Вече знаем, че множеството от реални числа $R$ се формира от рационални и ирационални числа.

Рационалните числа винаги могат да бъдат представени като десетични числа (крайни или безкрайни периодични).

Ирационалните числа се записват като безкрайни, но неповтарящи се десетични знаци.

Множеството от реални числа $R$ включва и елементите $-\infty $ и $+\infty $, за които неравенствата $-\infty

Обмислете начини за представяне на реални числа.

Обикновени дроби

Обикновените дроби се записват с две естествени числа и хоризонтална дробна черта. Дробната лента всъщност замества знака за деление. Числото под чертата е знаменателят (делителят), числото над чертата е числителят (делимото).

Определение

Дробта се нарича правилна, ако числителят й е по-малък от знаменателя. Обратно, една дроб се нарича неправилна, ако нейният числител е по-голям или равен на нейния знаменател.

За обикновените дроби има прости, практически очевидни правила за сравнение ($m$,$n$,$p$ са естествени числа):

1. от две дроби с еднакви знаменатели, тази с по-голям числител е по-голяма, т.е. $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ за $m>n$;
2. от две дроби с еднакви числители, тази с по-малък знаменател е по-голяма, т.е. $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ за $m
3. правилната дроб винаги е по-малка от единица; неправилната дроб винаги е по-голяма от едно; дроб, чийто числител е равен на знаменател, е равна на единица;
4. Всяка неправилна дроб е по-голяма от всяка правилна дроб.

Десетични числа

Записът на десетично число (десетична дроб) има формата: цяла част, десетична запетая, дробна част. Десетичната нотация на обикновена дроб може да се получи чрез разделяне на "ъгъла" на числителя на знаменателя. Това може да доведе или до крайна десетична дроб, или до безкрайна периодична десетична дроб.

Определение

Дробните цифри се наричат ​​десетични знаци. В този случай първата цифра след десетичната запетая се нарича десета, втората - стотна, третата - хилядна и т.н.

Пример 1

Определяме стойността на десетичното число 3,74. Получаваме: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Десетичното число може да бъде закръглено. В този случай трябва да посочите цифрата, до която се извършва закръгляването.

Правилото за закръгляване е както следва:

1. всички цифри отдясно на тази цифра се заменят с нули (ако тези цифри са преди десетичната запетая) или се изхвърлят (ако тези цифри са след десетичната запетая);
2. ако първата цифра след дадената цифра е по-малка от 5, тогава цифрата на тази цифра не се променя;
3. ако първата цифра след дадената цифра е 5 или повече, тогава цифрата на тази цифра се увеличава с единица.

Пример 2

1. Нека закръглим числото 17302 до най-близката хиляда: 17000.
2. Нека закръглим числото 17378 до най-близката стотица: 17400.
3. Нека закръглим числото 17378,45 до десетици: 17380.
4. Нека закръглим числото 378,91434 до най-близката стотна: 378,91.
5. Нека закръглим числото 378,91534 до най-близката стотна: 378,92.

Преобразуване на десетично число в обикновена дроб.

Случай 1

Десетичното число е завършващ десетичен знак.

Методът на преобразуване е показан в следния пример.

Пример 2

Имаме: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Приведете до общ знаменател и получете:

Дробта може да бъде намалена: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Случай 2

Десетично число е безкраен повтарящ се десетичен знак.

Методът на трансформация се основава на факта, че периодичната част на периодична десетична дроб може да се разглежда като сбор от членове на безкрайна намаляваща геометрична прогресия.

Пример 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Първият член на прогресията е $a=0,74$, знаменателят на прогресията е $q=0,01$.

Пример 5

$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Първият член на прогресията е $a=0,08$, знаменателят на прогресията е $q=0,1$.

Сумата от членовете на безкрайна намаляваща геометрична прогресия се изчислява по формулата $s=\frac(a)(1-q) $, където $a$ е първият член и $q$ е знаменателят на прогресията $ \ ляво (0

Пример 6

Нека преобразуваме безкрайната периодична десетична дроб $0,\left(72\right)$ в обикновена.

Първият член на прогресията е $a=0,72$, знаменателят на прогресията е $q=0,01$. Получаваме: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,72)(1-0,01) =\frac(0,72)(0,99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11) $. Така $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Пример 7

Нека преобразуваме безкрайната периодична десетична дроб $0,5\left(3\right)$ в обикновена.

Първият член на прогресията е $a=0,03$, знаменателят на прогресията е $q=0,1$. Получаваме: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,03)(1-0,1) =\frac(0,03)(0,9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30)$.

Така че $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Реалните числа могат да бъдат представени чрез точки на числовата ос.

В този случай ние наричаме цифровата ос безкрайна права линия, на която са избрани началото (точка $O$), положителна посока (посочена със стрелка) и мащаб (за показване на стойности).

Съществува взаимно еднозначно съответствие между всички реални числа и всички точки на числовата ос: всяка точка съответства на едно число и, обратно, всяко число съответства на една точка. Следователно множеството от реални числа е непрекъснато и безкрайно по същия начин, както числовата ос е непрекъсната и безкрайна.

Някои подмножества на множеството от реални числа се наричат ​​числови интервали. Елементите на числовия интервал са числа $x\in R$, които удовлетворяват определено неравенство. Нека $a\in R$, $b\in R$ и $a\le b$. В този случай видовете пропуски могат да бъдат както следва:

1. Интервал $\left(a,\; b\right)$. В същото време $ a
2. Отсечка $\left$. Освен това $a\le x\le b$.
3. Полусегменти или полуинтервали $\left$. В същото време $ a \le x
4. Безкрайни интервали, напр. $a

От голямо значение е и един вид интервал, наречен околност на точка. Околността на дадена точка $x_(0) \in R$ е произволен интервал $\left(a,\; b\right)$, съдържащ тази точка вътре в себе си, т.е. $a 0$ - 10-ти радиус.

Абсолютната стойност на числото

Абсолютната стойност (или модул) на реално число $x$ е неотрицателно реално число $\left|x\right|$, определено от формулата: $\left|x\right|=\left\(\ begin(масив)(c) (\; \; x\; \; (\rm on)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm on)\; \; x

Геометрично $\left|x\right|$ означава разстоянието между точките $x$ и 0 на реалната ос.

Свойства на абсолютни стойности:

1. от дефиницията следва, че $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. за модула на сумата и за модула на разликата на две числа, неравенствата $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ ляво|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ и също $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y \right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. модулът на произведението и модулът на частното на две числа удовлетворяват равенствата $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ и $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

Въз основа на дефиницията на абсолютната стойност за произволно число $a>0$ може да се установи и еквивалентността на следните двойки неравенства:

1. ако $ \left|x\right|
2. ако $\left|x\right|\le a$ тогава $-a\le x\le a$;
3. ако $\left|x\right|>a$ тогава или $xa$;
4. ако $\left|x\right|\ge a$, тогава или $x\le -a$, или $x\ge a$.

Пример 8

Решете неравенството $\left|2\cdot x+1\right|

Това неравенство е еквивалентно на неравенствата $-7

От тук получаваме: $-8

Вече знаем, че множеството от реални числа $R$ се формира от рационални и ирационални числа.

Рационалните числа винаги могат да бъдат представени като десетични числа (крайни или безкрайни периодични).

Ирационалните числа се записват като безкрайни, но неповтарящи се десетични знаци.

Множеството от реални числа $R$ включва и елементите $-\infty $ и $+\infty $, за които неравенствата $-\infty

Обмислете начини за представяне на реални числа.

Обикновени дроби

Обикновените дроби се записват с две естествени числа и хоризонтална дробна черта. Дробната лента всъщност замества знака за деление. Числото под чертата е знаменателят (делителят), числото над чертата е числителят (делимото).

Определение

Дробта се нарича правилна, ако числителят й е по-малък от знаменателя. Обратно, една дроб се нарича неправилна, ако нейният числител е по-голям или равен на нейния знаменател.

За обикновените дроби има прости, практически очевидни правила за сравнение ($m$,$n$,$p$ са естествени числа):

1. от две дроби с еднакви знаменатели, тази с по-голям числител е по-голяма, т.е. $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ за $m>n$;
2. от две дроби с еднакви числители, тази с по-малък знаменател е по-голяма, т.е. $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ за $m
3. правилната дроб винаги е по-малка от единица; неправилната дроб винаги е по-голяма от едно; дроб, чийто числител е равен на знаменател, е равна на единица;
4. Всяка неправилна дроб е по-голяма от всяка правилна дроб.

Десетични числа

Записът на десетично число (десетична дроб) има формата: цяла част, десетична запетая, дробна част. Десетичната нотация на обикновена дроб може да се получи чрез разделяне на "ъгъла" на числителя на знаменателя. Това може да доведе или до крайна десетична дроб, или до безкрайна периодична десетична дроб.

Определение

Дробните цифри се наричат ​​десетични знаци. В този случай първата цифра след десетичната запетая се нарича десета, втората - стотна, третата - хилядна и т.н.

Пример 1

Определяме стойността на десетичното число 3,74. Получаваме: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Десетичното число може да бъде закръглено. В този случай трябва да посочите цифрата, до която се извършва закръгляването.

Правилото за закръгляване е както следва:

1. всички цифри отдясно на тази цифра се заменят с нули (ако тези цифри са преди десетичната запетая) или се изхвърлят (ако тези цифри са след десетичната запетая);
2. ако първата цифра след дадената цифра е по-малка от 5, тогава цифрата на тази цифра не се променя;
3. ако първата цифра след дадената цифра е 5 или повече, тогава цифрата на тази цифра се увеличава с единица.

Пример 2

1. Нека закръглим числото 17302 до най-близката хиляда: 17000.
2. Нека закръглим числото 17378 до най-близката стотица: 17400.
3. Нека закръглим числото 17378,45 до десетици: 17380.
4. Нека закръглим числото 378,91434 до най-близката стотна: 378,91.
5. Нека закръглим числото 378,91534 до най-близката стотна: 378,92.

Преобразуване на десетично число в обикновена дроб.

Случай 1

Десетичното число е завършващ десетичен знак.

Методът на преобразуване е показан в следния пример.

Пример 2

Имаме: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Приведете до общ знаменател и получете:

Дробта може да бъде намалена: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Случай 2

Десетично число е безкраен повтарящ се десетичен знак.

Методът на трансформация се основава на факта, че периодичната част на периодична десетична дроб може да се разглежда като сбор от членове на безкрайна намаляваща геометрична прогресия.

Пример 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Първият член на прогресията е $a=0,74$, знаменателят на прогресията е $q=0,01$.

Пример 5

$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Първият член на прогресията е $a=0,08$, знаменателят на прогресията е $q=0,1$.

Сумата от членовете на безкрайна намаляваща геометрична прогресия се изчислява по формулата $s=\frac(a)(1-q) $, където $a$ е първият член и $q$ е знаменателят на прогресията $ \ ляво (0

Пример 6

Нека преобразуваме безкрайната периодична десетична дроб $0,\left(72\right)$ в обикновена.

Първият член на прогресията е $a=0,72$, знаменателят на прогресията е $q=0,01$. Получаваме: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,72)(1-0,01) =\frac(0,72)(0,99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11) $. Така $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Пример 7

Нека преобразуваме безкрайната периодична десетична дроб $0,5\left(3\right)$ в обикновена.

Първият член на прогресията е $a=0,03$, знаменателят на прогресията е $q=0,1$. Получаваме: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,03)(1-0,1) =\frac(0,03)(0,9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30)$.

Така че $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Реалните числа могат да бъдат представени чрез точки на числовата ос.

В този случай ние наричаме цифровата ос безкрайна права линия, на която са избрани началото (точка $O$), положителна посока (посочена със стрелка) и мащаб (за показване на стойности).

Съществува взаимно еднозначно съответствие между всички реални числа и всички точки на числовата ос: всяка точка съответства на едно число и, обратно, всяко число съответства на една точка. Следователно множеството от реални числа е непрекъснато и безкрайно по същия начин, както числовата ос е непрекъсната и безкрайна.

Някои подмножества на множеството от реални числа се наричат ​​числови интервали. Елементите на числовия интервал са числа $x\in R$, които удовлетворяват определено неравенство. Нека $a\in R$, $b\in R$ и $a\le b$. В този случай видовете пропуски могат да бъдат както следва:

1. Интервал $\left(a,\; b\right)$. В същото време $ a
2. Отсечка $\left$. Освен това $a\le x\le b$.
3. Полусегменти или полуинтервали $\left$. В същото време $ a \le x
4. Безкрайни интервали, напр. $a

От голямо значение е и един вид интервал, наречен околност на точка. Околността на дадена точка $x_(0) \in R$ е произволен интервал $\left(a,\; b\right)$, съдържащ тази точка вътре в себе си, т.е. $a 0$ - 10-ти радиус.

Абсолютната стойност на числото

Абсолютната стойност (или модул) на реално число $x$ е неотрицателно реално число $\left|x\right|$, определено от формулата: $\left|x\right|=\left\(\ begin(масив)(c) (\; \; x\; \; (\rm on)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm on)\; \; x

Геометрично $\left|x\right|$ означава разстоянието между точките $x$ и 0 на реалната ос.

Свойства на абсолютни стойности:

1. от дефиницията следва, че $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. за модула на сумата и за модула на разликата на две числа, неравенствата $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ ляво|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ и също $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y \right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. модулът на произведението и модулът на частното на две числа удовлетворяват равенствата $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ и $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

Въз основа на дефиницията на абсолютната стойност за произволно число $a>0$ може да се установи и еквивалентността на следните двойки неравенства:

1. ако $ \left|x\right|
2. ако $\left|x\right|\le a$ тогава $-a\le x\le a$;
3. ако $\left|x\right|>a$ тогава или $xa$;
4. ако $\left|x\right|\ge a$, тогава или $x\le -a$, или $x\ge a$.

Пример 8

Решете неравенството $\left|2\cdot x+1\right|

Това неравенство е еквивалентно на неравенствата $-7

От тук получаваме: $-8

номер 1. Свойства на рационалните числа.

 подреденост . За всякакви рационални числа и има правило, което ви позволява еднозначно да идентифицирате между тях едно и само едно от трите отношения: "", "" или "". Това правило се нарича правило за подрежданеи се формулира по следния начин: две положителни числа са свързани със същата връзка като две цели числа; две неположителни числа и са свързани със същата връзка като две неотрицателни числа и; ако изведнъж не е отрицателен, а отрицателен, тогава.

сумиране на дроби

 Операция добавяне . правило за сумиране, което ги поставя в съответствие с някакво рационално число . В този случай се извиква самият номер сума числа u се обозначава и процесът за намиране на такова число се нарича сумиране. Правилото за сумиране има следната форма: .

 операция умножение . За всякакви рационални числа и има т.нар правило за умножение, което ги поставя в съответствие с някакво рационално число . В този случай се извиква самият номер работа числа ii се обозначава и процесът на намиране на такова число също се нарича умножение. Правилото за умножение е следното: .

 Преходност отношения на реда.За всяка тройка от рационални числа и ако става все по-малко, тогава по-малко, и ако е равно и равно, тогава равно.

 комутативност допълнение.От промяна на местата на рационалните членове сумата не се променя.

 Асоциативност допълнение.Редът, в който се добавят три рационални числа, не влияе на резултата.

 Наличностнула . Има рационално число 0, което запазва всяко друго рационално число, когато се сумира.

 Наличието на противоположни числа.Всяко рационално число има противоположно рационално число, което, когато се сумира, дава 0.

 Комутативност на умножението.Сменяйки местата на рационалните фактори, продуктът не се променя.

 Асоциативност на умножението.Редът, в който се умножават три рационални числа, не влияе на резултата.

 Наличностединици . Има рационално число 1, което запазва всяко друго рационално число, когато се умножи.

 Наличностреципрочни числа . Всяко ненулево рационално число има обратно рационално число, умножението по което дава 1.

 дистрибутивност умножение спрямо събиране.Операцията за умножение е в съответствие с операцията за добавяне чрез закона за разпределение:

 Връзка на отношението на реда с операцията събиране.Едно и също рационално число може да се добави към лявата и дясната страна на рационално неравенство.

 Връзка на отношението на ред с операцията умножение.Лявата и дясната страна на рационално неравенство могат да бъдат умножени по едно и също положително рационално число.

 Аксиома на Архимед . Каквото и да е рационалното число, можете да вземете толкова много единици, че сборът им ще надхвърли.

номер 2. Модул на реално число.

Определение . Модулът на неотрицателно реално число x е самото число: | x | = x; модулът на отрицателно реално число x е противоположното число: I x | = - х.

Накратко се пише така:

2. Геометричният смисъл на модула на реално число

Нека се върнем към множеството R от реални числа и неговата геометрия модели- числова линия. Отбелязваме две точки a и b на правата (две реални числа a и b), означаваме с (a, b) разстоянието между точките a и b (- буквата от гръцката азбука "ro"). Това разстояние е равно на b - a, ако b > a (фиг. 101), то е равно на a - b, ако a > b (фиг. 102), накрая е нула, ако a = b.

И трите случая се покриват с една формула:

б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 пренапишете във формата | x - (- 3,2) | \u003d 2 и по-нататък (x, - 3.2) \u003d 2. На координатната линия има две точки, които са отстранени от точката - 3.2 на разстояние, равно на 2. Това са точки - 5.2 и - 1.2 (фиг. . 104). Така че уравнението има две корен: -5,2 и -1,2.

№4.МНОЖЕСТВО ОТ РЕАЛНИ ЧИСЛА

Обединението на множеството от рационални числа и множеството от ирационални числа се нарича множество валиден (или материал ) числа . Множеството от реални числа се обозначава със символа Р. Очевидно, .

Реалните числа се показват на числова ос оточки (фиг.). В този случай всяко реално число съответства на определена точка от числовата ос, а всяка точка от оста съответства на определено реално число.

Следователно вместо думите "реално число" можете да кажете "точка".

номер 5. пропуски в числата.

номер 6. Числова функция.

Нека е даден набор от числа, ако на всяко число е присвоено едно число г, тогава казваме това на снимачната площадка дчислови функция :

Много дНаречен функционален обхват и означено д (f (х)). Съвкупността от всички елементи f (х), където се нарича функционален диапазон и означено д (f (х)).

Номер хчесто се обаждат аргумент на функцията или независима променлива и числото г- зависима променлива или всъщност, функция променлива х. Извиква се числото, съответстващо на стойността стойност на функцията в точка и обозначават или

За да зададете функция f, трябва да посочите:

1) неговата област на дефиниция д (f (х));

2) посочете правилото f, според който всяка стойност е свързана с някаква стойност г = f (х).

№7. обратна функция,

Обратна функция

Ако ролите на аргумента и функцията са обърнати, тогава хстава функция на г. В този случай се говори за нова функция, наречена обратна функция.Да предположим, че имаме функция:

v = u 2 ,

където u- аргумент, а v- функция. Ако обърнем ролите им, получаваме u като функция v :

Ако означим аргумента в двете функции като х , а функцията през г, тогава имаме две функции:

всяка от които е обратна на другата.

ПРИМЕРИ. Тези функции са обратни една на друга:

1) грях хи arcsin х, тъй като ако г= грях х, тогава х= Arcsin г;

2) cos хи Аркос х, тъй като ако г= cos х, тогава х= Аркос г;

3) тен хи Арктан х, тъй като ако г= тен х, тогава х= Арктан г;

4) д хи л.н х, тъй като ако г= д х, тогава х=вн г.

Обратни тригонометрични функции- математически функции, които са обратни на тригонометричните функции. Обратните тригонометрични функции обикновено включват шест функции:

арксинус(символ: arcsin)

аркосинус(символ: arccos)

дъгова допирателна(обозначение: arctg; в чуждестранната литература arctan)

дъгова допирателна(обозначение: arcctg; в чуждестранната литература arccotan)

арксеканс(символ: arcsec)

арккосеканс(обозначение: arccosec; в чуждестранната литература arccsc)

№8. Основни елементарни функции. Елементарни функции

Струва си да се отбележи, че обратните тригонометрични функции са многозначни (безкрайно значими), когато работят с тях, се използват така наречените главни стойности.

№9. Комплексни числа

се записват като: а+ би. Тук аи b – реални числа, а аз – въображаема единица, т.е. аз 2 = –1. Номер а Наречен абсцисата, а b – ординатакомплексно число а+ б.и. Две комплексни числа а+ би и а – би Наречен конюгаткомплексни числа.

Реалните числа могат да бъдат представени чрез точки на права линия, както е показано на фигурата, където точка A представлява числото 4, а точка B представлява числото -5. Същите числа могат да бъдат представени и чрез сегменти OA, OB, като се вземе предвид не само тяхната дължина, но и тяхната посока.

Всяка точка M от числовата ос изобразява някакво реално число (рационално, ако отсечката OM е съизмерима с единица дължина, и ирационално, ако е несъизмерима). По този начин на числовата ос няма място за комплексни числа.

Но комплексните числа могат да бъдат представени на числовата равнина. За целта избираме правоъгълна координатна система на равнината, с еднакъв мащаб по двете оси.

Комплексно число a + b iпредставена от точката M, в която абсцисата x е равна на абсцисата акомплексно число, а ординатата на y е равна на ординатата bкомплексно число.

РЕАЛНИ ЧИСЛА II

§ 44 Геометрично представяне на реални числа

Геометрично реалните числа, подобно на рационалните числа, са представени от точки на права линия.

Позволявам л - произволна права линия, а O - някои от нейните точки (фиг. 58). Всяко положително реално число α поставете в съответствие точката A, разположена вдясно от O на разстояние от α единици за дължина.

ако напр. α = 2,1356..., тогава

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

и т.н. Очевидно е, че точката A в този случай трябва да е на правата л вдясно от точките, съответстващи на числата

2; 2,1; 2,13; ... ,

но вляво от точките, съответстващи на числата

3; 2,2; 2,14; ... .

Може да се покаже, че тези условия определят на линията л единствената точка А, която разглеждаме като геометричен образ на реално число α = 2,1356... .

По същия начин всяко отрицателно реално число β поставете в съответствие точката B, разположена вляво от O на разстояние | β | единици за дължина. Накрая присвояваме точката O на числото "нула".

Така числото 1 ще се покаже на права линия л точка A, разположена вдясно от O на разстояние една единица дължина (фиг. 59), числото - √2 - точка B, разположена вляво от O на разстояние √2 единици дължина и т.н.

Нека покажем как по права линия л с помощта на пергел и линийка можете да намерите точки, съответстващи на реалните числа √2, √3, √4, √5 и т.н. За да направите това, първо ще покажем как да конструирате сегменти, чиито дължини се изразяват с тези числа. Нека AB е отсечка, взета за единица дължина (фиг. 60).

В точка А възстановяваме перпендикуляр на този сегмент и отделяме върху него сегмента AC, равен на сегмента AB. След това, прилагайки Питагоровата теорема към правоъгълния триъгълник ABC, получаваме; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2

Следователно отсечката BC има дължина √2. Сега нека възстановим перпендикуляра на отсечката BC в точката C и изберем точката D върху нея така, че отсечката CD да е равна на единица дължина AB. Тогава от правоъгълния триъгълник BCD намираме:

ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3

Следователно отсечката BD има дължина √3. Продължавайки описания процес по-нататък, можем да получим отсечки BE, BF, ..., чиито дължини се изразяват с числата √4, √5 и т.н.

Сега на линия л лесно се намират точките, които служат като геометрично представяне на числата √2, √3, √4, √5 и т.н.

Поставяйки например вдясно от точка O отсечката BC (фиг. 61), получаваме точката C, която служи като геометрично изображение на числото √2. По същия начин, отлагайки отсечката BD вдясно от точката O, получаваме точката D", която е геометричен образ на числото √3 и т.н.

Не бива обаче да се мисли, че с помощта на компас и линийка на числова линия л може да се намери точка, съответстваща на всяко дадено реално число. Доказано е например, че като имате на разположение само компас и линийка, е невъзможно да построите отсечка, чиято дължина се изразява с числото π = 3,14 ... . И така, на числовата ос л с помощта на такива конструкции е невъзможно да се посочи точка, съответстваща на това число.Въпреки това, такава точка съществува.

Така че за всяко реално число α възможно е да се свърже някаква добре дефинирана точка от линията л . Тази точка ще бъде отделена от началната точка O на разстояние | α | единици за дължина и да бъде вдясно от O if α > 0 и вляво от O if α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой л . Наистина, нека броят α съответства на точка А, а числото β - точка Б. Тогава, ако α > β , тогава A ще бъде вдясно от B (фиг. 62, a); ако α < β , тогава A ще лежи отляво на B (фиг. 62, b).

Говорейки в § 37 за геометричното представяне на рационални числа, поставихме въпроса: може ли всяка точка от права линия да се разглежда като геометричен образ на някои рационаленчисла? Тогава не можехме да дадем отговор на този въпрос; сега можем да отговорим съвсем определено. На линията има точки, които служат като геометрично представяне на ирационални числа (например √2). Следователно не всяка точка на права линия представлява рационално число. Но в този случай възниква друг въпрос: може ли всяка точка от реалната права да се разглежда като геометричен образ на някои валиденчисла? Този въпрос вече е решен положително.

Наистина, нека A е произволна точка от правата л , лежаща вдясно от O (фиг. 63).

Дължината на отсечката OA се изразява с някакво положително реално число α (виж § 41). Следователно точка А е геометричен образ на числото α . По същия начин се установява, че всяка точка B, разположена вляво от O, може да се разглежда като геометричен образ на отрицателно реално число - β , където β - дължината на сегмента VO. И накрая, точката O служи като геометрично представяне на числото нула. Ясно е, че две различни точки от правата л не може да бъде геометричен образ на същото реално число.

Поради посочените по-горе причини, права линия, на която някаква точка O е посочена като "начална" точка (за дадена единица дължина), се нарича числова линия.

Заключение. Множеството от всички реални числа и множеството от всички точки на реалната права са във взаимно еднозначно съответствие.

Това означава, че всяко реално число съответства на една точно определена точка от числовата ос и, обратно, на всяка точка от числовата права, при такова съответствие, отговаря едно точно определено реално число.

Упражнения

320. Открийте коя от двете точки е на числовата ос отляво и коя отдясно, ако тези точки отговарят на числа:

а) 1,454545... и 1,455454...; в) 0 и - 1,56673...;

б) - 12,0003... и - 12,0002...; г) 13.24... и 13.00...

321. Намерете коя от двете точки е по-далеч от началната точка O на числовата права, ако тези точки отговарят на числа:

а) 5,2397... и 4,4996...; .. в) -0,3567... и 0,3557... .

г) - 15.0001 и - 15.1000...;

322. В този раздел беше показано, че за да се построи отсечка с дължина √ н с помощта на пергел и линейка можете да направите следното: първо да построите отсечка с дължина √2, след това отсечка с дължина √3 и т.н., докато стигнем до отсечка с дължина √ н . Но за всеки фикс П > 3 този процес може да бъде ускорен. Как, например, бихте започнали да изграждате сегмент с дължина √10?

323*. Как да използвате компас и линийка, за да намерите точка на числовата права, съответстваща на числото 1 / α , ако позицията на точката, съответстваща на числото α , известен?

В тази статия ще анализираме подробно абсолютната стойност на число. Ще дадем различни дефиниции на модула на числото, ще въведем обозначения и ще дадем графични илюстрации. В този случай разглеждаме различни примери за намиране на модула на число по дефиниция. След това изброяваме и обосноваваме основните свойства на модула. В края на статията ще говорим за това как се определя и намира модулът на комплексно число.

Навигация в страницата.

Модул на числото - определение, запис и примери

Първо представяме обозначение на модула. Модулът на числото a ще бъде записан като , тоест отляво и отдясно на числото ще поставим вертикални линии, които образуват знака на модула. Нека дадем няколко примера. Например модул -7 може да бъде записан като ; модул 4,125 е написан като , а модулът е написан като .

Следващата дефиниция на модула се отнася до, и следователно, до, и до цели числа, и до рационални и ирационални числа, като съставни части на набора от реални числа. Ще говорим за модула на комплексно число в.

Определение.

Модул на aе или самото число a, ако a е положително число, или числото −a, обратното на числото a, ако a е отрицателно число, или 0, ако a=0 .

Озвучената дефиниция на модула на числото често се записва в следната форма , тази нотация означава, че ако a>0 , ако a=0 и ако a<0 .

Записът може да бъде представен в по-компактна форма . Тази нотация означава, че ако (a е по-голямо или равно на 0), и ако a<0 .

Има и запис . Тук случаят, когато a=0, трябва да бъде обяснен отделно. В този случай имаме , но −0=0 , тъй като нулата се счита за число, което е противоположно на себе си.

Да донесем примери за намиране на модула на числос дадено определение. Например, нека намерим модули на числата 15 и . Да започнем с намирането. Тъй като числото 15 е положително, неговият модул по дефиниция е равен на самото това число, т.е. Какъв е модулът на числото? Тъй като е отрицателно число, тогава неговият модул е ​​равен на числото, противоположно на числото, тоест числото . По този начин, .

В заключение на този параграф даваме едно заключение, което е много удобно за прилагане на практика при намиране на модула на число. От дефиницията на модула на числото следва, че модулът на числото е равен на числото под знака на модула, независимо от неговия знак, и от примерите, разгледани по-горе, това се вижда много ясно. Изразеното твърдение обяснява защо се нарича и модулът на числото абсолютната стойност на числото. Така че модулът на числото и абсолютната стойност на числото са едно и също.

Модул на число като разстояние

Геометрично, модулът на числото може да се тълкува като разстояние. Да донесем определяне на модула на число по отношение на разстоянието.

Определение.

Модул на aе разстоянието от началото на координатната права до точката, съответстваща на числото a.

Това определение е в съответствие с определението за модула на число, дадено в първия параграф. Нека обясним тази точка. Разстоянието от началото до точката, съответстваща на положително число, е равно на това число. Нулата съответства на референтната точка, следователно разстоянието от референтната точка до точката с координата 0 е равно на нула (не е необходим нито един сегмент, нито сегмент, съставляващ каквато и да е част от единичен сегмент, за да се стигне от точка O до точката с координата 0). Разстоянието от началото до точка с отрицателна координата е равно на числото, противоположно на координатата на дадената точка, тъй като е равно на разстоянието от началото до точката, чиято координата е противоположното число.

Например, модулът на числото 9 е 9, тъй като разстоянието от началото до точката с координата 9 е девет. Да вземем друг пример. Точката с координата −3.25 е на разстояние 3.25 от точка O, така че .

Озвучената дефиниция на модула на числото е частен случай на определяне на модула на разликата на две числа.

Определение.

Модул на разликата на две числа a и b е равно на разстоянието между точките на координатната права с координати a и b .

Тоест, ако са дадени точки на координатната права A(a) и B(b), тогава разстоянието от точка A до точка B е равно на модула на разликата между числата a и b. Ако вземем точка O (референтна точка) като точка B, тогава ще получим дефиницията на модула на числото, дадено в началото на този параграф.

Определяне на модула на число чрез аритметичен квадратен корен

Понякога се среща определяне на модула чрез аритметичен квадратен корен.

Например, нека изчислим модулите на числата −30 и въз основа на това определение. Ние имаме . По същия начин изчисляваме модула на две трети: .

Дефиницията на модула на число от гледна точка на аритметичен квадратен корен също е в съответствие с дефиницията, дадена в първия параграф на тази статия. Нека го покажем. Нека a е положително число и нека −a е отрицателно. Тогава и , ако a=0 , тогава .

Свойства на модула

Модулът има редица характерни резултати - свойства на модула. Сега ще дадем основните и най-често използвани от тях. Когато обосноваваме тези свойства, ще разчитаме на дефиницията на модула на числото по отношение на разстоянието.

Нека започнем с най-очевидното свойство на модула − модул на число не може да бъде отрицателно число. В буквална форма това свойство има формата за всяко число a . Това свойство е много лесно за обосноваване: модулът на числото е разстоянието и разстоянието не може да бъде изразено като отрицателно число.

Да преминем към следващото свойство на модула. Модулът на числото е равен на нула тогава и само ако това число е нула. Модулът на нула е нула по дефиниция. Нулата съответства на началото, никоя друга точка от координатната линия не съответства на нула, тъй като всяко реално число е свързано с една точка от координатната линия. По същата причина всяко число, различно от нула, съответства на точка, различна от началото. И разстоянието от началото до всяка точка, различна от точката O, не е равно на нула, тъй като разстоянието между две точки е равно на нула тогава и само ако тези точки съвпадат. Горното разсъждение доказва, че само модулът на нула е равен на нула.

Продължа напред. Противоположните числа имат равни модули, т.е. за всяко число a . Действително две точки от координатната права, чиито координати са противоположни числа, са на едно и също разстояние от началото, което означава, че модулите на противоположни числа са равни.

Следващото свойство на модула е: модулът на произведението на две числа е равен на произведението на модулите на тези числа, това е, . По дефиниция модулът на произведението на числата a и b е или a b, ако , или −(a b), ако . От правилата за умножение на реални числа следва, че произведението на модулите на числата a и b е равно на a b , или −(a b) , ако , което доказва разглежданото свойство.

Модулът на частното при деление на a на b е равен на частното на делене на модула на a на модула на b, това е, . Нека обосновем това свойство на модула. Тъй като частното е равно на произведението, тогава . По силата на предишното свойство имаме . Остава само да използваме равенството , което е валидно поради определението на модула на числото.

Следното свойство на модула се записва като неравенство: , a , b и c са произволни реални числа. Написаното неравенство не е нищо повече от неравенство на триъгълник. За да стане ясно това, нека вземем точките A(a) , B(b) , C(c) на координатната права и разгледаме изродения триъгълник ABC, чиито върхове лежат на една и съща права. По дефиниция модулът на разликата е равен на дължината на отсечката AB, - дължината на отсечката AC и - дължината на отсечката CB. Тъй като дължината на никоя страна на триъгълник не надвишава сумата от дължините на другите две страни, неравенството , следователно неравенството също е в сила.

Току-що доказаното неравенство е много по-често срещано във формата . Написаното неравенство обикновено се разглежда като отделно свойство на модула с формулировката: „ Модулът на сбора на две числа не превишава сбора на модулите на тези числа". Но неравенството директно следва от неравенството , ако поставим −b вместо b в него и вземем c=0 .

Модул на комплексно число

Да дадем определяне на модула на комплексно число. Нека ни се даде комплексно число, записано в алгебрична форма , където x и y са някои реални числа, представляващи съответно реалната и имагинерната част на дадено комплексно число z, и е имагинерна единица.

Определение.

Модул на комплексно число z=x+i y се нарича аритметичен квадратен корен от сумата от квадратите на реалната и имагинерната част на дадено комплексно число.

Модулът на комплексно число z се обозначава като , тогава озвучената дефиниция на модула на комплексно число може да се запише като .

Тази дефиниция ви позволява да изчислите модула на всяко комплексно число в алгебрична нотация. Например, нека изчислим модула на комплексно число. В този пример реалната част на комплексното число е , а имагинерната част е минус четири. Тогава, по дефиницията на модула на комплексно число, имаме .

Геометричната интерпретация на модула на комплексно число може да бъде дадена по отношение на разстоянието, по аналогия с геометричната интерпретация на модула на реално число.

Определение.

Модул на комплексно число z е разстоянието от началото на комплексната равнина до точката, съответстваща на числото z в тази равнина.

Според Питагоровата теорема разстоянието от точка O до точката с координати (x, y) се намира като , следователно, , където . Следователно последното определение на модула на комплексно число е в съответствие с първото.

Тази дефиниция също ви позволява незабавно да посочите какъв е модулът на комплексно число z, ако е написано в тригонометрична форма като или в експоненциална форма. Тук . Например модулът на комплексно число е 5 , а модулът на комплексното число е .

Може също да се види, че произведението на комплексно число и неговото комплексно спрегнато дава сумата от квадратите на реалната и въображаемата част. Наистина ли, . Полученото равенство ни позволява да дадем още едно определение на модула на комплексно число.

Определение.

Модул на комплексно число z е аритметичният корен квадратен от произведението на това число и неговото комплексно спрегнато, т.е.

В заключение отбелязваме, че всички свойства на модула, формулирани в съответния подраздел, са валидни и за комплексни числа.

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 клас: учебник за образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клетки. образователни институции.
• Lunts G.L., Elsgolts L.E. Функции на комплексна променлива: учебник за ВУЗ.
• Привалов И.И. Въведение в теорията на функциите на комплексна променлива.