Zadaci koji se odnose na konstruisanje preseka kocke pomoću ravni su, po pravilu, jednostavniji od, na primer, zadataka koji uključuju preseke piramide.
Možemo povući pravu liniju kroz dvije tačke ako leže u istoj ravni. Prilikom konstruisanja preseka kocke moguća je i druga opcija za konstruisanje traga presečne ravni. Budući da treća ravan siječe dvije paralelne ravni duž paralelnih pravih, onda ako je na jednoj strani već konstruisana prava, a u drugoj postoji tačka kroz koju presek prolazi, onda možemo povući pravu paralelnu ovoj tačka kroz ovu tačku.
Hajde da pogledamo konkretnim primjerima, kako konstruirati dijelove kocke koristeći ravan.
1) Konstruišite presek kocke sa ravninom koja prolazi kroz tačke A, C i M.
Problemi ovog tipa su najjednostavniji od svih zadataka za konstruisanje preseka kocke. Kako tačke A i C leže u istoj ravni (ABC), kroz njih možemo povući pravu liniju. Njegov trag je segment AC. Nevidljiv je, pa AC prikazujemo potezom. Na sličan način povezujemo tačke M i C koje leže u istoj ravni (CDD1) i tačke A i M koje leže u istoj ravni (ADD1). Trougao ACM je obavezna sekcija.
2) Konstruišite presek kocke sa ravninom koja prolazi kroz tačke M, N, P.
Ovdje samo tačke M i N leže u istoj ravni (ADD1), pa kroz njih povučemo pravu liniju i dobijemo trag MN (nevidljiv). Pošto suprotne strane kocke leže u paralelnim ravnima, rezna ravan siječe paralelne ravni (ADD1) i (BCC1) duž paralelnih linija. Već smo konstruisali jednu od paralelnih linija - ovo je MN.
Kroz tačku P povlačimo pravu paralelnu sa MN. Presijeca ivicu BB1 u tački S. PS je trag rezne ravnine u plohi (BCC1).
Povlačimo pravu liniju kroz tačke M i S koje leže u istoj ravni (ABB1). Dobili smo trag MS (vidljivo).
Ravne (ABB1) i (CDD1) su paralelne. Već postoji prava linija MS u ravni (ABB1), pa kroz tačku N u ravni (CDD1) povlačimo pravu paralelnu sa MS. Ova linija seče ivicu D1C1 u tački L. Njen trag je NL (nevidljiv). Tačke P i L leže u istoj ravni (A1B1C1), pa kroz njih povlačimo pravu liniju.
Pentagon MNLPS je obavezna sekcija.
3) Konstruišite presek kocke sa ravninom koja prolazi kroz tačke M, N, P.
Tačke M i N leže u istoj ravni (VSS1), pa se kroz njih može povući prava linija. Dobijamo trag MN (vidljiv). Ravan (BCC1) je paralelna sa ravninom (ADD1), pa kroz tačku P koja leži u (ADD1) povlačimo pravu paralelnu sa MN. Seče ivicu AD u tački E. Dobili smo trag PE (nevidljiv).
Više nema tačaka koje leže u istoj ravni, niti prave linije i tačaka u paralelnim ravnima. Stoga moramo nastaviti jednu od postojećih linija da bismo dobili dodatni bod.
Ako nastavimo pravu MN, onda, pošto ona leži u ravni (BCC1), moramo tražiti tačku preseka MN sa jednom od pravih ove ravni. Već postoje tačke preseka sa CC1 i B1C1 - to su M i N. Ostale su prave linije BC i BB1. Nastavimo BC i MN dok se ne seku u tački K. Tačka K leži na pravoj BC, što znači da pripada ravni (ABC), tako da možemo povući pravu liniju kroz nju i tačku E koja leži u ovoj ravni. Presijeca rub CD u tački H. EH je njegov trag (nevidljiv). Pošto H i N leže u istoj ravni (CDD1), kroz njih se može povući prava linija. Dobijamo HN (nevidljivi) trag.
Ravni (ABC) i (A1B1C1) su paralelne. U jednom od njih je prava EH, u drugom tačka M. Kroz M možemo povući pravu paralelnu sa EH. Dobijamo MF trag (vidljiv). Povucite pravu liniju kroz tačke M i F.
Šestougao MNHEPF je potreban presek.
Ako bismo nastavili pravu liniju MN sve dok se ne seče sa drugom pravom ravninom (BCC1), BB1, dobili bismo tačku G koja pripada ravni (ABB1). To znači da kroz G i P možemo povući pravu liniju čiji je trag PF. Zatim crtamo prave linije kroz tačke koje leže u paralelnim ravnima i dolazimo do istog rezultata.
Rad sa ravnim PE daje isti presek MNHEPF.
4) Konstruišite presek kocke sa ravni koja prolazi kroz tačku M, N, P.
Ovdje možemo povući pravu liniju kroz tačke M i N koje leže u istoj ravni (A1B1C1). Njen otisak je MN (vidljiv). Nema više tačaka koje leže u istoj ravni ili u paralelnim ravnima.
Nastavimo pravu liniju MN. Leži u ravni (A1B1C1), pa se može seći samo sa jednom od pravih ove ravni. Već postoje tačke preseka sa A1D1 i C1D1 - N i M. Još dve prave linije ove ravni - A1B1 i B1C1. Tačka preseka A1B1 i MN je S. Pošto leži na pravoj A1B1, ona pripada ravni (ABB1), što znači da se kroz nju može povući prava i tačka P koja leži u istoj ravni. Prava PS siječe rub AA1 u tački E. PE je njen trag (vidljiv). Kroz tačke N i E, koje leže u istoj ravni (ADD1), možete povući pravu liniju čiji je trag NE (nevidljiv). U ravni (ADD1) se nalazi prava NE, u ravni paralelnoj sa njom (BCC1) nalazi se tačka P. Kroz tačku P možemo povući pravu PL paralelnu sa NE. Presijeca rub CC1 u tački L. PL je trag ove prave (vidljiv). Tačke M i L leže u istoj ravni (CDD1), što znači da se kroz njih može povući prava linija. Njen trag je ML (nevidljiv). Pentagon MLPEN je obavezna sekcija.
Bilo je moguće nastaviti pravu liniju NM u oba smjera i tražiti njene presečne tačke ne samo sa pravom linijom A1B1, već i sa pravom linijom B1C1, koja takođe leži u ravni (A1B1C1). U ovom slučaju, kroz tačku P povlačimo dvije prave odjednom: jednu u ravnini (ABB1) kroz tačke P i S, a drugu u ravni (BCC1), kroz tačke P i R. Nakon toga ostaje spojiti tačke koje leže u istoj ravni: M c L, E - sa N.
Instrukcije
Metoda za izračunavanje površine poprečnog presjeka također ovisi o podacima koji su već dostupni u zadatku. Osim toga, rješenje je određeno onim što leži u osnovi prizme. Ako treba da nađeš dijagonalni presjek prizma, pronađite dužinu dijagonale, koja je jednaka korijenu zbira (osnova stranica). Na primjer, ako su osnovice 3 cm, odnosno 4 cm, dužina dijagonale jednaka je korijenu (4x4 + 3x3) = 5 cm Nađite površinu poprečnog presjeka dijagonale koristeći formulu: pomnožite dijagonalu postolje po visini.
Ako je osnova prizme trokut, za izračunavanje površine poprečnog presjeka prizme koristite formulu: 1/2 osnove trokuta pomnoženo s visinom.
Postoje sljedeće vrste prizmi - pravilne i ravne. Ako trebate pronaći odjeljak ispravna prizma, morate znati dužinu samo jedne od stranica poligona, jer u osnovi postoji kvadrat sa svim stranama jednakim. Pronađite dijagonalu kvadrata, koja je jednaka proizvodu njegove stranice i korijena dva. Nakon toga, množenjem dijagonale, dobivate površinu poprečnog presjeka pravilne prizme.
Prizma ima svoje. Dakle, površina bočne površine proizvoljne prizme izračunava se po formuli, gdje je perimetar okomitog presjeka, a dužina bočne ivice. U ovom slučaju, okomit presjek je okomit na sve bočne ivice prizme, a njegovi uglovi su linearni uglovi diedarskih uglova na odgovarajućim bočnim ivicama. Okomit presjek je također okomit na sve bočne strane.
Izvori:
- dijagonalni presjek prizme
Aksijalni je presjek koji prolazi kroz osu geometrijskog tijela nastalog rotacijom određenog geometrijska figura. Cilindar se dobija rotacijom pravougaonika oko jedne od njegovih strana, a to određuje mnoga njegova svojstva. Generatorice ovog geometrijskog tijela su paralelne i jednake jedna drugoj, što je veoma važno za određivanje parametara njegovog aksijalnog presjeka, uključujući i dijagonalu.
Trebaće ti
- - cilindar sa zadatim parametrima;
- - papir;
- - olovka;
- - vladar;
- - kompas;
- - Pitagorina teorema;
- - teoreme sinusa i kosinusa.
Instrukcije
Konstruisati cilindar prema datim uslovima. Da biste ga nacrtali, morate znati visinu. Međutim, u problemu s dijagonalama mogu se specificirati i drugi uvjeti - na primjer, ugao između dijagonale i generatrise ili prečnik baze. U tom slučaju, kada kreirate crtež, koristite veličinu koja vam je data. Ostatak uzmi nasumično i naznači šta ti je tačno dato. Označite tačke preseka ose i baza kao O i O."
Nacrtajte aksijalni presjek. To je pravougaonik čije su dvije stranice prečnici baza, a druge dvije su generatrise. Budući da su generatori također okomiti na baze, oni su ujedno i visine datog geometrijskog tijela. Označite rezultirajući pravougaonik ABCD. Nacrtajte dijagonale AC i BD. Zapamtite dijagonale pravougaonika. Jednake su jedna drugoj i podijeljene su na pola na mjestu sjecišta.
Razmotrimo trougao ADC. Pravougaona je jer je CD generatrica okomita na bazu. Jedan predstavlja prečnik baze, drugi - . Dijagonala je . Zapamtite kako se izračunava dužina hipotenuze bilo kojeg pravokutnika. Jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata kateta. To jest, u u ovom slučaju d=√4r2+h2, gde je d dijagonala, r poluprečnik osnove, a h visina cilindra.
Ako visina cilindra nije navedena u zadatku, ali je naznačen kut dijagonale aksijalnog presjeka s bazom ili generatricom, upotrijebite teoremu o sinusima ili kosinusima. Zapamtite, podaci su trigonometrijski. Ovo je omjer kraka suprotnog ili susjednog određenog kuta u odnosu na hipotenuzu, koju trebate pronaći. Recimo da su vam data visina i ugao CAD između dijagonale i prečnika baze. U ovom slučaju koristite zakon sinusa jer je ugao CAD nasuprot generatrisi. Nađite hipotenuzu d koristeći formulu d=h/sinCAD. Ako vam je dat polumjer i isti ugao, koristite kosinusni teorem. U ovom slučaju d=2r/cos CAD.
Postupite po istom principu u slučajevima kada je naveden ugao ACD između dijagonale i generatrike. U ovom slučaju se koristi sinusna teorema kada je zadan polumjer, a kosinusna teorema kada je visina poznata.
Video na temu
Zlatni omjer je omjer koji se od antičkih vremena smatra najsavršenijim i najskladnijim. On čini osnovu mnogih drevnih struktura, od kipova do hramova, i vrlo je čest u prirodi. Istovremeno, ova proporcija je izražena iznenađujuće elegantnim matematičkim konstrukcijama.
Instrukcije
Ako se dužina cijelog segmenta uzme kao 1, a dužina većeg dijela kao x, tada će se željena proporcija izraziti jednadžbom:
(1 - x)/x = x/1.
Množenjem obe strane proporcije sa x i prenošenjem članova, dobijamo kvadratnu jednačinu:
x^2 + x - 1 = 0.
Jednačina ima dva pravim korenima, od kojih nas naravno zanima samo ono pozitivno. Jednako je (√5 - 1)/2, što je približno jednako 0,618. Ovaj broj izražava poprečni presjek. Najčešće se označava slovom φ.
Broj φ ima niz izvanrednih matematičkih svojstava. Na primjer, čak i iz originalne jednačine je jasno da je 1/φ = φ + 1. Zaista, 1/(0,618) = 1,618.
Drugi način za izračunavanje zlatnog omjera je korištenje beskonačni razlomak. Počevši od bilo kojeg proizvoljnog x, možete sekvencijalno konstruirati razlomak:
x
1/(x + 1)
1/(1/(x+1) + 1)
1/(1/(1/(x+1) + 1) +1)
Radi lakšeg izračunavanja, ovaj razlomak se može predstaviti kao iterativni, u kojem za izračunavanje sljedećeg koraka morate dodati jedan rezultatu prethodnog koraka i podijeliti jedan s rezultirajućim brojem. Drugim riječima:
x0 = x
x(n + 1) = 1/(xn + 1).
Ovaj proces konvergira i njegova granica je φ + 1.
Ako izračun recipročne vrijednosti zamijenimo izvlačenjem kvadratnog korijena, odnosno izvršimo iterativnu petlju:
x0 = x
x(n + 1) = √(xn + 1),
tada rezultat ostaje nepromijenjen: bez obzira na početno odabrano x, iteracije konvergiraju na vrijednost φ + 1.
Geometrijski, zlatni rez se može konstruisati pomoću pravilnog petougla. Ako u njemu nacrtate dvije dijagonale koje se sijeku, onda će svaka od njih podijeliti drugu strogo u zlatnom omjeru. Ovo zapažanje, prema legendi, pripada Pitagori, koji je bio toliko šokiran pronađenim uzorkom da ga je smatrao ispravnim petokraka(pentagram) sveti božanski simbol.
Nepoznati su razlozi zbog kojih se zlatni rez čini najskladnijim. Međutim, više puta je potvrđeno da su ispitanici koji su imali zadatak da najljepše podijele segment na dva nejednaka dijela to učinili u proporcijama vrlo blizu zlatnog preseka.
Pitanje se odnosi na analitičku geometriju. Rješava se pomoću jednačina prostornih linija i ravni, koncepta kocke i njenog geometrijska svojstva, kao i korištenje vektorske algebre. Možda će biti potrebne metode za popravku sistema linearne jednačine.
Instrukcije
Odaberite uslove zadatka tako da budu iscrpni, ali ne i suvišni. Treba specificirati reznu ravninu α opšta jednačina oblika Ax+By+Cz+D=0, što se najbolje slaže sa njegovim proizvoljnim izborom. Za definiranje kocke dovoljne su koordinate bilo koja tri njena vrha. Uzmimo, na primjer, tačke M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3), prema slici 1. Ova slika ilustruje poprečni presjek kocke. Presijeca dva bočna i tri osnovna rebra.
Odlučite se o planu daljeg rada. Moramo tražiti koordinate tačaka Q, L, N, W, R gdje se presjek seče sa odgovarajućim ivicama kocke. Da biste to učinili, morat ćete pronaći jednadžbe linija koje sadrže ove rubove i potražiti točke presjeka ivica s ravninom α. Nakon toga slijedi podjela QLNWR na trokute (vidi sliku 2) i izračunavanje površine svakog od njih koristeći svojstva vektorskog proizvoda. Tehnika je svaki put ista. Stoga se možemo ograničiti na tačke Q i L i površinu trokuta ∆QLN.
Pronađite vektor smjera h prave linije koja sadrži rub M1M5 (i tačku Q) kao vektorski proizvod M1M2=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) i M2M3=(x3-x2, y3-y2, z3- z2), h=(m1, n1, p1)=. Rezultirajući vektor je vodič za sve ostale bočne ivice. Nađite dužinu ivice kocke kao, na primer, ρ=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2). Ako je veličina vektora h |h|≠ρ, onda ga zamijenite odgovarajućim kolinearnim vektorom s=(m, n, p)=(h/|h|)ρ. Sada zapišite parametarski jednadžbu prave linije koja sadrži M1M5 (vidi sliku 3). Nakon zamjene odgovarajućih izraza u jednadžbu rezne ravni, dobija se A(x1+mt)+B(y1+nt)+C(z1+pt)+D=0. Odredite t, zamenite ga u jednačine za M1M5 i zapišite koordinate tačke Q(qx, qy, qz) (slika 3).
Očigledno, tačka M5 ima koordinate M5(x1+m, y1+n, z1+p). Vektor pravca za pravu liniju koja sadrži ivicu M5M8 poklapa se sa M2M3=(x3-x2, y3-y2,z3-z2). Zatim ponovite prethodne argumente L(lx, ly, lz) (vidi sliku 4). Sve dalje za N(nx, ny, nz) je kopija ovog koraka.
