дивизияи числителя и знаменателя на дробта върху техните общ делител, различен от един, се нарича намаляване на дроб.
За да намалите обикновена дроб, трябва да разделите нейния числител и знаменател на едно и също естествено число.
Това число е най-големият общ делител на числителя и знаменателя на дадената дроб.
Възможни са следните формуляри за записване на решенияПримери за съкращаване на обикновени дроби.
Студентът има право да избере всяка форма на запис.
Примери. Опростете дробите.
Намалете дробта с 3 (разделете числителя на 3;
разделете знаменателя на 3).
Намалете дроба със 7.
Извършваме посочените действия в числителя и знаменателя на дробта.
Получената дроб се намалява с 5.
Нека намалим тази дроб 4)
на 5·7³- най-големият общ делител (НОД) на числителя и знаменателя, който се състои от общите множители на числителя и знаменателя, взети на степен с най-малък показател.
Нека разложим числителя и знаменателя на тази дроб на основни фактори.
Получаваме: 756=2²·3³·7и 1176=2³·3·7².
Определете НОД (най-големия общ делител) на числителя и знаменателя на дробта 5) .
Това е произведението на общи множители, взети с най-ниските показатели.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Разделяме числителя и знаменателя на тази дроб на тяхната gcd, т.е 2²·3·7получаваме несъкратима дроб 9/14
.
Или беше възможно да се напише разлагането на числителя и знаменателя под формата на произведение от прости множители, без да се използва концепцията за мощност, и след това да се намали дробта, като се зачеркнат същите множители в числителя и знаменателя. Когато не останат еднакви множители, умножаваме останалите множители отделно в числителя и отделно в знаменателя и записваме получената дроб 9/14 .
И накрая беше възможно да се намали тази част 5) постепенно, прилагайки знаци за деление на числата както към числителя, така и към знаменателя на дробта. Разсъждаваме така: числа 756 и 1176 завършват на четно число, което означава, че и двете се делят на 2 . Намаляваме дробта с 2 . Числителят и знаменателят на новата дроб са числа 378 и 588 също се разделя на 2 . Намаляваме дробта с 2 . Забелязваме, че броят 294 - дори и 189 е нечетно и намаляването с 2 вече не е възможно. Да проверим делимостта на числата 189 и 294 на 3 .
(1+8+9)=18 се дели на 3 и (2+9+4)=15 се дели на 3, следователно и самите числа 189 и 294 се разделят на 3 . Намаляваме дробта с 3 . следващ, 63 се дели на 3 и 98 - не Нека разгледаме други основни множители. И двете числа се делят на 7 . Намаляваме дробта с 7 и получаваме несъкратимата дроб 9/14 .
В този урок ще изучаваме основното свойство на дробите, ще разберем кои дроби са равни една на друга. Ще се научим да съкращаваме дроби, ще определяме дали дадена дроб е редуцируема или не, ще се упражняваме да съкращаваме дроби и ще научим кога да използваме съкращение и кога не.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias acceptenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Тази информация е достъпна за регистрирани потребители
Основното свойство на дробта
Представете си тази ситуация.
На масата 3 лице и 5 ябълки Споделете 5 ябълки за трима. Всеки получава \(\mathbf(\frac(5)(3))\) ябълки.
И на съседната маса 3 човек и също 5 ябълки Всеки отново \(\mathbf(\frac(5)(3))\)
Общо 10 ябълки 6 човешки. Всеки \(\mathbf(\frac(10)(6))\)
Но това е едно и също нещо.
\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)
Тези дроби са еквивалентни.
Можете да удвоите броя на хората и да удвоите броя на ябълките. Резултатът ще бъде същият.
В математиката се формулира така:
Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат или разделят на едно и също число (не равно на 0), тогава новата дроб ще бъде равна на оригинала.
Това свойство понякога се нарича " основно свойство на дроб ».
$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$
Например пътят от град до село - 14 км.
Вървим по пътя и определяме изминатото разстояние по километрични маркери. След като сме изминали шест колони, шест километра, разбираме, че сме изминали \(\mathbf(\frac(6)(14))\) разстояние.
Но ако не виждаме стълбовете (може би не са били монтирани), можем да изчислим пътя, като използваме електрическите стълбове покрай пътя. Тяхната 40 парчета за всеки километър. Тоест общо 560 през целия път. Шест километра - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) стълбове. Тоест минахме 240 от 560 стълбове-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)
\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)
Пример 1
Маркирайте точка с координати ( 5; 7 ) в координатната равнина XOY. Тя ще съответства на фракцията \(\mathbf(\frac(5)(7))\)
Свържете началото на координатите с получената точка. Построете друга точка, която има координати два пъти по-големи от предишните. Каква дроб получихте? Ще бъдат ли равни?
Решение
Дроб в координатната равнина може да се маркира с точка. За да представите фракцията \(\mathbf(\frac(5)(7))\, маркирайте точката с координатата 5 по оста Yи 7 по оста X. Нека начертаем права линия от началото през нашата точка.
Точката, съответстваща на фракцията \(\mathbf(\frac(10)(14))\), също ще лежи на същата права
Те са еквивалентни: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)
Тя се основава на основното им свойство: ако числителят и знаменателят на една дроб се разделят на един и същ ненулев полином, тогава ще се получи еднаква дроб.
Можете само да намалите множителите!
Членовете на полиномите не могат да бъдат съкращавани!
За да се намали алгебрична дроб, полиномите в числителя и знаменателя трябва първо да бъдат факторизирани.
Нека да разгледаме примери за намаляване на дроби.
Числителят и знаменателят на дробта съдържат мономи. Те представляват работа(числа, променливи и техните мощности), умножителиможем да намалим.
Намаляваме числата с техния най-голям общ делител, тоест с най-голямото число, на което е разделено всяко от тези числа. За 24 и 36 това е 12. След редукция от 24 остава 2, а от 36 3.
Намаляваме степените със степента с най-нисък индекс. Да намалиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на един и същ делител и да извадиш показателите.
a² и a⁷ се редуцират до a². В този случай в числителя на a² остава единица (пишем 1 само в случай, че след редуцирането не са останали други множители. От 24 остава 2, така че не пишем 1 оставащо от a²). От a⁷ след редукция остава a⁵.
b и b се намаляват с b; получените единици не се записват.
c³º и c5 се съкращават до c5. Това, което остава от c³º, е c²⁵, от c5 е единица (не го пишем). по този начин
Числителят и знаменателят на тази алгебрична дроб са полиноми. Не можете да отмените членове на полиноми! (не можете да намалите, например, 8x² и 2x!). За да намалите тази фракция, трябва. Числителят има общ множител 4x. Нека го извадим от скобите:
И числителят, и знаменателят имат един и същ коефициент (2x-3). Намаляваме дроба с този фактор. В числителя получихме 4х, в знаменателя - 1. За 1 имот алгебрични дроби, дробта е 4x.
Можете само да намалите факторите (не можете да намалите тази фракция с 25x²!). Следователно полиномите в числителя и знаменателя на дробта трябва да бъдат факторизирани.
Числителят е пълният квадрат на сумата, знаменателят е разликата на квадратите. След разлагане с помощта на формули за съкратено умножение получаваме:
Намаляваме дробта с (5x+1) (за да направите това, зачеркнете двете в числителя като показател, оставяйки (5x+1)² (5x+1)):
Числителят има общ множител 2, нека го извадим от скобите. Знаменателят е формулата за разликата на кубчетата:
В резултат на разширението числителят и знаменателят получиха един и същ коефициент (9+3a+a²). Намаляваме дроба с него:
Полиномът в числителя се състои от 4 члена. първия член с втория, третия с четвъртия и премахнете общия множител x² от първите скоби. Разлагаме знаменателя по формулата за сумата на кубовете:
В числителя нека извадим общия множител (x+2) извън скобите:
Намалете дроба с (x+2):
Намаляването на дроби е необходимо, за да се намали фракцията до повече прост изглед, например в отговора, получен в резултат на решаване на израз.
Съкращаване на дроби, определение и формула.
Какво е намаляване на дроби? Какво означава да намалиш дроб?
определение:
Намаляване на дроби- това е разделянето на числителя и знаменателя на дроб на едно и също положително число, което не е равно на нула и едно. В резултат на съкращаването се получава дроб с по-малък числител и знаменател, равна на предходната дроб съгл.
Формула за намаляване на дробиосновен имот рационални числа.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Да разгледаме един пример:
Намалете дробта \(\frac(9)(15)\)
Решение:
Можем да разделим дроб на прости множители и да съкратим общи множители.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Отговор: след редукция получихме дробта \(\frac(3)(5)\). Според основното свойство на рационалните числа началната и получената дроби са равни.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Как да намалим дробите? Редуциране на дроб до несъкратимата й форма.
За да получим несъкратима дроб като резултат, имаме нужда намерете най-големия общ делител (НОД)за числителя и знаменателя на дробта.
Има няколко начина за намиране на НОД; в примера ще използваме разлагането на числата на прости множители.
Вземете несъкратимата дроб \(\frac(48)(136)\).
Решение:
Нека намерим НОД(48, 136). Нека напишем числата 48 и 136 на прости множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Правилото за редуциране на дроб до несъкратим вид.
- Трябва да намерите най-големия общ делител на числителя и знаменателя.
- Трябва да разделите числителя и знаменателя на най-големия общ делител, за да получите несъкратима дроб.
Пример:
Намалете дробта \(\frac(152)(168)\).
Решение:
Нека намерим НОД(152, 168). Нека напишем числата 152 и 168 на прости множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Отговор: \(\frac(19)(21)\) е несъкратима дроб.
Намаляване на неправилните дроби.
Как се реже неправилна дроб?
Правилата за съкращаване на дроби са еднакви за правилните и неправилните дроби.
Да разгледаме един пример:
Намалете неправилната дроб \(\frac(44)(32)\).
Решение:
Нека напишем числителя и знаменателя на прости множители. И тогава ще намалим общите фактори.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Намаляване на смесени фракции.
Смесени дроби, използващи същите правила като обикновени дроби. Единствената разлика е, че можем не докосвайте цялата част, а намалете частичната частили смесена фракцияпреобразуване в неправилна дроб, намаляване и преобразуване обратно в правилна дроб.
Да разгледаме един пример:
Съкратете смесената дроб \(2\frac(30)(45)\).
Решение:
Нека го решим по два начина:
Първи начин:
Нека напишем дробната част на прости множители, но няма да засягаме цялата част.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Втори начин:
Нека първо да го преобразуваме в неправилна дроб и след това да го напишем на прости множители и да го намалим. Нека преобразуваме получената неправилна дроб в правилна дроб.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Свързани въпроси:
Можете ли да намалите дроби, когато събирате или изваждате?
Отговор: не, първо трябва да добавите или извадите дроби според правилата и едва след това да ги намалите. Да разгледаме един пример:
Изчислете израза \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Решение:
Те често правят грешката да намаляват едни и същи числа в числителя и знаменателя, в нашия случай числото 20, но те не могат да бъдат намалени, докато не завършите събирането и изваждането.
\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
С какви числа можете да намалите една дроб?
Отговор: Можете да намалите дроб чрез най-големия общ множител или общия делител на числителя и знаменателя. Например фракцията \(\frac(100)(150)\).
Нека напишем числата 100 и 150 на прости множители.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Най-големият общ делител ще бъде числото gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Получихме несъкратимата дроб \(\frac(2)(3)\).
Но не е необходимо винаги да се дели на gcd; не винаги е необходима несъкратима дроб; можете да намалите дробта с обикновен делител на числителя и знаменателя. Например, числата 100 и 150 имат общ делител 2. Нека намалим дробта \(\frac(100)(150)\) с 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Получихме съкратимата дроб \(\frac(50)(75)\).
Какви фракции могат да бъдат намалени?
Отговор: Можете да съкратите дроби, в които числителят и знаменателят имат общ делител. Например дробта \(\frac(4)(8)\). Числото 4 и 8 имат число, на което и двете се делят - числото 2. Следователно такава дроб може да бъде намалена с числото 2.
Пример:
Сравнете двете дроби \(\frac(2)(3)\) и \(\frac(8)(12)\).
Тези две дроби са равни. Нека разгледаме по-отблизо дробта \(\frac(8)(12)\):
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\пъти 1=\frac(2)(3)\)
От тук получаваме \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Две дроби са равни тогава и само ако едната от тях е получена чрез намаляване на другата дроб с общия множител на числителя и знаменателя.
Пример:
Ако е възможно, намалете следните дроби: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) г) \(\frac(100)(250)\)
Решение:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \пъти 3 \пъти 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
в) \(\frac(17)(100)\) несъкратима дроб
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ по 5)=\frac(2)(5)\)
Много ученици правят същите грешки, когато работят с дроби. И всичко това, защото забравят основните правила аритметика. Днес ще повторим тези правила върху конкретни задачи, които давам в часовете си.
Ето задачата, която предлагам на всички, които се готвят за Единния държавен изпит по математика:
Задача. Една морска свиня изяжда 150 грама храна на ден. Но тя порасна и започна да яде 20% повече. Колко грама фураж изяжда прасето сега?
не правилното решение. Това е процентен проблем, който се свежда до уравнението:
Много (много) намаляват числото 100 в числителя и знаменателя на дроб:
Това е грешката, която моят ученик направи точно в деня на написването на тази статия. Числата, които са съкратени, са маркирани в червено.
Излишно е да казвам, че отговорът беше грешен. Съдете сами: прасето изяде 150 грама, но започна да яде 3150 грама. Увеличението не е 20%, а 21 пъти, т.е. с 2000%.
За да избегнете подобни недоразумения, запомнете основното правило:
Само множителите могат да бъдат намалени. Сроковете не могат да бъдат намалявани!
Така правилното решение на предишния проблем изглежда така:
Числата, които са съкратени в числителя и знаменателя, са отбелязани в червено. Както можете да видите, числителят е произведението, а знаменателят е обикновен номер. Следователно намалението е напълно законно.
Работа с пропорции
Друга проблемна област е пропорции. Особено когато променливата е от двете страни. Например:
Задача. Решете уравнението:
Грешно решение - някои хора буквално ги сърби да съкратят всичко с m:
Намалените променливи са показани в червено. Изразът 1/4 = 1/5 се оказва пълна глупост, тези числа никога не са равни.
И сега - правилното решение. По същество това е обикновено линейно уравнение . Може да се реши или чрез преместване на всички елементи на една страна, или чрез основното свойство на пропорцията:
Много читатели ще възразят: „Къде е грешката в първото решение?“ Е, нека разберем. Нека си припомним правилото за работа с уравнения:
Всяко уравнение може да бъде разделено и умножено по всяко число, ненулев.
Пропуснахте ли трика? Можете да делите само с числа ненулев. По-специално, можете да разделите на променлива m само ако m != 0. Но какво ще стане, ако все пак m = 0? Нека заместим и проверим:
Получихме правилното числово равенство, т.е. m = 0 е коренът на уравнението. За останалите m != 0 получаваме израз от формата 1/4 = 1/5, което естествено е неправилно. Следователно няма ненулеви корени.
Изводи: всичко това заедно
И така, за да решите дробни рационални уравнения, запомнете три правила:
- Само множителите могат да бъдат намалени. Добавянето не е възможно. Затова се научете да разделяте числителя и знаменателя на множители;
- Основното свойство на пропорцията: произведението на екстремните елементи е равно на произведението на средните;
- Уравненията могат да се умножават и делят само с числа k, различни от нула. Случаят k = 0 трябва да се провери отделно.
Запомнете тези правила и не правете грешки.
