Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда стъпки зад нея. През времето, необходимо на Ахил да измине това разстояние, костенурката ще пропълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил пробяга сто крачки, костенурката пълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.
Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Всички те разглеждат апориите на Зенон по един или друг начин. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и до днес; научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение относно същността на парадоксите ... в изследването на въпроса са включени математически анализ, теория на множествата, нови физически и философски подходи ; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема...„[Уикипедия, „Апория на Зенон“. Всички разбират, че се заблуждават, но никой не разбира в какво се състои измамата.
От математическа гледна точка Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от количество към . Този преход предполага прилагане вместо постоянни. Доколкото разбирам, математическият апарат за използване на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на нашата обичайна логика ни води в капан. Ние, поради инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочната стойност. От физическа гледна точка това изглежда като забавяне на времето, докато спре напълно в момента, в който Ахил настигне костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да изпревари костенурката.
Ако обърнем обичайната си логика, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил ще настигне костенурката безкрайно бързо“.
Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни единици. На езика на Зенон това изглежда така:
За времето, необходимо на Ахил да направи хиляда крачки, костенурката ще пропълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин стъпки пред костенурката.
Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. Твърдението на Айнщайн за неустоимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон „Ахил и костенурката“. Все още трябва да изучаваме, преосмисляме и решаваме този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.
Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:
Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.
В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки момент една летяща стрела е в покой в различни точки на пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да определите дали колата се движи, ви трябват две снимки, направени от една и съща точка в различни точки във времето, но не можете да определите разстоянието от тях. За да определите разстоянието до кола, имате нужда от две снимки, направени от различни точки в пространството в един момент във времето, но от тях не можете да определите факта на движение (разбира се, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне ). Това, на което искам да обърна специално внимание е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не бива да се бъркат, защото дават различни възможности за изследване.
Сряда, 4 юли 2018 г
Разликите между набор и мултимножество са описани много добре в Wikipedia. да видим
Както можете да видите, "не може да има два еднакви елемента в набор", но ако има идентични елементи в набор, такъв набор се нарича "мултисет". Разумните същества никога няма да разберат такава абсурдна логика. Това е нивото на говорещите папагали и дресираните маймуни, които нямат интелигентност от думата „напълно“. Математиците действат като обикновени обучители, проповядвайки ни своите абсурдни идеи.
Имало едно време инженерите, които построили моста, били в лодка под моста, докато тествали моста. Ако мостът се срути, посредственият инженер загина под развалините на своето творение. Ако мостът можеше да издържи натоварването, талантливият инженер построи други мостове.
Колкото и да се крият математиците зад фразата „имайте предвид, аз съм в къщата“ или по-скоро „математиката изучава абстрактни понятия“, има една пъпна връв, която ги свързва неразривно с реалността. Тази пъпна връв е пари. Нека приложим математическата теория на множествата към самите математици.
Учихме много добре математика и сега седим на касата и даваме заплати. И така, един математик идва при нас за парите си. Ние му преброяваме цялата сума и я поставяме на масата си в различни купчини, в които поставяме банкноти от една и съща деноминация. След това вземаме по една банкнота от всяка купчина и даваме на математика неговия „математически набор от заплата“. Нека обясним на математика, че той ще получи останалите сметки едва когато докаже, че множество без еднакви елементи не е равно на множество с еднакви елементи. Тук започва забавлението.
На първо място ще работи логиката на депутатите: „Това може да се приложи към другите, но не и към мен!“ След това ще започнат да ни уверяват, че банкнотите с една и съща номинална стойност имат различни номера на банкнотите, което означава, че не могат да се считат за едни и същи елементи. Добре, да броим заплатите в монети - на монетите няма цифри. Тук математикът ще започне трескаво да си спомня физиката: различните монети имат различно количество мръсотия, кристалната структура и разположението на атомите е уникално за всяка монета...
А сега имам най-много интересен въпрос: къде е линията, отвъд която елементите на мултимножество се превръщат в елементи на множество и обратно? Такава линия не съществува - всичко се решава от шаманите, тук науката дори не лъже.
Вижте тук. Избираме футболни стадиони с еднаква площ. Площите на полетата са еднакви - което означава, че имаме мултимножество. Но ако погледнем имената на същите тези стадиони, получаваме много, защото имената са различни. Както можете да видите, едно и също множество от елементи е както множество, така и мултимножество. Кое е правилното? И ето че математикът-шаман-шарпист вади асо коз от ръкава си и започва да ни говори или за множество, или за мултимножество. При всички случаи той ще ни убеди, че е прав.
За да разберем как съвременните шамани оперират с теорията на множествата, обвързвайки я с реалността, е достатъчно да отговорим на един въпрос: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Ще ви покажа, без никакво „мислимо като неединно цяло“ или „немислимо като единно цяло“.
Неделя, 18 март 2018 г
Сумата от цифрите на едно число е танц на шамани с тамбура, който няма нищо общо с математиката. Да, в уроците по математика ни учат да намираме сумата от цифрите на числото и да го използваме, но затова са шамани, за да учат потомците на своите умения и мъдрост, иначе шаманите просто ще измрат.
Имате ли нужда от доказателство? Отворете Wikipedia и се опитайте да намерите страницата „Сума от цифри на число“. Тя не съществува. Няма формула в математиката, която може да се използва за намиране на сумата от цифрите на произволно число. Все пак числата са графични символи, с помощта на който пишем числа и на езика на математиката задачата звучи така: „Намерете сбора от графични символи, представляващи произволно число.“ Математиците не могат да решат този проблем, но шаманите могат да го направят лесно.
Нека да разберем какво и как правим, за да намерим сумата от цифрите на дадено число. И така, нека имаме числото 12345. Какво трябва да се направи, за да се намери сборът от цифрите на това число? Нека разгледаме всички стъпки по ред.
1. Запишете числото на лист хартия. какво направихме Ние преобразувахме числото в графичен числов символ. Това не е математическа операция.
2. Разрязваме една получена картина на няколко картинки, съдържащи отделни числа. Изрязването на картина не е математическа операция.
3. Преобразувайте отделни графични символи в числа. Това не е математическа операция.
4. Съберете получените числа. Сега това е математика.
Сумата от цифрите на числото 12345 е 15. Това са „курсовете по кроене и шиене“ от шаманите, които математиците използват. Но това не е всичко.
От математическа гледна точка няма значение в коя бройна система записваме едно число. Така че в различни системи с числа сумата от цифрите на едно и също число ще бъде различна. В математиката числовата система се обозначава като долен индекс отдясно на числото. СЪС голям брой 12345 Не искам да си заблуждавам главата, нека погледнем числото 26 от статията за . Нека запишем това число в двоична, осмична, десетична и шестнадесетична бройни системи. Няма да разглеждаме всяка стъпка под микроскоп; вече сме го направили. Нека да видим резултата.
Както можете да видите, в различните бройни системи сумата от цифрите на едно и също число е различна. Този резултат няма нищо общо с математиката. Това е същото, както ако определите площта на правоъгълник в метри и сантиметри, ще получите напълно различни резултати.
Нулата изглежда еднакво във всички бройни системи и няма сбор от цифри. Това е още един аргумент в полза на факта, че. Въпрос към математиците: как в математиката се обозначава нещо, което не е число? Какво, за математиците не съществува нищо освен числата? Това мога да го позволя за шаманите, но не и за учените. Реалността не е само в числа.
Полученият резултат трябва да се счита за доказателство, че бройните системи са мерни единици за числа. В крайна сметка не можем да сравняваме числата с различни единициизмервания. Ако едни и същи действия с различни мерни единици на една и съща величина водят до различни резултати след сравняването им, то това няма нищо общо с математиката.
Какво е истинска математика? Това е, когато резултатът от математическа операция не зависи от размера на числото, използваната мерна единица и от това кой извършва това действие.
о! Това не е ли женската тоалетна?
- Млада жена! Това е лаборатория за изследване на бездефилната святост на душите по време на възнесението им на небето! Ореол отгоре и стрелка нагоре. Каква друга тоалетна?
Жена... Ореолът отгоре и стрелката надолу са мъжки.
Ако такова произведение на дизайнерското изкуство мига пред очите ви няколко пъти на ден,
Тогава не е изненадващо, че изведнъж намирате странна икона в колата си:
Лично аз се старая да видя минус четири градуса при акащ човек (една снимка) (композиция от няколко картинки: знак минус, цифра четири, обозначение на градуса). И не мисля, че това момиче е глупачка, която не знае физика. Тя просто има силен стереотип за възприемане на графични изображения. И математиците ни учат на това през цялото време. Ето един пример.
1А не е „минус четири градуса“ или „едно а“. Това е "какащ човек" или числото "двадесет и шест" в шестнадесетичен запис. Тези хора, които постоянно работят в тази бройна система, автоматично възприемат число и буква като един графичен символ.
Дробните изрази са трудни за разбиране от детето. Повечето хора имат затруднения с. Когато изучава темата „събиране на дроби с цели числа“, детето изпада в ступор, затруднява се да реши проблема. В много примери, преди да се извърши действие, трябва да се извършат поредица от изчисления. Например преобразувайте дроби или преобразувайте неправилна дроб в правилна дроб.
Нека го обясним ясно на детето. Нека вземем три ябълки, две от които ще бъдат цели, а третата нарежете на 4 части. Отделете един резен от нарязаната ябълка, а останалите три поставете до два цели плода. Получаваме ¼ ябълка от едната страна и 2 ¾ от другата. Ако ги комбинираме, получаваме три ябълки. Нека се опитаме да намалим 2 ¾ ябълки с ¼, тоест да премахнем още един резен, получаваме 2 2/4 ябълки.
Нека разгледаме по-отблизо операциите с дроби, които съдържат цели числа:
Първо, нека си припомним правилото за изчисление за дробни изрази с общ знаменател:
На пръв поглед всичко е лесно и просто. Но това се отнася само за изрази, които не изискват преобразуване.
Как да намерим стойността на израз, където знаменателите са различни
В някои задачи трябва да намерите значението на израз, в който знаменателите са различни. Да разгледаме конкретен случай:
3 2/7+6 1/3
Нека намерим стойността даден израз, за да направите това, намерете общ знаменател за две дроби.
За числата 7 и 3 това е 21. Оставяме целите части същите и довеждаме дробните до 21, за това умножаваме първата дроб по 3, втората по 7, получаваме:
6/21+7/21, не забравяйте, че цели части не могат да бъдат конвертирани. В резултат на това получаваме две дроби с еднакъв знаменател и изчисляваме тяхната сума:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Ами ако резултатът от събирането е неправилна дроб, която вече има цяла част:
2 1/3+3 2/3
IN в този случайкато съберем целите части и дробните части, получаваме:
5 3/3, както знаете, 3/3 е едно, което означава 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Намирането на сумата е ясно, нека да разгледаме изваждането:
От всичко казано следва правилото за операции със смесени числа, което звучи така:
- Ако трябва да извадите цяло число от дробен израз, не е необходимо да представяте второто число като дроб; достатъчно е да извършите операцията само върху целите части.
Нека се опитаме сами да изчислим значението на изразите:
Нека разгледаме по-отблизо примера под буквата „m“:
4 5/11-2 8/11, числителят на първата дроб е по-малък от втората. За да направим това, вземаме назаем едно цяло число от първата дроб, получаваме,
3 5/11+11/11=3 цяло 16/11, извадете втората от първата дроб:
3 16/11-2 8/11=1 цяло 8/11
- Бъдете внимателни, когато изпълнявате задачата, не забравяйте да преобразувате неправилните дроби в смесени дроби, като подчертавате цялата част. За да направите това, трябва да разделите стойността на числителя на стойността на знаменателя, тогава това, което се случва, заема мястото на цялата част, остатъкът ще бъде числителят, например:
19/4=4 ¾, нека проверим: 4*4+3=19, знаменателят 4 остава непроменен.
Нека обобщим:
Преди да започнете да изпълнявате задача, свързана с дроби, трябва да анализирате какъв вид израз е, какви трансформации трябва да се направят върху дроба, за да бъде решението правилно. Потърсете по-рационално решение. Не тръгвайте по трудния път. Планирайте всички действия, решете ги първо в чернова, след което ги прехвърлете в училищния си бележник.
За да избегнете объркване при решаването на дробни изрази, трябва да следвате правилото за последователност. Решете всичко внимателно, без да бързате.
Обърнете внимание!Преди да напишете окончателния си отговор, вижте дали можете да съкратите дробта, която сте получили.
Изваждане на дроби с еднакви знаменатели, примери:
,
,
Изваждане на правилна дроб от едно.
Ако е необходимо да се извади дроб от единица, която е правилна, единицата се преобразува във формата на неправилна дроб, нейният знаменател е равен на знаменателя на извадената дроб.
Пример за изваждане на правилна дроб от едно:
Знаменател на дробта, която трябва да се извади = 7 , т.е. представяме единица като неправилна дроб 7/7 и я изваждаме според правилото за изваждане на дроби с еднакви знаменатели.
Изваждане на правилна дроб от цяло число.
Правила за изваждане на дроби -правилно от цяло число (естествено число):
- Дадени дроби, които съдържат цяла част, преобразуваме в неправилни. Получаваме нормални условия (няма значение дали са с различни знаменатели), които изчисляваме съгласно дадените по-горе правила;
- След това изчисляваме разликата между дробите, които сме получили. В резултат на това почти ще намерим отговора;
- Извършваме обратното преобразуване, тоест премахваме неправилната дроб - избираме цялата част във фракцията.
Извадете правилна дроб от цяло число: представете си естествено числокато смесено число. Тези. Взимаме единица в естествено число и я преобразуваме във формата на неправилна дроб, като знаменателят е същият като този на извадената дроб.
Пример за изваждане на дроби:
В примера сменихме едно с неправилната дроб 7/7 и вместо 3 записахме смесено число и извадихме дроб от дробната част.
Изваждане на дроби с различни знаменатели.
Или казано по друг начин, изваждане на различни дроби.
Правило за изваждане на дроби с различни знаменатели.За да извадите дроби с различни знаменатели, е необходимо първо да намалите тези дроби до най-малкия общ знаменател (LCD) и едва след това да извършите изваждането, както при дроби с еднакви знаменатели.
Общият знаменател на няколко дроби е LCM (най-малко общо кратно)естествени числа, които са знаменателите на тези дроби.
внимание!Ако в крайна фракциячислителят и знаменателят имат общи множители, тогава дробта трябва да се намали. Неправилната дроб е най-добре представена като смесена дроб. Оставянето на резултата от изваждането без намаляване на дробта, където е възможно, е непълно решение на примера!
Процедура за изваждане на дроби с различни знаменатели.
- намерете LCM за всички знаменатели;
- поставете допълнителни множители за всички дроби;
- умножете всички числители с допълнителен коефициент;
- Записваме получените продукти в числителя, като подписваме общия знаменател под всички дроби;
- извадете числителите на дробите, подписвайки общия знаменател под разликата.
По същия начин се извършва добавяне и изваждане на дроби, ако в числителя има букви.
Изваждане на дроби, примери:
Изваждане на смесени дроби.
При изваждане на смесени дроби (числа)отделно, цялата част се изважда от цялата част, а дробната част се изважда от дробната част.
Първият вариант за изваждане на смесени дроби.
Ако дробните части идентичензнаменатели и числител на дробната част на умаляваното (изваждаме го от него) ≥ числител на дробната част на изваждаемото (изваждаме го).
Например:
Вторият вариант за изваждане на смесени дроби.
Когато дробни части различнизнаменатели. Като начало привеждаме дробните части към общ знаменател и след това изваждаме цялата част от цялата част и дробната част от дробната част.
Например:
Третият вариант за изваждане на смесени дроби.
Дробната част на умаляваното е по-малка от дробната част на изваждаемото.
Пример:
защото Дробните части имат различни знаменатели, което означава, както във втория вариант, първо привеждаме обикновените дроби към общ знаменател.
Числителят на дробната част на умаляваното е по-малък от числителя на дробната част на субтрахенда.3 < 14. Това означава, че вземаме единица от цялата част и редуцираме тази единица до формата на неправилна дроб със същия знаменател и числител = 18.
В числителя от дясната страна записваме сбора на числителите, след което отваряме скобите в числителя от дясната страна, тоест умножаваме всичко и даваме подобни. Не отваряме скобите в знаменателя. Прието е продуктът да се оставя в знаменателите. Получаваме:
Действия с дроби.
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
И така, какво представляват дробите, видовете дроби, трансформациите - запомнихме. Да преминем към основния въпрос.
Какво можете да правите с дроби?Да, всичко, което е с обикновени числа. Събиране, изваждане, умножение, деление.
Всички тези действия с десетичен знакработата с дроби не се различава от работата с цели числа. Всъщност това им е хубавото, десетичните. Единственото нещо е, че трябва да поставите запетаята правилно.
Смесени числа, както вече казах, са малко полезни за повечето действия. Те все още трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби.
Но действията с обикновени дробище са по-хитри. И много по-важно! Нека ви напомня: всички действия с дробни изрази с букви, синуси, неизвестни и т.н. и т.н. не се различават от действията с обикновени дроби! Операциите с обикновени дроби са в основата на цялата алгебра. Именно поради тази причина тук ще анализираме цялата тази аритметика много подробно.
Събиране и изваждане на дроби.
Всеки може да събира (изважда) дроби с еднакви знаменатели (силно се надявам!). Е, нека напомня на тези, които са напълно забравили: при добавяне (изваждане) знаменателят не се променя. Числителите се събират (изваждат), за да се получи числителят на резултата. Тип:
Накратко, в общ изглед:
Ами ако знаменателите са различни? След това, използвайки основното свойство на дроб (тук то отново е полезно!), правим знаменателите еднакви! Например:
Тук трябваше да направим дробта 4/10 от дробта 2/5. С единствената цел знаменателите да бъдат еднакви. Нека отбележа, за всеки случай, че 2/5 и 4/10 са същата фракция! Само 2/5 са неудобни за нас, а 4/10 са наистина добре.
Между другото, това е същността на решаването на всякакви математически задачи. Когато ние от неудобноправим изрази същото, но по-удобно за решаване.
Друг пример:
Ситуацията е подобна. Тук правим 48 от 16. Чрез просто умножение по 3. Всичко е ясно. Но попаднахме на нещо като:
Как да бъде?! Трудно е да направиш девет от седем! Но ние сме умни, знаем правилата! Да се трансформираме всекидроб, така че знаменателите да са еднакви. Това се нарича „привеждане до общ знаменател“:
Уау! Как разбрах за 63? Много просто! 63 е число, което се дели на 7 и 9 едновременно. Такова число винаги може да се получи чрез умножаване на знаменателите. Ако умножим едно число по 7 например, то резултатът със сигурност ще се дели на 7!
Ако трябва да съберете (извадите) няколко дроби, няма нужда да го правите по двойки, стъпка по стъпка. Просто трябва да намерите общия знаменател за всички дроби и да намалите всяка дроб до същия знаменател. Например:
И какъв ще е общият знаменател? Можете, разбира се, да умножите 2, 4, 8 и 16. Получаваме 1024. Кошмар. По-лесно е да се прецени, че числото 16 се дели напълно на 2, 4 и 8. Следователно от тези числа е лесно да се получи 16. Това число ще бъде общият знаменател. Нека превърнем 1/2 в 8/16, 3/4 в 12/16 и т.н.
Между другото, ако вземете 1024 за общ знаменател, всичко ще се получи, накрая всичко ще се намали. Но не всеки ще стигне до този край, заради изчисленията...
Довършете примера сами. Не някакъв логаритъм... Трябва да се окаже 29/16.
И така, събирането (изваждането) на дроби е ясно, надявам се? Разбира се, по-лесно е да работите в съкратена версия, с допълнителни множители. Но това удоволствие е достъпно за тези, които са работили честно в младши класове... И не забравих нищо.
И сега ще направим същите действия, но не с дроби, а с дробни изрази. Нов рейк ще бъде открит тук, да...
И така, трябва да добавим два дробни израза:
Трябва да направим знаменателите еднакви. И то само с помощта умножение! Това диктува основното свойство на фракцията. Следователно не мога да добавя единица към X в първата дроб в знаменателя. (това би било хубаво!). Но ако умножите знаменателите, виждате, всичко расте заедно! Така че записваме реда на дробта, оставяме празно място отгоре, след това го добавяме и записваме произведението на знаменателите отдолу, за да не забравим:
И, разбира се, не умножаваме нищо от дясната страна, не отваряме скобите! И сега, гледайки общия знаменател от дясната страна, разбираме: за да получите знаменателя x(x+1) в първата дроб, трябва да умножите числителя и знаменателя на тази дроб по (x+1) . А във втората дроб - до х. Ето какво получавате:
Обърнете внимание! Ето ги скобите! Това е гребло, върху което стъпват много хора. Не скоби, разбира се, а липсата им. Скобите се появяват, защото умножаваме всичкичислител и всичкизнаменател! А не отделните им парчета...
В числителя от дясната страна записваме сумата от числителите, всичко е както в числови дроби, след това отворете скобите в числителя от дясната страна, т.е. Всичко умножаваме и даваме подобни. Няма нужда да отваряте скобите в знаменателите или да умножавате нещо! Като цяло, в знаменатели (всякакви) продуктът винаги е по-приятен! Получаваме:
Така че получихме отговора. Процесът изглежда дълъг и труден, но зависи от практиката. След като решите примерите, свикнете, всичко ще стане просто. Тези, които са усвоили своевременно дробите, правят всички тези операции с една лява ръка, автоматично!
И още една забележка. Много умно се справят с дроби, но се забиват в примери с цялочисла. Например: 2 + 1/2 + 3/4= ? Къде да закрепя двукомпонентния? Не е нужно да го закрепвате никъде, трябва да направите дроб от две. Не е лесно, но много просто! 2=2/1. като това. Всяко цяло число може да бъде записано като дроб. Числителят е самото число, знаменателят е единица. 7 е 7/1, 3 е 3/1 и така нататък. Същото е и с буквите. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 и т.н. И тогава работим с тези дроби според всички правила.
Е, опресниха знанията за събиране и изваждане на дроби. Преобразуването на дроби от един вид в друг беше повторено. Можете също да се прегледате. Да уредим ли малко?)
Изчислете:
Отговори (в безпорядък):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Умножение/деление на дроби – в следващия урок. Има и задачи за всички действия с дроби.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Обикновените дробни числа за първи път се срещат с учениците в 5-ти клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често е необходимо да се разглежда или използва обект не като цяло, а на отделни части. Започнете да изучавате тази тема - споделя. Акциите са равни части, на които е разделен този или онзи обект. В края на краищата, не винаги е възможно да се изрази, например, дължината или цената на даден продукт като цяло число или части от някаква мярка; Образувана от глагола „разделяне“ - разделяне на части и имаща арабски корени, самата дума „фракция“ възниква на руски език през 8 век.
Дробни изрази за дълго времесмятан за най-трудния дял от математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат „счупени числа“, което е много трудно за разбиране от хората.
Модерна визияпрости дробни остатъци, чиито части са разделени с хоризонтална линия, са били насърчавани за първи път от Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите творби са датирани от 1202 г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как се умножават смесени дроби с различни знаменатели.
Умножение на дроби с различни знаменатели
Първоначално си струва да се определи видове дроби:
- правилно;
- неправилно;
- смесен.
След това трябва да запомните как се умножават дробни числа с еднакви знаменатели. Самото правило на този процес е лесно да се формулира независимо: резултатът от умножението прости дробис еднакви знаменатели е дробен израз, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на тези дроби. Тоест всъщност новият знаменател е квадрат на един от първоначално съществуващите.
При умножаване прости дроби с различни знаменателиза два или повече фактора правилото не се променя:
а/b * в/d = а*в / b*d.
Единствената разлика е, че полученото число под дробната линия ще бъде произведението на различни числа и, естествено, квадрат на едно числено изражениеневъзможно е да го назовем.
Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели, като използваме примери:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Примерите използват методи за намаляване на дробни изрази. Можете да намалите само числата на числителя с числата на знаменателя; съседните множители над или под дробната линия не могат да бъдат намалени.
Наред с простите дроби съществува понятието смесени дроби. Смесеното число се състои от цяло число и дробна част, т.е. това е сумата от тези числа:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Как работи умножението?
Дадени са няколко примера за разглеждане.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Примерът използва умножение на число по обикновена дробна част, правилото за това действие може да се запише като:
а* б/c = а*б/c.
Всъщност такъв продукт е сумата от еднакви дробни остатъци и броят на членовете показва това естествено число. Специален случай:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Има друго решение за умножаване на число с дробен остатък. Просто трябва да разделите знаменателя на това число:
г* д/f = д/е: г.
Тази техника е полезна за използване, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, на цяло число.
Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и получете продукта по описания по-горе начин:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Този пример включва начин за представяне на смесена дроб като неправилна дроб и може също да бъде представена като обща формула:
а bc = а*б+ c / c, където знаменателят на новата дроб се формира чрез умножаване на цялата част със знаменателя и добавянето му с числителя на първоначалния дробен остатък, а знаменателят остава същият.
Този процес работи и в обратна посока. За да разделите цялата част и дробния остатък, трябва да разделите числителя на неправилна дроб на нейния знаменател с помощта на „ъгъл“.
Умножение неправилни дроби произведени по общоприет начин. Когато пишете под една дробна линия, трябва да намалите дробите, ако е необходимо, за да намалите числата с помощта на този метод и да улесните изчисляването на резултата.
В интернет има много помощници за решаване дори на сложни математически задачи в различни варианти на програми. Достатъчен брой такива услуги предлагат своята помощ при изчисляване на умножението на дроби с различни числа в знаменателите - така наречените онлайн калкулатори за изчисляване на дроби. Те могат не само да умножават, но и да извършват всички други прости аритметични операции с обикновени дроби и смесени числа. Не е трудно да се работи с него; попълнете съответните полета на страницата на уебсайта, изберете знака на математическата операция и щракнете върху „изчисли“. Програмата изчислява автоматично.
Темата за аритметичните действия с дроби е актуална за цялото обучение на учениците от средните и средните класове. В гимназията вече не разглеждат най-простите видове, но цяло дробни изрази , но знанията за правилата за трансформация и изчисления, получени по-рано, се прилагат в оригиналния им вид. Добре усвоените основни знания дават пълна увереност в успешно решениеповечето сложни задачи.
В заключение има смисъл да цитираме думите на Лев Николаевич Толстой, който пише: „Човекът е част. Не е във властта на човека да увеличи своя числител - своите заслуги - но всеки може да намали своя знаменател - своето мнение за себе си, и с това намаляване да се доближи до своето съвършенство.
