Postoje sljedeći oblici kompleksnih brojeva: algebarski(x+iy), trigonometrijski(r(cos+isin 
)),
indikativno(re i 
).
Bilo koji kompleksni broj z=x+iy može se predstaviti na XOU ravni kao tačka A(x,y).
Ravan na kojoj su prikazani kompleksni brojevi naziva se ravan kompleksne varijable z (na ravan stavljamo simbol z).
Osa OX je prava osa, tj. sadrži realne brojeve. OU je imaginarna osa sa imaginarnim brojevima.
x+iy- algebarski oblik pisanja kompleksnog broja.
Izvedemo trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja.
Dobijene vrijednosti zamjenjujemo u početni oblik: , tj.
r(cos
+isin
)
- trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja.
Eksponencijalni oblik pisanja kompleksnog broja slijedi iz Eulerove formule: 
,Onda 
z= re i 
- eksponencijalni oblik pisanja kompleksnog broja.
Operacije nad kompleksnim brojevima.
1. dodatak. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2 . oduzimanje. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);
3. množenje. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);
4
. divizije. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]= 
Dva kompleksna broja koja se razlikuju samo po predznaku imaginarne jedinice, tj. z=x+iy (z=x-iy) se nazivaju konjugati.
Posao.
z1=r(cos 
+isin 
); z2=r(cos 
+isin 
).
Taj proizvod z1*z2 kompleksnih brojeva nalazi se: , tj. modul proizvoda je jednak umnošku modula, a argument proizvoda jednak je zbiru argumenata faktora.
;
;
Privatno.
Ako su kompleksni brojevi dati u trigonometrijskom obliku.
Ako su kompleksni brojevi dati u eksponencijalnom obliku.
Eksponencijacija.
1. Složeni broj dat u algebarski formu.
z=x+iy, tada se z n nalazi pomoću Newtonova binomna formula:
- broj kombinacija od n elemenata od m (broj načina na koje se n elemenata iz m može uzeti).
; n!=1*2*…*n; 0!=1; 
.
Prijavite se za kompleksne brojeve.
U rezultirajućem izrazu, trebate zamijeniti stepene i njihovim vrijednostima:
i 0 =1 Dakle, u opštem slučaju dobijamo: i 4k =1
i 1 =i i 4k+1 =i
i 2 =-1 i 4k+2 =-1
i 3 =-i i 4k+3 =-i
Primjer.
i 31 = i 28 i 3 =-i
i 1063 = i 1062 i=i
2. trigonometrijski formu.
z=r(cos 
+isin 
), To
- Moivreova formula.
Ovdje n može biti “+” ili “-” (cijeli broj).
3. Ako je dat kompleksan broj indikativno oblik:
Ekstrakcija korijena.
Razmotrimo jednačinu: 
.
Njegovo rješenje bit će n-ti korijen kompleksnog broja z: 
.
N-ti korijen kompleksnog broja z ima tačno n rješenja (vrijednosti). N-ti korijen realnog broja ima samo jedno rješenje. U složenim postoji n rješenja.
Ako je dat kompleksan broj trigonometrijski oblik:
z=r(cos 
+isin 
), tada se n-ti korijen od z nalazi po formuli:
, gdje je k=0,1…n-1.
Redovi. Brojne serije.
Neka promenljiva a uzima sekvencijalno vrednosti a 1, a 2, a 3,…, a n. Takav prenumerirani skup brojeva naziva se niz. To je beskrajno.
Brojevni niz je izraz a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= 
. Brojevi a 1, a 2, a 3,... i n su članovi niza.
Na primjer.
i 1 je prvi član serije.
i n je n-ti ili uobičajeni član serije.
Smatra se da je niz dat ako je poznat n-ti (uobičajeni pojam serije).
Brojevni niz ima beskonačan broj pojmova.
Brojači – aritmetička progresija (1,3,5,7…).
N-ti član se nalazi po formuli a n =a 1 +d(n-1); d=a n -a n-1 .
imenilac – geometrijska progresija. b n =b 1 q n-1 ; 
.
Razmotrimo zbir prvih n članova niza i označimo ga Sn.
Sn=a1+a2+…+a n.
Sn je n-ti parcijalni zbir niza.
Uzmite u obzir ograničenje: 
S je zbir niza.
Red konvergentan , ako je ova granica konačna (postoji konačna granica S).
Red divergentan , ako je ova granica beskonačna.
U budućnosti, naš zadatak je da ustanovimo koji red.
Jedna od najjednostavnijih, ali najčešćih serija je geometrijska progresija.
, C=konst.
Geometrijska progresija jekonvergentan
blizu, Ako 
, i divergentno ako 
.
Također pronađeno harmonične serije(red 
). Ovaj red divergentan
.
REALNI BROJEVI II
§ 44 Geometrijski prikaz realnih brojeva
Geometrijski realni brojevi, kao i racionalni brojevi, predstavljeni su tačkama na pravoj.
Neka l je proizvoljna prava linija, a O neke od njenih tačaka (slika 58). Svaki pozitivan realan broj α pridružimo tačku A, koja leži desno od O na udaljenosti od α jedinice dužine.
ako npr. α = 2,1356..., dakle
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
itd. Očigledno, tačka A u ovom slučaju mora biti na pravoj liniji l desno od tačaka koje odgovaraju brojevima
2; 2,1; 2,13; ... ,
ali lijevo od tačaka koje odgovaraju brojevima
3; 2,2; 2,14; ... .
Može se pokazati da ovi uvjeti definiraju na liniji l jedina tačka A, koju smatramo geometrijskom slikom realnog broja α = 2,1356... .
Isto tako, za svaki negativan realan broj β pridružimo tačku B koja leži lijevo od O na udaljenosti od | β | jedinice dužine. Konačno, broj "nula" povezujemo sa tačkom O.
Dakle, broj 1 će biti prikazan na pravoj liniji l tačka A, koja se nalazi desno od O na udaljenosti od jedne jedinice dužine (slika 59), broj - √2 - do tačke B, koja se nalazi levo od O na udaljenosti od √2 jedinice dužine, itd. .
Hajde da pokažemo kako na pravoj liniji l pomoću šestara i ravnala možete pronaći tačke koje odgovaraju realnim brojevima √2, √3, √4, √5, itd. Da bismo to uradili, prvo ćemo pokazati kako možete konstruisati segmente čije su dužine izražene prema ovim brojevima. Neka je AB odsječak uzet kao jedinica dužine (slika 60).
U tački A konstruišemo okomitu na ovaj segment i na nju iscrtamo segment AC jednak segmentu AB. Zatim, primjenom Pitagorine teoreme na pravougli trokut ABC, dobijamo; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2
Dakle, segment BC ima dužinu √2. Sada konstruirajmo okomicu na segment BC u tački C i na njoj izaberimo tačku D tako da je segment CD jednak jednoj jedinici dužine AB. Onda od pravougaonog trougla Nađimo BCD:
VD = √VC 2 + SD 2 = √2+1 = √3
Dakle, segment BD ima dužinu √3. Nastavljajući dalje opisani proces, mogli bismo dobiti segmente BE, BF, ... čije su dužine izražene brojevima √4, √5, itd.
Sada na pravoj liniji l lako je pronaći one tačke koje služe kao geometrijski prikaz brojeva √2, √3, √4, √5, itd.
Odlaganjem, na primer, segmenta BC desno od tačke O (slika 61), dobijamo tačku C, koja služi kao geometrijska slika broja √2. Na isti način, stavljanjem segmenta BD desno od tačke O, dobijamo tačku D", koja je geometrijska slika broja √3, itd.
Međutim, ne treba misliti da koristite šestar i ravnalo na brojevnoj liniji l može se pronaći tačka koja odgovara bilo kojem realnom broju. Dokazano je, na primjer, da je, ako imate na raspolaganju samo šestar i ravnalo, nemoguće konstruisati segment čija je dužina izražena brojem π = 3,14 ... . Dakle, na brojevnoj pravoj l uz pomoć ovakvih konstrukcija nemoguće je naznačiti tačku koja odgovara ovom broju, ali takva tačka postoji.
Dakle, za svaki realan broj α moguće je povezati neku dobro definisanu tačku sa pravom linijom l . Ova tačka će biti udaljena od polazna tačka O u daljini | α | jedinice dužine i biti desno od O ako α > 0, a lijevo od O, ako α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две razne tačke ravno l . U stvari, neka broj α tačka A odgovara, a broj β - tačka B. Onda, ako α > β , tada će A biti desno od B (slika 62, a); ako α < β , tada će A ležati lijevo od B (slika 62, b).
Govoreći u § 37 o geometrijskoj slici racionalnih brojeva, postavili smo pitanje: može li se bilo koja tačka na pravoj smatrati geometrijskom slikom nekog racionalno brojevi? Tada nismo mogli odgovoriti na ovo pitanje; Sada možemo sasvim sigurno odgovoriti. Na pravoj postoje tačke koje služe kao geometrijski prikaz iracionalnih brojeva (na primjer, √2). Stoga, ne predstavlja svaka tačka na pravoj racionalan broj. Ali u ovom slučaju postavlja se još jedno pitanje: može li se bilo koja tačka na brojevnoj pravoj smatrati geometrijskom slikom neke validan brojevi? Ovo pitanje je već pozitivno riješeno.
Zaista, neka je A proizvoljna tačka na pravoj l , koji leži desno od O (Sl. 63).
Dužina segmenta OA je izražena nekim pozitivnim realnim brojem α (vidi § 41). Dakle, tačka A je geometrijska slika broja α . Slično je utvrđeno da se svaka tačka B koja leži lijevo od O može smatrati geometrijskom slikom negativnog realnog broja - β , Gdje β - dužina segmenta VO. Konačno, tačka O služi kao geometrijski prikaz broja nula. Jasno je da su dvije različite tačke na pravoj l ne može biti geometrijska slika istog realnog broja.
Iz gore navedenih razloga, prava linija na kojoj je određena tačka O označena kao „početna“ tačka (za datu jedinicu dužine) naziva se brojevnu liniju.
Zaključak. Skup svih realnih brojeva i skup svih tačaka na brojevnoj pravoj su u korespondenciji jedan prema jedan.
To znači da svakom realnom broju odgovara jedna, dobro definisana tačka na brojevnoj pravoj, i obrnuto, svakoj tački na brojevnoj pravoj, sa takvom korespondencijom, odgovara jedan, dobro definisan realan broj.
Vježbe
320. Odredi koja je od dvije tačke lijevo, a koja desno na brojevnoj pravoj, ako ove tačke odgovaraju brojevima:
a) 1,454545... i 1,455454...; c) 0 i - 1,56673...;
b) - 12,0003... i - 12,0002...; d) 13.24... i 13.00....
321. Pronađi koja se od dvije tačke nalazi na brojevnoj pravoj dalje od početne tačke O, ako ove tačke odgovaraju brojevima:
a) 5,2397... i 4,4996...; .. c) -0,3567... i 0,3557... .
d) - 15,0001 i - 15,1000...;
322. U ovom dijelu je pokazano da je za konstruiranje odsječka dužine √ n koristeći šestar i lenjir, možete postupiti na sledeći način: prvo konstruisati segment dužine √2, zatim segment dužine √3, itd., dok ne dođemo do segmenta dužine √ n . Ali za svaki fiksni P > 3 ovaj proces se može ubrzati. Kako biste, na primjer, počeli konstruirati segment dužine √10?
323*. Kako koristiti šestar i ravnalo da pronađemo tačku na brojevnoj pravoj koja odgovara broju 1 / α , ako je pozicija tačke koja odgovara broju α , je li poznato?
Ekspresivan geometrijski prikaz sistema racionalnih brojeva može se dobiti na sledeći način.
Na određenoj pravoj liniji, „numeričkoj osi“, označavamo segment od O do 1 (slika 8). Ovo postavlja dužinu jediničnog segmenta, koji se, općenito govoreći, može proizvoljno birati. Pozitivni i negativni cijeli brojevi su tada predstavljeni skupom jednako raspoređenih tačaka na brojevnoj osi, naime pozitivni brojevi su označeni desno, a negativni brojevi lijevo od tačke 0. Da bismo prikazali brojeve sa nazivnikom n, podijelimo svaki od rezultirajući segmenti jedinične dužine na n jednakih dijelova; Tačke dijeljenja će predstavljati razlomke sa nazivnikom n. Ako to učinimo za vrijednosti n koje odgovaraju svim prirodnim brojevima, tada će svaki racionalni broj biti prikazan nekom točkom na brojevnoj osi. Složićemo se da ove tačke nazovemo „racionalnim“; Općenito ćemo koristiti pojmove “racionalni broj” i “racionalna tačka” kao sinonime.
U poglavlju I, § 1, relacija nejednakosti A je definisana za bilo koji par racionalnih tačaka, onda je prirodno pokušati da se generalizuje odnos aritmetičke nejednakosti na način da se sačuva ovaj geometrijski red za tačke koje se razmatraju. To je moguće ako prihvatimo sljedeću definiciju: kažu da je racionalan broj A manje od racionalnog broja B (A je veći od broja A (B>A), ako razlika VA pozitivno. To implicira (za A između A i B su oni koji su i >A i segment (ili segment) i označeno je sa [A, B] (a sam skup međutačaka je interval(ili između), označeno (A, B)).
Udaljenost proizvoljne tačke A od početka 0, koja se smatra pozitivnim brojem, naziva se apsolutna vrijednost A i označen je simbolom
koncept " apsolutna vrijednost" je definiran na sljedeći način: ako je A≥0, onda je |A| = A; ako je A
|A + B|≤|A| + |B|,
što je tačno bez obzira na znakove A i B.
Činjenica od fundamentalne važnosti izražena je sljedećom rečenicom: racionalne tačke su gusto smještene svuda na brojevnoj pravoj. Značenje ove izjave je da svaki interval, ma koliko mali, sadrži racionalne tačke. Za provjeru valjanosti navedene tvrdnje dovoljno je broj n uzeti toliko da će interval biti manji od zadanog intervala (A, B); tada će barem jedna od tačaka gledišta biti unutar ovog intervala. Dakle, ne postoji takav interval na brojevnoj pravoj (čak i najmanji koji se može zamisliti) unutar kojeg ne bi bilo racionalnih tačaka. Ovo dovodi do daljeg zaključka: svaki interval sadrži beskonačan skup racionalnih tačaka. Zaista, ako bi određeni interval sadržavao samo konačan broj racionalnih tačaka, onda unutar intervala formiranog od dvije susjedne takve tačke više ne bi bilo racionalnih tačaka, a to je u suprotnosti s onim što je upravo dokazano.
ULAZNICA 1
Racionalno brojevi – brojevi zapisani u obliku p/q, gdje je q prirodan broj. broj, a p je cijeli broj.
Dva broja a=p1/q1 i b=p2/q2 nazivaju se jednakima ako je p1q2=p2q1, i p2q1 i a>b ako je p1q2
ULAZNICA 2
Kompleksni brojevi. Kompleksni brojevi
Algebarska jednadžba je jednadžba oblika: P n ( x) = 0, gdje je P n ( x) - polinom n- o stepen. Par realnih brojeva x I at Nazovimo ga uređenim ako je naznačeno koji se od njih smatra prvim, a koji drugim. Naručeni par notacija: ( x, y). Kompleksni broj je proizvoljan uređen par realnih brojeva. z = (x, y)-kompleksni broj.
x-pravi deo z, y-imaginarni dio z. Ako x= 0 i y= 0, onda z= 0. Uzmimo z 1 = (x 1 , y 1) i z 2 = (x 2 , y 2).
Definicija 1. z 1 = z 2 ako je x 1 = x 2 i y 1 = y 2.
Koncepti > i< для комплексных чисел не вводятся.
Geometrijski prikaz i trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva.
M( x, y) « z = x + iy.
½ OM½ = r =½ z½ = .(slika)
r se naziva modulom kompleksnog broja z.
j se naziva argument kompleksnog broja z. Određuje se sa tačnošću od ± 2p n.
X= rcosj, y= rsinj.
z= x+ iy= r(cosj + i sinj) je trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva.
Izjava 3.
= (cos + i grijeh),
= (cos + i greh), onda
= (cos(+) + i sin( + )),
= (cos(-)+ i sin( - )) na ¹0.
Izjava 4.
Ako z=r(cosj+ i sinj), zatim "prirodna n:
= (cos nj + i grijeh nj),
ULAZNICA 3
Neka X- numerički skup koji sadrži najmanje jedan broj (neprazan skup).
xÎ X- x sadržano u X. ; xÏ X- x ne pripadaju X.
Definicija: Gomila X naziva se ograničenim odozgo (ispod) ako postoji broj M(m) takav da za bilo koji x Î X važi nejednakost x £ M (x ³ m), dok je broj M naziva se gornja (donja) granica skupa X. Gomila X se kaže da je ograničen iznad ako je $ M, " x Î X: x £ M. Definicija neograničen set odozgo. Gomila X kaže se da je neograničeno odozgo ako " M $ x Î X: x> M. Definicija gomila X se naziva ograničenim ako je omeđen odozgo i odozdo, odnosno $ M, m takav da " x Î X: m £ x £ M. Ekvivalentna definicija ogre mn-va: Set X naziva se ograničenim ako $ A > 0, " x Î X: ½ x½£ A. Definicija: Najmanja gornja granica skupa ograničenog odozgo X naziva se njegov supremum, a označava se Sup X
(supremum). =Sup X. Slično, može se tačno odrediti
donja ivica. Ekvivalentno definicija tačna gornja granica:
Broj se naziva supremum skupa X, Ako: 1) " x Î X: X£ (ovaj uslov pokazuje da je to jedna od gornjih granica). 2) " < $ x Î X: X> (ovaj uslov pokazuje da -
najmanja gornja strana).
Sup X= :
1. " xÎ X: x £ .
2. " < $ xÎ X: x> .
inf X(infimum) je tačan infimum. Postavimo pitanje: da li svaki ograničeni skup ima tačne rubove?
primjer: X= {x: x>0) nema najmanji broj.
Teorema o postojanju egzaktnog gornjeg (donjeg) lica. Bilo koja neprazna gornja (donja) granica xÎR ima tačno gornje (donje) lice.
Teorema o odvojivosti numeričkih brojeva:▀▀▄
ULAZNICA 4
Ako je svakom prirodnom broju n (n=1,2,3..) dodeljen odgovarajući broj Xn, onda kažu da je on definisan i dat podsekvenca x1, x2..., upišite (Xn), (Xn) Primjer: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,...Naziv granice. odozgo (odozdo) ako je skup tačaka x=x1,x2,…xn koje leže na numeričkoj osi ograničen odozgo (odozdo), tj. $C:Xn£C" Ograničenje redoslijeda: broj a se naziva granicom niza ako je za bilo koje ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N nejednakosti |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
at n>N.
Jedinstvenost granice ograničen i konvergentan niz
Svojstvo 1: Konvergentni niz ima samo jedno ograničenje.
Dokaz: kontradiktorno neka A I b granice konvergentnog niza (x n), a a nije jednako b. razmotrimo infinitezimalne nizove (α n )=(x n -a) i (β n )=(x n -b). Jer svi elementi b.m. nizovi (α n -β n ) imaju istu vrijednost b-a, tada po svojstvu b.m. nizovi b-a=0 tj. b=a i došli smo do kontradikcije.
Svojstvo 2: Konvergentni niz je ograničen.
Dokaz: Neka je a granica konvergentnog niza (x n), tada je α n =x n -a element b.m. sekvence. Uzmimo bilo koji ε>0 i koristimo ga da pronađemo N ε: / x n -a/< ε при n>N ε . Označimo sa b najveći od brojeva ε+/a/, /h1/, /h2/,…,/h N ε-1 /,h N ε. Očigledno je da / x n /
Napomena: ograničeni niz možda neće biti konvergentan.
ULAZNICA 6
Niz a n naziva se beskonačno mali, što znači da je granica ovog niza nakon 0.
a n – infinitezimalno Û lim(n ® + ¥)a n =0, odnosno za bilo koje ε>0 postoji N tako da je za bilo koje n>N |a n |<ε
Teorema. Zbir infinitezimalnog je beskonačno mali.
a n b n ®infinitezimalno Þ a n +b n – beskonačno malo.
Dokaz.
a n - infinitezimalno Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - infinitezimalno Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
Postavimo N=max(N 1 ,N 2 ), tada su za bilo koje n>N Þ obe nejednakosti istovremeno zadovoljene:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
Postavimo "ε 1 >0, postavimo ε=ε 1 /2. Tada za bilo koje ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
je a n + b n – infinitezimalno.
Teorema Umnožak infinitezimalnog je beskonačno mali.
a n ,b n – beskonačno malo Þ a n b n – infinitezimalno.
Dokaz:
Postavimo "ε 1 >0, stavimo ε=Öε 1, pošto su a n i b n beskonačno mali za ovo ε>0, onda postoji N 1: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
Uzmimo N=max (N 1 ;N 2 ), tada je "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n – infinitezimalno, što je trebalo dokazati.
Teorema Proizvod ograničenog niza i infinitezimalnog niza je beskonačno mali niz
i n je ograničen niz
a n – beskonačno mali niz Þ a n a n – beskonačno mali niz.
Dokaz: Pošto je n ograničen Û $S>0: "nO NÞ |a n |£C
Postavimo "ε 1 >0; postavimo ε=ε 1 /C; pošto je n infinitezimalno, onda je ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – infinitezimalno Slijed se zove BBP(u nizu) ako pišu. Očigledno, BBP nije ograničen. Suprotna izjava je općenito lažna (primjer). Ako za velike nčlanova, onda napišite ovo znači da čim. Slično se određuje i značenje unosa Beskonačno velike sekvence a n =2 n ;
b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n Definicija(beskonačno velike sekvence) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥, ako je "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε gdje je ε proizvoljno malo. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥, ako je "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε ULAZNICA 7 Teorema “O konvergenciji monotone. zadnji" Bilo koji monotoni niz je konvergentan, tj. ima granice. Dokument Neka je niz (xn) monotono rastući. i ograničen je odozgo. X – cijeli skup brojeva koji prihvata element ovog niza prema konvenciji. Broj teorema je ograničen, prema tome, prema Teorema ima konačnu tačnu gornju granicu. face supX xn®supX (supX označavamo sa x*). Jer x* tačan vrh. lice, onda xn£x* " n. " e >0 živac je van $ xm (neka je m n sa poklopcem): xm>x*-e sa " n>m => iz naznačene 2 nejednačine dobijamo druga nejednakost x*-e£xn£x*+e za n>m je ekvivalentna ½xn-x*1 ULAZNICA 8 Eksponent ili broj e R-rimski broj niz sa zajedničkim pojmom xn=(1+1/n)^n (na stepen n)(1) . Ispada da se niz (1) monotono povećava, omeđen je odozgo i konvergentan; granica ovog niza naziva se eksponencijalna i označava se simbolom e»2.7128... Broj e ULAZNICA 9 Princip ugniježđenih segmenata Neka se brojevnoj pravoj zada niz segmenata ,,...,,... Štaviše, ovi segmenti zadovoljavaju sljedeće. stanje: 1) svaki sljedeći je ugniježđen u prethodni, tj. M, "n=1,2,…; 2) Dužine odsječaka ®0 kako n raste, tj. lim(n®¥)(bn-an)=0. Sekvence sa navedenim svecima nazivaju se ugniježđenim. Teorema Svaki niz ugniježđenih segmenata sadrži jednu tačku c koja pripada svim segmentima niza istovremeno, sa zajedničkom tačkom svih segmenata na koje su skupljeni. Dokument(an) - redosled levih krajeva segmenata fenomena. monotono neopadajuća i odozgo ograničena brojem b1. (bn) - niz desnih krajeva nije monotono rastući, dakle ovi nizovi pojava. konvergentno, tj. postoje brojevi c1=lim(n®¥)an i c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - njihov opšte značenje. Zaista, ima granicu lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) zbog uslova 2) o= lim(n®¥) (bn- an)=s2-s1=> s1=s2=s Jasno je da je t.c zajednički za sve segmente, budući da je "n an£c£bn. Sada ćemo dokazati da je jedan. Pretpostavimo da je $ još jedan c' na koji su svi segmenti skupljeni. Ako uzmemo bilo koje segmente c i c' koji se ne sijeku, tada bi s jedne strane cijeli "rep" nizova (an), (bn) trebao biti smješten u blizini tačke c'' (pošto an i bn konvergiraju u c i c' istovremeno). Kontradikcija je tačna. ULAZNICA 10 Bolzano-Weierstrassova teorema
Od bilo kog reza. Nakon toga možete odabrati okupljanje. Podnastavni plan 1. Pošto je niz ograničen, onda su $ m i M, takvi da je " m£xn£M, " n. D1= – segment u kojem leže sve t-ki sekvence. Hajde da ga podelimo na pola. Najmanje jedna od polovica će sadržavati beskonačno broj t-k poslije. D2 je polovina na kojoj se nalazi beskonačan broj t-k sekvenci. Podijelimo ga na pola. Barem u jednoj od polovina neg. D2 ima beskonačan broj sekvenci. Ova polovina je D3. Podijelite segment D3... itd. dobijamo niz ugniježđenih segmenata, čije dužine teže 0. Prema pravilu o ugniježđenim segmentima, $ jedinica. t-ka S, kat. pripadanje svi segmenti D1, bilo koji t-tu Dn1. U segmentu D2 biram tačku xn2, tako da je n2>n1. U segmentu D3... itd. Kao rezultat, posljednja riječ je xnkÎDk. ULAZNICA 11 ULAZNICA 12 fundamentalno U zaključku razmatramo pitanje kriterija konvergencije numeričkog niza. Neka tj.: Dobili smo sljedeću izjavu: Ako se niz konvergira, uslov je zadovoljen Cauchy: Redoslijed brojeva zadovoljava Cauchyjev uslov se zove fundamentalno. Može se dokazati da je i obrnuto tačno. Dakle, imamo kriterijum (neophodan i dovoljan uslov) za konvergenciju niza. Cauchyjev kriterijum. Da bi niz imao granicu, neophodno je i dovoljno da bude fundamentalan. Drugo značenje Cauchyjevog kriterija.Članovi niza i gdje n I m– svako približavanje bez ograničenja u . ULAZNICA 13 Jednostrane granice. Definicija 13.11. Broj A zove se granica funkcije y = f(x) at X, teži za x 0 lijevo (desno), ako je takvo da | f(x)-A|<ε при x 0 – x< δ
(x - x 0< δ
). Oznake: Teorema 13.1 (druga definicija granice). Funkcija y=f(x) ima u X, teži za X 0, granica jednaka A, ako i samo ako obje njegove jednostrane granice u ovoj tački postoje i jednake su A. Dokaz. 1) Ako , tada i za x 0 – x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - A|<ε, то есть 1) Ako , tada postoji δ 1: | f(x) - A| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |f(x) - A| < ε при x - x 0<
δ2. Birajući manji od brojeva δ 1 i δ 2 i uzimajući ga kao δ, dobijamo da je za | x - x 0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана. Komentar. Pošto je dokazana ekvivalencija zahtjeva sadržanih u definiciji granice 13.7 i uslova za postojanje i jednakost jednostranih granica, ovaj uslov se može smatrati drugom definicijom granice. Definicija 4 (prema Heineu) Broj A naziva se granica funkcije ako bilo koji BBP vrijednosti argumenata, niz odgovarajućih vrijednosti funkcije konvergira u A. Definicija 4 (prema Cauchyju). Broj A zove ako . Dokazano je da su ove definicije ekvivalentne. ULAZNICA 14 i 15 Svojstva ograničenja funkcije u točki 1) Ako postoji granica, onda je ona jedina 2) Ako je u tka x0 granica funkcije f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> onda je u ovom slučaju $ granica zbira, razlike, proizvoda i količnika. Razdvajanje ove 2 funkcije. a) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B c) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B d) lim(x®x0)C=C e) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Teorema 3. ako ( odn. A ) zatim $ susjedstvo u kojem vrijedi nejednakost >B (odg Uz pretpostavku teoreme 3 B=0, dobijamo: ako ( odn), zatim $ , u svim tačkama, što će biti >0 (odg<0),
one. funkcija čuva predznak svoje granice. Teorema 4(o prelasku do granice u nejednakosti). Ako je u nekom susjedstvu točke (osim možda ove same točke) uvjet zadovoljen i ove funkcije imaju granice u točki, onda . Na jeziku i. Hajde da predstavimo funkciju. Jasno je da je u blizini t. Tada, prema teoremi o očuvanju funkcije, imamo vrijednost njene granice, ali Teorema 5.(na granici posredne funkcije). (1) Ako ULAZNICA 16 Definicija 14.1. Funkcija y=α(x) naziva se infinitezimalnim at x→x 0, Ako Svojstva infinitezimala. 1. Zbir dva infinitezimala je beskonačno mali. Dokaz. Ako α(x) I β(x) – beskonačno mali at x→x 0, tada postoje δ 1 i δ 2 takvi da | α(x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, Komentar. Iz toga slijedi da je zbir bilo kojeg konačnog broja infinitezimala infinitezimala. 2. Ako je α( X) – beskonačno mali at x→x 0, A f(x) – funkcija ograničena u određenom susjedstvu x 0, To α(x)f(x) – beskonačno mali at x→x 0. Dokaz. Odaberimo broj M takav da | f(x)| Posljedica 1. Umnožak infinitezimalnog na konačni broj je beskonačno mali. Korolar 2. Proizvod dva ili više infinitezimala je infinitezimimalan. Korolar 3. Linearna kombinacija infinitezimala je infinitezimalna. 3. (Treća definicija granice). Ako je , tada je neophodan i dovoljan uslov za to da je funkcija f(x) može se predstaviti u obliku f(x)=A+α(x), Gdje α(x) – beskonačno mali at x→x 0. Dokaz. 1)
Neka Onda | f(x)-A|<ε при x→x 0, to je α(x)=f(x)-A– beskonačno malo pri x→x 0 . Dakle , f(x)=A+α(x). 2) Neka f(x)=A+α(x). Onda Komentar. Tako se dobija druga definicija granice, ekvivalentna prethodnim dvema. Beskonačno velike funkcije. Definicija 15.1. Kaže se da je funkcija f(x) beskonačno velika za x x 0 ako Za beskonačno velike, možete uvesti isti sistem klasifikacije kao i za beskonačno male, i to: 1. Beskonačno velike f(x) i g(x) smatraju se količinama istog reda ako 2. Ako je , onda se f(x) smatra beskonačno velikim višeg reda od g(x). 3. Beskonačno veliki f(x) naziva se količina k-tog reda u odnosu na beskonačno veliki g(x) ako je . Komentar. Imajte na umu da je a x beskonačno veliko (za a>1 i x) višeg reda od x k za bilo koje k, a log a x je beskonačno veliko nižeg reda od bilo kojeg stepena x k. Teorema 15.1. Ako je α(x) beskonačno mali kao x→x 0, tada je 1/α(x) beskonačno veliko kao x→x 0. Dokaz. Dokažimo da je za |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. To znači, to jest, 1/α(x) je beskonačno veliko kao x→x 0. ULAZNICA 17 Teorema 14.7 (prva izuzetna granica). . Dokaz. Razmotrimo krug jediničnog poluprečnika sa centrom u početku i pretpostavimo da je ugao AOB jednak x (radijanima). Uporedimo površine trougla AOB, sektora AOB i trougla AOC, gde je prava OS tangenta na kružnicu koja prolazi kroz tačku (1;0). Očigledno je da . Koristeći odgovarajuće geometrijske formule za površine figura, dobijamo iz ovoga da REALNI BROJEVI II § 37 Geometrijski prikaz racionalnih brojeva Neka Δ
je segment uzet kao jedinica dužine, i l
- proizvoljna prava linija (Sl. 51). Hajde da uzmemo neku tačku na to i označimo ga slovom O. Svaki pozitivan racionalni broj m /
n
hajde da povežemo tačku sa pravom linijom l
, koji leži desno od C na udaljenosti od m /
n
jedinice dužine. Na primjer, broj 2 će odgovarati tački A, koja leži desno od O na udaljenosti od 2 jedinice dužine, a broj 5/4 će odgovarati tački B, koja leži desno od O na udaljenosti od 5 /4 jedinice dužine. Svaki negativan racionalni broj k /
l
pridružimo tački pravoj liniji koja leži lijevo od O na udaljenosti od | k /
l
| jedinice dužine. Dakle, broj - 3 će odgovarati tački C, koja leži lijevo od O na udaljenosti od 3 jedinice dužine, a broj - 3/2 tački D, koja leži lijevo od O na udaljenosti od 3/ 2 jedinice dužine. Konačno, povezujemo racionalni broj "nula" sa tačkom O. Očigledno, uz odabranu korespondenciju, jednaki racionalni brojevi (na primjer, 1/2 i 2/4) će odgovarati istoj tački, a različite tačke prave neće odgovarati jednakim brojevima. Pretpostavimo da je broj m /
n
tačka P odgovara, a broj k /
l
tačka Q. Onda ako m /
n
> k /
l
, tada će tačka P ležati desno od tačke Q (slika 52, a); ako m /
n
< k /
l
, tada će se tačka P nalaziti lijevo od tačke Q (slika 52, b). Dakle, svaki racionalni broj može se geometrijski predstaviti kao neka dobro definirana tačka na pravoj. Da li je suprotna izjava tačna? Može li se svaka tačka na pravoj smatrati geometrijskom slikom nekog racionalnog broja? Odgodit ćemo odluku o ovom pitanju do § 44. Vježbe
296. Nacrtaj sljedeće racionalne brojeve kao tačke na pravoj: 3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6. 297. Poznato je da tačka A (Sl. 53) služi kao geometrijska slika racionalnog broja 1/3. Koji brojevi predstavljaju tačke B, C i D? 298. Na pravoj su date dvije tačke koje služe kao geometrijski prikaz racionalnih brojeva A
I b
a + b
I a - b
. 299. Na pravoj su date dvije tačke koje služe kao geometrijski prikaz racionalnih brojeva a + b
I a - b
. Pronađite tačke koje predstavljaju brojeve na ovoj pravoj A
I b
.
Uz prirodni broj, možemo zamijeniti još jednu nejednakost u posljednju nejednakost prirodni broj 
,Onda
a u nekoj okolini tačke (osim možda same tačke) uslov (2) je zadovoljen, tada funkcija ima granicu u tački i ta granica je jednaka A. po uslovu (1) $ za (ovde je najmanja okolina tačke). Ali tada će, zbog uslova (2), vrijednost također biti locirana u blizini tačke A, one. .
, to je α(x)+β(x) – beskonačno mali.
znači | f(x)-A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
, ili sinx 
