(от гръцки λόγος - "дума", "отношение" и ἀριθμός - "число") числа bпо разум а(log α b) се нарича такова число ° С, и b= a c, тоест log α b=° Си b=a° Сса еквивалентни. Логаритъмът има смисъл, ако a > 0, a ≠ 1, b > 0.
С други думи логаритъмчисла bпо разум аформулиран като показател, до който трябва да се повдигне число аза да получите номера b(логаритъмът съществува само за положителни числа).
От тази формулировка следва, че изчислението x= log α b, е еквивалентно на решаването на уравнението a x =b.
Например:
log 2 8 = 3, защото 8=2 3 .
Отбелязваме, че посочената формулировка на логаритъма дава възможност за незабавно определяне логаритмична стойносткогато числото под знака на логаритъма е определена степен на основата. Наистина, формулировката на логаритъма позволява да се обоснове, че ако b=a c, след това логаритъма на числото bпо разум асе равнява с. Също така е ясно, че темата за логаритъм е тясно свързана с темата степен на числото.
Посочено е изчисляването на логаритъма логаритъм. Логаритъмът е математическа операция за вземане на логаритъм. Когато се взема логаритъм, продуктите от фактори се трансформират в суми от членове.
Потенциранее математическата операция, обратна на логаритъма. При потенциране дадената основа се повдига на степен на израза, върху който се извършва потенцирането. В този случай сумите на членовете се трансформират в произведението на факторите.
Доста често се използват реални логаритми с основа 2 (двоичен), e число на Ойлер e ≈ 2,718 (натурален логаритъм) и 10 (десетичен).
На този етап си струва да се обмисли проби от логаритмидневник 7 2 , вътре √ 5, lg0,0001.
И записите lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 нямат смисъл, тъй като в първия от тях отрицателно число се поставя под знака на логаритъма, във второто - отрицателно число в основата, а в третата - и отрицателно число под знака на логаритъма и единица в основата.
Условия за определяне на логаритъма.
Струва си да разгледаме отделно условията a > 0, a ≠ 1, b > 0. определение на логаритъм.Нека помислим защо са взети тези ограничения. Това ще ни помогне с равенство от формата x = log α b, наречено основно логаритмично тъждество, което пряко следва от дефиницията на логаритъма, дадена по-горе.
Вземете условието a≠1. Тъй като едно е равно на едно на произволна степен, тогава равенството x=log α bможе да съществува само когато b=1, но log 1 1 ще бъде всяко реално число. За да премахнем тази неяснота, ние приемаме a≠1.
Нека докажем необходимостта от условието а>0. При а=0според формулировката на логаритъма, може да съществува само когато b=0. И след това съответно дневник 0 0може да бъде всяко ненулево реално число, тъй като нула на всяка ненулева степен е нула. За да се премахне тази неяснота, условието a≠0. И когато а<0 би трябвало да отхвърлим анализа на рационалните и ирационалните стойности на логаритъма, тъй като показателят с рационален и ирационален показател се определя само за неотрицателни основи. Именно поради тази причина условието а>0.
И последното условие b>0следва от неравенството а>0, тъй като x=log α b, и стойността на степента с положителна основа авинаги позитивен.
Характеристики на логаритмите.
Логаритмихарактеризиращ се с отличителен Характеристика, което доведе до широкото им използване за значително улесняване на старателните изчисления. При прехода "към света на логаритмите" умножението се трансформира в много по-лесно събиране, делението в изваждане, а издигането на степен и вземането на корен се трансформират съответно в умножение и деление на степен.
Формулировката на логаритми и таблица с техните стойности (за тригонометрични функции) е публикувана за първи път през 1614 г. от шотландския математик Джон Напиер. Логаритмичните таблици, уголемени и детайлизирани от други учени, бяха широко използвани в научни и инженерни изчисления и останаха актуални, докато не започнаха да се използват електронни калкулатори и компютри.
ЛОГАРИТЪМ
число, което опростява много сложни аритметични операции. Използването на техните логаритми вместо числа в изчисленията прави възможно замяната на умножението с по-проста операция на събиране, деление с изваждане, повишаване на степен с умножение и извличане на корени с деление. Общо описание. Логаритъмът на дадено число е степента, към която трябва да се повдигне друго число, наречено основа на логаритъма, за да се получи даденото число. Например логаритъмът при основа 10 на 100 е 2. С други думи, 10 трябва да бъде повдигнато на квадрат, за да се получи 100 (102 = 100). Ако n е дадено число, b е основа и l е логаритъм, тогава bl = n. Числото n се нарича още антилогаритъм при основа b на числото l. Например, антилогаритъмът от 2 по основа 10 е 100. Това може да се запише като logb n = l и antilogb l = n. Основните свойства на логаритмите:
Всяко положително число, различно от единица, може да служи като основа на логаритмите, но за съжаление се оказва, че ако b и n са рационални числа, тогава в редки случаи има рационално число l, такова че bl = n. Въпреки това е възможно да се дефинира ирационално число l, например, така че 10l = 2; това ирационално число l може да бъде апроксимирано чрез рационални числа с всякаква изисквана точност. Оказва се, че в примера по-горе l е приблизително равно на 0,3010 и тази приблизителна стойност на логаритъма при основа 10 на числото 2 може да бъде намерена в четирицифрени таблици с десетични логаритми. Логаритми с основа 10 (или десетични логаритми) се използват толкова често в изчисленията, че се наричат обикновени логаритми и се записват като log2 = 0,3010 или log2 = 0,3010, като се пропуска изричното посочване на основата на логаритъма. Логаритмите при основа e, трансцендентно число, приблизително равно на 2,71828, се наричат естествени логаритми. Те се намират главно в трудове по математически анализ и неговите приложения в различни науки. Натуралните логаритми също се записват без изрично посочване на основата, но с помощта на специалната нотация ln: например ln2 = 0,6931, т.к. e0,6931 = 2.
Вижте също НОМЕР д. Използване на таблици с обикновени логаритми. Обикновеният логаритъм на число е показателят, на който трябва да увеличите 10, за да получите даденото число. Тъй като 100 = 1, 101 = 10 и 102 = 100, веднага получаваме, че log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 и т.н. за нарастващи цели числа от 10. По същия начин 10-1 = 0,1, 10-2 = 0,01 и следователно log0,1 = -1, log0,01 = -2 и т.н. за всички отрицателни цели числа на 10. Обичайните логаритми на останалите числа са затворени между логаритмите на най-близките цели числа на 10; log2 трябва да бъде оградено между 0 и 1, log20 между 1 и 2 и log0.2 между -1 и 0. Така логаритъма има две части, цяло число и десетична запетая, оградени между 0 и 1. Цялата част се нарича характеристика на логаритъма и се определя от самото число, дробната част се нарича мантиса и се намира от таблиците. Също така, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Логаритъмът от 2 е 0,3010, така че log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. По същия начин, log0.2 = log(2e10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0.3010 - 1. Чрез изваждане получаваме log0.2 = - 0.6990. По-удобно е обаче да се представи log0.2 като 0.3010 - 1 или като 9.3010 - 10; може да се формулира и общо правило: всички числа, получени от дадено число чрез умножение по степен 10, имат една и съща мантиса, равна на мантисата на дадено число. В повечето таблици са дадени мантисите на числа от 1 до 10, тъй като мантисите на всички други числа могат да бъдат получени от тези, дадени в таблицата. Повечето таблици дават логаритми до четири или пет знака след десетичната запетая, въпреки че има седемцифрени таблици и таблици с дори повече десетични знаци. Да се научите как да използвате такива таблици е най-лесно с примери. За да намерите log3.59, първо имайте предвид, че числото 3.59 е между 100 и 101, така че неговата характеристика е 0. Намираме числото 35 в таблицата (отляво) и се придвижваме по реда до колоната, която има числото 9 отгоре; пресечната точка на тази колона и ред 35 е 5551, така че log3.59 = 0.5551. За да намерите мантисата на число с четири значещи цифри, трябва да прибегнете до интерполация. В някои таблици интерполацията се улеснява от пропорционалните части, дадени в последните девет колони от дясната страна на всяка страница с таблица. Намерете сега log736.4; числото 736.4 се намира между 102 и 103, така че характеристиката на неговия логаритъм е 2. В таблицата намираме реда вляво от който е 73 и колона 6. В пресечната точка на този ред и тази колона е числото 8669. Сред линейните части намираме колона 4. В пресечната точка на ред 73 и колона 4 е числото 2. Добавяйки 2 към 8669, получаваме мантисата - тя е равна до 8671. По този начин, log736.4 = 2, 8671.
естествени логаритми.Таблиците и свойствата на естествените логаритми са подобни на таблиците и свойствата на обикновените логаритми. Основната разлика между двете е, че цялата част от естествения логаритъм не е значима при определяне на позицията на десетичната запетая и следователно разликата между мантисата и характеристиката не играе специална роля. Натурални логаритми на числата 5,432; 54.32 и 543.2 са съответно 1.6923; 3.9949 и 6.2975. Връзката между тези логаритми става очевидна, ако разгледаме разликите между тях: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; последното число не е нищо друго освен натурален логаритъм на числото 10 (написано така: ln10); log543.2 - log5.432 = 4.6052; последното число е 2ln10. Но 543,2 = 10*54,32 = 102*5,432. По този начин чрез натурален логаритъм на дадено число a могат да се намерят натуралните логаритми на числа, равни на произведенията на числото a и произволни степени на n на числото 10, ако ln10, умножено по n, се добави към lna, т.е. ln(a*10n) = lna + nln10 = lna + 2,3026n. Например ln0,005432 = ln(5,432*10-3) = ln5,432 - 3ln10 = 1,6923 - (3*2,3026) = - 5,2155. Следователно таблиците на естествените логаритми, както и таблиците на обикновените логаритми, обикновено съдържат само логаритмите на числата от 1 до 10. В системата на естествените логаритми може да се говори за антилогаритми, но по-често се говори за експоненциална функция или експоненциална . Ако x = lny, тогава y = ex и y се нарича експонента на x (за типографско удобство често се пише y = exp x). Показателят играе ролята на антилогаритъм на числото x. Използвайки таблици с десетични и естествени логаритми, можете да създавате таблици с логаритми във всяка основа, различна от 10 и e. Ако logb a = x, тогава bx = a и следователно logc bx = logc a или xlogc b = logc a, или x = logc a/logc b = logb a. Следователно, използвайки тази формула за обръщане от таблица с логаритми по основа c, човек може да конструира таблици с логаритми по всяка друга основа b. Факторът 1/logc b се нарича модул на прехода от основа c към основа b. Нищо не пречи, например, да използвате формулата за инверсия или прехода от една система от логаритми към друга, за да намерите естествени логаритми от таблицата с обикновени логаритми или да направите обратния преход. Например log105,432 = log 5,432/loge 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923 x 0,4343 = 0,7350. Числото 0,4343, по което трябва да се умножи естественият логаритъм на дадено число, за да се получи обикновеният логаритъм, е модулът на прехода към системата от обикновени логаритми.
Специални маси.Логаритмите първоначално са измислени, за да използват свойствата си logab = loga + logb и loga/b = loga - logb за преобразуване на продуктите в суми и частните в разлики. С други думи, ако са известни loga и logb, тогава с помощта на събиране и изваждане можем лесно да намерим логаритъма на произведението и частното. В астрономията обаче често е необходимо да се намерят log(a + b) или log(a - b) дадени стойности на loga и logb. Разбира се, би било възможно първо да се намерят a и b от таблиците с логаритми, след това да се извърши посоченото събиране или изваждане и, отново позовавайки се на таблиците, да се намерят необходимите логаритми, но такава процедура ще изисква три посещения на таблиците . Z. Leonelli през 1802 г. публикува таблици на т.нар. Гаусови логаритми - логаритмите на добавяне на суми и разлики - което направи възможно да се ограничим до едно прибягване до таблици. През 1624 г. И. Кеплер предлага таблици на пропорционални логаритми, т.е. логаритми на числа a/x, където a е някаква положителна константа. Тези таблици се използват предимно от астрономи и навигатори. Пропорционалните логаритми за a = 1 се наричат логаритми и се използват при изчисления, когато трябва да работите с продукти и частни. Логаритъмът на числото n е равен на логаритъма на реципрочната стойност на числото; тези. cologn = log1/n = - logn. Ако log2 = 0,3010, тогава colog2 = - 0,3010 = 0,6990 - 1. Предимството на използването на логаритми е, че когато се изчислява стойността на логаритъма на изрази като pq/r, тройната сума на положителните десетични знаци на logp + logq + cologr е по-лесно за намиране от смесената сума и разликата logp + logq - logr.
История.Принципът, лежащ в основата на всяка система от логаритми, е известен от много дълго време и може да бъде проследен до древната вавилонска математика (около 2000 г. пр.н.е.). В онези дни за изчисляване на сложна лихва се използваше интерполация между табличните стойности на положителни цели числа. Много по-късно Архимед (287-212 пр. н. е.) използва правомощията на 108, за да намери горна граница на броя на песъчинките, необходими за пълно запълване на вселената, известна по това време. Архимед обърна внимание на свойството на показателите, което е в основата на ефективността на логаритмите: произведението на степените съответства на сумата от степените. В края на Средновековието и началото на Новата ера математиците все повече започват да се позовават на връзката между геометричните и аритметичните прогресии. М. Щийфел в своето есе Аритметика на целите числа (1544) дава таблица на положителните и отрицателните степени на числото 2:
Щифел забеляза, че сборът от двете числа в първия ред (редът от експоненти) е равен на степента на две, което съответства на произведението на двете съответни числа в долния ред (редът от експоненти). Във връзка с тази таблица Щифел формулира четири правила, които са еквивалентни на четирите съвременни правила за операции с експоненти или четири правила за операции с логаритми: сумата в горния ред съответства на произведението в долния ред; изваждането в горния ред съответства на делението в долния ред; умножението в горния ред съответства на степенуването в долния ред; разделението в горния ред съответства на извличането на корена в долния ред. Очевидно правила, подобни на тези на Stiefel, са накарали J. Napier официално да въведе първата система от логаритми в Описанието на удивителната таблица на логаритмите, публикувано през 1614 г. Но мислите на Napier са били заети с проблема за преобразуването на продуктите в суми от повече отколкото Десет години преди публикуването на работата му, Напиер получава новина от Дания, че в обсерваторията на Тихо Брахе неговите асистенти разполагат с метод за превръщане на произведенията в суми. Методът, споменат в съобщението на Напиер, се основава на използването на тригонометрични формули от типа
Следователно таблиците на Напиер се състоят главно от логаритми на тригонометрични функции. Въпреки че концепцията за база не е изрично включена в дефиницията, предложена от Напиер, числото, еквивалентно на основата на системата от логаритми в неговата система, се играе от числото (1 - 10-7)ґ107, приблизително равно на 1/e . Независимо от Напиер и почти едновременно с него, система от логаритми, доста сходна по вид, е изобретена и публикувана от J. Burgi в Прага, който публикува Таблиците на аритметичните и геометричните прогресии през 1620 г. Това бяха таблици с антилогаритми при основа (1 + 10-4)*10 4, доста добро приближение на числото e. В системата на Напиер логаритъмът на числото 107 се приема за нула и с намаляването на числата логаритмите нарастват. Когато Г. Бригс (1561-1631) посети Нейпиер, и двамата се съгласиха, че би било по-удобно да се използва числото 10 като основа и да се счита, че логаритъмът от едно е равен на нула. След това, когато числата нарастват, техните логаритми ще нарастват. Така получихме съвременната система от десетични логаритми, таблица от която Бригс публикува в труда си Logarithmic Arithmetic (1620). Логаритмите при основа e, макар и не точно тези, въведени от Напиер, често се наричат не-Пиер. Термините "характеристика" и "мантиса" са предложени от Бригс. Първите логаритми по исторически причини са използвали приближения на числата 1/e и e. Малко по-късно идеята за естествените логаритми се свързва с изучаването на области под хипербола xy = 1 (фиг. 1). През 17 век беше показано, че площта, ограничена от тази крива, оста x и ординатите x = 1 и x = a (на фиг. 1 тази област е покрита с по-дебели и по-редки точки) нараства експоненциално, когато a нараства експоненциално. Именно тази зависимост възниква в правилата за действия върху експоненти и логаритми. Това даде основание логаритмите на Нейпиер да се нарекат "хиперболични логаритми".
Логаритмична функция.Имаше време, когато логаритмите се разглеждаха единствено като средство за изчисление, но през 18 век, главно благодарение на работата на Ойлер, се формира концепцията за логаритмична функция. Графиката на такава функция y = lnx, чиито ординати нарастват в аритметична прогресия, докато абсцисите нарастват в геометрична прогресия, е показана на фиг. 2а. Графиката на обратната или експоненциалната (експоненциална) функция y = ex, чиито ординати нарастват експоненциално, а абсцисите - аритметично, е представена съответно на фиг. 2б. (Кривите y = logx и y = 10x са подобни по форма на кривите y = lnx и y = ex.) Предложени са и алтернативни дефиниции на логаритмичната функция, например,
Благодарение на работата на Ойлер станаха известни връзките между логаритмите и тригонометричните функции в комплексната равнина. От идентичността eix = cos x + i sin x (където ъгълът x се измерва в радиани), Ойлер заключава, че всяко ненулево реално число има безкрайно много естествени логаритми; всички те са комплексни за отрицателни числа и всички освен един за положителни числа. Тъй като eix = 1 не само за x = 0, но и за x = ± 2kp, където k е всяко положително цяло число, всяко от числата 0 ± 2kpi може да се приеме като натурален логаритъм на числото 1; и по подобен начин естествените логаритми от -1 са комплексни числа от формата (2k + 1)pi, където k е цяло число. Подобни твърдения са верни и за общи логаритми или други системи от логаритми. В допълнение, дефиницията на логаритмите може да бъде обобщена с помощта на идентичностите на Ойлер, за да включва комплексните логаритми на комплексните числа. Алтернативно определение на логаритмичната функция се предоставя от функционалния анализ. Ако f(x) е непрекъсната функция на реално число x със следните три свойства: f(1) = 0, f(b) = 1, f(uv) = f(u) + f(v), тогава f(x) се определя като логаритъм на числото x при основа b. Това определение има редица предимства пред определението, дадено в началото на тази статия.
Приложения. Логаритмите първоначално са били използвани единствено за опростяване на изчисленията и това приложение все още е едно от най-важните им. Изчисляването на произведения, частни, степени и корени се улеснява не само от широката наличност на публикувани таблици на логаритми, но и от използването на т.нар. линейка - изчислителен инструмент, чийто принцип се основава на свойствата на логаритмите. Линийката е оборудвана с логаритмични везни, т.е. разстоянието от числото 1 до всяко число x е избрано да бъде log x; чрез изместване на една скала спрямо друга е възможно да се начертаят сумите или разликите на логаритмите, което прави възможно четенето на произведения или части от съответните числа директно от скалата. Да се възползвате от представянето на числата в логаритмичен вид позволява т.нар. логаритмична хартия за чертане (хартия с отпечатани върху нея логаритмични скали по двете координатни оси). Ако една функция удовлетворява степенен закон от формата y = kxn, тогава нейната логаритмична графика изглежда като права линия, защото log y = log k + n log x е уравнение, линейно по log y и log x. Напротив, ако логаритмичната графика на някаква функционална зависимост има формата на права линия, тогава тази зависимост е степенен закон. Полулогаритмичната хартия (където оста y е в логаритмична скала, а абсцисата е в еднаква скала) е полезна, когато трябва да се идентифицират експоненциални функции. Уравнения под формата y = kbrx възникват винаги, когато дадено количество, като население, радиоактивен материал или банков баланс, намалява или нараства със скорост, пропорционална на текущото население, радиоактивен материал или пари. Ако такава зависимост се приложи към полулогаритмична хартия, тогава графиката ще изглежда като права линия. Логаритмичната функция възниква във връзка с различни естествени форми. Цветя в слънчогледови съцветия се подреждат в логаритмични спирали, черупките на мекотелото Nautilus, рогата на планинската овца и клюновете на папагалите са усукани. Всички тези естествени форми са примери за кривата, известна като логаритмична спирала, тъй като нейното уравнение в полярни координати е r = aebq или lnr = lna + bq. Такава крива се описва от движеща се точка, разстоянието от полюса на която нараства експоненциално, а ъгълът, описан от нейния радиус-вектор, нараства аритметично. Повсеместността на такава крива и следователно на логаритмичната функция е добре илюстрирана от факта, че тя се среща в толкова далечни и доста различни региони като контура на ексцентричната гърбица и траекторията на определени насекоми, летящи към светлината.
Енциклопедия на Collier. - Отворено общество. 2000 .
Вижте какво е "LOGARIFM" в други речници:
- (гръцки, от logos връзка и arithmos число). Числото на аритметична прогресия, съответстващо на числото на геометрична прогресия. Речник на чуждите думи, включени в руския език. Chudinov A.N., 1910. LOGARIFM гръцки, от logos, отношение, ... ... Речник на чуждите думи на руския език
Даденото число N при основа a е степента на степента на y, на която трябва да повдигнете числото a, за да получите N; следователно N = ay. Логаритъмът обикновено се означава с logN. Логаритъм с основа e? 2.718... се нарича естествено и се обозначава с lnN.... … Голям енциклопедичен речник
- (от гръцкото съотношение logos и число аритмос) числата N в основата a (O ... Съвременна енциклопедия
С развитието на обществото, сложността на производството се развива и математиката. Движение от просто към сложно. От обичайния счетоводен метод на събиране и изваждане, с многократното им повторение, те стигнаха до концепцията за умножение и деление. Намаляването на многократно повтарящата се операция се превърна в концепцията за степенуване. Първите таблици на зависимостта на числата от основата и броя на степенуването са съставени още през 8 век от индийския математик Варасена. От тях можете да преброите времето на възникване на логаритмите.
Исторически очерк
Възраждането на Европа през 16 век стимулира и развитието на механиката. T изискваше голямо количество изчислениясвързани с умножение и деление на многоцифрени числа. Старинните маси свършиха голяма услуга. Те направиха възможно замяната на сложните операции с по-прости - събиране и изваждане. Голяма крачка напред е работата на математика Михаел Щифел, публикувана през 1544 г., в която той реализира идеята на много математици. Това направи възможно използването на таблици не само за степени под формата на прости числа, но и за произволни рационални.
През 1614 г. шотландецът Джон Напиер, развивайки тези идеи, за първи път въвежда новия термин "логаритъм на число". Бяха съставени нови комплексни таблици за изчисляване на логаритми от синуси и косинуси, както и тангенси. Това значително намали работата на астрономите.
Започнаха да се появяват нови таблици, които бяха успешно използвани от учените в продължение на три века. Мина много време, преди новата операция в алгебрата да придобие завършен вид. Определен е логаритъмът и са изследвани неговите свойства.
Едва през 20-ти век, с появата на калкулатора и компютъра, човечеството изоставя древните таблици, които успешно работят през 13-ти век.
Днес ние наричаме логаритъм от b към основата на числото x, което е степента на a, за да получим числото b. Това се записва като формула: x = log a(b).
Например, log 3(9) ще бъде равно на 2. Това е очевидно, ако следвате определението. Ако повдигнем 3 на степен 2, получаваме 9.
Така формулираната дефиниция поставя само едно ограничение, числата a и b трябва да са реални.
Разновидности на логаритми
Класическата дефиниция се нарича реален логаритъм и всъщност е решение на уравнението a x = b. Вариантът a = 1 е граничен и не представлява интерес. Забележка: 1 на произволна степен е 1.
Реална стойност на логаритъмадефиниран само ако основата и аргументът са по-големи от 0 и основата не трябва да е равна на 1.
Особено място в областта на математикатаиграят логаритми, които ще бъдат именувани в зависимост от стойността на тяхната основа:
Правила и ограничения
Основното свойство на логаритмите е правилото: логаритъмът на произведение е равен на логаритмичната сума. log abp = log a(b) + log a(p).
Като вариант на това твърдение ще бъде: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), коефициентната функция е равна на разликата на функциите.
Лесно е да се види от предишните две правила, че: log a(b p) = p * log a(b).
Други свойства включват:
Коментирайте. Не правете често срещана грешка - логаритъма от сбора не е равен на сбора от логаритмите.
В продължение на много векове операцията по намиране на логаритъм е била доста трудоемка задача. Математиците използваха добре известната формула на логаритмичната теория за разширяване в полином:
ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), където n е естествено число, по-голямо от 1, което определя точността на изчислението.
Логаритмите с други основи бяха изчислени с помощта на теоремата за прехода от една основа към друга и свойството на логаритъма на произведението.
Тъй като този метод е много трудоемък и при решаване на практически задачитрудни за изпълнение, те използваха предварително съставени таблици с логаритми, което значително ускори цялата работа.
В някои случаи са използвани специално съставени графики на логаритми, които дават по-малка точност, но значително ускоряват търсенето на желаната стойност. Кривата на функцията y = log a(x), изградена върху няколко точки, позволява използването на обичайната линийка за намиране на стойностите на функцията във всяка друга точка. Дълго време инженерите използваха за тези цели така наречената милиметрова хартия.
През 17 век се появяват първите спомагателни аналогови изчислителни условия, които до 19 век придобиват завършен вид. Най-успешното устройство се нарича плъзгач. Въпреки простотата на устройството, неговият външен вид значително ускори процеса на всички инженерни изчисления и това е трудно да се надцени. В момента малко хора са запознати с това устройство.
Появата на калкулатори и компютри направи безсмислено използването на други устройства.
Уравнения и неравенства
Следните формули се използват за решаване на различни уравнения и неравенства с помощта на логаритми:
- Преход от една база към друга: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Като следствие от предишната версия: log a(b) = 1 / log b(a).
За решаване на неравенства е полезно да знаете:
- Стойността на логаритъма ще бъде положителна само ако и основата, и аргументът са по-големи или по-малки от едно; ако поне едно условие е нарушено, стойността на логаритъма ще бъде отрицателна.
- Ако функцията логаритъм се приложи към дясната и лявата страна на неравенството и основата на логаритъма е по-голяма от единица, тогава знакът на неравенството се запазва; в противен случай се променя.
Примерни задачи
Обмислете няколко опции за използване на логаритми и техните свойства. Примери за решаване на уравнения:
Обмислете опцията за поставяне на логаритъма в степента:
- Задача 3. Изчислете 25^log 5(3). Решение: в условията на задачата записът е подобен на следния (5^2)^log5(3) или 5^(2 * log 5(3)). Нека го запишем по различен начин: 5^log 5(3*2), или квадратът на число като аргумент на функция може да бъде записан като квадрат на самата функция (5^log 5(3))^2. Използвайки свойствата на логаритмите, този израз е 3^2. Отговор: в резултат на изчислението получаваме 9.
Практическа употреба
Тъй като е чисто математически инструмент, изглежда далеч от реалния живот, че логаритъмът внезапно придоби голямо значение при описването на обекти в реалния свят. Трудно е да се намери наука, където да не се използва. Това в пълна степен важи не само за природните, но и за хуманитарните области на знанието.
Логаритмични зависимости
Ето няколко примера за числени зависимости:
Механика и физика
Исторически погледнато, механиката и физиката винаги са се развивали с помощта на математически методи на изследване и в същото време са служили като стимул за развитието на математиката, включително логаритмите. Теорията на повечето закони на физиката е написана на езика на математиката. Даваме само два примера за описание на физичните закони с помощта на логаритъм.
Възможно е да се реши проблемът с изчисляването на такава сложна величина като скоростта на ракета, като се използва формулата на Циолковски, която постави основата на теорията за изследване на космоса:
V = I * ln(M1/M2), където
- V е крайната скорост на самолета.
- I е специфичният импулс на двигателя.
- M 1 е началната маса на ракетата.
- M 2 - крайна маса.
Друг важен пример- това е използването във формулата на друг велик учен Макс Планк, която служи за оценка на равновесното състояние в термодинамиката.
S = k * ln (Ω), където
- S е термодинамично свойство.
- k е константата на Болцман.
- Ω е статистическото тегло на различните състояния.
Химия
По-малко очевидно би било използването на формули в химията, съдържащи отношението на логаритмите. Ето само два примера:
- Уравнението на Нернст, условието на редокс потенциала на средата във връзка с активността на веществата и константата на равновесие.
- Изчисляването на такива константи като индекса на автопролиза и киселинността на разтвора също не е пълно без нашата функция.
Психология и биология
И е напълно неразбираемо какво общо има психологията с това. Оказва се, че силата на усещането се описва добре от тази функция като обратното съотношение на стойността на интензитета на стимула към стойността на по-ниския интензитет.
След горните примери вече не е изненадващо, че темата за логаритмите се използва широко и в биологията. Могат да се изпишат цели томове за биологични форми, съответстващи на логаритмични спирали.
Други области
Изглежда, че съществуването на света е невъзможно без връзка с тази функция и тя управлява всички закони. Особено когато природните закони са свързани с геометрична прогресия. Струва си да се обърнете към уебсайта MatProfi и има много такива примери в следните области на дейност:
Списъкът може да бъде безкраен. След като усвоите основните закони на тази функция, можете да се потопите в света на безкрайната мъдрост.
Логаритмите са традиционно главоболие за много ученици. Особено – уравнения и неравенства с логаритми. По някаква причина гимназистите не обичат логаритмите. И така ги е страх. И напълно напразно.) Защото самият логаритъм е много, много проста концепция. не вярвате? Вижте сами! В днешния урок.
Така че, да отидем да се запознаем.)
Първо, нека решим наум това много просто уравнение:
2 х = 4
Това е най-простото експоненциално уравнение. Нарича се така поради факта, че неизвестният X е вътре експонент. Дори и да не знаете как се решават експоненциални уравнения, просто мислено изберете x, така че равенството да се запази. Хайде?! Да разбира се, х = 2. две на квадрате четири.)
И сега ще сменя само един номер в него. Нека решим това уравнение сега:
2 х = 5
И отново се опитваме да вземем X ...
Какво не се избира? Две на квадрат е четири. Две кубчета са осем. И ние имаме пет. Те се промъкнаха ... Какво да правя? Само не ми казвайте, че няма такова Х! няма да повярвам.)
Съгласете се, че това е някак си несправедливо: с четворката уравнението се решава на ум, а с петицата вече не се решава по никакъв начин. Математиката не приема такава дискриминация! За нея всички числа са равни партньори.)
На този етап можем само грубо да оценим, че x - някакво дробно числомежду двама ( 2 2 = 4 ) и тройна ( 2 3 = 8 ). Можем дори да побъркваме малко с калкулатора и приблизително да вземем, да намерим това число. Но такъв шум всеки път ... съгласен съм, някак тъжно ...
Математиката решава този проблем много просто и елегантно – въвеждайки понятия за логаритъм.
И така, какво е логаритъм? Да се върнем към нашето мистериозно уравнение:
2 х = 5
Разбираме проблема: трябва да намерим определено число х, към което трябва да вдигнете 2, за да получите 5 . Тази фраза ясна ли е? Ако не, прочетете го отново. И още... Докато осъзнаеш. Защото е много важно!
Така че нека се обадим на този мистериозен номер х логаритъм от пет по основа две!В математическа форма тези думи изглеждат така:
X = log 2 5
И се произнася така: "X е логаритъм от пет по основа две."
Извиква се числото по-долу (две). основата на логаритъма.Записва се отдолу по същия начин, както в експоненциалния израз 2 x. Много е лесно да се запомни.)
Е, това е всичко! Решихме ужасно изглеждащо експоненциално уравнение!
2 х = 5
X = log 2 5
И това е! Това е правилният и напълно пълен отговор!
Може би ви притеснява, че вместо конкретна цифра пиша някакви странни букви и икони?
Е, добре, ние убедихме ... Специално за вас:
X = log 2 5 = 2,321928095…
Имайте предвид, че този номер никога не свършва. Да да! Ирационално е...
Ето отговора на вашия въпрос, за какво са логаритми?. Трябват ни логаритми, преди всичко, за да ги решим експоненциални уравнения!Тези, които изобщо не се решават без логаритми ...
Например решаване на експоненциалното уравнение
3x=9
Можете да забравите за логаритмите. Веднага става ясно, че x = 2.
Но, решавайки уравнението, да кажем това
3 x = 7,
Ти приблизителнополучете този рошав отговор:
X ≈ 1,77124375
Но чрез логаритъм е дадено терена перфектенотговор:
X = log 3 7.
И това е всичко.) Ето защо пишат логаритми вместо грозни ирационални числа. Който се нуждае от цифров отговор - той ще разчита на калкулатор или поне в Excel.) И по-рано, когато нямаше калкулатори и компютри, имаше специални таблици с логаритми. Обемен и як. Точно като таблиците на Брадис за синуси и косинуси. И дори този инструмент беше - диаграма. Което позволи с добра точност да се изчислят много полезни неща. И не само логаритми.)
Заповядай. Сега, неусетно за самите нас, се научихме да решаваме всичкоекспоненциални уравнения от този брутален тип.
Например:
2 x = 13
Няма проблем:
X = log 2 13
5 х = 26
Също елементарно!
X = log 5 26
11 х = 0,123
И това не е въпрос:
X = log 11 0,123
Това са всички верни отговори! Е, как? Изкусително, нали?
Сега нека помислим за значението на операцията за намиране на логаритъм.
Както знаем, за всяко действие математиците се опитват да намерят реакция (т.е. обратендействие). За събиране е изваждане, за умножение е деление. За какво е обратното действие степенуване?
Да видим. Какви са нашите основни оперативни фигури при повишаване на степен? Ето ги и тях:
a n = b
а - основа,
н - индекс,
b - самата степен.
Сега да помислим: ако знаем степен(b) и известни индексточно тази степен (n), но трябва да намерите база (а) , тогава какво правим обикновено? Правилно! Извличаме корен от n-та степен! Като този:
Сега нека да разгледаме друга ситуация: ние отново знаем степен(b), но този път вместо показателя n знаем база(a), но просто трябва да намерите това много индикатор (n). какво ще правим
Тук идват на помощ логаритмите! Пишат точно така:
"en" (н)е числото, до което трябва да се повиши "а", Придобивам "б". Това е всичко. Това е целият смисъл на логаритъма. Операцията за намиране на логаритъм е просто търсене индикаторстепени в известен степении фондация.
По този начин за степенуване в математиката има две различни природиобратни действия. то извличане на корении намиране на логаритъма. Но, да речем, за умножението има само едно обратно действие - деление. Разбираемо е: всеки от неизвестните множители - кой е първият, кой е вторият - се търси с помощта на една операция - деление.)
Най-простите примери с логаритми.
Сега новините не са добри. Ако логаритъма се разглежда точно, тогава неговият трябва да се вземе предвид, да
Да кажем, че някъде в уравнението имате
х = дневник 3 9 ,
Този отговор няма да бъде оценен. Трябва да изчислим логаритъма и да запишем:
х = 2
И как разбрахме, че log 3 9=2? Ние превеждаме равенството от математически език на руски: логаритъмът от девет при основа три е числото, до което три трябва да се повиши, за да се получи девет. И какво число трябва да вдигнете тройка, за да получите деветка? Добре, разбира се! Трябва да бъде на квадрат. Тоест две.)
И какво е, да кажем, log 5 125? И до каква степен пет ни дава 125? В третия, разбира се (т.е. в куб)!
Така че log 5 125 = 3.
Дневник 7 7 = ?
На каква степен трябва да се повдигне 7, за да се получи 7? Първо!
Ето вашия отговор: log 7 7 = 1
Какво ще кажете за пример като този?
Дневник 3 1 = ?
И на каква степен трябва да се повдигнат три, за да се получи едно? Не се ли досетихте? Помниш ли .) Да! До нула! Тук пишем:
Дневник 3 1 = 0
Разбра ли принципа? След това тренираме:
Дневник 2 16 = …
Дневник 4 64 = …
Дневник 13 13 = …
Дневник 3 243 = …
Дневник 15 1 = …
Отговори (в безпорядък): 1; 3; 5; 0; четири.
Какво? Забравихте до каква степен 3 дава 243? Е, няма какво да се направи: степените на популярните числа трябва да се признаят. В лицето! Е, таблицата за умножение е надежден спътник и помощник. И не само в логаритми.)
Е, доста прости примери бяха решени и сега стъпваме с една стъпка напред. Припомняме отрицателни и дробни показатели.)
Нека решим този пример:
Дневник 4 0,25 =?
Хм ... И на каква степен трябва да повдигнете четворката, за да получите 0,25? Така че не можете да кажете веднага. Ако работите само с натурални показатели. Но степените по математика, както знаете, не са само естествени. Време е да свържем знанията си за отрицателениндикатори и запомнете това
0,25 = 1/4 = 4 -1
Следователно можем спокойно да напишем:
Log 4 0,25 = log 4 4 -1 = -1.
И това е.)
Друг пример:
Дневник 4 2 = ?
На каква степен трябва да повишите 4, за да получите 2? За да отговорим на този въпрос, ще трябва да свържем знанията си за корените. И не забравяйте, че двойката е корен квадратен от четири:
А квадратният корен от математиката ви позволява да го представите като степен! С показател 1/2. Така че ние пишем:
Така че нашият логаритъм ще бъде:
Е, честито! Тук сме с вас и се срещнахме с логаритми. На най-примитивното първоначално ниво.) И вие сами се убедихте, че те изобщо не са толкова страшни, колкото може би сте си мислили преди. Но логаритмите, както всички други математически понятия, имат свои собствени свойства и свои собствени особености. И за двете (за свойствата и за чиповете) - в следващия урок.
И сега решаваме сами.
Изчисли:
Отговори (в безпорядък): 4,4; 0; един; 6; четири; 2.
Допустим диапазон (ODZ) на логаритъма
Сега нека поговорим за ограниченията (ODZ - зоната на допустимите стойности на променливите).
Спомняме си, че например квадратният корен не може да се извади от отрицателни числа; или ако имаме дроб, тогава знаменателят не може да бъде равен на нула. Има подобни ограничения за логаритми:
Тоест и аргументът, и основата трябва да са по-големи от нула, а основата не може да бъде равна.
Защо така?
Нека започнем просто: да кажем това. Тогава, например, числото не съществува, тъй като каквато и степен да вдигнем, винаги се получава. Още повече, че не съществува за никой. Но в същото време може да бъде равно на всичко (по същата причина - равно е на всякаква степен). Следователно обектът не представлява интерес и просто е изхвърлен от математиката.
Имаме подобен проблем в случая: във всяка положителна степен - това, но изобщо не може да бъде повдигнато на отрицателна степен, тъй като ще се получи деление на нула (напомням ви това).
Когато сме изправени пред проблема с издигането на дробна степен (което е представено като корен:. Например (това е), но не съществува.
Следователно негативните причини са по-лесни за изхвърляне, отколкото да се забърквате с тях.
Е, тъй като основата а е само положителна за нас, тогава без значение на каква степен я повдигаме, винаги ще получим строго положително число. Така че аргументът трябва да е положителен. Например, не съществува, тъй като няма да бъде отрицателно число до никаква степен (и дори нула, следователно също не съществува).
При задачи с логаритми първата стъпка е да запишете ODZ. Ще дам пример:
Нека решим уравнението.
Припомнете си определението: логаритъмът е степента, на която трябва да се повдигне основата, за да се получи аргумент. И по условието тази степен е равна на: .
Получаваме обичайното квадратно уравнение: . Решаваме го с помощта на теоремата на Виета: сумата от корените е равна и произведението. Лесни за взимане, това са числа и.
Но ако веднага вземете и запишете и двете числа в отговора, можете да получите 0 точки за задачата. Защо? Нека помислим какво се случва, ако заместим тези корени в първоначалното уравнение?
Това очевидно е невярно, тъй като основата не може да бъде отрицателна, тоест коренът е "трета страна".
За да избегнете такива неприятни трикове, трябва да запишете ODZ дори преди да започнете да решавате уравнението:
След това, след като получихме корените и, веднага изхвърляме корена и пишем правилния отговор.
Пример 1(опитайте се да го решите сами) :
Намерете корена на уравнението. Ако има няколко корена, посочете по-малкия в отговора си.
Решение:
Първо, нека напишем ODZ:
Сега си спомняме какво е логаритъм: на каква степен трябва да повдигнете основата, за да получите аргумент? Във втория. Това е:
Изглежда, че по-малкият корен е равен. Но това не е така: според ODZ коренът е трета страна, тоест изобщо не е коренът на това уравнение. Така уравнението има само един корен: .
Отговор: .
Основно логаритмично тъждество
Припомнете си дефиницията на логаритъм в общи линии:
Заместете във второто равенство вместо логаритъма:
Това равенство се нарича основно логаритмично тъждество. Въпреки че по същество това равенство просто е написано по различен начин определение на логаритъма:
Това е силата, до която трябва да се повишите, за да стигнете.
Например:
Решете следните примери:
Пример 2
Намерете стойността на израза.
Решение:
Спомнете си правилото от раздела:, тоест при повишаване на степен на степен показателите се умножават. Да го приложим:
Пример 3
Докажи това.
Решение:
Свойства на логаритмите
За съжаление, задачите не винаги са толкова прости - често първо трябва да опростите израза, да го приведете в обичайната форма и едва тогава ще бъде възможно да изчислите стойността. Най-лесно е да направите това, като знаете свойства на логаритмите. И така, нека научим основните свойства на логаритмите. Ще докажа всяко от тях, защото всяко правило се помни по-лесно, ако знаете откъде идва.
Всички тези свойства трябва да се запомнят; без тях повечето задачи с логаритми не могат да бъдат решени.
А сега за всички свойства на логаритмите по-подробно.
Свойство 1:
Доказателство:
Нека тогава.
Имаме: , h.t.d.
Свойство 2: Сума от логаритми
Сумата от логаритми с еднаква основа е равна на логаритъма на произведението: .
Доказателство:
Нека тогава. Нека тогава.
Пример:Намерете стойността на израза: .
Решение: .
Формулата, която току-що научихте, помага да се опрости сумата от логаритмите, а не разликата, така че тези логаритми да не могат да бъдат комбинирани веднага. Но можете да направите обратното - да "разбиете" първия логаритъм на две: И ето обещаното опростяване:
.
Защо е необходимо това? Е, например: какво значение има?
Сега това е очевидно.
Сега улеснете себе си:
Задачи:
Отговори:
Свойство 3: Разлика на логаритми:
Доказателство:
Всичко е точно същото като в параграф 2:
Нека тогава.
Нека тогава. Ние имаме:
Примерът от последната точка вече е още по-прост:
По-сложен пример: . Познайте сами как да решите?
Тук трябва да се отбележи, че нямаме нито една формула за логаритмите на квадрат. Това е нещо подобно на израз - това не може да се опрости веднага.
Затова нека се отклоним от формулите за логаритмите и да помислим какви формули обикновено използваме в математиката най-често? Още от 7 клас!
То - . Трябва да свикнеш, че те са навсякъде! И в експоненциални, и в тригонометрични, и в ирационални задачи се намират. Следователно те трябва да бъдат запомнени.
Ако се вгледате внимателно в първите два термина, става ясно, че това е така разлика на квадратите:
Отговор за проверка:
Опростете се.
Примери
Отговори.
Свойство 4: Извеждане на степента от аргумента на логаритъма:
Доказателство:И тук също използваме дефиницията на логаритъма: нека, тогава. Имаме: , h.t.d.
Можете да разберете това правило по следния начин:
Тоест, степента на аргумента се взема напред от логаритъма като коефициент.
Пример:Намерете стойността на израза.
Решение: .
Решете сами:
Примери:
Отговори:
Свойство 5: Извеждане на степента от основата на логаритъма:
Доказателство:Нека тогава.
Имаме: , h.t.d.
Запомнете: от основаниястепен се предава като обратенномер, за разлика от предишния случай!
Свойство 6: Извеждане на степента от основата и аргумента на логаритъма:
Или ако градусите са еднакви: .
Свойство 7: Преход към нова база:
Доказателство:Нека тогава.
Имаме: , h.t.d.
Свойство 8: Размяна на основата и аргумента на логаритъма:
Доказателство:Това е специален случай на формула 7: ако заместим, получаваме: , p.t.d.
Нека да разгледаме още няколко примера.
Пример 4
Намерете стойността на израза.
Използваме свойството на логаритмите №2 - сумата от логаритми с еднаква основа е равна на логаритъма от произведението:
Пример 5
Намерете стойността на израза.
Решение:
Използваме свойството на логаритмите № 3 и № 4:
Пример 6
Намерете стойността на израза.
Решение:
Използване на свойство номер 7 - отидете на база 2:
Пример 7
Намерете стойността на израза.
Решение:
Как ви харесва статията?
Ако четете тези редове, значи сте прочели цялата статия.
И е готино!
Сега ни кажете как ви харесва статията?
Научи ли се да решаваш логаритми? Ако не, какъв е проблемът?
Пишете ни в коментарите по-долу.
И да, успех на изпитите.
На Единния държавен изпит и OGE и като цяло в живота
