Tento článek poskytuje přehled akční vlastnosti s racionální čísla . Nejprve jsou oznámeny základní vlastnosti, na kterých jsou založeny všechny ostatní vlastnosti. Poté jsou uvedeny některé další často používané vlastnosti operací s racionálními čísly.
Navigace na stránce.
Pojďme seznam základní vlastnosti operací s racionálními čísly(a, b a c jsou libovolná racionální čísla):
- Komutativní vlastnost sčítání a+b=b+a.
- Kombinační vlastnost sčítání (a+b)+c=a+(b+c) .
- Existence neutrálního prvku sčítáním - nula, jejíž sčítání s libovolným číslem toto číslo nezmění, tedy a+0=a.
- Pro každé racionální číslo a existuje opačné číslo −a, že a+(−a)=0.
- Komutativní vlastnost násobení racionálních čísel a·b=b·a.
- Kombinační vlastnost násobení (a·b)·c=a·(b·c) .
- Existence neutrálního prvku pro násobení je jednotka, násobení, kterým žádné číslo toto číslo nemění, tedy a·1=a.
- Pro každé nenulové racionální číslo a existuje inverzní číslo a −1 takové, že a·a −1 =1 .
- Konečně, sčítání a násobení racionálních čísel souvisí distributivní vlastností násobení vzhledem k sčítání: a·(b+c)=a·b+a·c.
Uvedené vlastnosti operací s racionálními čísly jsou základní, protože z nich lze získat všechny ostatní vlastnosti.
Další důležité vlastnosti
Kromě devíti uvedených základních vlastností operací s racionálními čísly existuje řada velmi široce používaných vlastností. Dejme jim stručný přehled.
Začněme vlastností, která se zapisuje pomocí písmen jako a·(−b)=−(a·b) nebo na základě komutativní vlastnosti násobení jako (−a) b=−(a b). Z této vlastnosti přímo vyplývá i pravidlo pro násobení racionálních čísel s různými znaménky; Tato vlastnost vysvětluje pravidlo „plus vynásobený mínusem je mínus a mínus vynásobený plus je mínus“.
Zde je následující vlastnost: (-a)·(-b)=a·b. Dodržuje pravidlo pro násobení záporných racionálních čísel v tomto článku také najdete důkaz výše uvedené rovnosti; Tato vlastnost odpovídá pravidlu násobení „mínus krát mínus je plus“.
Nepochybně stojí za to zaměřit se na násobení libovolného racionálního čísla a nulou: a·0=0 nebo 0 a=0. Pojďme dokázat tuto vlastnost. Víme, že 0=d+(−d) pro libovolné racionální d, pak a·0=a·(d+(−d)) . Distribuční vlastnost umožňuje výsledný výraz přepsat jako a·d+a·(−d) , a protože a·(−d)=−(a·d) , pak a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Došli jsme tedy k součtu dvou opačných čísel rovných a·d a −(a·d), jejichž součet dává nulu, což dokazuje rovnost a·0=0.
Je snadné si všimnout, že výše jsme uvedli pouze vlastnosti sčítání a násobení, zatímco o vlastnostech odčítání a dělení nepadlo ani slovo. To je způsobeno skutečností, že na množině racionálních čísel jsou akce odčítání a dělení specifikovány jako inverzní sčítání a násobení. To znamená, že rozdíl a−b je součtem a+(−b) a kvocient a:b je součin a·b−1 (b≠0).
Vzhledem k těmto definicím odčítání a dělení a také základním vlastnostem sčítání a násobení je možné dokázat libovolné vlastnosti operací s racionálními čísly.
Jako příklad dokažme distribuční vlastnost násobení vzhledem k odčítání: a·(b−c)=a·b−a·c. Platí následující řetězec rovnosti: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, což je důkaz.
Autorská práva chytrých studentů
Všechna práva vyhrazena.
Chráněno autorským zákonem. Žádná část webu www.včetně vnitřní materiály a vzhled nesmí být v žádné formě reprodukován nebo používán bez předchozího písemného souhlasu držitele autorských práv.
Operace s desetinnými zlomky.
Sčítání a odčítání desetinných míst.
1. Vyrovnejte počet číslic za desetinnou čárkou.
2. Sečtěte nebo odečtěte desetinné zlomky od desetinného místa.
Násobení desetinných míst.
1. Násobte bez ohledu na čárky.
2. V součinu čárky oddělte zprava tolik číslic, kolik je ve všech faktorech
společně za desetinnou čárkou.
Dělení desetinných míst.
1. V děliteli a děliteli posuňte čárky doprava o tolik číslic, kolik je za desetinnou čárkou
v rozdělovači.
2. Rozdělte celou část a do podílu dejte čárku. (Li celá část je tedy menší než dělitel
podíl začíná od nuly celých čísel)
3. Pokračujte v dělení.
Akce s kladnými a zápornými čísly.
Sčítání a odečítání kladných a záporných čísel.
a – (– c) = a + c
Všechny ostatní případy jsou považovány za sčítání čísel.
Sčítání dvou záporných čísel:
1. napište výsledek se znaménkem „–“;
2. Přidáme moduly.
Přidávání čísel pomocí různá znamení:
1. vložte znak většího modulu;
2. odečtěte menší od většího modulu.
Násobení a dělení kladných a záporných čísel.
1. Při násobení a dělení čísel s různými znaménky se výsledek zapisuje se znaménkem
mínus.
2. Při násobení a dělení čísel se stejnými znaménky se výsledek zapisuje se znaménkem
Plus.
Operace s obyčejnými zlomky.
Sčítání a odčítání.
1. Redukujte zlomky na společného jmenovatele.
2. Sečtěte nebo odečtěte čitatele, ale jmenovatele ponechte beze změny.
Vynásobte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem (pokud možno snižte).
„Otočte“ dělitele (druhý zlomek) a proveďte násobení.
Divize.
Násobení.
Izolace celé části od nevhodné frakce.
38
5 = 38: 5 = 7 (zbývající 3) = 7
3
5
Převod smíšeného čísla na nesprávný zlomek.
2
7 + =
4
4·7+2
7
30
7
=
1
.
+
Snížení zlomku.
Zmenšete zlomek - vydělte čitatel a jmenovatel stejným číslem.
6
7
6
7. Ve zkratce:
30:5
35:5 =
30
35 =
Například:
30
35 =
.
1.
Rozdělte jmenovatele zlomků na prvočísla
multiplikátory.
Redukce zlomků na společného jmenovatele.
5 4
7
16 +
36
80 =
71
80
2. Škrtněte shodné faktory.
3. Zbývající faktory ze jmenovatele prvního
násobte zlomky a pište jako
další faktor pro druhý zlomek a
z druhého zlomku do prvního zlomku.
2∙2∙2∙2 2∙2∙5
4. Vynásobte čitatel a jmenovatel každého zlomku
jeho dodatečným násobitelem.
9
20 =
35
80 +
Sčítání a odčítání smíšených čísel.
Sečtěte nebo odečtěte zvlášť celé části a dílčí části zvlášť.
"Speciální případy:
"Převeďte" 1 na zlomek, jehož čitatel a
2
2
5
6
3
5 =
3
5 = 2
1
1
Vezměte 1 a „přeměňte“ ji na zlomek, jehož čitatel a
jmenovatelé se rovnají jmenovateli daného zlomku.
Vezměte 1 a přidejte jmenovatele do čitatele.
3
5 =
3
5 = 2
5
5 ‒
5
5 ‒
‒
1
‒
3
2
5
1 ‒
3
3
5 = 2
5
5 1 ‒
3
5 = 1
2
5
1
5
1 ‒
3
5 = 2
6
5 1‒
3
3
5 = 1
3
5
Převeďte smíšená čísla na nesprávné zlomky a provést násobení nebo dělení.
Násobení a dělení smíšených čísel.
2
7 + ∙ 2
4
4
5 + =
30
7 ∙
14
5 =
30·14
7·5
6·2
1 1 =
12
1 = 12
=
∙ ∙
6
7
Potom a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Přidáním nuly se číslo nezmění, ale součet opačných čísel je nula.
To znamená, že pro jakékoli racionální číslo platí: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Násobení racionálních čísel má také komutativní a asociativní vlastnosti. Jinými slovy, jestliže a, b a c jsou jakákoli racionální čísla, pak ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Násobením 1 se nezmění racionální číslo, ale součin čísla a jeho převrácené hodnoty je roven 1.
To znamená, že pro jakékoli racionální číslo a máme:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12+a-12; d) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.
1190. Po výběru vhodného pořadí výpočtu najděte hodnotu výrazu:
1191. Slovně formulujte komutativní vlastnost násobení ab = ba a zkontrolujte ji, když:
1192. Formulujte slovy asociativní vlastnost násobení a(bc)=(ab)c a zkontrolujte ji, když:
1193. Výběrem vhodného pořadí výpočtu najděte hodnotu výrazu:
1194. Jaké číslo dostanete (kladné nebo záporné), když vynásobíte:
a) jedno záporné číslo a dvě kladná čísla;
b) dvě záporná a jedno kladné číslo;
c) 7 záporných a několik kladných čísel;
d) 20 záporných a několik kladných? Dojít k závěru.
1195. Určete znaménko součinu:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha a Maxim se shromáždili v tělocvičně (obr. 91, a). Ukázalo se, že každý z chlapců znal jen dva další. kdo ví koho? (Okraj grafu znamená "známe se.")
b) Bratři a sestry jedné rodiny jdou po dvoře. Které z těchto dětí jsou chlapci a které dívky (obr. 91, b)? (Tečkované okraje grafu znamenají „Jsem sestra“ a plné okraje znamenají „Jsem bratr.“)
1205. Vypočítejte:
1206. Srovnej:
a) 23 a 32; b) (-2) 3 a (-3) 2; c) 13 a 12; d) (-1) 3 a (-1) 2.
1207. Zaokrouhlit 5,2853 na tisíciny; před setiny; až desetiny; až jednotek.
1208. Vyřešte problém:
1) Motocyklista dohoní cyklistu. Nyní je mezi nimi 23,4 km. Rychlost motocyklisty je 3,6krát vyšší než rychlost cyklisty. Zjistěte rychlosti cyklisty a motocyklisty, pokud je známo, že motocyklista cyklistu za hodinu dožene.
2) Auto dobíhá autobus. Nyní je mezi nimi 18 km. Rychlost autobusu je stejná jako u osobního auta. Najděte rychlosti autobusu a auta, pokud je známo, že auto dohoní autobus za hodinu.
1209. Najděte význam výrazu:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Zkontrolujte své výpočty pomocí mikro kalkulačka.
1210. Po výběru vhodného pořadí výpočtu najděte hodnotu výrazu: 
1211. Zjednodušte výraz:
1212. Najděte význam výrazu:
1213. Postupujte takto:
1214. Studenti dostali za úkol posbírat 2,5 tuny kovového odpadu. Sesbírali 3,2 tuny kovového odpadu. Na jaké procento žáci úkol splnili a na jaké procento úkol překonali?
1215. Auto najeto 240 km. Z toho 180 km šla po polní cestě a zbytek po dálnici. Spotřeba benzínu na každých 10 km venkovské silnice byla 1,6 litru a na dálnici - o 25% méně. Kolik litrů benzínu bylo průměrně spotřebováno na každých 10 km jízdy?
1216. Při výjezdu z obce si cyklista všiml chodce na mostě jdoucího stejným směrem a po 12 minutách ho dostihl. Najděte rychlost chodce, je-li rychlost cyklisty 15 km/h a vzdálenost z obce k mostu je 1 km 800 m?
1217. Postupujte takto:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42 + 4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Lidé, jak víte, se s racionálními čísly seznamovali postupně. Nejprve při počítání předmětů nastávaly problémy celá čísla. Zpočátku jich bylo málo. Tak až donedávna měli domorodci na ostrovech v Torresově průlivu (oddělujícím Novou Guineu od Austrálie) ve svém jazyce názvy pouze dvou čísel: „urapun“ (jedna) a „okaz“ (dvě). Ostrované počítali takto: „Okaza-urapun“ (tři), „Okaza-Okaza“ (čtyři) atd. Domorodci nazývali všechna čísla, počínaje sedmi, se slovem znamenajícím „mnoho“.
Vědci se domnívají, že slovo pro stovky se objevilo před více než 7 000 lety, pro tisíce - před 6 000 lety a před 5 000 lety v Starověký Egypt a ve starověkém Babylonu se jména objevila v obrovském počtu - až milionu. Ale po dlouhou dobu byla přirozená řada čísel považována za konečnou: lidé si mysleli, že je jich nejvíc velké číslo.
Největší starověký řecký matematik a fyzik Archimedes (287-212 př. n. l.) přišel na způsob, jak popsat obrovská čísla. Největší číslo, které Archimédes dokázal pojmenovat, bylo tak velké, že k jeho digitálnímu záznamu by byla potřeba páska dvatisíckrát delší, než je vzdálenost Země ke Slunci.
Tak obrovská čísla ale ještě nedokázali zapsat. To se stalo možným až poté, co indičtí matematici v 6. století. bylo vynalezeno číslo nula a začalo označovat nepřítomnost jednotek v číslicích desítkový zápisčísla.
Při dělení kořisti a později při měření hodnot a v dalších podobných případech se lidé setkávali s nutností zavést „lomená čísla“ - běžné zlomky. Operace se zlomky byly ve středověku považovány za nejobtížnější oblast matematiky. Němci dodnes o člověku, který se ocitl v těžké situaci, říkají, že se „rozpadl na zlomky“.
Aby se usnadnila práce se zlomky, byla vynalezena desetinná čísla zlomky. V Evropě je představil v X585 holandský matematik a inženýr Simon Stevin.
Záporná čísla se objevila později než zlomky. Po dlouhou dobu byla taková čísla považována za „neexistující“, „nepravdivá“, především kvůli skutečnosti, že přijatá interpretace pro kladná a záporná čísla „majetek - dluh“ vedla ke zmatku: můžete přidat nebo odečíst „vlastnost“ nebo „dluhy“, ale jak chápat pracovní nebo soukromý „majetek“ a „dluh“?
Navzdory takovým pochybnostem a zmatkům však byla ve 3. století navržena pravidla pro násobení a dělení kladných a záporných čísel. řecký matematik Diophantus (ve tvaru: „Co je odečteno, násobeno tím, co je přidáno, dává subtrahend; co je odečteno subtrahendem, dává to, co je přidáno“ atd.), a později indický matematik Bhaskar (XII. století) vyjádřil stejná pravidla v pojmech „majetek“, „dluh“ („Součinem dvou majetku nebo dvou dluhů je majetek; součinem majetku a dluhu je dluh.“ Stejné pravidlo platí pro rozdělení).
Bylo zjištěno, že vlastnosti operací na záporných číslech jsou stejné jako na kladných číslech (např. sčítání a násobení mají komutativní vlastnost). A konečně, od začátku minulého století se záporná čísla rovnala kladným číslům.
Později se v matematice objevila nová čísla – iracionální, komplexní a další. Učíte se o nich na střední škole.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Česnokov, S.I. Shvartburd, V.I. Zhokhov, Matematika pro 6. ročník, Učebnice pro střední škola
Knihy a učebnice podle kalendářového plánu pro matematiku 6. třídy ke stažení, nápověda pro školáky online
Lekce 4
STUPEŇ S PŘIROZENÝM UKAZATELEM
Cíle: podporovat vytváření počítačových dovedností a znalostí, shromažďování znalostí o titulech na základě počítačových zkušeností; zavést psaní velkých a malých čísel pomocí mocnin 10.
Během vyučování
I. Aktualizace základních znalostí.
Učitel analyzuje výsledky zkušební práce, každý student dostává doporučení k rozvoji individuální plán korekce počítačových dovedností.
Poté jsou studenti požádáni, aby provedli výpočty a přečetli jména slavných matematiků, kteří přispěli ke konstrukci teorie mocnin:
0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .
Klíč:
Pomocí počítače nebo epiprojektoru se na plátno promítají portréty vědců Diophantus, Rene Descartes, Simon Stevin. Studenti jsou vyzváni, aby na přání připravili historické informace o životě a díle těchto matematiků.
II. Formování nových konceptů a metod jednání.
Žáci si do sešitu zapíší následující výrazy:
1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
2. 2 + 2 + 2 + … + 2;
A podmínky
3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;
4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;
n multiplikátory
5. A∙ A∙ … ∙ A;
n multiplikátory
Studenti jsou požádáni, aby odpověděli na otázku: „Jak mohou být tyto záznamy prezentovány kompaktněji, aby se staly „pozorovatelnými“?
Poté učitel vede konverzaci nové téma, seznamuje žáky s pojmem první mocniny čísla. Studenti si mohou připravit dramatizaci starověké indické legendy o vynálezci šachů Sethovi a králi Sheramovi. Rozhovor je nutné ukončit příběhem o použití mocniny 10 při psaní velkých a malých veličin a nabídnout studentům k zamyšlení několik příruček o fyzice, technice a astronomii a dát jim příležitost najít příklady takových veličin. v knihách.
III. Formování dovedností a schopností.
1. Řešení úloh č. 40 d), e), f); 51.
Během řešení studenti usoudí, že je užitečné si zapamatovat: Mocnina se záporným základem je kladná, pokud je exponent sudý, a záporná, pokud je exponent lichý.
2. Řešení cvičení č. 41, 47.
IV. Shrnutí.
Učitel komentuje a hodnotí práci žáků v hodině.
Domácí práce: odstavec 1.3, č. 42, 43, 52; volitelné: připravit zprávy o Diophantovi, Descartovi, Stevinovi.
Diophantus- starověký řecký matematik z Alexandrie (III. století). Zachovala se část jeho matematického pojednání „Aritmetika“ (6 knih ze 13), kde je uvedeno řešení problémů, z nichž většina vede k tzv. „diofantinským rovnicím“, jejichž řešení se hledá v racionálním kladném čísla (Diophantus nemá záporná čísla).
K označení neznámého a jeho stupňů (až šestého), rovnítka, použil Diophantus zkrácený zápis odpovídajících slov. Vědci také objevili arabský text dalších 4 knih Diophantovy aritmetiky. Objevila se díla Diofantova Výchozí bod pro výzkum P. Fermat, L. Euler, K. Gauss a další.
Descartes René (31.03.159 6 –11. 02. 1650) - Francouzský filozof a matematik, pocházel ze staré šlechtické rodiny. Vzdělání získal na jezuitské škole La Flèche v Anjou. Na počátku třicetileté války sloužil v armádě, kterou roku 1621 opustil; po několika letech cestování se přestěhoval do Nizozemí (1629), kde strávil dvacet let v osamělých vědeckých studiích. V roce 1649 se na pozvání švédské královny přestěhoval do Stockholmu, ale brzy zemřel.
Descartes položil základy analytické geometrie a zavedl mnoho moderních algebraických zápisů. Descartes výrazně zlepšil systém zápisu zavedením obecně přijímaných znaků pro proměnné
(X, na,z...) a koeficienty ( A, b, S...), stejně jako označení stupňů ( X 4 , A 5…). Descartovo psaní vzorců se téměř neliší od moderních.
V analytické geometrii byla Descartovým hlavním úspěchem metoda souřadnic, kterou vytvořil.
Stevin Simon (1548-1620) - holandský vědec a inženýr. Od roku 1583 vyučoval na univerzitě v Leidenu, v roce 1600 organizoval inženýrskou školu na univerzitě v Leidenu, kde přednášel matematiku. Stevinovo dílo „Desátek“ (1585) je věnováno desítkové soustavě měr a desetinná místa, který Simon Stevin uvedl do užívání v Evropě.
) jsou čísla s kladným nebo záporné znaménko(celá čísla a zlomky) a nula. Přesnější koncept racionálních čísel zní takto:
Racionální číslo- číslo, které je zastoupeno obyčejný zlomek m/n, kde je čitatel m jsou celá čísla a jmenovatel n- celá čísla, například 2/3.
Nekonečné neperiodické zlomky NEJSOU zahrnuty do množiny racionálních čísel.
a/b, Kde A∈ Z (A patří k celým číslům), b∈ N (b patří k přirozeným číslům).
Použití racionálních čísel v reálném životě.
V reálný život množina racionálních čísel se používá k počítání částí některých celočíselně dělitelných objektů, Například, koláče nebo jiné potraviny, které jsou před konzumací nakrájeny na kousky, nebo pro hrubý odhad prostorových vztahů rozšířených objektů.
Vlastnosti racionálních čísel.
Základní vlastnosti racionálních čísel.
1. Uspořádanost A A b existuje pravidlo, které umožňuje jednoznačně identifikovat 1 a pouze jeden ze 3 vztahů mezi nimi: “<», «>" nebo "=". Toto pravidlo je - pravidlo objednávky a formuluj to takto:
- 2 kladná čísla a=m a /n a A b=mb/nb souvisí stejným vztahem jako 2 celá čísla m a⋅ n b A m b⋅ n a;
- 2 záporná čísla A A b souvisí stejným poměrem jako 2 kladná čísla |b| A |a|;
- Když A pozitivní a b- tedy negativní a>b.
∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)
2. Operace sčítání. Pro všechna racionální čísla A A b Tady je sumační pravidlo, který je spojuje s určitým racionálním číslem C. Přitom samotné číslo C- Tento součetčísla A A b a označuje se jako (a+b) shrnutí.
Sumační pravidlo vypadá takto:
m a/n a + mb/nb = (m a⋅ nb +mb⋅ n a)/(n a⋅ n b).
∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q
3. Operace násobení. Pro všechna racionální čísla A A b Tady je pravidlo násobení, spojuje je s určitým racionálním číslem C. Volá se číslo c prácečísla A A b a označují (a⋅b), a nazývá se proces nalezení tohoto čísla násobení.
Pravidlo násobení vypadá takto: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ n b.
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. Tranzitivita objednávkového vztahu. Pro libovolná tři racionální čísla A, b A C Li A méně b A b méně C, Že A méně C, a pokud A rovná se b A b rovná se C, Že A rovná se C.
∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ A ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)
5. Komutativnost sčítání. Změna místa racionálních členů nezmění součet.
∀ a,b∈ Q a+b=b+a
6. Sčítací asociativita. Pořadí, ve kterém se sečtou 3 racionální čísla, neovlivňuje výsledek.
∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)
7. Přítomnost nuly. Existuje racionální číslo 0, při sečtení zachovává každé druhé racionální číslo.
∃ 0 ∈ Q∀ A∈ Q a+0=a
8. Přítomnost opačných čísel. Každé racionální číslo má opačné racionální číslo, a když se sečtou, výsledkem je 0.
∀ A∈ Q∃ (-a)∈ Qa+(-a)=0
9. Komutativnost násobení. Změna místa racionálních faktorů nemění produkt.
∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ A
10. Asociativita násobení. Pořadí, ve kterém se násobí 3 racionální čísla, nemá na výsledek žádný vliv.
∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ C)
11. Dostupnost jednotky. Existuje racionální číslo 1, zachovává každé druhé racionální číslo v procesu násobení.
∃ 1 ∈ Q∀ A∈ Q a⋅ 1=a
12. Přítomnost reciprokých čísel. Každé racionální číslo jiné než nula má inverzní racionální číslo, jehož vynásobením dostaneme 1 .
∀ A∈ Q∃ a-1∈ Q a⋅ a-1=1
13. Distributivita násobení vzhledem k sčítání. Operace násobení souvisí se sčítáním pomocí distributivního zákona:
∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C
14. Vztah mezi objednávkovým vztahem a operací sčítání. K levé a pravé straně racionální nerovnosti se přidá stejné racionální číslo.
∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c
15. Vztah mezi relací pořadí a operací násobení. Levou a pravou stranu racionální nerovnosti lze vynásobit stejným nezáporným racionálním číslem.
∀ a,b,c∈ Q c > 0∧ A ⇒ A⋅ C ⋅ C
16. Archimédův axiom. Bez ohledu na racionální číslo A, je snadné vzít tolik jednotek, že jejich součet bude větší A.
