.

Пример: $=2.$

Пример 2

Нека изследваме и изградим нейната графика.

$D\наляво(f\надясно)=R$.
Очевидно тази функция приема само цели числа, т.е. $\E\left(f\right)=Z$
$f\left(-x\right)=[-x]$. Следователно тази функция ще бъде общ изглед.
$(0,0)$ е единствената точка на пресичане с координатните оси.
$f"\left(x\right)=0$
Функцията има точки на прекъсване (скачане на функцията) за всички $x\in Z$.

Фигура 2.

Функция $f\left(x\right)=$x$$

Функцията $f\left(x\right)=$x$$ е функция на дробната част на число. Намира се чрез „изхвърляне“ на цялата част от това число.

Пример 3

Нека проучим и начертаем функцията

Функция $f(x)=знак(x)$

Функцията $f\left(x\right)=sign(x)$ е функция signum. Тази функция показва кой знак има реално число. Ако числото е отрицателно, тогава функцията има стойност $-1$. Ако числото е положително, тогава функцията е равна на единица. Ако числото е нула, стойността на функцията също ще приеме нулева стойност.

Дължината на сегмента върху координатната ос се определя по формулата:

Дължината на сегмент в координатната равнина се намира по формулата:

За да намерите дължината на сегмент в триизмерна координатна система, използвайте следната формула:

Координатите на средата на сегмента (за координатната ос се използва само първата формула, за координатната равнина - първите две формули, за триизмерна координатна система - и трите формули) се изчисляват по формулите:

функция– това е съответствие на формуляра г= f(х) между променливи величини, поради което всяка разглеждана стойност на някои променлив размер х(аргумент или независима променлива) съответства на определена стойност на друга променлива, г(зависима променлива, понякога тази стойност се нарича просто стойност на функцията). Имайте предвид, че функцията приема тази стойност на един аргумент Xможе да съответства само една стойност на зависимата променлива при. Въпреки това, същата стойност приможе да се получи с различни X.

Функционален домейн– това са всички стойности на независимата променлива (аргумент на функцията, обикновено this X), за които е дефинирана функцията, т.е. значението му съществува. Областта на дефиниция е посочена г(г). от като цялоВече сте запознати с тази концепция. Домейнът на дефиниране на функция иначе се нарича домейн на допустимите стойности или VA, които отдавна сте успели да намерите.

Функционален диапазонса всички възможни стойности на зависимата променлива на дадена функция. Определен д(при).

Функцията се увеличававърху интервала, в който по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията. Функцията намалявавърху интервала, в който на по-голяма стойност на аргумента съответства по-малка стойност на функцията.

Интервали на постоянен знак на функция- това са интервалите на независимата променлива, през които зависимата променлива остава положителна или отрицателен знак.

Функционални нули– това са стойностите на аргумента, при които стойността на функцията е равна на нула. В тези точки графиката на функцията пресича абсцисната ос (ост OX). Много често необходимостта да се намерят нулите на функция означава необходимостта просто да се реши уравнението. Също така често необходимостта да се намерят интервали на постоянство на знака означава необходимостта просто да се реши неравенството.

функция г = f(х) се наричат даже X

Това означава, че за всякакви противоположни стойности на аргумента, стойностите на четната функция са равни. График дори функциявинаги симетричен спрямо ординатната ос на операционния усилвател.

функция г = f(х) се наричат странно, ако е дефинирано на симетрично множество и за всяко Xот областта на дефиницията важи равенството:

Това означава, че за всякакви противоположни стойности на аргумента, стойностите на нечетната функция също са противоположни. Графиката на нечетна функция винаги е симетрична спрямо началото.

Сумата от корените на четните и нечетните функции (пресечните точки на оста x OX) винаги е равна на нула, т.к. за всеки положителен корен Xтрябва да отрицателен корен –X.

Важно е да се отбележи, че някои функции не трябва да бъдат четни или нечетни. Има много функции, които не са нито четни, нито нечетни. Такива функции се наричат общи функции, и за тях нито едно от дадените по-горе равенства или свойства не е изпълнено.

Линейна функцияе функция, която може да бъде дадена с формулата:

Графиката на линейна функция е права линия и в общия случай изглежда така (даден е пример за случая, когато к> 0, в този случай функцията е нарастваща; за случая к < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Графика на квадратична функция (парабола)

Графиката на парабола е дадена от квадратична функция:

Квадратната функция, както всяка друга функция, пресича оста OX в точките, които са нейните корени: ( х 1 ; 0) и ( х 2 ; 0). Ако няма корени, тогава квадратичната функция не пресича оста OX; ако има само един корен, тогава в тази точка ( х 0 ; 0) квадратичната функция само докосва оста OX, но не я пресича. Квадратната функция винаги пресича оста OY в точка с координати: (0; c). Графиката на квадратична функция (парабола) може да изглежда така (фигурата показва примери, които не изчерпват всички възможни видове параболи):

В този случай:

ако коеф а> 0, във функция г = брадва 2 + bx + c, тогава клоните на параболата са насочени нагоре;
ако а < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координатите на върха на парабола могат да бъдат изчислени с помощта на следните формули. X топове (стр- на снимките по-горе) параболи (или точката, в която квадратният трином достига своята най-голяма или най-малка стойност):

Игрек топове (р- на фигурите по-горе) параболи или максимум, ако клоновете на параболата са насочени надолу ( а < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (а> 0), стойността на квадратния трином:

Графики на други функции

Силова функция

Ето няколко примера за графики на степенни функции:

Обратно пропорционалнае функция, дадена от формулата:

В зависимост от знака на числото кГрафиката на обратно пропорционалната зависимост може да има две основни опции:

Асимптотае линия, до която графиката на функция се доближава безкрайно много, но не се пресича. Асимптотите за графиките на обратната пропорционалност, показани на фигурата по-горе, са координатните оси, към които графиката на функцията се приближава безкрайно близо, но не ги пресича.

Експоненциална функцияс основа Ае функция, дадена от формулата:

аграфик експоненциална функцияможе да има две основни опции (даваме и примери, вижте по-долу):

Логаритмична функцияе функция, дадена от формулата:

В зависимост от това дали числото е по-голямо или по-малко от едно аГрафиката на логаритмична функция може да има две основни опции:

Графика на функция г = |х| изглежда така:

Графики на периодични (тригонометрични) функции

функция при = f(х) се нарича периодичен, ако има такова различно от нула число Т, Какво f(х + Т) = f(х), за всякакви Xот областта на функцията f(х). Ако функцията f(х) е периодичен с период Т, тогава функцията:

където: А, к, bса постоянни числа и кне равна на нула, също периодична с период Т 1, което се определя по формулата:

Повечето примери периодични функцииТова са тригонометрични функции. Ето и графиките на основните тригонометрични функции. Следващата фигура показва част от графиката на функцията г= грях х(цялата графика продължава неограничено наляво и надясно), графика на функцията г= грях хнаречен синусоида:

Графика на функция г=cos хнаречен косинус. Тази графика е показана на следващата фигура. Тъй като синусовата графика продължава безкрайно по оста OX наляво и надясно:

Графика на функция г= tg хнаречен тангентоид. Тази графика е показана на следващата фигура. Подобно на графиките на други периодични функции, тази графика се повтаря неограничено по оста OX наляво и надясно.

И накрая, графиката на функцията г=ctg хнаречен котангентоид. Тази графика е показана на следващата фигура. Подобно на графиките на други периодични и тригонометрични функции, тази графика се повтаря неограничено по оста OX наляво и надясно.

Научете всички формули и закони във физиката, както и формули и методи в математиката. Всъщност това също е много лесно да се направи; във физиката има само около 200 необходими формули, а в математиката дори малко по-малко. Във всеки от тези предмети има около дузина стандартни методи за решаване на проблеми с основно ниво на сложност, които също могат да бъдат научени и по този начин напълно автоматично и без затруднения да се решават повечето от КТ в точното време. След това ще трябва да мислите само за най-трудните задачи.

Явете се и на трите етапа на репетиционното изпитване по физика и математика. Всеки RT може да бъде посетен два пъти, за да се вземе решение за двете опции. Отново, на CT, в допълнение към способността за бързо и ефективно решаване на задачи и познаване на формули и методи, вие също трябва да можете да планирате правилно времето, да разпределяте силите и най-важното, да попълвате формуляра за отговор правилно, без объркване на номерата на отговорите и проблемите или собственото ви фамилно име. Освен това по време на RT е важно да свикнете със стила на задаване на въпроси в проблемите, което може да изглежда много необичайно за неподготвен човек в DT.

Успешното, усърдно и отговорно изпълнение на тези три точки ще ви позволи да се явите на КТ отличен резултат, максималното на което си способен.

Намерихте грешка?

Ако смятате, че сте открили грешка в учебни материали, тогава моля, пишете за това по имейл. Можете също да докладвате за грешка на социална мрежа(). В писмото посочете предмета (физика или математика), името или номера на темата или теста, номера на задачата или мястото в текста (страницата), където според вас има грешка. Също така опишете каква е предполагаемата грешка. Писмото ви няма да остане незабелязано, грешката или ще бъде коригирана, или ще ви бъде обяснено защо не е грешка.

Графиката на функция е визуално представянеповедение на някаква функция в координатната равнина. Графиките ви помагат да разберете различни аспектифункции, които не могат да бъдат определени от самата функция. Можете да изградите графики на много функции и всяка от тях ще бъде дадена определена формула. Графиката на всяка функция се изгражда с помощта на специфичен алгоритъм (ако сте забравили точния процес на графиране на конкретна функция).

стъпки

Графика на линейна функция

Определете дали функцията е линейна.Линейната функция е дадена с формула на формата F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)или y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(например ), а графиката му е права линия. Така формулата включва една променлива и една константа (константа) без експоненти, знаци за корен или други подобни. Ако е дадена функция от подобен тип, е много лесно да се начертае графика на такава функция. Ето други примери за линейни функции:

Използвайте константа, за да маркирате точка на оста Y.Константата (b) е „y” координатата на точката, в която графиката пресича оста Y. Това е точка, чиято координата „x” е равна на 0. Следователно, ако x = 0 се замества във формулата. , тогава y = b (константа). В нашия пример y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)константата е равна на 5, т.е. точката на пресичане с оста Y има координати (0,5). Начертайте тази точка върху координатната равнина.

Намерете наклондиректен.То е равно на множителя на променливата. В нашия пример y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)с променливата “x” има коефициент 2; по този начин коефициентът на наклона е равен на 2. Коефициентът на наклона определя ъгъла на наклона на правата линия спрямо оста X, т.е. колкото по-голям е коефициентът на наклона, толкова по-бързо се увеличава или намалява функцията.

Запишете наклона като дроб.Ъгловият коефициент е равен на тангенса на ъгъла на наклон, т.е. съотношението на вертикалното разстояние (между две точки на права линия) към хоризонталното разстояние (между същите точки). В нашия пример наклонът е 2, така че можем да заявим, че вертикалното разстояние е 2, а хоризонталното разстояние е 1. Запишете това като дроб: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

Ако наклонът е отрицателен, функцията е намаляваща.

От точката, където правата линия пресича оста Y, начертайте втора точка, като използвате вертикални и хоризонтални разстояния.

Линейна функция може да бъде начертана като графика с помощта на две точки. В нашия пример пресечната точка с оста Y има координати (0,5); От тази точка преместете 2 интервала нагоре и след това 1 интервал надясно. Маркирайте точка; ще има координати (1,7). Сега можете да нарисувате права линия.С помощта на линийка начертайте права линия през две точки.

За да избегнете грешки, намерете третата точка, но в повечето случаи графиката може да се начертае с помощта на две точки. Така сте начертали линейна функция.

Графика на сложна функцияНамерете нулите на функцията.

Нулите на функцията са стойностите на променливата x, където y = 0, т.е. това са точките, в които графиката пресича оста X. Имайте предвид, че не всички функции имат нули, но те са първите стъпка в процеса на изобразяване на графики на всяка функция. За да намерите нулите на функция, приравнете я на нула. Например:Намерете и маркирайте хоризонталните асимптоти. Асимптотата е линия, която графиката на функцията се доближава, но никога не пресича (т.е. в тази област функцията не е дефинирана, например при деление на 0). Маркирайте асимптотата с пунктирана линия. Ако променливата "x" е в знаменателя на дроб (напр. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2)))) ), задайте знаменателя на нула и намерете „x“. В получените стойности на променливата "x" функцията не е дефинирана (в нашия пример начертайте пунктирани линии през x = 2 и x = -2), тъй като не можете да разделите на 0. Но асимптоти съществуват не само в случаите, когато функцията съдържадробен израз

. Затова се препоръчва да използвате здрав разум:Намерете координатите на няколко точки и ги нанесете върху координатната равнина. Просто изберете няколко x стойности и ги включете във функцията, за да намерите съответните y стойности. След това начертайте точките върху координатната равнина. какпо-сложна функция
- , толкова повече точки трябва да намерите и начертаете. В повечето случаи заместете x = -1; х = 0; x = 1, но ако функцията е комплексна, намерете три точки от всяка страна на началото. В случай на функция y = 5 x 2 + 6 (\displaystyle y=5x^(2)+6)
- поставете следните x стойности: -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Ще получите достатъчен брой точки.
Ако не знаете какво да правите, започнете със заместване на функция различни значения"x", за да намерите стойностите на "y" (и следователно координатите на точките). Теоретично, графика на функция може да бъде конструирана само с помощта на този метод (ако, разбира се, се замести безкрайно разнообразие от стойности „x“).