В тази статия ще намерите цялата необходима информация, за да отговорите на въпроса, как да разделим число на прости множители. Първо се дава обща идея за разлагането на число на прости множители и се дават примери за разлагане. Следното показва каноничната форма на разлагане на число на прости множители. След това е даден алгоритъм за разлагане на произволни числа на прости множители и са дадени примери за разлагане на числа с помощта на този алгоритъм. Разглеждат се и алтернативни методи, които ви позволяват бързо да разлагате малки цели числа на прости множители, като използвате тестове за делимост и таблици за умножение.
Навигация в страницата.
Какво означава да разложим число на прости множители?
Първо, нека разгледаме кои са простите множители.
Ясно е, че тъй като думата „фактори“ присъства в тази фраза, тогава има произведение на някои числа, а уточняващата дума „просто“ означава, че всеки фактор е просто число. Например, в продукт от формата 2·7·7·23 има четири прости множителя: 2, 7, 7 и 23.
Какво означава да разложим число на прости множители?
Това означава, че дадено числотрябва да се представи като произведение на прости множители и стойността на това произведение трябва да бъде равна на оригиналното число. Като пример, разгледайте произведението на три прости числа 2, 3 и 5, то е равно на 30, така че разлагането на числото 30 на прости множители е 2·3·5. Обикновено разлагането на число на прости множители се записва като равенство; в нашия пример ще бъде така: 30=2·3·5. Отделно подчертаваме, че простите фактори в разширението могат да се повтарят. Това ясно илюстрира следващ пример: 144=2·2·2·2·3·3 . Но представянето на формата 45=3·15 не е разлагане на прости множители, тъй като числото 15 е съставно число.
Възниква следващ въпрос: „Кои числа могат да бъдат разложени на прости множители?“
В търсене на отговор на него представяме следното разсъждение. Простите числа по дефиниция са сред по-големите от едно. Като се има предвид този факт и , може да се твърди, че произведението на няколко прости фактора е положително цяло число, по-голямо от едно. Следователно факторизацията се извършва само за положителни цели числа, които са по-големи от 1.
Но могат ли всички цели числа, по-големи от едно, да бъдат разложени на прости множители?
Ясно е, че не е възможно простите цели числа да се разделят на прости множители. Това се обяснява с факта, че простите числа имат само два положителни делителя - единица и себе си, така че не могат да бъдат представени като произведение на две или повечепрости числа. Ако цялото z може да бъде представено като произведение на прости числа a и b, тогава концепцията за делимост би ни позволила да заключим, че z се дели както на a, така и на b, което е невъзможно поради простотата на числото z. Те обаче вярват, че всяко просто число само по себе си е разлагане.
Какво ще кажете за съставните числа? Разлагат ли се съставните числа на прости множители и всички съставни числа подлежат ли на такова разлагане? Основната теорема на аритметиката дава положителен отговор на редица от тези въпроси. Основната теорема на аритметиката гласи, че всяко цяло число a, което е по-голямо от 1, може да бъде разложено на произведението на простите множители p 1, p 2, ..., p n и разлагането има формата a = p 1 · p 2 · … · p n, и това разширението е уникално, ако не вземете предвид реда на факторите
Канонично разлагане на число на прости множители
При разширяването на число простите множители могат да се повторят. Повтарящите се прости множители могат да бъдат записани по-компактно с помощта на . Нека при разлагането на число простият множител p 1 се среща s 1 пъти, простият множител p 2 – s 2 пъти и т.н., p n – s n пъти. Тогава разлагането на прости фактори на числото a може да бъде написано като a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Тази форма на запис е т.нар канонично разлагане на число на прости множители.
Нека дадем пример за канонично разлагане на число на прости множители. Уведомете ни за разграждането 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, неговата канонична нотация има формата 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.
Каноничното разлагане на число на прости множители ви позволява да намерите всички делители на числото и броя на делителите на числото.
Алгоритъм за разлагане на число на прости множители
За да се справите успешно със задачата да разложите число на прости множители, трябва много добре да познавате информацията в статията прости и съставни числа.
Същността на процеса на разлагане на положително цяло число a, което надвишава единица, е ясна от доказателството на основната теорема на аритметиката. Въпросът е да намерим последователно най-малките прости делители p 1, p 2, ..., p n на числата a, a 1, a 2, ..., a n-1, което ни позволява да получим поредица от равенства a=p 1 ·a 1, където a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , където a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , където a n =a n-1:p n . Когато се окаже, че a n =1, тогава равенството a=p 1 ·p 2 ·…·p n ще ни даде желаното разлагане на числото a на прости множители. Тук също трябва да се отбележи, че p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.
Остава да разберем как да намираме най-малките прости множители на всяка стъпка и ще имаме алгоритъм за разлагане на число на прости множители. Таблица с прости числа ще ни помогне да намерим прости множители. Нека покажем как да го използваме, за да получим най-малкия прост делител на числото z.
Вземаме последователно прости числа от таблицата на простите числа (2, 3, 5, 7, 11 и т.н.) и разделяме даденото число z на тях. Първото просто число, на което z е разделено равномерно, ще бъде неговият най-малък прост делител. Ако числото z е просто, тогава неговият най-малък прост делител ще бъде самото число z. Тук също трябва да се припомни, че ако z не е просто число, тогава неговият най-малък прост делител не превишава числото , където е от z. Така, ако сред простите числа, които не превишават , нямаше нито един делител на числото z, тогава можем да заключим, че z е просто число (повече за това е написано в раздела теория под заглавието Това число е просто или съставно ).
Като пример ще покажем как да намерим най-малкия прост делител на числото 87. Да вземем номер 2. Разделяме 87 на 2, получаваме 87:2=43 (остава 1) (ако е необходимо, вижте статията). Тоест, когато делим 87 на 2, остатъкът е 1, така че 2 не е делител на числото 87. Взимаме следващото просто число от таблицата с прости числа, това е числото 3. Разделяме 87 на 3, получаваме 87:3=29. Следователно 87 се дели на 3, следователно числото 3 е най-малкият прост делител на числото 87.
Обърнете внимание, че в общия случай, за да разложим числото a на прости множители, се нуждаем от таблица с прости числа до число не по-малко от . Ще трябва да се позоваваме на тази таблица на всяка стъпка, така че трябва да я имаме под ръка. Например, за да разделим числото 95 на прости множители, ще ни трябва само таблица с прости числа до 10 (тъй като 10 е по-голямо от ). И за да разложите числото 846 653, вече ще ви трябва таблица с прости числа до 1000 (тъй като 1000 е по-голямо от ).
Вече имаме достатъчно информация, за да я запишем алгоритъм за разлагане на число на прости множители. Алгоритъмът за разлагане на числото a е следният:
- Сортирайки последователно числата от таблицата на простите числа, намираме най-малкия прост делител p 1 на числото a, след което изчисляваме a 1 =a:p 1. Ако a 1 =1, то числото a е просто, а самото то е неговото разлагане на прости множители. Ако a 1 не е равно на 1, тогава имаме a=p 1 ·a 1 и преминаваме към следващата стъпка.
- Намираме най-малкия прост делител p 2 на числото a 1 , за да направим това, сортираме последователно числата от таблицата на простите числа, започвайки с p 1 , след което изчисляваме a 2 =a 1:p 2 . Ако a 2 =1, тогава изискваното разлагане на числото a на прости множители има формата a=p 1 ·p 2. Ако a 2 не е равно на 1, тогава имаме a=p 1 ·p 2 ·a 2 и преминаваме към следващата стъпка.
- Преминавайки през числата от таблицата на простите числа, започвайки с p 2, намираме най-малкия прост делител p 3 на числото a 2, след което изчисляваме a 3 =a 2:p 3. Ако a 3 =1, тогава изискваното разлагане на числото a на прости множители има формата a=p 1 ·p 2 ·p 3. Ако a 3 не е равно на 1, тогава имаме a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 и преминаваме към следващата стъпка.
- Намираме най-малкия прост делител p n на числото a n-1, като сортираме простите числа, започвайки с p n-1, както и a n =a n-1:p n, и a n е равно на 1. Тази стъпка е последната стъпка от алгоритъма, тук получаваме необходимото разлагане на числото a на прости множители: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.
За яснота всички резултати, получени на всяка стъпка от алгоритъма за разлагане на число на прости множители, са представени под формата на следната таблица, в която числата a, a 1, a 2, ..., a n са записани последователно в колона вляво от вертикалната линия, а вдясно от линията - съответните най-малки прости делители p 1, p 2, ..., p n.
Остава само да разгледаме няколко примера за приложението на получения алгоритъм за разлагане на числа на прости множители.
Примери за разлагане на прости множители
Сега ще разгледаме подробно примери за разлагане на числа на прости множители. При декомпозирането ще използваме алгоритъма от предходния параграф. Нека започнем с прости случаи и постепенно да ги усложним, за да се сблъскаме с всички възможни нюанси, които възникват при разлагането на числата на прости множители.
Пример.
Разложете числото 78 на прости множители.
Решение.
Започваме търсенето на първия най-малък прост делител p 1 на числото a=78. За да направим това, започваме последователно да сортираме прости числа от таблицата с прости числа. Вземаме числото 2 и разделяме 78 на него, получаваме 78:2=39. Числото 78 се дели на 2 без остатък, така че p 1 =2 е първият открит прост делител на числото 78. В този случай a 1 =a:p 1 =78:2=39. Така стигаме до равенството a=p 1 ·a 1 във вида 78=2·39. Очевидно 1 =39 е различно от 1, така че преминаваме към втората стъпка от алгоритъма.
Сега търсим най-малкия прост делител p 2 на числото a 1 =39. Започваме да изброяваме числата от таблицата на простите числа, започвайки с p 1 =2. Разделяме 39 на 2, получаваме 39:2=19 (остава 1). Тъй като 39 не се дели равномерно на 2, тогава 2 не е неговият делител. След това вземаме следващото число от таблицата на простите числа (число 3) и разделяме 39 на него, получаваме 39:3=13. Следователно p 2 =3 е най-малкият прост делител на числото 39, докато a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Имаме равенството a=p 1 ·p 2 ·a 2 във вида 78=2·3·13. Тъй като 2 =13 е различно от 1, преминаваме към следващата стъпка от алгоритъма.
Тук трябва да намерим най-малкия прост делител на числото a 2 =13. В търсене на най-малкия прост делител p 3 на числото 13 ще сортираме последователно числата от таблицата на простите числа, започвайки с p 2 =3. Числото 13 не се дели на 3, тъй като 13:3=4 (ост. 1), също така 13 не се дели на 5, 7 и 11, тъй като 13:5=2 (ост. 3), 13:7=1 (почивка 6) и 13:11=1 (почивка 2). Следващото просто число е 13 и 13 се дели на него без остатък, следователно най-малкият прост делител p 3 от 13 е самото число 13 и a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Тъй като a 3 =1, тази стъпка на алгоритъма е последната и изискваното разлагане на числото 78 на прости множители има формата 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).
отговор:
78=2·3·13.
Пример.
Изразете числото 83 006 като произведение на прости множители.
Решение.
На първата стъпка от алгоритъма за разлагане на число на прости множители намираме p 1 =2 и a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, от което 83,006=2·41,503.
Във втората стъпка откриваме, че 2, 3 и 5 не са прости делители на числото a 1 =41 503, но числото 7 е, тъй като 41 503:7 = 5 929. Имаме p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. Така 83 006=2 7 5 929.
Най-малкият прост делител на числото a 2 =5 929 е числото 7, тъй като 5 929:7 = 847. Така p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, от което 83 006 = 2·7·7·847.
След това откриваме, че най-малкият прост делител p 4 на числото a 3 =847 е равен на 7. Тогава a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, така че 83 006=2·7·7·7·121.
Сега намираме най-малкия прост делител на числото a 4 =121, това е числото p 5 =11 (тъй като 121 се дели на 11 и не се дели на 7). Тогава a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 и 83 006=2·7·7·7·11·11.
И накрая, най-малкият прост делител на числото a 5 =11 е числото p 6 =11. Тогава a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Тъй като a 6 =1, тази стъпка от алгоритъма за разлагане на число на прости множители е последна и желаното разлагане има формата 83 006 = 2·7·7·7·11·11.
Полученият резултат може да бъде записан като канонично разлагане на числото на прости множители 83 006 = 2·7 3 ·11 2.
отговор:
83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 е просто число. Наистина, той няма нито един прост делител, който да не надвишава ( може грубо да се оцени като , тъй като е очевидно, че 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
отговор:
897 924 289 = 937 967 991 .
Използване на тестове за делимост за разлагане на прости фактори
В прости случаи можете да разложите число на прости множители, без да използвате алгоритъма за разлагане от първия параграф на тази статия. Ако числата не са големи, тогава за да ги разложите на прости множители, често е достатъчно да знаете признаците на делимост. Нека дадем примери за пояснение.
Например, трябва да разделим числото 10 на прости множители. От таблицата за умножение знаем, че 2·5=10 и числата 2 и 5 очевидно са прости, така че разлагането на прости фактори на числото 10 изглежда като 10=2·5.
Още един пример. Използвайки таблицата за умножение, ще разложим числото 48 на прости множители. Знаем, че шест е осем - четиридесет и осем, тоест 48 = 6·8. Но нито 6, нито 8 са прости числа. Но знаем, че два пъти три е шест и два пъти четири е осем, тоест 6=2·3 и 8=2·4. Тогава 48=6·8=2·3·2·4. Остава да запомним, че две по две е четири, тогава получаваме желаното разлагане на прости множители 48 = 2·3·2·2·2. Нека запишем това разширение в канонична форма: 48=2 4 ·3.
Но когато разлагате числото 3400 на прости множители, можете да използвате критериите за делимост. Признаците за делимост на 10, 100 ни позволяват да твърдим, че 3400 се дели на 100, като 3400=34·100, а 100 се дели на 10, като 100=10·10, следователно 3400=34·10·10. И въз основа на теста за делимост на 2, можем да кажем, че всеки от факторите 34, 10 и 10 се дели на 2, получаваме 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Всички фактори в полученото разширение са прости, така че това разширение е желаното. Всичко, което остава, е да пренаредите факторите така, че да вървят във възходящ ред: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Нека запишем и каноничното разлагане на това число на прости множители: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.
Когато разлагате дадено число на прости множители, можете да използвате последователно както знаците за делимост, така и таблицата за умножение. Нека си представим числото 75 като произведение на прости множители. Тестът за делимост на 5 ни позволява да твърдим, че 75 се дели на 5 и получаваме, че 75 = 5·15. А от таблицата за умножение знаем, че 15=3·5, следователно 75=5·3·5. Това е необходимото разлагане на числото 75 на прости множители.
Референции.
- Виленкин Н.Я. и други. 6 клас: учебник за общообразователните институции.
- Виноградов I.M. Основи на теорията на числата.
- Михелович Ш.Х. Теория на числата.
- Куликов Л.Я. и др. Сборник задачи по алгебра и теория на числата: Учебник за студенти по физика и математика. специалности на педагогически институти.
(с изключение на 0 и 1) има поне два делителя: 1 и себе си. Наричат се числа, които нямат други делители просточисла. Числата, които имат други делители, се наричат композитен(или комплекс) числа. Има безкраен брой прости числа. Следните са прости числа, които не надвишават 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Умножение- една от четирите основни аритметични операции, двоична математическа операция, при която един аргумент се добавя толкова пъти, колкото и другият. В аритметиката умножението е кратка форма на добавяне на определен брой еднакви членове.
например, нотацията 5*3 означава „добавете три петици“, т.е. 5+5+5. Резултатът от умножението се нарича работа, а числата за умножение са умножителиили фактори. Първият фактор понякога се нарича " умножено».
Всяко съставно число може да бъде разложено на прости множители. При всеки метод се получава същото разширение, ако не вземете предвид реда, в който са записани факторите.
Факторизиране на число (Факторизация).
Факторизация (факторизация)- изброяване на делители - алгоритъм за разлагане на множители или тестване на простотата на число чрез пълно изброяване на всички възможни потенциални делители.
Тоест, с прости думи, факторизацията е името на процеса на факторизиране на числата, изразено на научен език.
Последователността на действията при разлагане на прости множители:
1. Проверете дали предложеното число е просто.
2. Ако не, тогава, ръководени от знаците за разделяне, избираме делител от прости числа, започвайки с най-малкото (2, 3, 5 ...).
3. Повтаряме това действие, докато частното се окаже просто число.
Всяко съставно число може да бъде разложено на прости множители. Може да има няколко метода за разлагане. И двата метода дават същия резултат.
Как да разложим число на прости множители по най-удобния начин? Нека да разгледаме как най-добре да направим това, използвайки конкретни примери.
Примери.
1) Разложете числото 1400 на прости множители.
1400 се дели на 2. 2 е просто число; Получаваме 700. Разделяме го на 2. Получаваме 350. Разделяме също 350 на 2. Полученото число 175 може да бъде разделено на 5. Резултатът е 35 - разделяме го отново на 5. Това може да бъде само 7 делено на 7. Получаваме 1, деление върху.
Едно и също число може да бъде факторизирано по различен начин:
Удобно е да разделите 1400 на 10. 10 не е просто число, така че трябва да се разложи на прости множители: 10=2∙5. Резултатът е 140. Разделяме го отново на 10=2∙5. Получаваме 14. Ако 14 се раздели на 14, тогава то също трябва да се разложи на произведение от прости множители: 14=2∙7.
Така отново стигнахме до същото разлагане като в първия случай, но по-бързо.
Извод: когато разлагаме едно число, не е необходимо да го разделяме само на прости множители. Разделяме на каквото е по-удобно, например на 10. Просто трябва да запомните да разлагате съставните делители на прости множители.
2) Разложете числото 1620 на прости множители.
Най-удобният начин да разделим числото 1620 е на 10. Тъй като 10 не е просто число, ние го представяме като произведение на прости множители: 10=2∙5. Получихме 162. Удобно е да го разделим на 2. Резултатът е 81. Числото 81 може да се раздели на 3, но на 9 е по-удобно. Тъй като 9 не е просто число, ние го разширяваме като 9=3∙3. Получаваме 9. Разделяме го също на 9 и го разширяваме в произведението на простите множители. какво станафакторизация?
Такива трансформации на математически език се наричат тъждествени трансформации на изрази. За тези, които не са запознати, вижте линка. Там има много малко, просто и полезно.) Смисълът на всяка трансформация на идентичността е записването на израза в друга формазапазвайки същността си.
Смисъл факторизацияизключително просто и ясно. Още от самото име. Може да забравите (или да не знаете) какво е множител, но можете да разберете, че тази дума идва от думата „умножаване“?) Факторинг означава: представляват израз под формата на умножаване на нещо по нещо. Да ме прощават математиката и руският език...) Това е всичко.
Например, трябва да разширите числото 12. Можете спокойно да напишете:
Затова представихме числото 12 като умножение на 3 по 4. Моля, обърнете внимание, че числата отдясно (3 и 4) са напълно различни от тези отляво (1 и 2). Но ние разбираме отлично, че 12 и 3 4 едно и също.Същността на числото 12 от трансформацията не се е променило.
Възможно ли е да се разложи 12 по различен начин? лесно!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........
Опциите за разлагане са безкрайни.
Факторингът на числа е полезно нещо. Помага много, например, когато работите с корени. Но разлагането на алгебрични изрази на множители е не само полезно, но и полезно необходимо!Само за пример:
Опростете:
Тези, които не знаят как да факторизират израза, почиват встрани. Тези, които знаят как - опростете и получете:
Ефектът е невероятен, нали?) Между другото, решението е доста просто. Ще се убедите сами по-долу. Или например тази задача:
Решете уравнението:
x 5 - x 4 = 0
Решава се в ума между другото. Използване на факторизиране. Ще решим този пример по-долу. отговор: x 1 = 0; х 2 = 1.
Или същото, но за по-старите):
Решете уравнението:
В тези примери, които показах основна целразлагане на множители: опростяване на дробни изрази и решаване на някои видове уравнения. Ето едно основно правило, което трябва да запомните:
Ако имаме страшен дробен израз пред нас, можем да опитаме да разложим числителя и знаменателя на множители. Много често фракцията се редуцира и опростява.
Ако имаме уравнение пред нас, където отдясно има нула, а отляво - не разбирам какво, можем да опитаме да разложим лявата страна на множители. Понякога помага).
Основни методи на факторизиране.
Ето ги най-популярните методи:
4. Разгъване на квадратен тричлен.
Тези методи трябва да се запомнят. Точно в този ред. Проверяват се сложни примери за всички възможни методи на разлагане.И е по-добре да проверите по ред, за да не се объркате ... Така че нека започнем по ред.)
1. Изваждане на общия множител извън скоби.
Лесен и надежден начин. Нищо лошо не идва от него! Случва се или добре, или изобщо не.) Ето защо той е на първо място. Нека да го разберем.
Всеки знае (вярвам!) правилото:
a(b+c) = ab+ac
Или по-общо:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Всички равенства работят както отляво надясно, така и обратно, отдясно наляво. Можете да напишете:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Това е целият смисъл на изваждането на общия множител извън скобите.
От лявата страна А - общ множителза всички условия. Умножено по всичко съществуващо). Вдясно е най-много Авече се намира извън скобите.
Ще разгледаме практическото приложение на метода с примери. Първоначално опцията е проста, дори примитивна.) Но в тази опция ще отбележа (в зелено) много важни точки за всяко факторизиране.
Факторизиране:
ах+9х
Което общдали множителят се появява и в двата термина? Х, разбира се! Ще го извадим от скоби. Нека направим това. Веднага записваме X извън скобите:
ax+9x=x(
И в скоби записваме резултата от делението всеки срокточно на този X. По ред:
Това е. Разбира се, няма нужда да се описва толкова подробно, това се прави в ума. Но е препоръчително да разберете какво е какво). Записваме в паметта:
Записваме общия множител извън скобите. В скоби записваме резултатите от разделянето на всички членове на този общ множител. По ред.
Така че разширихме израза ах+9хчрез множители. Превърнах го в умножаване на x по (a+9).Отбелязвам, че в оригиналния израз също имаше умножение, дори две: a·x и 9·x.Но то не беше факторизиран!Защото освен умножение, този израз съдържаше и събиране, знака “+”! И в израза x(a+9) Няма нищо друго освен умножение!
Как така!? - Чувам възмутения глас на хората - И в скоби!?)
Да, има добавяне в скобите. Но номерът е, че докато скобите не са отворени, ние ги разглеждаме като една буква.И ние извършваме всички действия изцяло със скоби, като с една буква.В този смисъл в израза x(a+9)Няма нищо освен умножение. Това е целият смисъл на факторизацията.
Между другото, възможно ли е по някакъв начин да проверим дали сме направили всичко правилно? лесно! Достатъчно е да умножите обратно това, което сте изложили (x) със скоби и да видите дали работи оригиналенизраз? Ако работи, всичко е страхотно!)
x(a+9)=ax+9x
Работи.)
В този примитивен пример няма проблеми. Но ако има няколко термина, и дори с различни знаци... Накратко, всеки трети ученик бърка). Следователно:
Ако е необходимо, проверете факторизирането чрез обратно умножение.
Факторизиране:
3ax+9x
Търсим общ фактор. Е, всичко е ясно с X, може да се извади. Има ли още общфактор? да Това е тройка. Можете да напишете израза така:
3ax+3 3x
Тук веднага става ясно, че общият фактор ще бъде 3x. Тук го изваждаме:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Разстелете се.
Какво ще стане, ако го извадите само х?Нищо специално:
3ax+9x=x(3a+9)
Това също ще бъде факторизиране. Но в този завладяващ процес е обичайно да се излага всичко до краен предел, докато има възможност. Тук в скоби има възможност за поставяне на тройка. Ще се окаже:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Същото нещо, само с едно допълнително действие.) Запомнете:
Когато изваждаме общия множител извън скоби, се опитваме да извадим максимумобщ фактор.
Да продължим ли със забавлението?)
Разложете израза на множители:
3ах+9х-8а-24
Какво ще отнесем? Три, X? Не... Не можеш. Напомням ви, че можете да извадите само общмножител, който е във всичкиусловия на израза. Ето защо той общ.Тук няма такъв множител... Какво, не е нужно да го разширявате!? Е, да, бяхме толкова щастливи... Запознайте се:
2. Групиране.
Всъщност групирането трудно може да се нарече независим метод на факторизиране. Това е по-скоро начин да излезете от сложен пример.) Трябва да групирате термините, така че всичко да работи. Това може да се покаже само с пример. И така, имаме израза:
3ах+9х-8а-24
Вижда се, че има някои общи букви и цифри. но... генералняма множител, който да бъде във всички условия. Нека не падаме духом и разбийте израза на парчета.Групиране. Така че всяко парче има общ фактор, има какво да се отнеме. Как да го счупим? Да, просто поставяме скоби.
Нека ви напомня, че скобите могат да се поставят навсякъде и както пожелаете. Само същността на примера не се е променило.Например, можете да направите това:
3ах+9х-8а-24=(3ax+9x)-(8a+24)
Моля, обърнете внимание на вторите скоби! Те са предшествани от знак минус и 8аИ 24 стана положителен! Ако, за да проверим, отворим скобите обратно, знаците ще се променят и ще получим оригиналенизразяване. Тези. същността на израза от скобите не се е променила.
Но ако просто сте вмъкнали скоби, без да вземете предвид промяната на знака, например, така:
3ах+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )
би било грешка. Вдясно - вече другоизразяване. Отворете скобите и всичко ще стане видимо. Не е нужно да решавате повече, да...)
Но да се върнем към факторизирането. Нека да разгледаме първите скоби (3ax+9x)и си мислим, има ли нещо, което можем да извадим? Е, ние решихме този пример по-горе, можем да го вземем 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
Нека проучим вторите скоби, можем да добавим осмица там:
(8a+24)=8(a+3)
Целият ни израз ще бъде:
(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)
Факторизиран? не Резултатът от разграждането трябва да бъде само умножениено при нас минусът разваля всичко. Но... И двата термина имат общ фактор! това (a+3). Не напразно казах, че целите скоби са като че ли една буква. Това означава, че тези скоби могат да бъдат извадени от скоби. Да, точно така звучи.)
Правим както е описано по-горе. Записваме общия множител (a+3), във вторите скоби записваме резултатите от разделянето на членовете на (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
всички! Отдясно няма нищо освен умножение! Това означава, че факторизирането е завършено успешно!) Ето го:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Нека повторим накратко същността на групата.
Ако изразът не го прави общмножител за всичкиусловия, разделяме израза в скоби, така че вътре в скобите общият множител беше.Изваждаме го и ще видим какво ще стане. Ако имате късмет и в скобите са останали абсолютно идентични изрази, ние преместваме тези скоби извън скобите.
Ще добавя, че групирането е творчески процес). Не винаги се получава от първия път. Всичко е наред. Понякога трябва да разменяте термини и да обмисляте различни опции за групиране, докато намерите успешен. Основното тук е да не падате сърце!)
Примери.
Сега, след като сте се обогатили със знания, можете да решавате трудни примери.) В началото на урока имаше три от тези...
Опростете:
По същество вече сме решили този пример. Без да знаем за себе си.) Напомням ви: ако ни бъде дадена ужасна дроб, ние се опитваме да разделим числителя и знаменателя на множители. Други опции за опростяване просто не.
Е, знаменателят тук не е разширен, но числителят... Вече разширихме числителя по време на урока! като това:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Записваме резултата от разширението в числителя на дробта:
Съгласно правилото за съкращаване на дроби (основното свойство на дробите), можем да разделим (едновременно!) числителя и знаменателя на едно и също число или израз. Част от това не се променя.Така че разделяме числителя и знаменателя на израза (3x-8). И тук-таме ще получим такива. Крайният резултат от опростяването:
Бих искал специално да подчертая: намаляването на дроб е възможно тогава и само ако в числителя и знаменателя, в допълнение към умножаването на изрази няма нищо.Ето защо преобразуването на сбора (разликата) в умножениетолкова важно за опростяването. Разбира се, ако изразите различен,тогава нищо няма да се намали. Ще се случи. Но факторизиране дава шанс.Този шанс без разграждане просто го няма.
Пример с уравнение:
Решете уравнението:
x 5 - x 4 = 0
Изваждаме общия множител х 4извън скоби. Получаваме:
х 4 (х-1)=0
Разбираме, че произведението на множителите е равно на нула тогава и само тогава,когато някой от тях е нула. Ако се съмнявате, намерете ми няколко ненулеви числа, които, когато се умножат, ще дадат нула.) Така че първо пишем първия фактор:
При такова равенство вторият фактор не ни засяга. Всеки може да бъде, но накрая пак ще е нула. Какво число на четвърта степен дава нулата? Само нула! И никой друг... Следователно:
Разбрахме първия фактор и намерихме един корен. Нека разгледаме втория фактор. Сега вече не ни интересува първият фактор.):
Тук намерихме решение: x 1 = 0; х 2 = 1. Всеки от тези корени отговаря на нашето уравнение.
Много важна забележка. Моля, имайте предвид, че решихме уравнението парче по парче!Всеки фактор беше равен на нула, независимо от други фактори.Между другото, ако в такова уравнение няма два множителя, като нашето, а три, пет, колкото искате, ще решим абсолютно същото.Парче по парче. Например:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Всеки, който отвори скобите и умножи всичко, ще остане завинаги в това уравнение.) Правилният ученик веднага ще види, че няма нищо отляво освен умножение и нула отдясно. И той ще започне (наум!) да приравнява всички скоби на нула. И той ще получи (за 10 секунди!) правилното решение: x 1 = 1; х 2 = -5; х 3 = 3; х 4 = -2.
Готино, нали?) Такова елегантно решение е възможно, ако лявата страна на уравнението факторизирани.Разбра ли подсказката?)
Е, един последен пример, за по-старите):
Решете уравнението:
Донякъде прилича на предишния, не мислите ли?) Разбира се. Време е да си припомним, че в алгебрата за седми клас синуси, логаритми и всичко друго може да се крие под буквите! Факторингът работи в цялата математика.
Изваждаме общия множител lg 4 xизвън скоби. Получаваме:
log 4 x=0
Това е един корен. Нека разгледаме втория фактор.
Ето и окончателния отговор: x 1 = 1; х 2 = 10.
Надявам се, че сте осъзнали силата на разлагането на множители при опростяването на дроби и решаването на уравнения.)
В този урок научихме за общо факторизиране и групиране. Остава да разберем формулите за съкратено умножение и квадратния тричлен.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Какво означава факторинг? Това означава намиране на числа, чийто продукт е равен на оригиналното число.
За да разберем какво означава разлагане на множители, нека разгледаме един пример.
Пример за разлагане на число
Разложете числото 8 на множители.
Числото 8 може да бъде представено като произведение от 2 на 4:
Представянето на 8 като произведение на 2 * 4 означава разлагане на множители.
Обърнете внимание, че това не е единственото факторизиране на 8.
В крайна сметка 4 се разлага на множители по следния начин:
Оттук 8 могат да бъдат представени:
8 = 2 * 2 * 2 = 2 3
Нека проверим нашия отговор. Нека намерим на какво е равно факторизирането:
Тоест получихме оригиналния номер, отговорът е правилен.
Разложете числото 24 на прости множители
Как да разделим числото 24 на прости множители?
Едно число се нарича просто, ако се дели само на едно и на себе си.
Числото 8 може да бъде представено като произведение от 3 по 8:
Тук числото 24 е разложено на множители. Но заданието казва „разложете числото 24 на прости множители“, т.е. Това са основните фактори, които са необходими. И в нашето разширение 3 е прост множител, а 8 не е прост множител.
