Online kalkulator radi redukcija algebarskih razlomaka u skladu sa pravilom redukcije razlomaka: zamjena prvobitnog razlomka jednakim razlomkom, ali manjim brojnikom i nazivnikom, tj. Istovremeno dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka njihovim zajedničkim najvećim zajedničkim faktorom (GCD). Kalkulator također prikazuje detaljno rješenje koje će vam pomoći da shvatite redoslijed smanjenja.

Dato:

Rješenje:

Izvođenje redukcije frakcija

provjera mogućnosti izvođenja algebarske redukcije razlomaka

1) Određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika razlomka

određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika algebarskog razlomka

2) Smanjenje brojnika i nazivnika razlomka

smanjenje brojnika i nazivnika algebarskog razlomka

3) Odabir cijelog dijela razlomka

razdvajanje cijelog dijela algebarskog razlomka

4) Pretvaranje algebarskog razlomka u decimalni razlomak

pretvaranje algebarskog razlomka u decimalni

Pomoć za izradu web stranice projekta

Poštovani posjetitelju stranice.
Ako niste uspjeli pronaći ono što ste tražili, svakako napišite u komentarima šta trenutno nedostaje na stranici. To će nam pomoći da shvatimo u kom pravcu se trebamo dalje kretati, a drugi posjetioci će uskoro moći dobiti potreban materijal.
Ako vam se stranica pokaže korisnom, donirajte je projektu samo 2 ₽ i znaćemo da se krećemo u pravom smeru.

Hvala vam što ste svratili!

I. Procedura za smanjenje algebarskog razlomka pomoću online kalkulatora:

1. Da biste smanjili algebarski razlomak, unesite vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka u odgovarajuća polja. Ako je razlomak pomiješan, popunite i polje koje odgovara cijelom dijelu razlomka. Ako je razlomak jednostavan, ostavite cijelo polje za dio praznim.
2. Da biste odredili negativan razlomak, stavite znak minus na cijeli dio razlomka.
3. Ovisno o navedenom algebarskom razlomku, automatski se izvodi sljedeći niz radnji:

• određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika razlomka;
• smanjenje brojioca i nazivnika razlomka za gcd;
• isticanje cijelog dijela razlomka, ako je brojnik konačnog razlomka veći od nazivnika.
• pretvaranje konačnog algebarskog razlomaka u decimalni razlomak zaokruženo na najbližu stotu.

II. Za referencu:

Razlomak je broj koji se sastoji od jednog ili više dijelova (razlomaka) jedinice. Običan razlomak (prosti razlomak) se piše kao dva broja (brojilac razlomka i imenilac razlomka) odvojena horizontalnom crtom (razlomak) koja označava znak podjele.

Brojač razlomka je broj iznad linije razlomka. Brojač pokazuje koliko je dionica uzeto iz cjeline.

1. Imenilac razlomka je broj ispod linije razlomka. Imenilac pokazuje na koliko jednakih delova je podeljena celina. Prost razlomak je razlomak koji nema cijeli dio. Jednostavan razlomak može biti pravilan ili nepravilan. , Pravi razlomak je razlomak čiji je brojilac manji od nazivnika, pa je pravi razlomak uvijek manji od jedan. Primjer pravih razlomaka: 8/7, 11/19, 16/17., Nepravilan razlomak je razlomak u kojem je brojilac veći ili jednak nazivniku, tako da je nepravilan razlomak uvijek veći ili jednak jedan. Primjer nepravilnih razlomaka: 7/6, 8/7, 13/13..
2. mješoviti razlomak je broj koji sadrži cijeli broj i pravi razlomak, a označava zbir tog cijelog broja i pravilnog razlomka. Svaki mješoviti razlomak se može pretvoriti u nepravilan razlomak. Primjer miješanih frakcija: 1¼, 2½, 4¾.

III. Napomena: Blok izvornih podataka je označenžuta

blok srednjih proračuna je označen plavom bojom

blok rješenja je označen zelenom bojom

Za sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje običnih ili mješovitih razlomaka koristite online kalkulator razlomaka s detaljnim rješenjima.
Smanjenje frakcija je neophodno kako bi se razlomak sveo na više jednostavan pogled

, na primjer, u odgovoru dobivenom kao rezultat rješavanja izraza. Smanjenje razlomaka, definicija i formula. Šta je reduciranje razlomaka? Šta znači smanjiti razlomak?.

definicija:

Reducing Fractions
- ovo je podjela brojnika i nazivnika razlomka istim pozitivnim brojem koji nije jednak nuli i jedan. Kao rezultat redukcije dobija se razlomak sa manjim brojnikom i imeniocem, jednak prethodnom razlomku prema.

Formula za smanjenje frakcija
glavna imovina

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Odgovor: nakon redukcije dobili smo razlomak \(\frac(3)(5)\). Prema osnovnom svojstvu racionalnih brojeva, originalni i rezultujući razlomak su jednaki.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Kako smanjiti razlomke? Svođenje razlomka na njegov nesvodljivi oblik.

Da bismo kao rezultat dobili nesvodljivi razlomak, trebamo pronađite najveći zajednički djelitelj (GCD) za brojnik i imenilac razlomka.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje GCD-a u primjeru ćemo koristiti dekompoziciju brojeva na proste faktore.

Dobiti nesmanjivi razlomak \(\frac(48)(136)\).

Formula za smanjenje frakcija
Nađimo GCD(48, 136). Zapišimo brojeve 48 i 136 u proste faktore.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Pravilo za svođenje razlomka u nesvodljivi oblik.

1. Morate pronaći najveći zajednički djelitelj za brojnik i nazivnik.
2. Morate podijeliti brojilac i imenilac najvećim zajedničkim djeliteljem da dobijete nesvodljivi razlomak.

primjer:
Smanjite razlomak \(\frac(152)(168)\).

Formula za smanjenje frakcija
Nađimo GCD(152, 168). Zapišimo brojeve 152 i 168 u proste faktore.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Odgovor: \(\frac(19)(21)\) je nesvodljivi razlomak.

Smanjenje nepravilnih razlomaka.

Kako rezati nepravilan razlomak?
Pravila za smanjenje razlomaka su ista za prave i nepravilne razlomke.

Reducing Fractions
Smanjite nepravilan razlomak \(\frac(44)(32)\).

Formula za smanjenje frakcija
Zapišimo brojilac i imenilac u jednostavne činioce. A onda ćemo smanjiti uobičajene faktore.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \puts 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Smanjenje miješanih frakcija.

Mješoviti razlomci slijede ista pravila kao i obični razlomci. Jedina razlika je u tome što možemo ne dirajte cijeli dio, već smanjite dio ili Pretvorite mješoviti razlomak u nepravilan razlomak, smanjite ga i vratite u pravilan razlomak.

Reducing Fractions
Otkažite mješoviti razlomak \(2\frac(30)(45)\).

Formula za smanjenje frakcija
Rešimo to na dva načina:
prvi način:
Zapišimo razlomak u jednostavne činioce, ali nećemo dirati cijeli dio.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

drugi način:
Hajde da ga prvo pretvorimo u nepravilan razlomak, a zatim ga zapišemo u proste faktore i smanjimo. Pretvorimo rezultirajući nepravilan razlomak u pravi razlomak.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \puta) 3) \times 2 \times 2)(3 \puta \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Povezana pitanja:
Možete li smanjiti razlomke pri sabiranju ili oduzimanju?
Odgovor: ne, prvo morate dodati ili oduzeti razlomke prema pravilima, a tek onda ih smanjiti. Pogledajmo primjer:

Procijenite izraz \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Formula za smanjenje frakcija
Često griješe smanjujući iste brojeve u brojniku i nazivniku, u našem slučaju broj 20, ali se ne mogu smanjiti dok ne završite sabiranje i oduzimanje.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Za koje brojeve možete smanjiti razlomak?
Odgovor: Možete smanjiti razlomak za najveći zajednički faktor ili zajednički djelitelj brojnika i nazivnika. Na primjer, razlomak \(\frac(100)(150)\).

Zapišimo brojeve 100 i 150 u proste faktore.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Najveći zajednički djelitelj će biti broj GCD(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Dobili smo nesvodljivi razlomak \(\frac(2)(3)\).

Ali nije potrebno uvijek dijeliti sa gcd nesvodljivi razlomak nije uvijek potreban; Na primjer, brojevi 100 i 150 imaju zajednički djelitelj 2. Smanjimo razlomak \(\frac(100)(150)\) za 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Dobili smo reducibilni razlomak \(\frac(50)(75)\).

Koji se razlomci mogu smanjiti?
Odgovor: Možete smanjiti razlomke u kojima brojnik i imenilac imaju zajednički djelitelj. Na primjer, razlomak \(\frac(4)(8)\). Broj 4 i 8 imaju broj kojim su oba djeljiva - broj 2. Dakle, takav razlomak se može smanjiti za broj 2.

primjer:
Uporedite dva razlomka \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(8)(12)\).

Ova dva razlomka su jednaka. Pogledajmo pobliže razlomak \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\puta 1=\frac(2)(3)\)

Odavde dobijamo, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Dva razlomka su jednaka ako i samo ako se jedan od njih dobije smanjenjem drugog razlomka zajedničkim faktorom brojnika i nazivnika.

primjer:
Ako je moguće, smanjite sljedeće razlomke: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Formula za smanjenje frakcija
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \ puta 3 \ puta 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) nesvodljivi razlomak
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \puta 5 \puts 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ puta 5)=\frac(2)(5)\)

Početni nivo

Pretvaranje izraza. Detaljna teorija (2019)

Pretvaranje izraza

Često čujemo ovu neugodnu frazu: "pojednostavite izraz". Obično vidimo neku vrstu čudovišta poput ovog:

„Mnogo je jednostavnije“, kažemo, ali takav odgovor obično ne funkcioniše.

Sada ću vas naučiti da se ne plašite takvih zadataka. Štaviše, na kraju lekcije, sami ćete pojednostaviti ovaj primjer na (samo!) običan broj (da, dovraga s ovim slovima).

Ali prije nego što započnete ovu lekciju, morate znati rukovati razlomcima i faktorskim polinomima. Stoga, prvo, ako to ranije niste radili, svakako savladajte teme “” i “”.

Jeste li ga pročitali? Ako jeste, onda ste sada spremni.

Osnovne operacije pojednostavljivanja

Pogledajmo sada osnovne tehnike koje se koriste za pojednostavljenje izraza.

Najjednostavniji je

1. Donošenje sličnog

Šta su slični? Uzeli ste ovo u 7. razredu, kada su se u matematici prvi put pojavila slova umjesto brojeva. Slični su pojmovi (monomi) sa istim slovnim dijelom. Na primjer, u zbroju, slični pojmovi su i.

Sjećaš li se?

Donijeti slično znači dodati nekoliko sličnih pojmova jedan drugom i dobiti jedan pojam.

Kako možemo spojiti slova? - pitate.

Ovo je vrlo lako razumjeti ako zamislite da su slova neka vrsta objekata. Na primjer, pismo je stolica. Čemu je onda izraz jednak? Dvije stolice plus tri stolice, koliko će to biti? Tako je, stolice: .

Sada pokušajte s ovim izrazom: .

Kako biste izbjegli zabunu, neka različita slova predstavljaju različite objekte. Na primjer, - je (kao i obično) stolica, a - je stol. onda:

stolice stolovi stolovi stolovi stolice stolice stolovi

Zovu se brojevi kojima se množe slova u takvim terminima koeficijenti. Na primjer, u monomu koeficijent je jednak. I u njemu je jednako.

Dakle, pravilo za donošenje sličnih je:

primjeri:

Dajte slične:

odgovori:

2. (i slično, jer, dakle, ovi pojmovi imaju isti slovni dio).

2. Faktorizacija

Ovo je obično najvažniji dio u pojednostavljivanju izraza. Nakon što ste dali slične, najčešće je rezultirajući izraz potrebno faktorizirati, odnosno predstaviti kao proizvod. Ovo je posebno važno kod razlomaka: da bismo mogli smanjiti razlomak, brojnik i imenilac moraju biti predstavljeni kao proizvod.

Detaljno ste prošli kroz metode faktoringa izraza u temi “”, tako da ovdje samo trebate zapamtiti šta ste naučili. Da biste to učinili, odlučite nekoliko primjeri(potrebno je faktorizirati):

rješenja:

3. Smanjenje razlomka.

Pa, što bi moglo biti ugodnije nego precrtati dio brojnika i nazivnika i izbaciti ih iz svog života?

To je ljepota smanjenja broja zaposlenih.

jednostavno je:

Ako brojnik i nazivnik sadrže iste faktore, oni se mogu smanjiti, odnosno ukloniti iz razlomka.

Ovo pravilo proizlazi iz osnovne osobine razlomka:

Odnosno, suština operacije redukcije je to Brojilac i imenilac razlomka dijelimo istim brojem (ili istim izrazom).

Da biste smanjili razlomak potrebno vam je:

1) brojnik i imenilac faktorisati

2) ako brojilac i imenilac sadrže zajednički faktori, mogu se precrtati.

Mislim da je princip jasan?

Želeo bih da vam skrenem pažnju na jednu tipična greška prilikom ugovaranja. Iako je ova tema jednostavna, mnogi ljudi sve rade pogrešno, a da to ne razumiju smanjiti- to znači podijeliti brojilac i imenilac su isti broj.

Bez skraćenica ako je brojilac ili nazivnik zbir.

Na primjer: trebamo pojednostaviti.

Neki ljudi rade ovo: što je apsolutno pogrešno.

Drugi primjer: smanjiti.

“Najpametniji” će uraditi ovo: .

Reci mi šta nije u redu? Čini se: - ovo je množitelj, što znači da se može smanjiti.

Ali ne: - ovo je faktor samo jednog člana u brojiocu, ali sam brojilac u cjelini nije faktoriziran.

Evo još jednog primjera: .

Ovaj izraz je faktorizovan, što znači da ga možete smanjiti, odnosno podijeliti brojilac i imenilac sa, a zatim sa:

Možete ga odmah podijeliti na:

Da biste izbjegli takve greške, zapamtite lak način kako odrediti da li je izraz faktoriziran:

Aritmetička operacija koja se izvodi posljednja prilikom izračunavanja vrijednosti izraza je “master” operacija. Odnosno, ako zamijenite neke (bilo koje) brojeve umjesto slova i pokušate izračunati vrijednost izraza, onda ako je posljednja radnja množenje, onda imamo proizvod (izraz je faktoriziran). Ako je posljednja radnja zbrajanje ili oduzimanje, to znači da izraz nije faktoriziran (i stoga se ne može smanjiti).

Za konsolidaciju, riješite nekoliko sami primjeri:

odgovori:

1. Nadam se da niste odmah požurili da sečete i? Još uvijek nije bilo dovoljno "smanjiti" jedinice ovako:

Prvi korak bi trebao biti faktorizacija:

4. Sabiranje i oduzimanje razlomaka. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sabiranje i oduzimanje obične frakcije- operacija je dobro poznata: tražimo zajednički imenilac, pomnožimo svaki razlomak sa faktorom koji nedostaje i saberemo/oduzmemo brojioce. prisjetimo se:

odgovori:

1. Imenioci i su relativno prosti, odnosno nemaju zajedničke faktore. Stoga je LCM ovih brojeva jednak njihovom proizvodu. Ovo će biti zajednički imenilac:

2. Ovdje je zajednički imenilac:

3. Prva stvar ovdje miješane frakcije pretvaramo ih u pogrešne, a zatim slijedimo uobičajeni obrazac:

Potpuno je druga stvar ako razlomci sadrže slova, na primjer:

Počnimo s nečim jednostavnim:

a) Imenioci ne sadrže slova

Ovdje je sve isto kao i kod običnih numeričke frakcije: pronađite zajednički nazivnik, pomnožite svaki razlomak sa faktorom koji nedostaje i dodajte/oduzmi brojioce:

Sada u brojiocu možete dati slične, ako ih ima, i razložiti ih:

Probajte sami:

b) Imenioci sadrže slova

Prisjetimo se principa pronalaženja zajedničkog nazivnika bez slova:

· prije svega utvrđujemo zajedničke faktore;

· zatim ispisujemo sve zajedničke faktore jedan po jedan;

· i pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.

Da bismo odredili zajedničke činioce nazivnika, prvo ih činimo u proste faktore:

Istaknimo uobičajene faktore:

Sada napišimo uobičajene faktore jedan po jedan i dodajmo im sve neuobičajene (nepodvučene) faktore:

Ovo je zajednički imenitelj.

Vratimo se pismima. Imenioci su dati na potpuno isti način:

· faktor imenilaca;

· odrediti zajedničke (identične) faktore;

· jednom ispisati sve zajedničke faktore;

· pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.

Dakle, redom:

1) rastaviti na faktore imenitelje:

2) odrediti zajedničke (identične) faktore:

3) napišite sve zajedničke faktore jednom i pomnožite ih sa svim ostalim (nepodvučenim) faktorima:

Dakle, ovde postoji zajednički imenitelj. Prvi razlomak se mora pomnožiti sa, drugi - sa:

Usput, postoji jedan trik:

Na primjer: .

Vidimo iste faktore u nazivnicima, samo svi sa različitim pokazateljima. Zajednički imenilac će biti:

do stepena

do stepena

do stepena

do stepena.

Zakomplikujmo zadatak:

Kako napraviti da razlomci imaju isti imenilac?

Prisjetimo se osnovnog svojstva razlomka:

Nigdje se ne kaže da se isti broj može oduzeti (ili dodati) od brojnika i nazivnika razlomka. Jer to nije istina!

Uvjerite se sami: uzmite bilo koji razlomak, na primjer, i dodajte neki broj brojniku i nazivniku, na primjer, . šta si naučio?

Dakle, još jedno nepokolebljivo pravilo:

Kada razlomke svodite na zajednički nazivnik, koristite samo operaciju množenja!

Ali sa čim trebate pomnožiti da biste dobili?

Dakle, pomnožite sa. I pomnožite sa:

Izraze koji se ne mogu rastaviti na faktore ćemo nazvati "elementarnim faktorima". Na primjer, - ovo je elementarni faktor. - Isto. Ali ne: može se faktorizirati.

Šta je sa izrazom? Da li je osnovno?

Ne, jer se može faktorizirati:

(o faktorizaciji ste već čitali u temi “”).

Dakle, osnovni faktori u koje širite izraz slovima su analogni primarni faktori, u koje razlažete brojeve. I sa njima ćemo se nositi na isti način.

Vidimo da oba imenioca imaju množitelj. Ići će na zajednički imenilac do stepena (sjećate li se zašto?).

Faktor je elementaran i nemaju zajednički faktor, što znači da će se prvi razlomak jednostavno morati pomnožiti s njim:

Drugi primjer:

Rješenje:

Prije nego što panično pomnožite ove imenitelje, morate razmisliti o tome kako ih rastaviti na faktore? Obojica predstavljaju:

Odlično! onda:

Drugi primjer:

Rješenje:

Kao i obično, hajde da faktorizujemo nazivnike. U prvom nazivniku jednostavno ga stavljamo iz zagrada; u drugom - razlika kvadrata:

Čini se da nema zajedničkih faktora. Ali ako bolje pogledate, oni su slični... I istina je:

Pa da napišemo:

Odnosno, ispalo je ovako: unutar zagrade smo zamijenili pojmove, a istovremeno se znak ispred razlomka promijenio u suprotno. Imajte na umu, ovo ćete morati često raditi.

Sada da to dovedemo do zajedničkog imenioca:

Jasno? Hajde da to sada proverimo.

Zadaci za samostalno rješavanje:

odgovori:

Ovdje moramo zapamtiti još jednu stvar - razliku kocki:

Imajte na umu da nazivnik drugog razlomka ne sadrži formulu „kvadrat zbira“! Kvadrat sume bi izgledao ovako: .

A je takozvani nepotpuni kvadrat zbira: drugi član u njemu je proizvod prvog i posljednjeg, a ne njihov dvostruki proizvod. Parcijalni kvadrat zbira je jedan od faktora u proširenju razlike kocki:

Šta učiniti ako već postoje tri razlomka?

Da, ista stvar! Prije svega, uvjerimo se u to maksimalna količina faktori u nazivnicima su bili isti:

Imajte na umu: ako promijenite znakove unutar jedne zagrade, znak ispred razlomka mijenja se u suprotan. Kada promijenimo predznake u drugoj zagradi, znak ispred razlomka se ponovo mijenja u suprotan. Kao rezultat toga, on (znak ispred razlomka) se nije promijenio.

Čitav prvi imenilac ispisujemo u zajednički imenilac, a zatim mu dodajemo sve faktore koji još nisu upisani, iz drugog, pa iz trećeg (i tako dalje, ako ima više razlomaka). Odnosno, ispada ovako:

Hm... Jasno je šta raditi sa razlomcima. Ali šta je sa njih dvoje?

Jednostavno je: znate kako sabirati razlomke, zar ne? Dakle, potrebno je da dva postane razlomak! Podsjetimo: razlomak je operacija dijeljenja (brojnik je podijeljen imeniocem, ako ste zaboravili). I nema ništa lakše nego podijeliti broj sa. U ovom slučaju, sam broj se neće promijeniti, već će se pretvoriti u razlomak:

Baš ono što vam treba!

5. Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pa, najteži dio je sada gotov. A pred nama je ono najjednostavnije, ali ujedno i najvažnije:

Procedura

Koja je procedura za izračunavanje numeričkog izraza? Zapamtite tako što ćete izračunati značenje ovog izraza:

Jeste li brojali?

Trebalo bi da radi.

Dakle, da vas podsjetim.

Prvi korak je izračunavanje stepena.

Drugi je množenje i dijeljenje. Ako postoji više množenja i dijeljenja u isto vrijeme, mogu se izvršiti bilo kojim redoslijedom.

I na kraju, vršimo sabiranje i oduzimanje. Opet, bilo kojim redoslijedom.

Ali: izraz u zagradama se vrednuje van redova!

Ako se nekoliko zagrada međusobno pomnoži ili podijeli, prvo izračunamo izraz u svakoj od zagrada, a zatim ih množimo ili podijelimo.

Šta ako ima više zagrada unutar zagrada? Pa, razmislimo: neki izraz je napisan unutar zagrada. Prilikom izračunavanja izraza, šta prvo treba da uradite? Tako je, izračunajte zagrade. Pa, shvatili smo: prvo izračunamo unutrašnje zagrade, pa sve ostalo.

Dakle, procedura za gornji izraz je sljedeća (trenutna radnja je označena crvenom bojom, odnosno radnja koju trenutno izvodim):

Ok, sve je jednostavno.

Ali ovo nije isto što i izraz sa slovima?

Ne, to je isto! Samo umjesto aritmetičkih operacija, morate raditi algebarske, odnosno radnje opisane u prethodnom odjeljku: donoseći slično, zbrajanje razlomaka, smanjenje razlomaka i tako dalje. Jedina razlika će biti djelovanje faktoringa polinoma (ovo često koristimo kada radimo sa razlomcima). Najčešće, da biste rastavili na faktore, trebate koristiti I ili jednostavno staviti zajednički faktor iz zagrada.

Obično je naš cilj da izraz predstavimo kao proizvod ili količnik.

na primjer:

Hajde da pojednostavimo izraz.

1) Prvo, pojednostavljujemo izraz u zagradama. Tu imamo razliku razlomaka, a cilj nam je da je predstavimo kao proizvod ili količnik. Dakle, dovodimo razlomke na zajednički nazivnik i dodajemo:

Nemoguće je dalje pojednostaviti ovaj izraz, svi faktori ovdje su elementarni (da li se još uvijek sjećate šta to znači?).

2) Dobijamo:

Množenje razlomaka: šta može biti jednostavnije.

3) Sada možete skratiti:

Pa, to je sve. Ništa komplikovano, zar ne?

Drugi primjer:

Pojednostavite izraz.

Prvo pokušajte sami to riješiti, pa tek onda pogledajte rješenje.

Prije svega, odredimo redoslijed radnji. Prvo, dodajmo razlomke u zagradama, tako da umjesto dva razlomka dobijemo jedan. Zatim ćemo uraditi dijeljenje razlomaka. Pa, dodajmo rezultat sa zadnjim razlomkom. Šematski ću numerisati korake:

Sada ću vam pokazati proces, tonirajući trenutnu akciju u crveno:

Na kraju ću vam dati dva korisna savjeta:

1. Ako ima sličnih, moraju se odmah doneti. U kom god trenutku se slične pojave kod nas, preporučljivo je odmah ih pokrenuti.

2. Isto važi i za smanjenje razlomaka: čim se pojavi prilika za smanjenje, mora se iskoristiti. Izuzetak su razlomci koje dodajete ili oduzimate: ako sada imaju iste nazivnike, smanjenje treba ostaviti za kasnije.

Evo nekoliko zadataka koje možete sami riješiti:

I ono što je obećano na samom početku:

Rješenja (ukratko):

Ako ste se snašli s barem prva tri primjera, smatrajte da ste savladali temu.

Sada na učenje!

PRETVARANJE IZRAZA. SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Osnovne operacije pojednostavljivanja:

• Dovođenje sličnih: da biste dodali (smanjili) slične pojmove, potrebno je sabrati njihove koeficijente i dodijeliti dio slova.
• Faktorizacija: stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada, njegova primjena, itd.
• Smanjenje razlomka: Brojilac i imenilac razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti istim brojem koji nije nula, što ne mijenja vrijednost razlomka.
  1) brojilac i imenilac faktorisati
  2) ako brojilac i imenilac imaju zajedničke činioce, mogu se precrtati.

  VAŽNO: samo se množitelji mogu smanjiti!

• Sabiranje i oduzimanje razlomaka:
  ;
• Množenje i dijeljenje razlomaka:
  ;

U ovom članku ćemo pogledati osnovne operacije sa algebarskim razlomcima:

• redukcijske frakcije
• množenje razlomaka
• dijeljenje razlomaka

Počnimo sa redukcija algebarskih razlomaka.

Činilo bi se algoritam očigledno.

To smanjiti algebarski razlomci , treba

1. Faktori brojilac i imenilac razlomka.

2. Smanjite jednake faktore.

Međutim, školarci često griješe kada „smanjuju“ ne faktore, već termine. Na primjer, postoje amateri koji „smanjuju“ razlomke i dobiju kao rezultat, što, naravno, nije istina.

Pogledajmo primjere:

1. Smanjite razlomak:

1. Razložimo brojilac koristeći formulu kvadrata zbira, a imenilac pomoću formule razlike kvadrata

2. Podijelite brojilac i imenilac sa

2. Smanjite razlomak:

1. Rastavimo brojilac na faktore. Pošto brojilac sadrži četiri člana, koristimo grupisanje.

2. Razložimo imenilac na faktore. Možemo koristiti i grupisanje.

3. Zapišimo razlomak koji smo dobili i smanjimo iste faktore:

Množenje algebarskih razlomaka.

Prilikom množenja algebarskih razlomaka, brojilac množimo brojilom, a nazivnik množimo imenilac.

Važno! Nema potrebe žuriti s množenjem brojnika i nazivnika razlomka. Nakon što smo zapisali umnožak brojnika razlomaka u brojiocu i umnožaka nazivnika u nazivniku, trebamo svaki faktor razložiti i smanjiti razlomak.

Pogledajmo primjere:

3. Pojednostavite izraz:

1. Zapišimo umnožak razlomaka: u brojiocu proizvod brojilaca, a u nazivniku proizvod nazivnika:

2. Razložimo svaku zagradu na faktore:

Sada moramo smanjiti iste faktore. Imajte na umu da se izrazi i razlikuju samo u znaku: a kao rezultat dijeljenja prvog izraza sa drugim dobijamo -1.

dakle,

Algebarske razlomke dijelimo prema sljedećem pravilu:

To je Da biste podijelili razlomkom, morate pomnožiti sa "obrnutim".

Vidimo da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje, i množenje se na kraju svodi na smanjenje razlomaka.

Reducing Fractions

4. Pojednostavite izraz:

Kada učenik uđe u srednju školu, matematika se dijeli na dva predmeta: algebru i geometriju. Koncepta je sve više, zadaci su sve teži. Neki ljudi imaju poteškoća s razumijevanjem razlomaka. Propustio sam prvu lekciju na ovu temu, i voila. razlomci? Pitanje koje će mučiti cijeli moj školski život.

Koncept algebarskog razlomka

Počnimo s definicijom. Ispod algebarski razlomak odnosi se na izraze P/Q, gdje je P brojnik, a Q imenilac. Ispod unosa slova može biti sakriven broj, numerički izraz, numeričko-slovni izraz.

Prije nego što se zapitate kako riješiti algebarske razlomke, prvo morate shvatiti da je takav izraz dio cjeline.

Po pravilu, cijeli broj je 1. Broj u nazivniku pokazuje na koliko dijelova je jedinica podijeljena. Brojač je potreban da bi se saznalo koliko je elemenata uzeto. Crta razlomaka odgovara znaku podjele. Snimanje dozvoljeno frakcioni izraz kao matematička operacija "Podjela". U ovom slučaju, brojilac je dividenda, imenilac je djelitelj.

Osnovno pravilo običnih razlomaka

Kada učenici proučavaju ovu temu u školi, daju im se primjeri za učvršćivanje. Da ih ispravno riješi i pronađe različite puteve od teške situacije, potrebno je primijeniti osnovno svojstvo razlomaka.

To ide ovako: ako pomnožite i brojilac i imenilac istim brojem ili izrazom (osim nule), tada vrijednost običan razlomak neće se promijeniti. Poseban slučaj iz ovog pravila je podjela obje strane izraza istim brojem ili polinomom. Takve transformacije se nazivaju identične jednakosti.

U nastavku ćemo pogledati kako riješiti sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka, množenje, dijeljenje i smanjenje razlomaka.

Matematičke operacije sa razlomcima

Pogledajmo kako riješiti, glavno svojstvo algebarskog razlomka, i kako ga primijeniti u praksi. Ako trebate pomnožiti dva razlomka, sabrati ih, podijeliti jedan s drugim ili oduzeti, uvijek morate slijediti pravila.

Dakle, za operaciju sabiranja i oduzimanja mora se pronaći dodatni faktor kako bi se izrazi doveli do zajedničkog nazivnika. Ako su razlomci u početku dati istim izrazima Q, onda ovaj paragraf treba izostaviti. Kada se pronađe zajednički imenilac, kako se rješavaju algebarski razlomci? Morate sabirati ili oduzimati brojioce. Ali! Morate imati na umu da ako postoji znak "-" ispred razlomka, svi znakovi u brojiocu su obrnuti. Ponekad ne biste trebali praviti nikakve zamjene i matematičke operacije. Dovoljno je promijeniti predznak ispred razlomka.

Koncept se često koristi kao redukcijske frakcije. To znači sljedeće: ako se brojilac i imenilac podijele izrazom drugačijim od jedinice (isto za oba dijela), onda se dobija novi razlomak. Dividenda i djelitelj su manji nego prije, ali zbog osnovnog pravila razlomaka ostaju jednaki originalnom primjeru.

Svrha ove operacije je dobiti novi nesvodljivi izraz. Ovaj problem možete riješiti smanjenjem brojnika i nazivnika za najveći zajednički faktor. Algoritam operacije se sastoji od dvije tačke:

1. Nalaženje gcd za obje strane razlomka.
2. Podijelimo brojilac i imenilac sa pronađenim izrazom i dobijemo nesvodljivi razlomak jednak prethodnom.

Ispod je tabela koja prikazuje formule. Radi praktičnosti, možete ga odštampati i nositi sa sobom u bilježnici. Međutim, kako u budućnosti, prilikom rješavanja testa ili ispita, ne bi bilo poteškoća u pitanju rješavanja algebarskih razlomaka, ove formule moraju se naučiti napamet.

Nekoliko primjera sa rješenjima

Sa teorijske tačke gledišta, razmatra se pitanje kako riješiti algebarske razlomke. Primjeri navedeni u članku pomoći će vam da bolje razumijete materijal.

1. Pretvorite razlomke i dovedite ih na zajednički nazivnik.

2. Pretvorite razlomke i dovedite ih na zajednički nazivnik.

Nakon proučavanja teorijskog dijela i razmatranja praktična pitanja ne bi trebalo biti više.