Kako zapamtiti tačke na jediničnom krugu. Lekcija "definisanje sinusa i kosinusa na jediničnom krugu" Broj 2 o jediničnom krugu

Rješenje:

1) Pošto je 7π = 3٠2π + π, onda se pri rotaciji za 7π dobija ista tačka kao i pri rotaciji za π, tj. rezultat je tačka sa koordinatama (- 1; 0). (Sl.9)

2) Pošto je = -2π - , tada se pri skretanju u istu tačku dobija kao i pri skretanju na - , tj. rezultat je tačka sa koordinatama (0; 1) (slika 10)

Fig.9 Sl.10

Problem br. 2

Zapišite sve uglove kroz koje trebate rotirati tačku (1;0) da biste dobili tačku

N
.

Rješenje:

Iz pravouglog trougla AON (slika 11) sledi da je ugao AON jednak , tj. jedan od mogućih uglova rotacije je . Posljedično, svi uglovi kroz koje se tačka (1;0) mora rotirati da bi se dobila tačka izražavaju se na sljedeći način: + 2πk, gdje je k bilo koji cijeli broj.

Fig.11

Vježbe za samostalno rješavanje:

1°. Na jediničnom krugu konstruišite tačku dobijenu rotacijom tačke (1;0) za dati ugao:

a) 4π; b) - 225°; V) - ; G) - ;
d)
.

;

e)
2°. Pronađite koordinate tačke dobijene rotacijom tačke P(1;0) za ugao:

a) 3π; b) -
;
.

c) 540°;

d) 810°; d)

, k – cijeli broj; e)

3°. Odredite četvrtinu u kojoj se nalazi tačka dobijena rotacijom tačke P(1;0) za ugao:
a) 1; b) 2,75; c) 3,16;
d) 4,95.

4*. Na jediničnom krugu konstruišite tačku dobijenu rotacijom tačke P(1;0) za ugao:

3°. Odredite četvrtinu u kojoj se nalazi tačka dobijena rotacijom tačke P(1;0) za ugao:
a) 1; b) 2,75; c) 3,16;
A)
;
.

b)

3°. Odredite četvrtinu u kojoj se nalazi tačka dobijena rotacijom tačke P(1;0) za ugao:
a) 1; b) 2,75; c) 3,16;
;

;
;
.

c) 4,5π; d) - 7π.

5*. Pronađite koordinate tačke dobijene rotacijom tačke P (1;0) za ugao (k je ceo broj):

; α V) 0 ;1 ; 1 G) 0 6*. Zapišite sve uglove kroz koje trebate rotirati tačku P (1;0) da biste dobili tačku sa koordinatama:

V)

DEFINICIJA SINUSA, KOSINUSA UGLA

Rješenje:

Fig.12

U ovim definicijama ugao

može se izraziti u stepenima ili radijanima. Na primjer, prilikom rotacije tačke (1;0) za ugao, tj. ugao 90°, rezultat je tačka (0;1). Ordinata tačke (

) je jednako

Rješenje:

, pa sin = sin 90° = 1; Apscisa ove tačke je jednaka 0 , dakle cos = cos 90° = 0 0 ). Ove tačke se dobijaju iz tačke (1;0) rotacijom kroz uglove 0, π, 2π, 3π, itd., kao i kroz uglove - π, - 2π, - 3π, itd., dakle, sin x = 0 za x = πk., gdje je k bilo koji cijeli broj, tj. rješenje se može napisati ovako:

x = πk., k
.

Odgovor: x = πk., k

(Z je oznaka za skup cijelih brojeva, čita se “k pripada Z”).

Koristeći slično razmišljanje, možemo dobiti sljedeća rješenja trigonometrijskih jednačina:

Ovdje je tablica uobičajenih vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Zadatak br. 1

Izračunaj: 4sin +
cos - tg.

Rješenje:

Koristeći tabelu, dobijamo

4 sin + cos - tg = 4 ٠+ ٠ -1 = 2 + 1,5 = 2,5.

:

1°. Izračunaj:

a) grijeh + grijeh; b) grijeh .

- cos π; c) sin 0 - cos 2π; d) sin3 - cos

2°. Pronađite značenje izraza:
;

a) 3 sin + 2 cos - tg;
b)

V)

;

d) cos 0 – sin 3π.

3°. Riješite jednačinu: α +
a) 2 sin x = 0; b) cos x = 0; c) cos x - 1 = 0; d) 1 – sin x = 0. α = 4*. Pronađite značenje izraza:

a) 2 greh cos α at ; α = .

b) 0,5 cos α - sin α pri α = 60°;

c) sin 3 α – cos 2 α sa α = ;
d) cos

+ sin

at 5*. Riješite jednačinu: a) sin x = - 1; b) cos x = 0; c) grijeh ; d) sin3 x = 0. Znakovi sinusa, kosinusa i tangenta Tada neka se tačka kreće duž jedinične kružnice u smjeru suprotnom od kazaljke na satu sinus pozitivno u prvi i drugi koordinatne četvrti (sl. 14); kosinus pozitivno u

prvi i četvrti

V)

koordinatne četvrti (sl. 15);

1) tangenta i kotangens
.

Rješenje:

pozitivno u prvi i treći koordinatne četvrti (sl. 16).

Sl.14 Sl.15 Sl.16 Saznajte znakove sinusa, kosinusa i tangenta ugla: ;

2) 745°; 3)

1) Ugao odgovara tački na jediničnoj kružnici koja se nalazi u drugočetvrtine. Stoga je sin > 0, cos

2) Pošto je 745° = 2 ٠360° + 25°, tada rotacija tačke (1;0) za ugao od 745° odgovara tački koja se nalazi na :

prvo α, četvrtine.

Stoga sin 745° > 0, cos 745° > 0, tg 745° > 0. α = 3) Tačka se kreće u smjeru kazaljke na satu, dakle – π, onda kada se tačka (1;0) rotira za ugao dobija se tačka α = - treće α = ;četvrtine. Stoga grijeh

Vježbe za samostalno rješavanje 1°. U kojoj četvrtini je tačka dobijena rotacijom tačke P(1;0) za ugao? ako: A) ; b) ; V) Dokument Njena odluka.. Kontrola Posao

Koordinate x tačke koje leže na kružnici jednake su cos(θ), a koordinate y odgovaraju sin(θ), gdje je θ veličina ugla.

• Ako vam je teško zapamtiti ovo pravilo, samo zapamtite da u paru (cos; sin) "sinus dolazi zadnji."
• Ovo pravilo se može izvesti gledanjem pravokutnih trokuta i definicijom podataka trigonometrijske funkcije(sinus ugla je jednak omjeru dužine suprotne stranice, a kosinus je jednak omjeru susjedne stranice i hipotenuze).

Zapišite koordinate četiri tačke na kružnici.„Jedinstveni krug“ je krug čiji je poluprečnik jednak jedan. Koristite ovo da odredite koordinate x I y u četiri tačke preseka koordinatnih osa sa kružnicom. Gore smo, radi jasnoće, označili ove tačke kao „istok“, „sjever“, „zapad“ i „jug“, iako nemaju ustaljena imena.

• "Istok" odgovara tački sa koordinatama (1; 0) .
• "Sjever" odgovara tački sa koordinatama (0; 1) .
• "Zapad" odgovara tački sa koordinatama (-1; 0) .
• "Jug" odgovara tački sa koordinatama (0; -1) .
• Ovo je slično običnom grafikonu, tako da nema potrebe da pamtite ove vrijednosti, samo zapamtite osnovni princip.

>> Brojčani krug

Prilikom izučavanja predmeta algebra za 7-9 razred, do sada smo se bavili algebarskim funkcijama, tj. funkcije definirane analitički izrazima u kojima su korištene algebarske operacije nad brojevima i varijablama (sabiranje, oduzimanje, množenje, divizije, eksponencijacija, ekstrakcija kvadratni korijen). Ali matematički modeli stvarnih situacija često se povezuju sa funkcijama drugačijeg tipa, a ne algebarskim. U ovom poglavlju ćemo se upoznati sa prvim predstavnicima klase nealgebarskih funkcija - trigonometrijskih funkcija. U srednjoj školi ćete detaljnije proučavati trigonometrijske funkcije i druge vrste nealgebarskih funkcija (eksponencijalne i logaritamske).
Za uvođenje trigonometrijskih funkcija potrebna nam je nova matematički model- brojevni krug sa kojim se još niste susreli, ali vam je brojevna prava veoma poznata. Podsjetimo da je brojevna prava prava na kojoj su date početna tačka O, skala (jedinični segment) i pozitivan smjer. Možemo uporediti bilo koji realan broj sa tačkom na pravoj i obrnuto.

Kako pronaći odgovarajuću tačku M na pravoj pomoću broja x? Broj 0 odgovara početnoj tački O. Ako je x > 0, tada, krećući se duž prave linije od tačke 0 u pozitivnom smjeru, trebate ići n^-tu dužinu x; kraj ove staze će biti željena tačka M(x). Ako je x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

A kako smo riješili inverzni problem, tj. Kako ste pronašli x koordinatu date tačke M na brojevnoj pravoj? Pronašli smo dužinu segmenta OM i uzeli ga sa znakom “+” ili * - “u zavisnosti na kojoj strani tačke O se tačka M nalazi na pravoj liniji.

Ali unutra pravi život Morate se kretati ne samo pravolinijski. Vrlo često, kretanje krug. Evo konkretan primjer. Smatrajmo stazu za trčanje na stadionu kao krug (u stvari, ovo, naravno, nije krug, ali zapamtite, kako sportski komentatori obično kažu: „trkač je pretrčao krug“, „ostalo je pola kruga trčati prije cilja” itd.), njegova dužina je 400 m. Start je označen - tačka A (Sl. 97). Trkač iz tačke A kreće se po kružnici u smeru suprotnom od kazaljke na satu. Gdje će on biti za 200 m? u 400 m? u 800 m? na 1500 m? Gdje bi trebao povući cilj ako trči maratonsku distancu od 42 km 195 m?

Nakon 200 m on će se naći u tački C, dijametralno suprotno od tačke A (200 m je dužina polovine trake za trčanje, odnosno dužina pola kruga). Nakon trčanja 400 m (tj. „jedan krug“, kako kažu sportisti), vraća se u tačku A. Nakon trčanja 800 m (tj. „dva kruga“), ponovo će biti u tački A. Šta je 1500 m. ? Ovo su “tri kruga” (1200 m) plus još 300 m, tj. 3

Traka za trčanje - završetak ove udaljenosti će biti u tački 2) (Sl. 97).

Samo moramo da se nosimo sa maratonom. Nakon istrčanih 105 krugova, atletičar će preći razdaljinu od 105-400 = 42.000 m, tj. 42 km. Do cilja je ostalo 195 m, što je 5 m manje od polovine obima. To znači da će cilj maratonske distance biti u tački M, koja se nalazi blizu tačke C (Sl. 97).

Komentar. Vi, naravno, razumijete konvenciju posljednjeg primjera. Niko ne trči maratonsku distancu oko stadiona, maksimum je 10.000 m, tj. 25 krugova.

Možete trčati ili hodati bilo kojom dužinom duž trake za trčanje na stadionu. To znači da bilo koji pozitivan broj odgovara nekoj tački - "kraju udaljenosti". Štaviše, moguće je dodijeliti tačku na krugu bilo kojem negativnom broju: samo trebate natjerati sportaša da trči u suprotnom smjeru, tj. početi od tačke A ne u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, već u smjeru kazaljke na satu. Tada se staza za trčanje na stadionu može smatrati brojčanim krugom.

U principu, bilo koji krug se može smatrati numeričkim krugom, ali u matematici je dogovoreno da se u tu svrhu koristi jedinični krug - krug polumjera 1. Ovo će biti naša „traka za trčanje“. Dužina b kruga poluprečnika K izračunava se po formuli Dužina polukruga je n, a dužina četvrtine kruga je AB, BC, SB, DA na sl. 98 - jednako Dogovorimo se da luk AB nazovemo prvom četvrtinom jediničnog kruga, luk BC drugom četvrtinom, luk CB trećom četvrtinom, luk DA četvrtinom (Sl. 98). U isto vrijeme, obično mi pričamo o tome o Otvorenom luku, tj. o luku bez njegovih krajeva (nešto kao interval na brojevnoj pravoj).

Definicija. Dat je jedinični krug, a na njemu je označena početna tačka A - desni kraj horizontalnog prečnika (sl. 98). Uparimo svaki od njih pravi broj Pokazujem krug prema sljedećem pravilu:

1) ako je x > 0, tada ćemo, krećući se od tačke A u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (pozitivan smjer obilaska kružnice), opisati putanju duž kružnice s dužinom i krajnja točka M ove staze će biti željena tačka: M = M(x);

2) ako je x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

Povežimo tačku A sa 0: A = A(0).

Jedinični krug sa utvrđenom korespondencijom (između realnih brojeva i tačaka na kružnici) zvaće se brojevni krug.
Primjer 1. Pronađite na brojčanom krugu
Budući da je prvih šest od datih sedam brojeva pozitivnih, onda da biste pronašli odgovarajuće tačke na kružnici, morate proći stazom date dužine duž kružnice, krećući se od tačke A u pozitivnom smjeru. Uzmimo to u obzir

Broj 2 odgovara tački A, pošto je, prošavši duž kružnice, put dužine 2, tj. tačno jedan krug, opet ćemo završiti polazna tačka A Dakle, A = A(2).
Šta se desilo To znači da krećete od tačke A u pozitivnom smjeru, morate proći kroz cijeli krug.

Komentar. Kad smo u 7. i 8. razredu radio sa brojevnom pravom, onda smo se dogovorili, radi sažetosti, da se ne kaže „tačka na pravoj koja odgovara broju x“, već da se kaže „tačka x“. Pridržavat ćemo se potpuno istog dogovora kada radimo s brojevnim krugom: “tačka f” - to znači da govorimo o tački na krugu koja odgovara broju
Primjer 2.
Podijelivši prvu četvrtinu AB na tri jednaka dijela tačkama K i P, dobijamo:

Primjer 3. Pronađite tačke na brojevnom krugu koje odgovaraju brojevima
Izradićemo konstrukcije koristeći sl. 99. Odlaganjem luka AM (njegova dužina je -) iz tačke A pet puta u negativnom pravcu, dobijamo tačku!, - sredinu luka BC. dakle,

Komentar. Obratite pažnju na neke od sloboda koje uzimamo u korištenju matematičkog jezika. Jasno je da su luk AK i dužina luka AK različite stvari (prvi koncept je geometrijska figura, a drugi koncept je broj). Ali oba su označena na isti način: AK. Štaviše, ako su tačke A i K povezane segmentom, tada se i rezultujući segment i njegova dužina označavaju na isti način: AK. Obično je iz konteksta jasno koje je značenje u oznaci (luk, dužina luka, segment ili dužina segmenta).

Stoga će nam dvobrojni krugovi biti vrlo korisni.

PRVI IZGLED
Svaka od četiri četvrtine brojevnog kruga podijeljena je na dva jednaka dijela, a u blizini svake od dostupnih osam tačaka ispisana su njihova „imena“ (Sl. 100).

DRUGI IZGLED Svaka od četiri četvrtine brojevnog kruga podijeljena je na tri jednaka dijela, a u blizini svake od dostupnih dvanaest tačaka ispisana su njihova “imena” (slika 101).

Imajte na umu da bismo mogli na oba izgleda date bodove dodijeliti druga “imena”.
Jeste li primijetili da u svim analiziranim primjerima dužina luka
izraženo nekim razlomcima broja n? To nije iznenađujuće: na kraju krajeva, dužina jedinične kružnice je 2n, a ako krug ili njegovu četvrtinu podijelimo na jednake dijelove, dobićemo lukove čije su dužine izražene u razlomcima broja i. Mislite li da je moguće pronaći tačku E na jediničnom krugu tako da je dužina luka AE jednaka 1? Hajde da shvatimo:

Raspravljajući na sličan način, zaključujemo da se na jediničnom krugu može naći tačka Eg, za koju je AE = 1, i tačka E2, za koju je AEr = 2, i tačka E3, za koju je AE3 = 3, i tačka E4, za koja je AE4 = 4, i tačka Eb, za koju je AEb = 5, i tačka E6, za koju je AE6 = 6. Na sl. 102 označene su odgovarajuće tačke (približno) (za orijentaciju, svaka od četvrtina jediničnog kruga je podijeljena crticama na tri jednaka dijela).

Primjer 4. Pronađite tačku na brojevnom krugu koja odgovara broju -7.

Trebamo, počevši od tačke A(0) i krećući se u negativnom smjeru (smjer kazaljke na satu), ići duž kruga dužine 7. Ako prođemo kroz jedan krug, dobićemo (približno) 6,28, što znači da još uvijek trebamo proći (u istom smjeru) putanju dužine 0,72. Kakav je ovo luk? Nešto manje od pola četvrtine kruga, tj. njegovu dužinu manji broj -.

Dakle, na brojevnom krugu, kao na brojevnoj pravoj, svaki realan broj odgovara jednoj tački (samo ga je, naravno, lakše pronaći na pravoj nego na kružnici). Ali za pravu liniju važi i suprotno: svaka tačka odgovara jednina. Za brojčani krug, takva izjava nije tačna, to smo više puta vidjeli gore. Sljedeća izjava je tačna za brojčani krug.
Ako tačka M brojevnog kruga odgovara broju I, onda odgovara i broju oblika I + 2k, gdje je k bilo koji cijeli broj (k e 2).

U stvari, 2n je dužina brojčanog (jediničnog) kruga, a cijeli broj |th| može se smatrati brojem kompletnih krugova kruga u jednom ili drugom smjeru. Ako je, na primjer, k = 3, onda to znači da pravimo tri kruga kruga u pozitivnom smjeru; ako je k = -7, onda to znači da pravimo sedam (| k | = | -71 = 7) krugova kruga u negativnom smjeru. Ali ako smo u tački M(1), onda, nakon što smo izvršili i | do | Završimo krugove, opet ćemo se naći u tački M.

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Ako postavite kružnicu s brojem jedinice na koordinatnu ravan, tada možete pronaći koordinate njenih tačaka. Brojčani krug je postavljen tako da se njegovo središte poklapa sa ishodištem ravni, odnosno tačkom O (0; 0).

Obično su na jediničnom krugu označene tačke koje odgovaraju ishodištu kruga

• četvrtine - 0 ili 2π, π/2, π, (2π)/3,
• srednje četvrtine - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• trećine četvrtina - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Na koordinatnoj ravni, sa gornjom lokacijom jedinične kružnice na njoj, možete pronaći koordinate koje odgovaraju ovim tačkama kružnice.

Koordinate krajeva četvrti je vrlo lako pronaći. U tački 0 kružnice, x koordinata je 1, a y koordinata je 0. Možemo je označiti kao A (0) = A (1; 0).

Kraj prve četvrtine će se nalaziti na pozitivnoj y-osi. Dakle, B (π/2) = B (0; 1).

Kraj druge četvrtine je na negativnoj poluosi: C (π) = C (-1; 0).

Kraj treće četvrtine: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Ali kako pronaći koordinate sredina četvrtina? Za ovo grade pravougaonog trougla. Njegova hipotenuza je segment od središta kruga (ili ishodišta) do sredine četvrtine kruga. Ovo je polumjer kružnice. Pošto je kružnica jedinična, hipotenuza je jednaka 1. Zatim povucite okomicu iz tačke na kružnici na bilo koju os. Neka je prema x osi. Rezultat je pravokutni trokut čije su dužine kateta koordinate x i y tačke na kružnici.

Četvrtina kruga je 90º. A pola četvrtine je 45º. Pošto je hipotenuza povučena do sredine kvadranta, ugao između hipotenuze i kraka koji se proteže od početka je 45º. Ali zbir uglova bilo kojeg trougla je 180º. Posljedično, ugao između hipotenuze i drugog kraka također ostaje 45º. Ovo rezultira jednakokračnim pravokutnim trouglom.

Iz Pitagorine teoreme dobijamo jednačinu x 2 + y 2 = 1 2. Pošto je x = y i 1 2 = 1, jednačina se pojednostavljuje na x 2 + x 2 = 1. Rješavajući je, dobijamo x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Dakle, koordinate tačke M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

U koordinatama tačaka središta ostalih četvrti, samo će se predznaci promijeniti, a moduli vrijednosti će ostati isti, jer će se pravokutni trokut samo preokrenuti. dobijamo:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Prilikom određivanja koordinata trećih dijelova četvrtine kruga konstruiše se i pravokutni trokut. Ako uzmemo tačku π/6 i povučemo okomicu na x-osu, tada će ugao između hipotenuze i kraka koji leži na x-osi biti 30º. Poznato je da je krak koji leži nasuprot ugla od 30º jednak polovini hipotenuze. To znači da smo pronašli y koordinatu, ona je jednaka ½.

Znajući dužine hipotenuze i jednog od kateta, pomoću Pitagorine teoreme nalazimo drugu nogu:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Tako je T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Za tačku druge trećine prve četvrtine (π/3) bolje je povući okomitu na osu na osu y. Tada će i ugao na početku biti 30º. Ovdje će x koordinata biti jednaka ½, a y, respektivno, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Za ostale točke treće četvrtine promijenit će se predznaci i redoslijed vrijednosti koordinata. Sve tačke koje su bliže x osi će imati vrijednost modula x koordinata jednaku √3/2. One tačke koje su bliže y osi imaće vrednost modula y jednaku √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

Prilikom izučavanja trigonometrije u školi, svaki učenik se susreće sa veoma zanimljivim konceptom „brojevnog kruga“. Koliko će učenik kasnije naučiti trigonometriju zavisi od sposobnosti nastavnika da objasni šta je to i zašto je potrebna. Nažalost, ne može svaki nastavnik jasno objasniti ovaj materijal. Kao rezultat toga, mnogi učenici su zbunjeni čak i oko toga kako označiti tačke na brojevnom krugu. Ako pročitate ovaj članak do kraja, naučit ćete kako to učiniti bez problema.

Pa počnimo. Nacrtajmo krug čiji je poluprečnik 1. Označimo „krajnju desnu“ tačku ove kružnice slovom O:

Čestitamo, upravo ste nacrtali jedinični krug. Budući da je polumjer ovog kruga 1, njegova dužina je .

Svaki realan broj može biti povezan sa dužinom putanje duž brojevne kružnice od tačke O. Smjer kretanja suprotno od kazaljke na satu uzima se kao pozitivan smjer. Za negativ – u smjeru kazaljke na satu:

Položaj tačaka na brojevnom krugu

Kao što smo već primijetili, dužina brojevnog kruga (jediničnog kruga) je jednaka . Gdje će se tada broj nalaziti na ovom krugu? Očigledno, sa tačke gledišta O u smjeru suprotnom od kazaljke na satu trebamo prijeći pola dužine kruga i naći ćemo se u njemu prava tačka. Označimo ga slovom B:

Imajte na umu da se do iste tačke može doći hodanjem polukruga u negativnom smjeru. Zatim bismo ucrtali broj na jedinični krug. Odnosno, brojevi odgovaraju istoj tački.

Štaviše, ova ista točka također odgovara brojevima , , , i, općenito, beskonačnom skupu brojeva koji se mogu napisati u obliku , gdje , odnosno pripada skupu cijelih brojeva. Sve ovo jer iz tačke B možete napraviti “kružno putovanje” u bilo kojem smjeru (dodati ili oduzeti obim) i doći do iste točke. Dobijamo važan zaključak koji morate razumjeti i zapamtiti.

Svaki broj odgovara jednoj tački na brojevnom krugu. Ali svaka tačka na brojevnom krugu odgovara beskonačnom broju brojeva.

Podijelimo sada gornji polukrug brojevnog kruga na lukove jednake dužine dot C. Lako je vidjeti da je dužina luka O.C. jednako . Hajde da sada odložimo sa tačke C luk iste dužine u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Kao rezultat, doći ćemo do stvari B. Rezultat je sasvim očekivan, budući da . Hajde da ponovo postavimo ovaj luk u istom pravcu, ali sada iz tačke B. Kao rezultat toga, doći ćemo do stvari D, što će već odgovarati broju:

Imajte na umu da ova tačka ne odgovara samo broju, već i, na primjer, broju, jer se ova tačka može doći udaljavanjem od tačke Očetvrtina kruga u smjeru kazaljke na satu (negativan smjer).

I, općenito, opet napominjemo da ova tačka odgovara beskonačno mnogo brojeva koji se mogu napisati u obliku . Ali mogu se pisati i u obliku . Ili, ako želite, u obliku . Svi ovi zapisi su apsolutno ekvivalentni i mogu se dobiti jedan od drugog.

Podijelimo sada luk na O.C. pola tačke M. Sada odredite koja je dužina luka OM? Tako je, pola luka O.C.. to je . Kojim brojevima odgovara tačka? M na brojčani krug? Siguran sam da ćete sada shvatiti da se ovi brojevi mogu napisati kao .

Ali to se može učiniti drugačije. Hajde da uzmemo. Onda to shvatamo . Odnosno, ovi brojevi se mogu napisati u obliku . Isti rezultat se može dobiti i korištenjem brojčanog kruga. Kao što sam već rekao, oba zapisa su ekvivalentna i mogu se dobiti jedan od drugog.

Sada možete lako dati primjer brojeva kojima odgovaraju tačke N, P I K na brojčani krug. Na primjer, brojevi , i :

Često se minimalni pozitivni brojevi uzimaju za označavanje odgovarajućih tačaka na brojevnom krugu. Iako to uopšte nije neophodno, tačka N, kao što već znate, odgovara beskonačnom broju drugih brojeva. Uključujući, na primjer, broj.

Ako prekinete luk O.C. u tri jednaka luka sa tačkama S I L, tako da je to poenta S ležati između tačaka O I L, zatim dužina luka OSće biti jednak , i dužina luka OLće biti jednako . Koristeći znanje koje ste stekli u prethodnom dijelu lekcije, lako možete shvatiti kako su se pokazale preostale točke na brojevnom krugu:

Brojevi koji nisu višekratnici broja π na brojevnom krugu

Postavimo sebi pitanje: gde na brojevnoj pravoj treba da označimo tačku koja odgovara broju 1? Da biste to učinili, morate početi od "najdesnije" točke jediničnog kruga O nacrtati luk čija bi dužina bila jednaka 1. Možemo samo približno naznačiti lokaciju željene tačke. Nastavimo na sljedeći način.