Ciljevi lekcije:
1) upoznati učenike sa pojmom srednje linije trapeza, razmotriti njena svojstva i dokazati ih;
2) naučiti kako da se izgradi srednja linija trapeza;
3) razvijati sposobnost učenika da pri rešavanju zadataka koriste definiciju srednje linije trapeza i svojstva srednje linije trapeza;
4) nastaviti da razvija sposobnost učenika da kompetentno govore, koristeći potrebne matematičke termine; dokazati svoje gledište;
5) razvijati logičko razmišljanje, pamćenje, pažnja.
Tokom nastave
1. Domaći zadatak se provjerava tokom časa. Domaći zadatak je bio usmeni, zapamtite:
a) definicija trapeza; vrste trapeza;
b) određivanje srednje linije trougla;
c) svojstvo srednje linije trougla;
d) znak srednje linije trougla.
2. Proučavanje novog gradiva.
a) Na ploči je prikazan trapez ABCD.
b) Učitelj traži od vas da zapamtite definiciju trapeza. Svaki stol ima dijagram nagoveštaja koji će vam pomoći da zapamtite osnovne koncepte u temi „Trapez” (pogledajte Dodatak 1). Dodatak 1 se izdaje svakom pultu.
Učenici crtaju trapez ABCD u svojim sveskama.
c) Nastavnik vas zamoli da zapamtite u kojoj se temi susreo pojam srednje linije („Središnja linija trougla“). Učenici se prisjećaju definicije srednje linije trougla i njegovih svojstava.
e) Zapišite definiciju srednje linije trapeza, crtajući je u svesci.
Srednja linija Trapez je segment koji povezuje sredine njegovih stranica.
Svojstvo srednje linije trapeza u ovoj fazi ostaje nedokazano, tako da sljedeća faza lekcije uključuje rad na dokazivanju svojstva srednje linije trapeza.
Teorema. Srednja linija trapeza paralelna je sa njegovim osnovama i jednaka je njihovom poluzbiru.
Dato: ABCD – trapez,
MN – srednja linija A B C D
Dokazati, Šta:
1.BC || MN || A.D.
2. MN = (AD + BC).
Možemo zapisati neke posljedice koje slijede iz uslova teoreme:
AM = MB, CN = ND, BC || A.D.
Nemoguće je dokazati šta se traži samo na osnovu navedenih svojstava. Sistem pitanja i vježbi treba da dovede učenike do želje da povežu srednju liniju trapeza sa središnjom linijom nekog trougla, čija svojstva već poznaju. Ako nema prijedloga, onda možete postaviti pitanje: kako konstruirati trokut za koji bi segment MN bio srednja linija?
Zapišimo dodatnu konstrukciju za jedan od slučajeva.
Nacrtajmo pravu liniju BN koja siječe nastavak stranice AD u tački K.
Pojavljuju se dodatni elementi - trokuti: ABD, BNM, DNK, BCN. Ako dokažemo da je BN = NK, to će značiti da je MN srednja linija ABD, a onda možemo koristiti svojstvo srednje linije trougla i dokazati neophodno.
dokaz:
1. Uzmite u obzir BNC i DNK, oni sadrže:
a) CNB =DNK (svojstvo vertikalnih uglova);
b) BCN = NDK (osobina unutrašnjih poprečnih uglova);
c) CN = ND (posljedica uslova teoreme).
To znači BNC =DNK (po strani i dva susjedna ugla).
Q.E.D.
Dokaz se može uraditi usmeno na času, a rekonstruisati i zapisati u svesku kod kuće (po izboru nastavnika).
Potrebno je reći i o drugim mogućim načinima dokazivanja ove teoreme:
1. Nacrtajte jednu od dijagonala trapeza i koristite znak i svojstvo srednje linije trougla.
2. Izvršite CF || BA i razmotrimo paralelogram ABCF i DCF.
3. Izvršite EF || BA i razmotriti jednakost FND i ENC.
g) U ovoj fazi je specificirano zadaća: stav 84, udžbenik izd. Atanasyan L.S. (dokaz svojstva srednje linije trapeza pomoću vektorske metode), zapišite to u svoju bilježnicu.
h) Zadatke rješavamo koristeći definiciju i svojstva srednje linije trapeza koristeći gotove crteže (vidi Dodatak 2). Dodatak 2 daje se svakom učeniku, a rješenja zadataka ispisuju se na istom listu u kratkom obliku.
U ovom članku pokušat ćemo što potpunije prikazati svojstva trapeza. Posebno ćemo govoriti o općim karakteristikama i svojstvima trapeza, kao i osobinama upisanog trapeza i kruga upisanog u trapez. Dotaknut ćemo se i osobina jednakokrakih i pravougaoni trapez.
Primjer rješavanja problema pomoću opisanih svojstava pomoći će vam da ga sortirate na mjesta u glavi i bolje zapamtite gradivo.
Trapez i sve-sve-sve
Za početak, prisjetimo se ukratko što je trapez i koji su drugi koncepti povezani s njim.
Dakle, trapez je četverokutna figura, čije su dvije strane paralelne jedna s drugom (ovo su baze). I to dvoje nije paralelno - ovo su strane.
U trapezu se visina može spustiti - okomito na baze. Središnja linija i dijagonale su nacrtane. Također je moguće nacrtati simetralu iz bilo kojeg ugla trapeza.
O razna svojstva, povezane sa svim ovim elementima i njihovim kombinacijama, sada ćemo govoriti.
Svojstva dijagonala trapeza
Da bi vam bilo jasnije, dok čitate, skicirajte trapez ACME na komadu papira i nacrtajte dijagonale u njemu.
- Ako pronađete sredine svake od dijagonala (nazovimo ove tačke X i T) i povežete ih, dobićete segment. Jedno od svojstava dijagonala trapeza je da segment HT leži na srednjoj liniji. A njegova dužina se može dobiti dijeljenjem razlike baza sa dva: HT = (a – b)/2.
- Pred nama je isti trapez ACME. Dijagonale se seku u tački O. Pogledajmo trouglove AOE i MOK, formirane segmentima dijagonala zajedno sa osnovama trapeza. Ovi trokuti su slični. Koeficijent sličnosti k trokuta izražava se kroz omjer baza trapeza: k = AE/KM.
Odnos površina trouglova AOE i MOK opisuje se koeficijentom k 2 . - Isti trapez, iste dijagonale koje se sijeku u tački O. Samo ovaj put ćemo razmatrati trouglove koje su segmenti dijagonala formirali zajedno sa stranicama trapeza. Površine trouglova AKO i EMO su jednake po veličini - njihove su površine iste.
- Još jedno svojstvo trapeza uključuje konstrukciju dijagonala. Dakle, ako nastavite stranice AK i ME u smjeru manje baze, tada će se prije ili kasnije ukrstiti u određenoj tački. Zatim povucite ravnu liniju kroz sredinu osnova trapeza. Seče baze u tačkama X i T.
Ako sada produžimo pravu XT, tada će ona spojiti točku presjeka dijagonala trapeza O, tačku u kojoj se sijeku produžeci stranica i sredine baza X i T. - Kroz tačku presjeka dijagonala nacrtaćemo segment koji će spojiti osnove trapeza (T leži na manjoj osnovici KM, X na većoj AE). Točka presjeka dijagonala dijeli ovaj segment u sljedećem omjeru: TO/OX = KM/AE.
- Sada ćemo kroz tačku presjeka dijagonala povući segment paralelan s osnovama trapeza (a i b). Tačka presjeka će ga podijeliti na dva jednaka dijela. Pomoću formule možete pronaći dužinu segmenta 2ab/(a + b).
Svojstva srednje linije trapeza
Nacrtajte srednju liniju u trapezu paralelno sa njegovim osnovama.
- Dužina srednje linije trapeza može se izračunati dodavanjem dužina baza i podjelom na pola: m = (a + b)/2.
- Ako povučete bilo koji segment (visinu, na primjer) kroz obje baze trapeza, srednja linija će ga podijeliti na dva jednaka dijela.
Svojstvo simetrale trapeza
Odaberite bilo koji ugao trapeza i nacrtajte simetralu. Uzmimo, na primjer, ugao KAE našeg trapeza ACME. Nakon što ste sami dovršili konstrukciju, lako možete provjeriti da li simetrala odsijeca od baze (ili njenog nastavka na pravoj liniji izvan same figure) segment iste dužine kao i stranica.
Svojstva trapeznih uglova
- Koji god od dva para uglova uz stranu da odaberete, zbir uglova u paru je uvijek 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
- Spojimo sredine baza trapeza sa segmentom TX. Pogledajmo sada uglove u osnovima trapeza. Ako je zbir uglova za bilo koji od njih 90 0, dužina segmenta TX može se lako izračunati na osnovu razlike u dužinama baza, podijeljenih na pola: TX = (AE – KM)/2.
- Ako se kroz stranice ugla trapeza povuku paralelne linije, one će podijeliti stranice ugla na proporcionalne segmente.
Svojstva jednakokračnog (jednakostranog) trapeza
- U jednakokračnom trapezu, uglovi na bilo kojoj osnovi su jednaki.
- Sada ponovo napravite trapez da biste lakše zamislili o čemu govorimo. Pažljivo pogledajte bazu AE - vrh suprotne baze M je projektovan na određenu tačku na liniji koja sadrži AE. Udaljenost od temena A do tačke projekcije temena M i srednja linija jednakokrakog trapeza su jednake.
- Nekoliko riječi o svojstvu dijagonala jednakokračnog trapeza - njihove su dužine jednake. I uglovi nagiba ovih dijagonala prema bazi trapeza su isti.
- Krug se može opisati samo oko jednakokrakog trapeza, jer je zbir suprotnih uglova četvorougla 180 0 – potrebno stanje za ovo.
- Svojstvo jednakokrakog trapeza slijedi iz prethodnog stava - ako se krug može opisati u blizini trapeza, to je jednakokraki.
- Iz karakteristika jednakokračnog trapeza slijedi svojstvo visine trapeza: ako se njegove dijagonale sijeku pod pravim uglom, tada je dužina visine jednaka polovini zbira osnovica: h = (a + b)/2.
- Ponovo povucite segment TX kroz sredine osnova trapeza - u jednakokračnom trapezu on je okomit na osnovice. A u isto vrijeme TX je osa simetrije jednakokračnog trapeza.
- Ovaj put spustite visinu iz suprotnog vrha trapeza na veću osnovu (nazovimo je a). Dobićete dva segmenta. Dužina jednog se može naći ako se dužine baza zbroje i podijele na pola: (a + b)/2. Drugi dobijemo kada od veće baze oduzmemo manju i rezultujuću razliku podijelimo sa dva: (a – b)/2.
Svojstva trapeza upisanog u krug
Budući da već govorimo o trapezu upisanom u krug, zadržimo se na ovom pitanju detaljnije. Konkretno, gdje je centar kruga u odnosu na trapez. I ovdje se preporučuje da odvojite vrijeme da uzmete olovku i nacrtate ono o čemu će biti riječi u nastavku. Na taj način ćete brže razumjeti i bolje zapamtiti.
- Položaj središta kruga određen je kutom nagiba dijagonale trapeza na njegovu stranu. Na primjer, dijagonala se može pružati od vrha trapeza pod pravim uglom u stranu. U ovom slučaju, veća baza siječe centar opisane kružnice tačno u sredini (R = ½AE).
- Dijagonala i strana se također mogu sastati ispod oštar ugao– tada je centar kruga unutar trapeza.
- Središte opisane kružnice može biti izvan trapeza, izvan njegove veće osnove, ako između dijagonale trapeza i stranice postoji tup ugao.
- Ugao koji formiraju dijagonala i velika baza trapeza ACME (upisani ugao) je polovina središnjeg ugla koji mu odgovara: MAE = ½ MOE.
- Ukratko o dva načina za pronalaženje polumjera opisane kružnice. Prvi metod: pažljivo pogledajte svoj crtež - šta vidite? Lako možete primijetiti da dijagonala dijeli trapez na dva trokuta. Radijus se može naći omjerom stranice trokuta i sinusom suprotnog ugla, pomnoženim sa dva. Na primjer, R = AE/2*sinAME. Formula se može napisati na sličan način za bilo koju stranu oba trokuta.
- Drugi metod: pronađite polumjer opisane kružnice kroz površinu trokuta formiranog od dijagonale, stranice i baze trapeza: R = AM*ME*AE/4*S AME.
Svojstva trapeza opisanog oko kružnice
Možete uklopiti krug u trapez ako je ispunjen jedan uslov. Više o tome pročitajte u nastavku. A zajedno ova kombinacija figura ima niz zanimljivih svojstava.
- Ako je kružnica upisana u trapez, dužina njegove srednje linije može se lako pronaći dodavanjem dužina stranica i dijeljenjem rezultirajućeg zbroja na pola: m = (c + d)/2.
- Za trapez ACME, opisan oko kružnice, zbir dužina baza jednak je zbiru dužina stranica: AK + ME = KM + AE.
- Iz ovog svojstva osnova trapeza slijedi suprotna tvrdnja: u trapez se može upisati krug čiji je zbir osnova jednak zbiru njegovih stranica.
- Tačka tangente kružnice poluprečnika r upisanog u trapez dijeli stranu na dva segmenta, nazovimo ih a i b. Poluprečnik kruga može se izračunati pomoću formule: r = √ab.
- I još jedna nekretnina. Da ne bude zabune, nacrtajte i ovaj primjer sami. Imamo stari dobri trapez ACME, opisan oko kruga. Sadrži dijagonale koje se sijeku u tački O. Trokuti AOK i EOM formirani segmentima dijagonala i bočnih stranica su pravokutni.
Visine ovih trouglova, spuštenih na hipotenuze (tj. bočne strane trapeza), poklapaju se sa polumjerima upisane kružnice. A visina trapeza se poklapa sa prečnikom upisane kružnice.
Svojstva pravougaonog trapeza
Trapez se naziva pravougaonim ako mu je jedan od uglova pravi. I njegova svojstva proizlaze iz ove okolnosti.
- Pravougaoni trapez ima jednu stranu okomitu na osnovu.
- Visina i bočna strana trapeza uz pravi ugao, su jednaki. Ovo vam omogućava da izračunate površinu pravokutnog trapeza (opća formula S = (a + b) * h/2) ne samo kroz visinu, već i kroz stranu koja se nalazi uz pravi ugao.
- Za pravokutni trapez relevantna su opća svojstva dijagonala trapeza koja su već opisana.
Dokaz o nekim svojstvima trapeza
Jednakost uglova pri osnovici jednakokrakog trapeza:
- Vjerovatno ste već pogodili da će nam ovdje ponovo trebati AKME trapez - nacrtajte jednakokraki trapez. Nacrtajte pravu liniju MT iz temena M, paralelnu sa stranicom AK (MT || AK).
Rezultirajući četverougao AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Budući da je ME = KA = MT, ∆ MTE je jednakokračan i MET = MTE.
AK || MT, dakle MTE = KAE, MET = MTE = KAE.
Gdje je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.
Q.E.D.
Sada, na osnovu svojstva jednakokrakog trapeza (jednakost dijagonala), to dokazujemo trapez ACME je jednakokraki:
- Za početak, nacrtajmo pravu liniju MX – MX || KE. Dobijamo paralelogram KMHE (baza – MX || KE i KM || EX).
∆AMX je jednakokračan, pošto je AM = KE = MX, a MAX = MEA.
MH || KE, KEA = MHE, dakle MAE = MHE.
Pokazalo se da su trouglovi AKE i EMA međusobno jednaki, jer su AM = KE i AE zajednička stranica dva trougla. I također MAE = MXE. Možemo zaključiti da je AK = ME, a iz ovoga slijedi da je trapez AKME jednakokračan.
Zadatak pregleda
Osnove trapeza ACME su 9 cm i 21 cm, bočna stranica KA, jednaka 8 cm, sa manjom osnovom čini ugao od 150 0. Morate pronaći površinu trapeza.
Rješenje: Od temena K spuštamo visinu na veću osnovu trapeza. I počnimo gledati uglove trapeza.
Uglovi AEM i KAN su jednostrani. To znači da ukupno daju 180 0. Dakle, KAN = 30 0 (na osnovu svojstva trapeznih uglova).
Razmotrimo sada pravougaoni ∆ANC (vjerujem da je ovo očito čitaocima bez dodatnih dokaza). Iz njega ćemo pronaći visinu trapeza KH - u trokutu je noga koja leži nasuprot kuta od 30 0. Dakle, KN = ½AB = 4 cm.
Površinu trapeza nalazimo pomoću formule: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.
Pogovor
Ako ste pažljivo i promišljeno proučili ovaj članak, niste bili previše lijeni da nacrtate trapeze za sva data svojstva olovkom u rukama i analizirate ih u praksi, trebali ste dobro savladati materijal.
Naravno, ovdje ima puno informacija, različitih, a ponekad čak i zbunjujućih: nije tako teško pomiješati svojstva opisanog trapeza sa svojstvima upisanog. Ali i sami ste vidjeli da je razlika ogromna.
Sada imate detaljan pregled svih općih svojstava trapeza. Kao i specifična svojstva i karakteristike jednakokrakih i pravokutnih trapeza. Veoma je zgodan za pripremu za testove i ispite. Probajte sami i podijelite link sa prijateljima!
blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.
Koncept srednje linije trapeza
Prvo, prisjetimo se kakva se figura zove trapez.
Definicija 1
Trapez je četverougao kod kojeg su dvije stranice paralelne, a druge dvije nisu paralelne.
U ovom slučaju, paralelne stranice nazivaju se osnovama trapeza, a neparalelne stranice nazivaju se bočne strane trapeza.
Definicija 2
Srednja linija trapeza je segment koji povezuje sredine bočnih strana trapeza.
Teorema srednje linije trapeza
Sada uvodimo teoremu o srednjoj liniji trapeza i dokazujemo je vektorskom metodom.
Teorema 1
Srednja linija trapeza je paralelna sa bazama i jednaka je njihovom poluzbiru.
Dokaz.
Neka nam je dat trapez $ABCD$ sa bazama $AD\ i\ BC$. I neka je $MN$ srednja linija ovog trapeza (slika 1).
Slika 1. Srednja linija trapeza
Dokažimo da je $MN||AD\ i\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Razmotrimo vektor $\overrightarrow(MN)$. Zatim koristimo pravilo poligona za dodavanje vektora. S jedne strane, to shvatamo
Na drugoj strani
Dodajmo zadnje dvije jednakosti i dobijemo
Pošto su $M$ i $N$ sredine bočnih strana trapeza, imaćemo
Dobijamo:
Dakle
Iz iste jednakosti (pošto su $\overrightarrow(BC)$ i $\overrightarrow(AD)$ kosmjerne i, prema tome, kolinearne) dobijamo da je $MN||AD$.
Teorema je dokazana.
Primjeri zadataka na konceptu srednje linije trapeza
Primjer 1
Bočne strane trapeza su $15\ cm$ i $17\ cm$ respektivno. Opseg trapeza je $52\cm$. Pronađite dužinu srednje linije trapeza.
Rješenje.
Označimo srednju liniju trapeza sa $n$.
Zbir strana je jednak
Prema tome, pošto je obim $52\ cm$, zbir baza je jednak
Dakle, prema teoremi 1, dobijamo
odgovor:$10\cm$.
Primjer 2
Krajevi prečnika kružnice su udaljeni $9$ cm i $5$ cm od njegove tangente.
Rješenje.
Neka nam je data kružnica sa centrom u tački $O$ i prečnikom $AB$. Nacrtajmo tangentu $l$ i konstruirajmo udaljenosti $AD=9\ cm$ i $BC=5\ cm$. Nacrtajmo poluprečnik $OH$ (slika 2).
Slika 2.
Pošto su $AD$ i $BC$ udaljenosti do tangente, onda je $AD\bot l$ i $BC\bot l$ i pošto je $OH$ poluprečnik, onda je $OH\bot l$, dakle, $OH |\left|AD\right||BC$. Iz svega ovoga dobijamo da je $ABCD$ trapez, a $OH$ njegova srednja linija. Prema teoremi 1, dobijamo
Koncept srednje linije trapeza
Prvo, prisjetimo se kakva se figura zove trapez.
Definicija 1
Trapez je četverougao kod kojeg su dvije stranice paralelne, a druge dvije nisu paralelne.
U ovom slučaju, paralelne stranice nazivaju se osnovama trapeza, a neparalelne stranice nazivaju se bočne strane trapeza.
Definicija 2
Srednja linija trapeza je segment koji povezuje sredine bočnih strana trapeza.
Teorema srednje linije trapeza
Sada uvodimo teoremu o srednjoj liniji trapeza i dokazujemo je vektorskom metodom.
Teorema 1
Srednja linija trapeza je paralelna sa bazama i jednaka je njihovom poluzbiru.
Dokaz.
Neka nam je dat trapez $ABCD$ sa bazama $AD\ i\ BC$. I neka je $MN$ srednja linija ovog trapeza (slika 1).
Slika 1. Srednja linija trapeza
Dokažimo da je $MN||AD\ i\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Razmotrimo vektor $\overrightarrow(MN)$. Zatim koristimo pravilo poligona za dodavanje vektora. S jedne strane, to shvatamo
Na drugoj strani
Dodajmo zadnje dvije jednakosti i dobijemo
Pošto su $M$ i $N$ sredine bočnih strana trapeza, imaćemo
Dobijamo:
Dakle
Iz iste jednakosti (pošto su $\overrightarrow(BC)$ i $\overrightarrow(AD)$ kosmjerne i, prema tome, kolinearne) dobijamo da je $MN||AD$.
Teorema je dokazana.
Primjeri zadataka na konceptu srednje linije trapeza
Primjer 1
Bočne strane trapeza su $15\ cm$ i $17\ cm$ respektivno. Opseg trapeza je $52\cm$. Pronađite dužinu srednje linije trapeza.
Rješenje.
Označimo srednju liniju trapeza sa $n$.
Zbir strana je jednak
Prema tome, pošto je obim $52\ cm$, zbir baza je jednak
Dakle, prema teoremi 1, dobijamo
odgovor:$10\cm$.
Primjer 2
Krajevi prečnika kružnice su udaljeni $9$ cm i $5$ cm od njegove tangente.
Rješenje.
Neka nam je data kružnica sa centrom u tački $O$ i prečnikom $AB$. Nacrtajmo tangentu $l$ i konstruirajmo udaljenosti $AD=9\ cm$ i $BC=5\ cm$. Nacrtajmo poluprečnik $OH$ (slika 2).
Slika 2.
Pošto su $AD$ i $BC$ udaljenosti do tangente, onda je $AD\bot l$ i $BC\bot l$ i pošto je $OH$ poluprečnik, onda je $OH\bot l$, dakle, $OH |\left|AD\right||BC$. Iz svega ovoga dobijamo da je $ABCD$ trapez, a $OH$ njegova srednja linija. Prema teoremi 1, dobijamo
Četvorougao u kojem su samo dvije stranice paralelne naziva se trapezoid.
Paralelne stranice trapeza nazivaju se njegovim razlozi, a one stranice koje nisu paralelne se nazivaju strane. Ako su stranice jednake, onda je takav trapez jednakokračan. Udaljenost između baza naziva se visina trapeza.
Trapez srednje linije
Srednja linija je segment koji povezuje sredine stranica trapeza. Srednja linija trapeza paralelna je s njegovim osnovama.
Teorema:
Ako je prava linija koja prelazi sredinu jedne stranice paralelna sa osnovama trapeza, onda ona prepolovi drugu stranu trapeza.
Teorema:
Dužina srednje linije jednaka je aritmetičkoj sredini dužina njenih osnova
MN || AB || DCAM = MD; BN=NC
MN srednja linija, AB i CD - baze, AD i BC - bočne strane
MN = (AB + DC)/2
Teorema:
Dužina srednje linije trapeza jednaka je aritmetičkoj sredini dužina njegovih osnova.
Glavni zadatak: Dokažite da srednja linija trapeza prepolovi segment čiji krajevi leže u sredini osnova trapeza.
Srednja linija trougla
Segment koji povezuje sredine dve strane trougla naziva se sredina trougla. Paralelan je sa trećom stranom i njena dužina je jednaka polovini dužine treće strane.
Teorema: Ako je prava koja siječe polovište jedne strane trougla paralelna s drugom stranom trougla, tada ona prepolovi treću stranu.
AM = MC i BN = NC =>
Primjena svojstava srednje linije trougla i trapeza
Dijeljenje segmenta na određeni broj jednakih dijelova.
Zadatak: Podijeliti segment AB na 5 jednakih dijelova.
Rješenje:
Neka je p slučajni zrak čiji je početak tačka A i koji ne leži na pravoj AB. Uzastopno izdvajamo 5 jednakih segmenata na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Povezujemo A 5 sa B i povlačimo takve prave kroz A 4, A 3, A 2 i A 1 koje su paralelne sa A 5 B. One seku AB redom u tačkama B 4, B 3, B 2 i B 1. Ove tačke dijele segment AB na 5 jednakih dijelova. Zaista, iz trapeza BB 3 A 3 A 5 vidimo da je BB 4 = B 4 B 3. Na isti način, iz trapeza B 4 B 2 A 2 A 4 dobijamo B 4 B 3 = B 3 B 2
Dok je iz trapeza B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Tada iz B 2 AA 2 slijedi da je B 2 B 1 = B 1 A. U zaključku dobijamo:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Jasno je da da bismo segment AB podijelili na drugi broj jednakih dijelova, trebamo projektirati isti broj jednakih segmenata na zraku p. I onda nastavite na gore opisani način.
