– sigurno će biti zadataka iz trigonometrije. Trigonometrija se često ne sviđa zbog potrebe da se nagura ogroman broj teških formula, koje vrve od sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Stranica je već jednom davala savjete kako zapamtiti zaboravljenu formulu, koristeći primjer Eulerove i Peel formule.
I u ovom članku ćemo pokušati pokazati da je dovoljno čvrsto poznavati samo pet jednostavnih trigonometrijskih formula, a ostale imati opće razumijevanje i izvoditi ih dok idete. To je kao sa DNK: molekul ne pohranjuje potpune nacrte gotovog živog bića. Umjesto toga, sadrži upute za sastavljanje od dostupnih aminokiselina. Dakle, u trigonometriji, poznavanje nekih opšti principi, dobićemo sve potrebne formule iz malog skupa onih koje treba imati na umu.
Oslonićemo se na sledeće formule:
Iz formula za sinusne i kosinusne sume, znajući za parnost kosinusne funkcije i neparnosti sinusne funkcije, zamjenjujući -b umjesto b, dobijamo formule za razlike:
- Sinus razlike: grijeh(a-b) = grijehacos(-b)+cosagrijeh(-b) = grijehacosb-cosagrijehb
- Kosinus razlike: cos(a-b) = cosacos(-b)-grijehagrijeh(-b) = cosacosb+grijehagrijehb
Stavljajući a = b u iste formule, dobijamo formule za sinus i kosinus dvostrukih uglova:
- Sinus dvostrukog ugla: grijeh2a = grijeh(a+a) = grijehacosa+cosagrijeha = 2grijehacosa
- Kosinus dvostrukog ugla: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grijehagrijeha = cos2 a-grijeh2 a
Formule za druge višestruke uglove dobivaju se na sličan način:
- Sinus trostrukog ugla: grijeh3a = grijeh(2a+a) = grijeh2acosa+cos2agrijeha = (2grijehacosa)cosa+(cos2 a-grijeh2 a)grijeha = 2grijehacos2 a+grijehacos2 a-grijeh 3 a = 3 grijehacos2 a-grijeh 3 a = 3 grijeha(1-grijeh2 a)-grijeh 3 a = 3 grijeha-4grijeh 3a
- Kosinus trostrukog ugla: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-grijeh2agrijeha = (cos2 a-grijeh2 a)cosa-(2grijehacosa)grijeha = cos 3 a- grijeh2 acosa-2grijeh2 acosa = cos 3 a-3 grijeh2 acosa = cos 3 a-3(1- cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa
Prije nego krenemo dalje, pogledajmo jedan problem.
Dato: ugao je oštar.
Pronađite njegov kosinus ako
Rješenje koje je dao jedan učenik:
Jer , To grijeha= 3,a cosa = 4.
(Iz matematičkog humora)
Dakle, definicija tangente ovu funkciju povezuje i sa sinusom i sa kosinusom. Ali možete dobiti formulu koja povezuje tangentu samo sa kosinusom. Da bismo ga izveli, uzimamo glavni trigonometrijski identitet: grijeh 2 a+cos 2 a= 1 i podijelite ga sa cos 2 a. dobijamo:
Dakle, rješenje ovog problema bi bilo:
(Budući da je ugao oštar, prilikom vađenja korena uzima se znak +)
Formula za tangens zbroja je još jedna formula koju je teško zapamtiti. Hajde da to izbacimo ovako:
Odmah prikazano i
Iz kosinusne formule za dvostruki ugao možete dobiti formule sinusa i kosinusa za pola ugla. Da biste to učinili, primijenite na lijevu stranu formule kosinusa dvostrukog ugla:
cos2
a = cos 2
a-grijeh 2
a
dodajemo jednu, a desno - trigonometrijsku jedinicu, tj. zbir kvadrata sinusa i kosinusa.
cos2a+1 = cos2 a-grijeh2 a+cos2 a+grijeh2 a
2cos 2
a = cos2
a+1
Izražavanje cosa kroz cos2
a i promjenom varijabli dobijamo:
Znak se uzima u zavisnosti od kvadranta.
Slično, oduzimanjem jedan od lijeve strane jednakosti i zbira kvadrata sinusa i kosinusa s desne, dobivamo:
cos2a-1 = cos2 a-grijeh2 a-cos2 a-grijeh2 a
2grijeh 2
a = 1-cos2
a
I konačno, da bismo pretvorili zbir trigonometrijskih funkcija u proizvod, koristimo sljedeću tehniku. Recimo da trebamo predstaviti zbir sinusa kao proizvod grijeha+grijehb. Hajde da uvedemo varijable x i y tako da je a = x+y, b+x-y. Onda
grijeha+grijehb = grijeh(x+y)+ grijeh(x-y) = grijeh x cos y+ cos x grijeh y+ grijeh x cos y- cos x grijeh y=2 grijeh x cos y. Izrazimo sada x i y u terminima a i b.
Budući da je a = x+y, b = x-y, onda . Zato
Možete se odmah povući
- Formula za particionisanje produkti sinusa i kosinusa V iznos: grijehacosb = 0.5(grijeh(a+b)+grijeh(a-b))
Preporučujemo da sami vježbate i izvodite formule za pretvaranje razlike sinusa i zbira i razlike kosinusa u proizvod, kao i za dijeljenje proizvoda sinusa i kosinusa u zbir. Nakon što ste završili ove vježbe, temeljito ćete savladati vještinu izvođenja trigonometrijskih formula i nećete se izgubiti ni na najtežem testu, olimpijadi ili testiranju.
U ovom članku ćemo pogledati sveobuhvatno. Basic trigonometrijskih identiteta predstavljaju jednakosti koje uspostavljaju vezu između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog ugla i omogućavaju pronalaženje bilo koje od ovih trigonometrijskih funkcija kroz poznati drugi.
Hajde da odmah navedemo glavne trigonometrijske identitete koje ćemo analizirati u ovom članku. Zapišimo ih u tabelu, a ispod ćemo dati izlaz ovih formula i dati potrebna objašnjenja.
Navigacija po stranici.
Odnos između sinusa i kosinusa jednog ugla
Ponekad se ne govori o glavnim trigonometrijskim identitetima navedenim u gornjoj tabeli, već o jednom jedinom osnovni trigonometrijski identitet tip 
. Objašnjenje ove činjenice je prilično jednostavno: jednakosti se dobijaju iz glavnog trigonometrijskog identiteta nakon što se oba njegova dijela podijele sa i, respektivno, i jednakosti 
I 
slijede definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. O tome ćemo detaljnije govoriti u sljedećim paragrafima.
Odnosno, jednakost je od posebnog interesa, kojoj je dato ime glavnog trigonometrijskog identiteta.
Prije nego što dokažemo glavni trigonometrijski identitet, dajemo njegovu formulaciju: zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog ugla identično je jednak jedinici. Dokažimo sada.
Osnovni trigonometrijski identitet se vrlo često koristi kada transformacija trigonometrijski izrazi . Omogućava da se zbir kvadrata sinusa i kosinusa jednog ugla zamijeni jednim. Ništa manje često se osnovni trigonometrijski identitet koristi obrnutim redoslijedom: jedinica se zamjenjuje zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa bilo kojeg ugla.
Tangenta i kotangens kroz sinus i kosinus
Identiteti koji povezuju tangentu i kotangensu sa sinusom i kosinusom jednog kuta gledanja i 
odmah slijede definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Zaista, po definiciji, sinus je ordinata od y, kosinus je apscisa od x, tangenta je omjer ordinate prema apscisi, tj. 
, a kotangens je omjer apscise i ordinate, tj. 
.
Zahvaljujući takvoj očiglednosti identiteta i Tangenta i kotangens se često definiraju ne kroz omjer apscise i ordinate, već kroz omjer sinusa i kosinusa. Dakle, tangent ugla je omjer sinusa i kosinusa ovog ugla, a kotangens je omjer kosinusa i sinusa.
U zaključku ovog paragrafa treba napomenuti da su identiteti i odvijaju se za sve uglove pod kojima trigonometrijske funkcije uključene u njih imaju smisla. Dakle, formula vrijedi za bilo koji , osim (inače će nazivnik imati nulu, a nismo definirali dijeljenje nulom), i formula - za sve , različito od , gdje je z bilo koji .
Odnos između tangente i kotangensa
Još očigledniji trigonometrijski identitet od prethodna dva je identitet koji povezuje tangentu i kotangens jednog ugla oblika . Jasno je da vrijedi za sve uglove osim , inače ni tangenta ni kotangens nisu definirani.
Dokaz formule vrlo jednostavno. Po definiciji i odakle 
. Dokaz je mogao biti izveden malo drugačije. Pošto , To 
.
Dakle, tangenta i kotangens istog ugla pod kojim imaju smisla su .
Referentni podaci za tangentu (tg x) i kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, svojstva, grafikoni, formule. Tablica tangenta i kotangensa, izvoda, integrala, proširenja nizova. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza sa hiperboličkim funkcijama.
Geometrijska definicija
|BD|
- dužina luka kružnice sa centrom u tački A.
α je ugao izražen u radijanima. tangenta () tan α - Ovo trigonometrijska funkcija
, u zavisnosti od ugla α između hipotenuze i kraka pravouglog trougla, jednakog omjeru dužine suprotne krake |BC| na dužinu susedne noge |AB| .) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru dužine susjednog kraka |AB|
na dužinu suprotne noge |BC| .
Tangenta Gdje n
- cela.
.
;
;
.
U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
Grafikon tangentne funkcije, y = tan x
Tangenta Gdje n
Kotangens
.
U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
;
;
.
Sljedeće oznake su također prihvaćene:
Grafikon kotangens funkcije, y = ctg x
Svojstva tangente i kotangensa
Periodičnost Funkcije y = tg x i y = ctg x
su periodične sa periodom π.
Paritet
Tangentne i kotangensne funkcije su neparne.
Područja definicije i vrijednosti, povećanje, smanjenje Gdje Tangentne i kotangensne funkcije su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangente i kotangensa prikazana su u tabeli (
| - cijeli). Funkcije y = | - cijeli). i y = | |
| y = | ||
| Obim i kontinuitet | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Raspon vrijednosti | - | |
| Povećanje | - | |
| Silazno | - | - |
| Ekstremi 0 | ||
| Nule, y = 0 | - cijeli). 0 | - |
Točke preseka sa ordinatnom osom, x =
Formule
;
;
;
;
;
Izrazi koji koriste sinus i kosinus
Formule za tangentu i kotangens iz zbira i razlike
Preostale formule je lako dobiti, na primjer
Proizvod tangenti
Formula za zbir i razliku tangenta 
Ova tabela prikazuje vrijednosti tangenta i kotangensa za određene vrijednosti argumenta.
Izrazi koji koriste kompleksne brojeve
;
;
Izrazi kroz hiperboličke funkcije
; .
.
Derivati
.
Derivat n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
Izvođenje formula za tangentu > > > ; za kotangens > > >
Integrali
Proširenja serije Da biste dobili ekspanziju tangente po stepenu x, potrebno je uzeti nekoliko članova proširenja u nizu stepena za funkcije I sin x cos x
i podijeliti ove polinome jedni s drugima, .
Ovo proizvodi sljedeće formule.
U . u . Gdje
;
;
Bn
- Bernulijevi brojevi. One se određuju ili iz relacije recidiva: 
Gdje .
Ili prema Laplaceovoj formuli: Inverzne funkcije
Inverzne funkcije
na tangentu i kotangens su arktangens i arkkotangens, respektivno. Gdje n
Arktangent, arctg
na tangentu i kotangens su arktangens i arkkotangens, respektivno. Gdje n
, Gdje
Arkotangenta, arcctg
Korištena literatura:
Jedna od oblasti matematike sa kojom se učenici najviše bore je trigonometrija. Nije iznenađujuće: da biste slobodno savladali ovu oblast znanja, potrebno vam je prostorno razmišljanje, sposobnost pronalaženja sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa pomoću formula, pojednostavljenja izraza i mogućnosti korištenja broja pi u kalkulacije. Osim toga, morate biti u mogućnosti koristiti trigonometriju prilikom dokazivanja teorema, a to zahtijeva ili razvijenu matematičku memoriju ili sposobnost izvođenja složenih logičkih lanaca.
Poreklo trigonometrije
Upoznavanje s ovom naukom trebalo bi započeti s definicijom sinusa, kosinusa i tangenta kuta, ali prvo morate razumjeti šta trigonometrija uopće radi.
Istorijski gledano, glavni predmet proučavanja u ovoj grani matematičke nauke bili su pravokutni trouglovi. Prisutnost ugla od 90 stepeni omogućava izvođenje različitih operacija koje omogućavaju određivanje vrijednosti svih parametara dotične figure koristeći dvije strane i jedan kut ili dva ugla i jednu stranu. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj obrazac i počeli ga aktivno koristiti u izgradnji zgrada, navigaciji, astronomiji, pa čak i u umjetnosti.
Inicijalna faza
U početku su ljudi govorili o odnosu između uglova i stranica isključivo na primjeru pravokutnih trokuta. Tada su otkrivene posebne formule koje su omogućile proširenje granica upotrebe u svakodnevnom životu ove grane matematike.
Izučavanje trigonometrije u školi danas počinje pravouglim trouglim, nakon čega učenici koriste stečena znanja iz fizike i rješavanja apstraktnih trigonometrijskih jednačina, koja počinju u srednjoj školi.
Sferna trigonometrija
Kasnije, kada je nauka dostigla sledeći nivo razvoja, formule sa sinusom, kosinusom, tangentom i kotangensom počele su da se koriste u sfernoj geometriji, gde važe različita pravila, a zbir uglova u trouglu je uvek veći od 180 stepeni. Ova sekcija se ne izučava u školi, ali je potrebno znati za njeno postojanje barem zato zemljine površine, a površina bilo koje druge planete je konveksna, što znači da će svaka oznaka površine biti u obliku luka u trodimenzionalnom prostoru.
Uzmi globus i konac. Pričvrstite konac na bilo koje dvije točke na globusu tako da bude zategnut. Imajte na umu - poprimio je oblik luka. Takvim oblicima se bavi sferna geometrija koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primijenjenim oblastima.
Pravokutni trokut
Pošto smo malo naučili o načinima korištenja trigonometrije, vratimo se na osnovnu trigonometriju kako bismo dalje razumjeli što su sinus, kosinus, tangenta, koja se izračunavanja mogu izvesti uz njihovu pomoć i koje formule koristiti.
Prvi korak je razumijevanje pojmova koji se odnose na pravougaonog trougla. Prvo, hipotenuza je strana nasuprot ugla od 90 stepeni. To je najduže. Sjećamo se da je prema Pitagorinoj teoremi njegova numerička vrijednost jednak korijenu zbira kvadrata druge dvije strane.
Na primjer, ako su dvije stranice 3 i 4 centimetra, dužina hipotenuze će biti 5 centimetara. Inače, stari Egipćani su za to znali prije otprilike četiri i po hiljade godina.
Dvije preostale stranice, koje čine pravi ugao, nazivaju se noge. Osim toga, moramo zapamtiti da je zbir uglova u trouglu u pravougaonom koordinatnom sistemu jednak 180 stepeni.
Definicija
Konačno, uz čvrsto razumijevanje geometrijske osnove, možemo se obratiti definiciji sinusa, kosinusa i tangenta ugla.
Sinus ugla je omjer suprotnog kraka (tj. strane suprotne željenom kutu) i hipotenuze. Kosinus ugla je omjer susjedne stranice i hipotenuze.
Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedan! Zašto? Zato što je hipotenuza po defaultu najduža Bez obzira koliko je krak kraći, on će biti kraći od hipotenuze, što znači da će njihov omjer uvijek biti manji od jedan. Stoga, ako u svom odgovoru na problem dobijete sinus ili kosinus sa vrijednošću većom od 1, potražite grešku u proračunima ili obrazloženju. Ovaj odgovor je očigledno netačan.
Konačno, tangenta ugla je omjer suprotne i susjedne strane. Podjela sinusa kosinusom dat će isti rezultat. Pogledajte: prema formuli, duljinu stranice podijelimo hipotenuzom, zatim podijelimo s dužinom druge stranice i pomnožimo sa hipotenuzom. Dakle, dobijamo isti odnos kao u definiciji tangente.
Kotangens je, prema tome, omjer strane susjedne ugla i suprotnoj strani. Dobijamo isti rezultat dijeljenjem jedan sa tangentom.
Dakle, pogledali smo definicije šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens i možemo prijeći na formule.
Najjednostavnije formule
U trigonometriji ne možete bez formula - kako pronaći sinus, kosinus, tangent, kotangens bez njih? Ali to je upravo ono što je potrebno pri rješavanju problema.
Prva formula koju trebate znati kada počnete proučavati trigonometriju kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa ugla jednak jedan. Ova formula je direktna posljedica Pitagorine teoreme, ali štedi vrijeme ako trebate znati veličinu ugla, a ne stranu.
Mnogi učenici se ne mogu sjetiti druge formule, koja je također vrlo popularna kod rješavanja školskih zadataka: zbir jedinice i kvadrata tangente ugla jednak je jednom podijeljenom s kvadratom kosinusa ugla. Pogledajte bliže: ovo je ista izjava kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta podijeljene kvadratom kosinusa. Ispostavilo se da jednostavna matematička operacija radi trigonometrijska formula potpuno neprepoznatljiv. Zapamtite: znajući šta su sinus, kosinus, tangenta i kotangens, pravila transformacije i nekoliko osnovnih formula, možete u svakom trenutku izvesti potrebne složenije formule na listu papira.
Formule za dvostruke uglove i sabiranje argumenata
Još dvije formule koje trebate naučiti odnose se na vrijednosti sinusa i kosinusa za zbroj i razliku uglova. Oni su predstavljeni na donjoj slici. Imajte na umu da se u prvom slučaju sinus i kosinus množe oba puta, au drugom se dodaje upareni proizvod sinusa i kosinusa.
Postoje i formule povezane sa argumentima dvostrukog ugla. Oni su u potpunosti izvedeni iz prethodnih - kao praksa, pokušajte ih sami dobiti uzimajući alfa ugao jednak beta kutu.
Konačno, imajte na umu da se formule dvostrukog ugla mogu preurediti kako bi se smanjila snaga sinusa, kosinusa, tangenta alfa.
Teoreme
Dvije glavne teoreme u osnovnoj trigonometriji su sinusna teorema i kosinusna teorema. Uz pomoć ovih teorema, lako možete razumjeti kako pronaći sinus, kosinus i tangentu, a time i površinu figure, veličinu svake strane itd.
Teorem sinusa kaže da dijeljenje dužine svake strane trougla sa suprotnim uglom rezultira istim brojem. Štaviše, ovaj broj će biti jednak dvama polumjerima opisane kružnice, odnosno kruga koji sadrži sve točke datog trougla.
Kosinusna teorema generalizira Pitagorinu teoremu, projektujući je na bilo koji trokut. Ispada da od zbira kvadrata dviju strana oduzmite njihov proizvod pomnožen dvostrukim kosinusom susjednog ugla - rezultirajuća vrijednost će biti jednaka kvadratu treće strane. Tako se ispostavlja da je Pitagorina teorema poseban slučaj kosinusne teoreme.
Nepažljive greške
Čak i znajući šta su sinus, kosinus i tangens, lako je pogriješiti zbog rasejanosti ili greške u najjednostavnijim proračunima. Da bismo izbjegli takve greške, pogledajmo one najpopularnije.
Prvo, ne biste trebali pretvarati razlomke u decimale dok ne dobijete konačni rezultat - možete ostaviti odgovor kao običan razlomak, osim ako je drugačije navedeno u uslovima. Takva se transformacija ne može nazvati greškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi problema mogu pojaviti novi korijeni, koje bi, prema autorovoj zamisli, trebalo smanjiti. U ovom slučaju gubite vrijeme na nepotrebno matematičke operacije. Ovo posebno vrijedi za vrijednosti kao što su korijen od tri ili korijen od dva, jer se nalaze u problemima na svakom koraku. Isto važi i za zaokruživanje „ružnih“ brojeva.
Nadalje, imajte na umu da se kosinusna teorema primjenjuje na bilo koji trokut, ali ne i Pitagorina teorema! Ako greškom zaboravite da dvaput oduzmete umnožak stranica pomnožen kosinusom ugla između njih, ne samo da ćete dobiti potpuno pogrešan rezultat, već ćete pokazati i potpuno nerazumijevanje subjekta. Ovo je gore od neoprezne greške.
Treće, nemojte miješati vrijednosti za uglove od 30 i 60 stepeni za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus od 30 stepeni jednak kosinsu od 60, i obrnuto. Lako ih je zbuniti, zbog čega ćete neizbježno dobiti pogrešan rezultat.
Aplikacija
Mnogi studenti ne žure da počnu proučavati trigonometriju jer ne razumiju njeno praktično značenje. Šta je sinus, kosinus, tangenta za inženjera ili astronoma? Ovo su koncepti pomoću kojih možete izračunati udaljenost do udaljenih zvijezda, predvidjeti pad meteorita ili poslati istraživačku sondu na drugu planetu. Bez njih je nemoguće izgraditi zgradu, dizajnirati automobil, izračunati opterećenje na površini ili putanju objekta. A ovo su samo najočitiji primjeri! Uostalom, trigonometrija se u ovom ili onom obliku koristi svuda, od muzike do medicine.
U zaključku
Dakle, ti si sinus, kosinus, tangent. Možete ih koristiti u proračunima i uspješno rješavati školske probleme.
Cijeli smisao trigonometrije svodi se na činjenicu da koristeći poznate parametre trougla morate izračunati nepoznanice. Ukupno ima šest parametara: dužina tri strane i veličine tri ugla. Jedina razlika u zadacima leži u činjenici da su dati različiti ulazni podaci.
Sada znate kako pronaći sinus, kosinus, tangentu na osnovu poznatih dužina kateta ili hipotenuze. Pošto ovi pojmovi ne znače ništa više od omjera, a omjer je razlomak, glavni cilj Trigonometrijski problem postaje pronalaženje korijena obične jednačine ili sistema jednačina. I tu će vam pomoći redovna školska matematika.
