Jaká je úhlopříčka čtyřúhelníku? Čtyřúhelníky všechna pravidla

A opět otázka: je kosočtverec rovnoběžník nebo ne?

S plným právem - rovnoběžník, protože má a (pamatujte si náš rys 2).

A opět, protože kosočtverec je rovnoběžník, pak musí mít všechny vlastnosti rovnoběžníku. To znamená, že v kosočtverci jsou opačné úhly stejné, opačné strany jsou rovnoběžné a úhlopříčky se protínají v průsečíku.

Vlastnosti kosočtverce

Podívej se na obrázek:

Stejně jako v případě obdélníku jsou tyto vlastnosti výrazné, to znamená, že pro každou z těchto vlastností můžeme usoudit, že se nejedná pouze o rovnoběžník, ale o kosočtverec.

Známky diamantu

A opět pozor: nesmí existovat pouze čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou kolmé, ale rovnoběžník. Ujisti se:

Ne, samozřejmě, ačkoli její úhlopříčky jsou kolmé a úhlopříčka je sečna úhlů a. Ale... úhlopříčky nejsou rozděleny na polovinu průsečíkem, proto - NE rovnoběžník, a tedy NE kosočtverec.

To znamená, že čtverec je obdélník a kosočtverec zároveň. Pojďme se podívat, co se stane.

Je jasné proč? - kosočtverec je osou úhlu A, která se rovná. To znamená, že se dělí (a také) do dvou úhlů podél.

No, je to zcela jasné: úhlopříčky obdélníku jsou stejné; Úhlopříčky kosočtverce jsou kolmé a obecně je rovnoběžník úhlopříček rozdělen na polovinu průsečíkem.

PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ

Vlastnosti čtyřúhelníků. Rovnoběžník

Vlastnosti rovnoběžníku

Pozornost! slova" vlastnosti rovnoběžníku"To znamená, že pokud ve svém úkolu Tady je rovnoběžník, pak lze použít všechny následující.

Věta o vlastnostech rovnoběžníku.

V libovolném rovnoběžníku:

Pojďme pochopit, proč je to všechno pravda, jinými slovy DOKÁŽEME teorém.

Proč je tedy 1) pravda?

Pokud je to rovnoběžník, pak:

• ležící jako křížem krážem
• ležící jako kříže.

To znamená (podle kritéria II: a - obecně.)

No, to je ono, to je ono! - dokázal.

Ale mimochodem! Také jsme dokázali 2)!

Proč? Ale (podívejte se na obrázek), tedy právě proto.

Zbývají pouze 3).

Chcete-li to provést, musíte ještě nakreslit druhou úhlopříčku.

A teď to vidíme - podle charakteristiky II (úhly a strana „mezi“ nimi).

Vlastnosti ověřené! Přejděme ke znamením.

Známky rovnoběžníku

Připomeňme, že znak rovnoběžníku odpovídá na otázku „jak víte, že obrazec je rovnoběžník?

V ikonách je to takto:

Proč? Bylo by hezké pochopit proč - to stačí. Ale podívej:

No, přišli jsme na to, proč je znak 1 pravdivý.

No, je to ještě jednodušší! Znovu nakreslíme úhlopříčku.

Což znamená:

A Je to také snadné. Ale...jinak!

Znamená, . Páni! Ale také - vnitřní jednostranné se sekantem!

Proto skutečnost, která to znamená.

A když se podíváte z druhé strany, pak - vnitřní jednostranný se sekantem! A proto.

Vidíš, jak je to skvělé?!

A opět jednoduché:

Přesně to samé a.

Dávej pozor: pokud jste našli alespoň jeden znak rovnoběžníku ve vašem problému, pak máte přesně paralelogram a můžete použít každý vlastnosti rovnoběžníku.

Pro úplnou přehlednost se podívejte na schéma:

Vlastnosti čtyřúhelníků. Obdélník.

Vlastnosti obdélníku:

Bod 1) je zcela zřejmý - koneckonců znak 3 () je prostě splněn

A bod 2) - velmi důležité. Tak to dokažme

To znamená na dvě strany (a - obecně).

Protože jsou trojúhelníky stejné, jejich přepony jsou také stejné.

Dokázal to!

A představte si, že rovnost úhlopříček je charakteristická vlastnost obdélníku mezi všemi rovnoběžníky. To znamená, že toto tvrzení je pravdivé^

Pojďme pochopit proč?

To znamená (myšleno úhly rovnoběžníku). Připomeňme si ale ještě jednou, že jde o rovnoběžník, a proto.

Znamená, . No samozřejmě z toho vyplývá, že každý z nich! Vždyť musí dát celkem!

Dokázali tedy, že pokud rovnoběžník najednou (!) se úhlopříčky vyrovnají, pak toto přesně obdélník.

Ale! Dávej pozor! Toto je o rovnoběžníky! Ne jen tak někdočtyřúhelník se stejnými úhlopříčkami je obdélník a pouze rovnoběžník!

Vlastnosti čtyřúhelníků. Kosočtverec

A opět otázka: je kosočtverec rovnoběžník nebo ne?

S plným právem - rovnoběžník, protože má (Pamatujte si náš rys 2).

A opět, protože kosočtverec je rovnoběžník, musí mít všechny vlastnosti rovnoběžníku. To znamená, že v kosočtverci jsou opačné úhly stejné, opačné strany jsou rovnoběžné a úhlopříčky se protínají v průsečíku.

Existují ale i speciální vlastnosti. Pojďme to zformulovat.

Vlastnosti kosočtverce

Proč? Protože kosočtverec je rovnoběžník, jeho úhlopříčky jsou rozděleny na polovinu.

Proč? Ano, právě proto!

Jinými slovy, diagonály se ukázaly jako osy rohů kosočtverce.

Stejně jako v případě obdélníku jsou tyto vlastnosti rozlišovací, každý z nich je také znakem kosočtverce.

Známky diamantu.

Proč je to? A koukej,

To znamená oba Tyto trojúhelníky jsou rovnoramenné.

Aby byl čtyřúhelník kosočtverec, musí se nejprve „stát“ rovnoběžníkem a poté vykazovat prvek 1 nebo prvek 2.

Vlastnosti čtyřúhelníků. Náměstí

To znamená, že čtverec je obdélník a kosočtverec zároveň. Pojďme se podívat, co se stane.

Je jasné proč? Čtverec - kosočtverec - je osou úhlu, který je roven. To znamená, že se dělí (a také) do dvou úhlů podél.

No, je to zcela jasné: úhlopříčky obdélníku jsou stejné; Úhlopříčky kosočtverce jsou kolmé a obecně je rovnoběžník úhlopříček rozdělen na polovinu průsečíkem.

Proč? No, stačí použít Pythagorovu větu na...

SHRNUTÍ A ZÁKLADNÍ VZORCE

Vlastnosti rovnoběžníku:

1. Opačné strany jsou stejné: , .
2. Opačné úhly jsou stejné: , .
3. Úhly na jedné straně tvoří: , .
4. Úhlopříčky jsou rozděleny na polovinu průsečíkem: .

Vlastnosti obdélníku:

1. Úhlopříčky obdélníku jsou stejné: .
2. Obdélník je rovnoběžník (u obdélníku jsou splněny všechny vlastnosti rovnoběžníku).

Vlastnosti kosočtverce:

1. Úhlopříčky kosočtverce jsou kolmé: .
2. Úhlopříčky kosočtverce jsou osy jeho úhlů: ; ; ; .
3. Kosočtverec je rovnoběžník (u kosočtverce jsou splněny všechny vlastnosti rovnoběžníku).

Vlastnosti čtverce:

Čtverec je kosočtverec a obdélník zároveň, proto jsou pro čtverec splněny všechny vlastnosti obdélníku a kosočtverce. A.

Dnes se podíváme geometrický obrazec- čtyřúhelník. Již z názvu tohoto obrázku je zřejmé, že tento obrázek má čtyři rohy. Zbývající charakteristiky a vlastnosti tohoto obrázku však zvážíme níže.

Co je čtyřúhelník

Čtyřúhelník je mnohoúhelník sestávající ze čtyř bodů (vrcholů) a čtyř segmentů (stran), které tyto body spojují ve dvojicích. Plocha čtyřúhelníku se rovná polovině součinu jeho úhlopříček a úhlu mezi nimi.

Čtyřúhelník je mnohoúhelník se čtyřmi vrcholy, z nichž tři neleží na přímce.

Typy čtyřúhelníků

• Čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné ve dvojicích, se nazývá rovnoběžník.
• Čtyřúhelník, ve kterém jsou dvě protilehlé strany rovnoběžné a další dvě nejsou, se nazývá lichoběžník.
• Čtyřúhelník se všemi pravými úhly je obdélník.
• Čtyřúhelník se všemi stranami stejnými je kosočtverec.
• Čtyřúhelník, ve kterém jsou všechny strany stejné a všechny úhly jsou pravé, se nazývá čtverec.

Čtyřúhelník může být:

Sebeprotínající se

Nekonvexní

Konvexní

Samoprotínající se čtyřúhelník je čtyřúhelník, ve kterém má každá jeho strana průsečík (na obrázku modře).

Nekonvexní čtyřúhelník je čtyřúhelník, ve kterém jeden z vnitřní rohy více než 180 stupňů (na obrázku vyznačeno oranžově).

Součet úhlů jakýkoli čtyřúhelník, který se sám neprotíná, je vždy roven 360 stupňům.

Speciální typy čtyřúhelníků

Čtyřúhelníky mohou mít další vlastnosti, tváření speciální typy geometrické tvary:

• Rovnoběžník
• Obdélník
• Náměstí
• Lichoběžník
• Deltoidní
• Protiparalelogram

Čtyřúhelník a kruh

Čtyřúhelník opsaný kolem kruhu (kruh vepsaný do čtyřúhelníku).

Hlavní vlastnost popsaného čtyřúhelníku:

Čtyřúhelník může být opsán kolem kruhu právě tehdy, když jsou součty délek protilehlých stran stejné.

Čtyřúhelník vepsaný do kruhu (kruh opsaný kolem čtyřúhelníku)

Hlavní vlastnost vepsaného čtyřúhelníku:

Čtyřúhelník může být vepsán do kruhu právě tehdy, když je součet protilehlých úhlů roven 180 stupňům.

Vlastnosti délek stran čtyřúhelníku

Modul rozdílu mezi libovolnými dvěma stranami čtyřúhelníku nepřesahuje součet jeho dalších dvou stran.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Důležité. Nerovnice platí pro jakoukoli kombinaci stran čtyřúhelníku. Výkres je poskytován pouze pro usnadnění vnímání.

V libovolném čtyřúhelníku součet délek jeho tří stran není menší než délka čtvrté strany.

Důležité. Při řešení problémů v rámci školního vzdělávacího programu můžete použít striktní nerovnost (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Téma lekce

• Definice čtyřúhelníku.

Cíle lekce

• Vzdělávací – opakování, zobecňování a testování znalostí na téma: „Čtyřúhelník“; rozvoj základních dovedností.
• Rozvojové – rozvíjet pozornost žáků, vytrvalost, vytrvalost, logické myšlení, matematickou řeč.
• Vzdělávací - prostřednictvím lekce pěstujte pozorný postoj k sobě navzájem, vštěpujte schopnost naslouchat soudruhům, vzájemnou pomoc a nezávislost.

Cíle lekce

• Rozvíjejte dovednosti při konstrukci čtyřúhelníku pomocí měřítka a rýsovacího trojúhelníku.
• Otestujte dovednosti studentů při řešení problémů.

Plán lekce

1. Historický odkaz. Neeuklidovská geometrie.
2. Čtyřúhelník.
3. Typy čtyřúhelníků.

Neeuklidovská geometrie

Neeuklidovská geometrie, geometrie podobná geometrii Euklides tím, že definuje pohyb postav, ale od euklidovské geometrie se liší tím, že jeden z jejích pěti postulátů (druhý nebo pátý) je nahrazen její negací. Negace jednoho z euklidovských postulátů (1825) byla významnou událostí v dějinách myšlení, protože sloužila jako první krok k teorie relativity.

To tvrdí druhý Euklidův postulát jakýkoli přímý segment lze prodlužovat donekonečna. Euklides zřejmě věřil, že tento postulát obsahuje také tvrzení, že přímka má nekonečnou délku. nicméně v „eliptické“ geometrii je jakákoli přímka konečná a jako kružnice uzavřená.

Pátý postulát říká, že pokud přímka protíná dvě dané přímky takovým způsobem, že dva vnitřní úhly na jedné její straně dávají dohromady méně než dva pravé úhly, pak se tyto dvě přímky, budou-li prodlouženy donekonečna, protnou na straně, kde součet těchto úhlů je menší než součet dvou přímek. Ale v „hyperbolické“ geometrii může existovat přímka CB (viz obrázek), kolmá v bodě C k dané přímce r a protínající další přímku s v ostrém úhlu v bodě B, ale přesto nekonečné přímky r a s budou nikdy se neprotínají.

Z těchto revidovaných postulátů vyplynulo, že součet úhlů trojúhelníku, rovný 180° v euklidovské geometrii, je větší než 180° v eliptické geometrii a menší než 180° v hyperbolické geometrii.

Čtyřúhelník

Se čtyřmi rohy a čtyřmi stranami. Čtyřúhelník je tvořen uzavřenou přerušovanou čarou sestávající ze čtyř článků a té části roviny, která je uvnitř přerušované čáry.

Označení čtyřúhelníku je tvořeno písmeny umístěnými na jeho vrcholech, která je pojmenovávají v pořadí. Například říkají nebo píší: čtyřúhelník abeceda :

Ve čtyřúhelníku abeceda body A, B, C A D- Tento vrcholy čtyřúhelníku, segmenty AB, PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM., CD A D.A. - strany.

Nazývají se vrcholy patřící jedné straně sousední, se nazývají vrcholy, které nesousedí naproti:

Ve čtyřúhelníku abeceda vrcholy A A B, B A C, C A D, D A A- sousední a vrcholy A A C, B A D- opak. Úhly ležící na sousedních vrcholech se také nazývají sousední a na opačných vrcholech - opačné.

Strany čtyřúhelníku lze také rozdělit do dvojic na sousední a protilehlé: strany, které mají společný vrchol, se nazývají sousední(nebo přilehlý), strany, které nemají společné vrcholy - naproti:

Večírky AB A PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM., PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. A CD, CD A D.A., D.A. A AB- přilehlé a boční AB A DC, INZERÁT A PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM.- opak.

Pokud jsou protilehlé vrcholy spojeny segmentem, bude takový segment zavolán úhlopříčka čtyřúhelníku. Vzhledem k tomu, že čtyřúhelník má pouze dva páry protilehlých vrcholů, pak mohou existovat pouze dvě úhlopříčky:

Segmenty A.C. A BD- úhlopříčky.

Podívejme se na hlavní typy konvexních čtyřúhelníků:

• Lichoběžník- čtyřúhelník, ve kterém jeden pár protilehlých stran je vzájemně rovnoběžný a druhý pár není rovnoběžný.
  • Rovnoramenný lichoběžník- lichoběžník, jehož strany jsou stejné.
  • Obdélníkový lichoběžník- lichoběžník, ve kterém je jeden z úhlů pravý.
• Rovnoběžník- čtyřúhelník, ve kterém jsou obě dvojice protilehlých stran vzájemně rovnoběžné.
  • Obdélník- rovnoběžník, ve kterém jsou všechny úhly stejné.
  • Kosočtverec- rovnoběžník, ve kterém jsou všechny strany stejné.
  • Náměstí- rovnoběžník se stejnými stranami a úhly. Obdélník i kosočtverec mohou být čtvercem.

Vlastnosti úhlů konvexních čtyřúhelníků

Všechny konvexní čtyřúhelníky mají ve svých úhlech následující dvě vlastnosti:

1. Jakýkoli vnitřní úhel menší než 180°.
2. Součet vnitřních úhlů je 360°.

V školní osnovy v hodinách geometrie se musíte vypořádat s různými typy čtyřúhelníků: kosočtverce, rovnoběžníky, obdélníky, lichoběžníky, čtverce. Úplně prvními tvary ke studiu jsou obdélník a čtverec.

Co je tedy obdélník? Definice pro 2. stupeň střední školy bude vypadat takto: jedná se o čtyřúhelník se všemi čtyřmi úhly vpravo. Je snadné si představit, jak vypadá obdélník: je to postava se 4 pravými úhly a stranami rovnoběžnými ve dvojicích.

V kontaktu s

Jak můžeme při řešení jiné geometrické úlohy pochopit, o který čtyřúhelník se jedná? Existují tři hlavní znaky, podle kterého lze neomylně určit, že mluvíme o obdélníku. Zavolejme jim:

• obrázek je čtyřúhelník, jehož tři úhly se rovnají 90°;
• znázorněný čtyřúhelník je rovnoběžník se stejnými úhlopříčkami;
• rovnoběžník, který má alespoň jeden pravý úhel.

Je zajímavé vědět: co je konvexní, jeho rysy a příznaky.

Vzhledem k tomu, že obdélník je rovnoběžník (tj. čtyřúhelník s dvojicemi rovnoběžných protilehlých stran), budou pro něj splněny všechny jeho vlastnosti a charakteristiky.

Vzorce pro výpočet délek stran

V obdélníku protilehlé strany jsou stejné a vzájemně rovnoběžné. Delší strana se obvykle nazývá délka (označuje se a), kratší strana se nazývá šířka (označuje se b). V obdélníku na obrázku jsou délky strany AB a CD a šířky jsou AC a B. D. Jsou také kolmé k základnám (tj. jsou to výšky).

Chcete-li najít strany, můžete použít vzorce níže. Přijali symboly: a - délka obdélníku, b - jeho šířka, d - úhlopříčka (segment spojující vrcholy dvou úhlů ležících proti sobě), S - plocha obrázku, P - obvod, α - úhel mezi úhlopříčkou a délkou, β - ostrý roh, který je tvořen oběma úhlopříčkami. Způsoby, jak zjistit délky stran:

• Pomocí úhlopříčky a známá strana: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
• Na základě plochy obrázku a jedné z jeho stran: a = S / b, b = S / a.
• Pomocí obvodu a známé strany: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Přes úhlopříčku a úhel mezi ní a délkou: a = d sinα, b = d cosα.
• Přes úhlopříčku a úhel β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Obvod a plocha

Obvod čtyřúhelníku se nazývá součet délek všech jeho stran. Pro výpočet obvodu lze použít následující vzorce:

• Přes obě strany: P = 2 (a + b).
• Přes plochu a jednu ze stran: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

Plocha je prostor ohraničený obvodem. Tři hlavní způsoby výpočtu plochy:

• Přes délky obou stran: S = a*b.
• Pomocí obvodu a libovolné známé strany: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• Diagonálně a úhel β: S = 0,5 d² sinβ.

Problémy ve školním kurzu matematiky často vyžadují dobré ovládání vlastnosti úhlopříček obdélníku. Uvádíme ty hlavní:

1. Úhlopříčky jsou si navzájem rovny a jsou rozděleny na dva stejné segmenty v bodě svého průsečíku.
2. Úhlopříčka je definována jako odmocnina součtu obou stran na druhou (vyplývá z Pythagorovy věty).
3. Úhlopříčka rozděluje obdélník na dva pravoúhlé trojúhelníky.
4. Průsečík se shoduje se středem kružnice opsané a samotné úhlopříčky se shodují s jejím průměrem.

Pro výpočet délky úhlopříčky se používají následující vzorce:

• Pomocí délky a šířky obrázku: d = √(a² + b²).
• Pomocí poloměru kružnice opsané čtyřúhelníku: d = 2 R.

Definice a vlastnosti čtverce

Čtverec je speciální případ kosočtverce, rovnoběžníku nebo obdélníku. Jeho rozdíl od těchto obrázků je v tom, že všechny jeho úhly jsou pravé a všechny čtyři strany jsou stejné. Čtverec je pravidelný čtyřúhelník.

Čtyřúhelník se nazývá čtverec v následujících případech:

1. Pokud se jedná o obdélník, jehož délka a a šířka b jsou stejné.
2. Pokud je to kosočtverec s stejné délkyúhlopříčkami a se čtyřmi pravými úhly.

Vlastnosti čtverce zahrnují všechny dříve diskutované vlastnosti související s obdélníkem a také následující:

1. Úhlopříčky jsou na sebe kolmé (vlastnost kosočtverce).
2. Průsečík se shoduje se středem vepsané kružnice.
3. Obě úhlopříčky rozdělují čtyřúhelník na čtyři stejné pravoúhlé a rovnoramenné trojúhelníky.

Zde jsou často používané vzorce pro výpočty obvodových, plošných a čtvercových prvků:

• Úhlopříčka d = a √2.
• Obvod P = 4a.
• Plocha S = a².
• Poloměr kružnice opsané je polovina úhlopříčky: R = 0,5 a √2.
• Poloměr kružnice vepsané je definován jako polovina délky strany: r = a / 2.

Příklady otázek a úkolů

Podívejme se na otázky, které vás mohou potkat při studiu matematického kurzu ve škole, a vyřešte pár jednoduchých problémů.

Problém 1. Jak se změní plocha obdélníku, pokud se délka jeho stran ztrojnásobí?

Řešení : Označme plochu původního obrazce jako S0 a plochu čtyřúhelníku s trojnásobnou délkou jeho stran jako S1. S použitím výše uvedeného vzorce dostaneme: S0 = ab. Nyní zvětšíme délku a šířku 3x a napíšeme: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Při porovnání S0 a S1 je zřejmé, že druhá oblast je 9krát větší než první.

Otázka 1. Je čtyřúhelník s pravými úhly čtverec?

Řešení : Z definice vyplývá, že obrazec s pravými úhly je čtvercem pouze tehdy, jsou-li délky všech jeho stran stejné. V ostatních případech je obrázek obdélník.

Problém 2. Úhlopříčky obdélníku svírají úhel 60 stupňů. Šířka obdélníku je 8. Vypočítejte, jaká je úhlopříčka.

Řešení: Připomeňme, že úhlopříčky jsou rozděleny na polovinu průsečíkem. Tak se zabýváme rovnoramenný trojúhelník s vrcholovým úhlem 60°. Vzhledem k tomu, že trojúhelník je rovnoramenný, úhly na základně budou také stejné. Jednoduchými výpočty zjistíme, že každý z nich je roven 60°. Z toho vyplývá, že trojúhelník je rovnostranný. Šířka, kterou známe, je základna trojúhelníku, proto se polovina úhlopříčky také rovná 8 a délka celé úhlopříčky je dvakrát větší a rovná se 16.

Otázka 2. Má obdélník všechny strany stejné nebo ne?

Řešení : Stačí si pamatovat, že ve čtverci si musí být všechny strany stejné, což je zvláštní případ obdélníku. Ve všech ostatních případech je postačující podmínkou přítomnost alespoň 3 pravých úhlů. Rovnost stran není povinným znakem.

Problém 3. Plocha čtverce je známá a rovná se 289. Najděte poloměry vepsané a opsané kružnice.

Řešení : Pomocí vzorců pro čtverec provedeme následující výpočty:

• Určíme, čemu se rovnají základní prvky čtverce: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Vypočítejme poloměr kružnice opsané čtyřúhelníku: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Nalezneme poloměr vepsané kružnice: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.