Už staří matematici znali segment jednotkové délky: znali například nesouměřitelnost úhlopříčky a strany čtverce, což je ekvivalentní iracionalitě čísla.
Iracionální jsou:
Příklady důkazů iracionality
Kořen 2
Předpokládejme opak: je racionální, to znamená, že je reprezentován ve formě neredukovatelného zlomku, kde a jsou celá čísla. Uveďme druhou mocninu předpokládané rovnosti:
.Z toho vyplývá, že sudé je sudé a . Ať je tam, kde je celek. Pak
Proto sudý znamená sudý a . Zjistili jsme, že a jsou sudé, což je v rozporu s neredukovatelností zlomku . To znamená, že původní předpoklad byl nesprávný a jedná se o iracionální číslo.
Binární logaritmus čísla 3
Předpokládejme opak: racionální, tedy reprezentovaný jako zlomek, kde a jsou celá čísla. Od , a lze vybrat jako kladné. Pak
Ale sudé a liché. Dostáváme rozpor.
E
Příběh
Pojem iracionálních čísel implicitně převzali indičtí matematici v 7. století př. n. l., když Manava (asi 750 př. n. l. - asi 690 př. n. l.) přišel na to, že odmocniny některých přirozená čísla, jako jsou 2 a 61, nelze výslovně vyjádřit.
První důkaz o existenci iracionálních čísel je obvykle připisován Hippasovi z Metapontu (asi 500 př. n. l.), Pythagorejci, který tento důkaz našel studiem délek stran pentagramu. V době Pythagorejců se věřilo, že existuje jediná délková jednotka, dostatečně malá a nedělitelná, která vstupuje do libovolného segmentu vícekrát jako celé číslo. Hippus však tvrdil, že neexistuje jediná jednotka délky, protože předpoklad její existence vede k rozporu. Ukázal, že pokud je přepona rovnoramenná pravoúhlý trojúhelník obsahuje celý počet segmentů jednotek, pak toto číslo musí být sudé i liché. Důkaz vypadal takto:
- Poměr délky přepony k délce ramene rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku lze vyjádřit jako A:b, Kde A A b zvoleny jako nejmenší možné.
- Podle Pythagorovy věty: A² = 2 b².
- Protože A- dokonce, A musí být sudé (protože druhá mocnina lichého čísla by byla lichá).
- Protože A:b neredukovatelný b musí být liché.
- Protože A dokonce, označujeme A = 2y.
- Pak A² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y² tedy b- tedy dokonce b dokonce.
- Bylo však prokázáno, že b zvláštní. Rozpor.
Řečtí matematici nazývali tento poměr nesouměřitelných veličin alogos(nevýslovné), ale podle legend nevzdávali Hippasovi náležitou úctu. Existuje legenda, že Hippas učinil objev, když byl na námořní plavbě a byl hozen přes palubu jinými Pythagorejci „za vytvoření prvku vesmíru, který popírá doktrínu, že všechny entity ve vesmíru lze redukovat na celá čísla a jejich poměry“. Objev Hippause představoval vážný problém pro pythagorejskou matematiku a zničil základní předpoklad, že čísla a geometrické objekty jsou jedno a neoddělitelné.
Viz také
Poznámky
| Numerické soustavy | |
|---|---|
| Počítací sady |
Přirozená čísla () Celá čísla () |
Racionální číslo– číslo reprezentované obyčejným zlomkem m/n, kde čitatel m je celé číslo a jmenovatel n je přirozené číslo. Jakékoli racionální číslo může být reprezentováno jako periodické nekonečno desetinný. Množinu racionálních čísel označíme Q.
Pokud reálné číslo není racionální, pak je iracionální číslo. Desetinné zlomky vyjadřující ir racionální čísla nekonečné a neperiodické. Množina iracionálních čísel se obvykle označuje velkým Latinské písmeno já
Zavolá se skutečné číslo algebraický, jde-li o kořen nějakého polynomu (nenulový stupeň) s racionálními koeficienty. Volá se jakékoli nealgebraické číslo transcendentální.
Některé vlastnosti:
Množina racionálních čísel se nachází na číselná osa všude husté: mezi jakýmikoli dvěma odlišnými racionálními čísly existuje alespoň jedno racionální číslo (a tedy nekonečná množina racionálních čísel). Ukazuje se však, že množina racionálních čísel Q a množina přirozených čísel N jsou ekvivalentní, to znamená, že mezi nimi může být vytvořena korespondence jedna ku jedné (všechny prvky množiny racionálních čísel lze přečíslovat) .
Množina Q racionálních čísel je uzavřena při sčítání, odčítání, násobení a dělení, to znamená, že součet, rozdíl, součin a podíl dvou racionálních čísel jsou také racionálními čísly.
Všechna racionální čísla jsou algebraická (opak je nepravdivý).
Každé skutečné transcendentální číslo je iracionální.
Každé iracionální číslo je buď algebraické nebo transcendentální.
Množina iracionálních čísel je na číselné ose všude hustá: mezi libovolnými dvěma čísly je iracionální číslo (a tedy nekonečná množina iracionálních čísel).
Množina iracionálních čísel je nepočitatelná.
Při řešení úloh je vhodné spolu s iracionálním číslem a + b√ c (kde a, b jsou racionální čísla, c je celé číslo, které není druhou mocninou přirozeného čísla) uvažovat „konjugované“ číslo a – b√ c: jeho součet a součin s původními – racionálními čísly. Takže a + b√ c a a – b√ c jsou kořeny kvadratická rovnice s celočíselnými koeficienty.
Problémy s řešením
1. Dokažte to
a) číslo √ 7;
b) log číslo 80;
c) počet √ 2 + 3 √ 3;
je iracionální.
a) Předpokládejme, že číslo √ 7 je racionální. Pak existují koprimá p a q taková, že √ 7 = p/q, odkud dostaneme p 2 = 7q 2 . Protože p a q jsou relativně prvočísla, pak p 2, a tedy p je dělitelné 7. Pak p = 7k, kde k je nějaké přirozené číslo. Proto q 2 = 7k 2 = pk, což je v rozporu se skutečností, že p a q jsou koprimá.
Předpoklad je tedy nepravdivý, což znamená, že číslo √ 7 je iracionální.
b) Předpokládejme, že číslo log 80 je racionální. Pak existují přirozené p a q takové, že log 80 = p/q nebo 10 p = 80 q, z čehož získáme 2 p–4q = 5 q–p. Vzhledem k tomu, že čísla 2 a 5 jsou relativně prvočísla, zjistíme, že poslední rovnost je možná pouze pro p–4q = 0 a q–p = 0. Odtud p = q = 0, což je nemožné, protože jsou zvoleny p a q být přirozený.
Takže předpoklad je nepravdivý, což znamená, že číslo lg 80 je iracionální.
c) Označme dané číslo přes x.
Potom (x – √ 2) 3 = 3, nebo x 3 + 6x – 3 = √ 2 (3x 2 + 2). Po umocnění této rovnice zjistíme, že x musí rovnici splňovat
x 6 – 6 x 4 – 6 x 3 + 12 x 2 – 36 x + 1 = 0.
Jeho racionálními kořeny mohou být pouze čísla 1 a –1. Kontrola ukazuje, že 1 a –1 nejsou kořeny.
Dané číslo √ 2 + 3 √ 3 je tedy iracionální.
2. Je známo, že čísla a, b, √a –√b,– racionální. Dokažte to √a a √b jsou také racionální čísla.
Podívejme se na práci
(√ a – √ b)·(√ a + √ b) = a – b.
Číslo √a + √b, což se rovná poměru čísel a – b a √a –√b, je racionální, protože podíl dvou racionálních čísel je racionální číslo. Součet dvou racionálních čísel
½ (√ a + √ b) + ½ (√ a – √ b) = √ a
- racionální číslo, jejich rozdíl,
½ (√ a + √ b) – ½ (√ a – √ b) = √ b,
je také racionální číslo, což je potřeba dokázat.
3. Dokažte, že existují kladná iracionální čísla aab, pro která je číslo ab přirozené číslo.
4. Existují racionální čísla a, b, c, d, která splňují rovnost?
(a + b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2,
kde n je přirozené číslo?
Pokud je splněna rovnost zadaná v podmínce a čísla a, b, c, d jsou racionální, pak je splněna i rovnost:
(a–b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.
Ale 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Výsledný rozpor dokazuje, že původní rovnost je nemožná.
Odpověď: neexistují.
5. Jestliže úsečky o délkách a, b, c tvoří trojúhelník, pak pro všechna n = 2, 3, 4, . . . úsečky o délkách n √ a, n √ b, n √ c také tvoří trojúhelník. Dokaž to.
Pokud segmenty s délkami a, b, c tvoří trojúhelník, pak trojúhelníková nerovnost dává
Proto máme
(n √ a + n √ b) n > a + b > c = (n √ c) n,
N √ a + n √ b > n √ c.
Zbývající případy kontroly trojúhelníkové nerovnosti jsou uvažovány obdobně, z čehož vyplývá závěr.
6. Dokažte, že nekonečný desetinný zlomek 0,1234567891011121314... (za desetinnou čárkou jsou zapsána všechna přirozená čísla v pořadí) je iracionální číslo.
Jak víte, racionální čísla jsou vyjádřena jako desetinné zlomky, které mají tečku začínající od určitého znaménka. Stačí tedy dokázat, že tento zlomek není v žádném znaménku periodický. Předpokládejme, že tomu tak není a že nějaká posloupnost T o n číslicích je periodou zlomku, začínající na m-tém desetinném místě. Je jasné, že mezi číslicemi za m-tou číslicí jsou nenulové jedničky, takže v posloupnosti číslic T je nenulová číslice. To znamená, že počínaje m-tou číslicí za desetinnou čárkou je mezi libovolnými n číslicemi v řadě nenulová číslice. Nicméně, v desítkový zápis pro tento zlomek musí existovat desítkový zápis čísla 100...0 = 10 k, kde k > ma k > n. Je zřejmé, že tento záznam se vyskytuje napravo od m-té číslice a obsahuje více než n nul za sebou. Tak získáme rozpor, který dokončí důkaz.
7. Je dán nekonečný desetinný zlomek 0,a 1 a 2 ... . Dokažte, že číslice v jeho desítkovém zápisu lze přeskupit tak, aby výsledný zlomek vyjadřoval racionální číslo.
Připomeňme, že zlomek vyjadřuje racionální číslo právě tehdy, je-li periodické, počínaje od určitého znaménka. Čísla od 0 do 9 rozdělíme do dvou tříd: do první třídy zahrneme ta čísla, která se v původním zlomku objeví konečný počet, do druhé třídy zařadíme ta, která se v původním zlomku objeví nekonečný počet čísel. časy. Začněme vypisovat periodický zlomek, který lze z originálu získat přeskupením čísel. Nejprve za nulou a čárkou zapíšeme v náhodném pořadí všechna čísla z první třídy – každé tolikrát, kolikrát se objeví v zápisu původního zlomku. První zaznamenané číslice třídy budou předcházet tečce ve zlomkové části desetinné čárky. Dále si zapišme čísla z druhé třídy po jednom v nějakém pořadí. Tuto kombinaci prohlásíme za tečku a budeme ji opakovat nekonečněkrát. Tím jsme vypsali požadovaný periodický zlomek vyjadřující určité racionální číslo.
8. Dokažte, že v každém nekonečném desetinném zlomku existuje posloupnost desetinných míst libovolné délky, která se při rozkladu zlomku vyskytuje nekonečně mnohokrát.
Nechť m je libovolně dané přirozené číslo. Rozdělme tento nekonečný desetinný zlomek na segmenty s m číslicemi v každém. Takových segmentů bude nekonečné množství. Na druhou stranu existuje pouze 10 m různých systémů skládajících se z m číslic, tedy konečného čísla. V důsledku toho se zde alespoň jeden z těchto systémů musí nekonečně mnohokrát opakovat.
Komentář. Pro iracionální čísla √ 2, π nebo E ani nevíme, která číslice se nekonečně mnohokrát opakuje v nekonečných desetinných zlomcích, které je reprezentují, i když lze snadno prokázat, že každé z těchto čísel obsahuje alespoň dvě různé takové číslice.
9. Elementárním způsobem dokažte, že kladný kořen rovnice
je iracionální.
Pro x > 0 se levá strana rovnice zvětšuje s x a je snadné vidět, že při x = 1,5 je menší než 10 a při x = 1,6 je větší než 10. rovnice leží uvnitř intervalu (1,5 ; 1,6).
Zapišme kořen jako neredukovatelný zlomek p/q, kde p a q jsou nějaká relativně prvočísla přirozená čísla. Pak při x = p/q bude mít rovnice následující tvar:
p 5 + pq 4 = 10q 5,
z čehož plyne, že p je dělitel 10, proto se p rovná jednomu z čísel 1, 2, 5, 10. Při vypisování zlomků s čitateli 1, 2, 5, 10 si však ihned všimneme, že žádná z nich nespadá do intervalu (1,5; 1,6).
Takže kladný kořen původní rovnice nemůže být reprezentován ve tvaru společný zlomek, což znamená, že jde o iracionální číslo.
10. a) Jsou v rovině tři body A, B a C takové, že pro libovolný bod X je délka alespoň jednoho z úseček XA, XB a XC iracionální?
b) Souřadnice vrcholů trojúhelníku jsou racionální. Dokažte, že souřadnice středu jeho kružnice opsané jsou také racionální.
c) Existuje taková koule, na které je právě jeden racionální bod? (Racionální bod je bod, ve kterém všechny tři Kartézské souřadnice- racionální čísla.)
a) Ano, existují. Nechť C je střed úsečky AB. Potom XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Pokud je číslo AB 2 iracionální, pak čísla XA, XB a XC nemohou být zároveň racionální.
b) Nechť (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) a (a 3 ; b 3) jsou souřadnicemi vrcholů trojúhelníku. Souřadnice středu jeho kružnice opsané jsou dány soustavou rovnic:
(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 2) 2 + (y – b 2) 2,
(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 3) 2 + (y – b 3) 2.
Je snadné ověřit, že tyto rovnice jsou lineární, což znamená, že řešení uvažovaného systému rovnic je racionální.
c) Taková koule existuje. Například koule s rovnicí
(x – √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.
Bod O se souřadnicemi (0; 0; 0) je racionální bod ležící na této kouli. Zbývající body koule jsou iracionální. Pojďme to dokázat.
Předpokládejme opak: nechť (x; y; z) je racionální bod koule, odlišný od bodu O. Je jasné, že x je odlišné od 0, protože v x = 0 existuje jednoznačné řešení (0; 0; 0), který není pro nás nyní k dispozici. Otevřeme závorky a vyjádříme √ 2:
x 2 – 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2
√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),
což se nemůže stát s racionálním x, y, z a iracionálním √ 2. Takže O(0; 0; 0) je jediný racionální bod na uvažované sféře.
Problémy bez řešení
1. Dokažte, že číslo
\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60) \]
je iracionální.
2. Pro jaká celá čísla ma n platí rovnost (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n?
3. Existuje číslo a, že čísla a – √ 3 a 1/a + √ 3 jsou celá čísla?
4. Mohou být čísla 1, √ 2, 4 členy (ne nutně sousedící) aritmetické posloupnosti?
5. Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo n rovnice (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 nemá řešení v racionálních číslech (x; y).
Iracionální číslo- Tohle skutečné číslo, který není racionální, to znamená, že nemůže být reprezentován jako zlomek, kde jsou celá čísla, . Iracionální číslo může být reprezentováno jako nekonečný neperiodický desetinný zlomek.
Množina iracionálních čísel je obvykle označena velkým latinským písmenem tučně bez stínování. Tedy: , tzn. existuje mnoho iracionálních čísel rozdíl mezi množinami reálných a racionálních čísel.
O existenci iracionálních čísel, přesněji segmenty nesouměřitelné se segmentem jednotkové délky znali již staří matematici: znali například nesouměřitelnost úhlopříčky a strany čtverce, což je ekvivalentní iracionalitě čísla.
Vlastnosti
- Jakékoli reálné číslo lze zapsat jako nekonečný desetinný zlomek, zatímco iracionální čísla a pouze ona lze zapsat jako neperiodické nekonečné desetinné zlomky.
- Iracionální čísla definujte Dedekindovy úseky v množině racionálních čísel, které nemají největší číslo v nižší třídě a nemají nejmenší číslo ve vyšší třídě.
- Každé skutečné transcendentální číslo je iracionální.
- Každé iracionální číslo je buď algebraické nebo transcendentální.
- Množina iracionálních čísel je hustá všude na číselné ose: mezi libovolnými dvěma čísly je iracionální číslo.
- Pořadí na množině iracionálních čísel je izomorfní k řádu na množině reálných transcendentálních čísel.
- Množina iracionálních čísel je nepočitatelná a je množinou druhé kategorie.
Příklady
| Iracionální čísla - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Iracionální jsou:
Příklady důkazů iracionality
Kořen 2
Předpokládejme opak: je racionální, to znamená, že je reprezentován ve formě neredukovatelného zlomku, kde je celé číslo a je přirozené číslo. Uveďme druhou mocninu předpokládané rovnosti:
.Z toho vyplývá, že sudé je sudé a . Ať je tam, kde je celek. Pak
Proto sudý znamená sudý a . Zjistili jsme, že a jsou sudé, což je v rozporu s neredukovatelností zlomku . To znamená, že původní předpoklad byl nesprávný a jedná se o iracionální číslo.
Binární logaritmus čísla 3
Předpokládejme opak: racionální, tedy reprezentovaný jako zlomek, kde a jsou celá čísla. Od , a lze vybrat jako kladné. Pak
Ale sudé a liché. Dostáváme rozpor.
E
Příběh
Koncept iracionálních čísel byl implicitně přijat indickými matematiky v 7. století př. n. l., když Manava (asi 750 př. n. l. - asi 690 př. n. l.) přišel na to, že odmocniny některých přirozených čísel, jako jsou 2 a 61, nelze explicitně vyjádřit. .
První důkaz o existenci iracionálních čísel je obvykle připisován Hippasovi z Metapontu (asi 500 př. n. l.), Pythagorejci, který tento důkaz našel studiem délek stran pentagramu. V době Pythagorejců se věřilo, že existuje jediná délková jednotka, dostatečně malá a nedělitelná, která vstupuje do libovolného segmentu vícekrát jako celé číslo. Hippus však tvrdil, že neexistuje jediná jednotka délky, protože předpoklad její existence vede k rozporu. Ukázal, že pokud přepona rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku obsahuje celé číslo jednotkových segmentů, pak toto číslo musí být sudé i liché. Důkaz vypadal takto:
- Poměr délky přepony k délce ramene rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku lze vyjádřit jako A:b, Kde A A b zvoleny jako nejmenší možné.
- Podle Pythagorovy věty: A² = 2 b².
- Protože A- dokonce, A musí být sudé (protože druhá mocnina lichého čísla by byla lichá).
- Protože A:b neredukovatelný b musí být liché.
- Protože A dokonce, označujeme A = 2y.
- Pak A² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y² tedy b- tedy dokonce b dokonce.
- Bylo však prokázáno, že b zvláštní. Rozpor.
Řečtí matematici nazývali tento poměr nesouměřitelných veličin alogos(nevýslovné), ale podle legend nevzdávali Hippasovi náležitou úctu. Existuje legenda, že Hippas učinil objev, když byl na námořní plavbě a byl hozen přes palubu jinými Pythagorejci „za vytvoření prvku vesmíru, který popírá doktrínu, že všechny entity ve vesmíru lze redukovat na celá čísla a jejich poměry“. Objev Hippause představoval vážný problém pro pythagorejskou matematiku a zničil základní předpoklad, že čísla a geometrické objekty jsou jedno a neoddělitelné.
Množina iracionálních čísel se obvykle označuje velkým písmenem Já (\displaystyle \mathbb (I) ) v odvážném stylu bez stínování. Tedy: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \zpětné lomítko \mathbb (Q) ), to znamená, že množina iracionálních čísel je rozdíl mezi množinami reálných a racionálních čísel.
Existenci iracionálních čísel, přesněji úseček nesouměřitelných s úsečkou jednotkové délky, znali již antičtí matematici: znali např. nesouměřitelnost úhlopříčky a strany čtverce, což je ekvivalentní iracionalitě číslo.
Encyklopedický YouTube
-
1 / 5
Iracionální jsou:
Příklady důkazů iracionality
Kořen 2
Předpokládejme opak: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionální, to znamená reprezentovaný zlomkem m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Kde m (\displaystyle m) je celé číslo a n (\displaystyle n)- přirozené číslo.
Uveďme druhou mocninu předpokládané rovnosti:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Šipka doprava 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Šipka doprava m^(2)=2n^(2)).Příběh
Starověk
Koncept iracionálních čísel byl implicitně přijat indickými matematiky v 7. století př. n. l., když Manava (asi 750 př. n. l. - asi 690 př. n. l.) přišel na to, že odmocniny některých přirozených čísel, jako jsou 2 a 61, nelze explicitně vyjádřit. [ ] .
První důkaz existence iracionálních čísel je obvykle připisován Hippasovi z Metapontu (asi 500 př. n. l.), Pythagorejci. V době Pythagorejců se věřilo, že existuje jediná délková jednotka, dostatečně malá a nedělitelná, která zahrnuje celé číslo, kolikrát v jakémkoli segmentu [ ] .
Neexistují žádné přesné údaje o tom, které číslo bylo Hippasem prokázáno jako iracionální. Podle legendy jej našel studiem délek stran pentagramu. Proto je rozumné předpokládat, že se jednalo o zlatý řez [ ] .
Řečtí matematici nazývali tento poměr nesouměřitelných veličin alogos(nevýslovné), ale podle legend nevzdávali Hippasovi náležitou úctu. Existuje legenda, že Hippas učinil objev, když byl na námořní plavbě a byl hozen přes palubu jinými Pythagorejci „za vytvoření prvku vesmíru, který popírá doktrínu, že všechny entity ve vesmíru lze redukovat na celá čísla a jejich poměry“. Objev Hippause představoval vážný problém pro pythagorejskou matematiku a zničil základní předpoklad, že čísla a geometrické objekty jsou jedno a neoddělitelné.
Materiál v tomto článku poskytuje počáteční informace o iracionální čísla. Nejprve uvedeme definici iracionálních čísel a vysvětlíme ji. Níže uvádíme příklady iracionálních čísel. Nakonec se podívejme na některé přístupy, jak zjistit, zda je dané číslo iracionální nebo ne.
Navigace na stránce.
Definice a příklady iracionálních čísel
Při studiu desetinných míst jsme samostatně zvažovali nekonečná neperiodická desetinná místa. Takové zlomky vznikají při měření desetinných délek segmentů, které jsou nesouměřitelné s jednotkovým segmentem. Také jsme si všimli, že nekonečné neperiodické desetinné zlomky nelze převádět na obyčejné zlomky (viz převod obyčejných zlomků na desetinná místa a naopak), proto tato čísla nejsou racionálními čísly, představují tzv. iracionální čísla.
Tak se dostáváme k definice iracionálních čísel.
Definice.
Čísla, která představují nekonečné neperiodické desetinné zlomky v desítkovém zápisu, se nazývají iracionální čísla.
Vyjádřená definice nám umožňuje dávat příklady iracionálních čísel. Například nekonečný neperiodický desetinný zlomek 4,10110011100011110000... (počet jedniček a nul se pokaždé zvýší o jednu) je iracionální číslo. Uveďme další příklad iracionálního čísla: −22,353335333335... (počet trojek oddělujících osmičky se pokaždé zvýší o dvě).
Je třeba poznamenat, že iracionální čísla se poměrně zřídka vyskytují ve formě nekonečných neperiodických desetinných zlomků. Obvykle se nacházejí ve formě atd., stejně jako ve formě speciálně zadaných písmen. Nejvíce slavné příklady iracionální čísla v takovém zápisu jsou aritmetická odmocnina z těchto dvou, číslo „pi“ π=3,141592..., číslo e=2,718281... a zlaté číslo.
Iracionální čísla lze také definovat jako reálná čísla, která kombinují racionální a iracionální čísla.
Definice.
Iracionální čísla jsou reálná čísla, která nejsou racionálními čísly.
Je toto číslo iracionální?
Když je číslo dáno nikoli ve formě desetinného zlomku, ale ve formě nějakého odmocniny, logaritmu atd., pak je odpověď na otázku, zda je iracionální, v mnoha případech poměrně obtížná.
Při zodpovězení položené otázky je nepochybně velmi užitečné vědět, která čísla nejsou iracionální. Z definice iracionálních čísel vyplývá, že iracionální čísla nejsou racionálními čísly. Iracionální čísla tedy NEJSOU:
- konečné a nekonečné periodické desetinné zlomky.
Také jakékoli skládání racionálních čísel spojených znaménky aritmetických operací (+, −, ·, :) není iracionálním číslem. Je to proto, že součet, rozdíl, součin a podíl dvou racionálních čísel je racionální číslo. Například hodnoty výrazů a jsou racionální čísla. Zde si všimneme, že pokud takové výrazy obsahují jedno jediné iracionální číslo mezi racionálními čísly, pak hodnotou celého výrazu bude iracionální číslo. Například ve výrazu je číslo iracionální a zbývající čísla jsou racionální, proto je to iracionální číslo. Pokud by to bylo racionální číslo, pak by následovala racionalita čísla, ale není racionální.
Pokud výraz, který určuje číslo, obsahuje několik iracionálních čísel, kořenové znaky, logaritmy, goniometrické funkce, čísla π, e atd., pak je třeba v každém konkrétním případě prokázat iracionalitu či racionalitu daného čísla. Existuje však již řada získaných výsledků, které lze použít. Uveďme si ty hlavní.
Bylo dokázáno, že k-tá odmocnina z celého čísla je racionálním číslem pouze tehdy, je-li číslo pod odmocninou k-tou mocninou jiného celého čísla, v jiných případech takový odmocnina udává iracionální číslo. Například čísla a jsou iracionální, protože neexistuje celé číslo, jehož druhá mocnina je 7, a neexistuje celé číslo, jehož zvýšením na pátou mocninu by bylo číslo 15. A čísla nejsou iracionální, protože a .
U logaritmů je někdy možné prokázat jejich iracionalitu metodou kontradikce. Jako příklad dokažme, že log 2 3 je iracionální číslo.
Předpokládejme, že log 2 3 je racionální číslo, nikoli iracionální, to znamená, že jej lze reprezentovat jako obyčejný zlomek m/n. a dovolte nám napsat následující řetězec rovnosti: . Poslední rovnost je nemožná, protože na její levé straně liché číslo a na pravé straně – sudé. Došli jsme tedy k rozporu, což znamená, že se náš předpoklad ukázal jako nesprávný, a to dokázalo, že log 2 3 je iracionální číslo.
Všimněte si, že lna pro jakékoli kladné a nejedno racionální a je iracionální číslo. Například a jsou iracionální čísla.
Je také dokázáno, že číslo e a pro libovolné nenulové racionální a je iracionální a že číslo π z pro libovolné nenulové celé číslo z je iracionální. Například čísla jsou iracionální.
Iracionální čísla jsou také goniometrické funkce sin, cos, tg a ctg pro jakoukoli racionální a nenulovou hodnotu argumentu. Například sin1 , tan(−4) , cos5,7 jsou iracionální čísla.
Existují další ověřené výsledky, ale omezíme se na ty, které již byly uvedeny. Je třeba také říci, že při dokazování výše uvedených výsledků teorie spojená s algebraická čísla A transcendentální čísla.
Závěrem podotýkáme, že bychom neměli dělat unáhlené závěry ohledně iracionality daných čísel. Například se zdá zřejmé, že iracionální číslo do iracionální míry je iracionální číslo. Není tomu však vždy tak. Pro potvrzení uvedené skutečnosti uvádíme stupeň. Je známo, že - je iracionální číslo, a bylo také prokázáno, že - je iracionální číslo, ale je racionální číslo. Můžete také uvést příklady iracionálních čísel, jejichž součet, rozdíl, součin a podíl jsou racionální čísla. Navíc racionalita či iracionalita čísel π+e, π−e, π·e, π π, π e a mnoha dalších dosud nebyla prokázána.
Reference.
- Matematika. 6. třída: vzdělávací. pro všeobecné vzdělání instituce / [N. Ya. Vilenkin a další]. - 22. vyd., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: učebnice pro 8. třídu. všeobecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdělávání, 2008. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (příručka pro studenty technických škol): Proc. příspěvek.- M.; Vyšší škola, 1984.-351 s., ill.
