Instrukce
Pokud je interval úsekem spojité číselná posloupnost, pak k nalezení jeho středu použijte matematické metody pro výpočet aritmetického průměru. Sečtěte minimální hodnotu (její začátek) s maximální () a výsledek rozdělte na polovinu – to je jeden ze způsobů, jak vypočítat aritmetický průměr. To platí například, když mluvíme o o věku interval X. Řekněme ve středním věku interval v rozmezí od 21 do 33 let bude známka 27 let, protože (21+33)/2=27.
Někdy je vhodnější použít jiný způsob výpočtu aritmetického průměru mezi horní a dolní mezí interval. V této volbě nejprve určete šířku rozsahu – odečtěte minimální hodnotu od maximální hodnoty. Výslednou hodnotu pak rozdělte na polovinu a výsledek přičtěte k minimální hodnotě rozsahu. Pokud například spodní odpovídá hodnotě 47,15 a horní odpovídá 79,13, bude šířka rozsahu 79,13-47,15 = 31,98. Pak střed interval bude 63,14, protože 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.
Pokud interval není součástí pravidelné číselné řady, pak jej vypočítejte střední v souladu s cykličností a rozměrem použité měřicí stupnice. Například, pokud mluvíme o historickém období, pak o střední interval bude konkrétní kalendářní datum. Tak pro interval od 1. ledna 2012 do 31. ledna 2012, střed bude 16. ledna 2012.
Kromě obvyklých (uzavřených) intervalů mohou statistické výzkumné metody operovat i s „otevřenými“. Pro takové rozsahy není jedna z hranic definována. Otevřený interval může být například definován jako „50 let a starší“. Střed je v tomto případě určen metodou analogií - pokud všechny ostatní rozsahy dané sekvence mají stejnou šířku, pak se předpokládá, že tento otevřený interval je stejný. V opačném případě musíte určit dynamiku šířky intervalů předcházejících otevřenému intervalu a jeho podmíněnou šířku na základě získaného trendu změny.
Prameny:
- co je otevřený interval
Při studiu variace - rozdíly v jednotlivých hodnotách charakteristiky mezi jednotkami studované populace - řada absolutních a relativní ukazatele. V praxi je variační koeficient z relativních ukazatelů nejpoužívanější.
Instrukce
Upozorňujeme, že variační koeficient se v praxi používá nejen pro srovnávací hodnocení variace, ale také pro charakterizaci homogenity populace. Li tento indikátor nepřesahuje 0,333 nebo 33,3 %, variace vlastnosti se považuje za slabou, a pokud je větší než 0,333, považuje se za silnou. V případě silné variace je studovaná statistická populace považována za heterogenní a průměrná hodnota je považována za atypickou a nelze ji použít jako obecný ukazatel této populace. Za dolní hranici variačního koeficientu se považuje nula, horní limit neexistuje. S rostoucí variací vlastnosti se však zvyšuje i její hodnota.
Při výpočtu variačního koeficientu budete muset použít střední odchylku. Je definován jako Odmocnina, které zase můžete najít následovně: D = Σ(X-Xsr)^2/N. Jinými slovy, disperze je průměrná druhá mocnina odchylky od aritmetického průměru. určuje, jak moc se v průměru konkrétní ukazatele řady odchylují od své průměrné hodnoty. Je absolutní mírou proměnlivosti znaku, a proto je jasně interpretována.
Po usilovné práci jsem si najednou všiml, že velikost webových stránek je poměrně velká, a pokud to bude takto pokračovat, můžu se v klidu zbláznit =) Proto vám dávám do pozornosti krátkou esej věnovanou velmi častému geometrickému problému - o rozdělení segmentu v tomto ohledu a jako zvláštní případ, o rozdělení segmentu na polovinu.
Z toho či onoho důvodu se tento úkol nevešel do jiných lekcí, ale nyní je skvělá příležitost, abychom jej podrobně a v klidu zvážili. Dobrou zprávou je, že si dáme pauzu od vektorů a zaměříme se na body a segmenty.
Vzorce pro rozdělení segmentu v tomto ohleduKoncept rozdělení segmentu v tomto ohledu
Koncept rozdělení segmentu v tomto ohledu
Často nemusíte čekat na to, co je slíbeno, pojďme se okamžitě podívat na několik bodů a samozřejmě na neuvěřitelný segment:
Uvažovaný problém platí jak pro segmenty roviny, tak pro segmenty prostoru. To znamená, že demonstrační segment může být umístěn podle potřeby na rovině nebo v prostoru. Pro snazší vysvětlení jsem to nakreslil vodorovně.
Co s tímto segmentem uděláme? Tentokrát na řez. Někdo škrtá rozpočet, někdo manžela, někdo řeže palivové dříví a my začneme segment rozdělovat na dvě části. Segment je rozdělen na dvě části pomocí určitého bodu, který se samozřejmě nachází přímo na něm:
V tomto příkladu bod rozděluje segment takovým způsobem, že segment je poloviční než segment. TAKÉ můžete říci, že bod rozděluje segment v poměru („jedna ku dvěma“), počítáno od vrcholu.
Suchým matematickým jazykem se tato skutečnost zapisuje takto: , nebo častěji ve tvaru obvyklého podílu: . Poměr segmentů se obvykle označuje řeckým písmenem „lambda“, in v tomto případě: .
Je snadné sestavit podíl v jiném pořadí: - tento zápis znamená, že segment je dvakrát delší než segment, ale to nemá zásadní význam pro řešení problémů. Může to být tak, nebo může být ono.
Samozřejmě, že segment lze snadno rozdělit v jiném ohledu a pro posílení konceptu druhý příklad:
Zde platí následující poměr: . Pokud proporce uděláme obráceně, pak dostaneme: .
Poté, co jsme přišli na to, co v tomto ohledu znamená rozdělit segment, přejdeme k uvažování o praktických problémech.
Pokud jsou známy dva body roviny, pak souřadnice bodu, který rozděluje segment ve vztahu k, jsou vyjádřeny vzorcem: 
Odkud se tyto vzorce vzaly? V průběhu analytické geometrie jsou tyto vzorce striktně odvozeny pomocí vektorů (kde bychom bez nich byli? =)). Navíc platí nejen pro kartézský souřadnicový systém, ale i pro libovolný afinní systém souřadnice (viz lekce Lineární (ne)závislost vektorů. Základy vektorů). To je takový univerzální úkol.
Příklad 1
Najděte souřadnice bodu rozdělujícího segment ve vztahu, pokud jsou body známé 
Řešení: V tomto problému. Pomocí vzorců pro dělení segmentu v tomto vztahu najdeme bod: 
Odpovědět:
Věnujte pozornost technice výpočtu: nejprve musíte samostatně vypočítat čitatele a jmenovatele. Výsledkem je často (ale ne vždy) tří- nebo čtyřpatrový zlomek. Poté se zbavíme vícepatrové struktury zlomku a provedeme konečná zjednodušení.
Úkol nevyžaduje kreslení, ale vždy je užitečné provést jej ve formě návrhu:
Skutečně platí vztah, tedy segment je třikrát kratší než segment . Pokud poměr není zřejmý, pak lze segmenty vždy hloupě změřit obyčejným pravítkem.
Stejně cenné druhé řešení: v něm začíná odpočítávání od bodu a platí následující vztah: 
(lidskými slovy, segment je třikrát delší než segment ). Podle vzorců pro rozdělení segmentu v tomto ohledu: 
Odpovědět:
Vezměte prosím na vědomí, že ve vzorcích je nutné posunout souřadnice bodu na první místo, protože malý thriller začal.
Je také zřejmé, že druhý způsob je racionálnější díky jednodušším výpočtům. Přesto se tento problém často řeší „tradičním“ způsobem. Pokud je například podle podmínky dán segment, pak se předpokládá, že vytvoříte podíl, pokud je daný segment, pak je tento podíl „neuměl“ implikován.
A dal jsem druhou metodu z toho důvodu, že se často snaží záměrně zaměnit podmínky problému. Proto je velmi důležité provést hrubý výkres, aby se za prvé správně analyzoval stav a za druhé pro účely ověření. Je škoda dělat chyby v tak jednoduchém úkolu.
Příklad 2
Body se dávají 
. Nalézt:
a) bod rozdělující segment ve vztahu k ;
b) bod rozdělující segment ve vztahu k .
Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.
Někdy nastanou problémy, kdy jeden z konců segmentu není znám:
Příklad 3
Bod patří do segmentu. Je známo, že segment je dvakrát delší než segment. Najděte bod, pokud 
.
Řešení: Z podmínky vyplývá, že bod rozděluje úsečku v poměru , počítáno od vrcholu, tedy podíl platí: . Podle vzorců pro rozdělení segmentu v tomto ohledu: 
Nyní neznáme souřadnice bodu :, ale to není zvláštní problém, protože je lze snadno vyjádřit z výše uvedených vzorců. V obecný pohled Vyjádření nestojí nic, je mnohem jednodušší dosadit konkrétní čísla a pečlivě vypočítat: 
Odpovědět:
Chcete-li to zkontrolovat, můžete vzít konce segmentu a pomocí vzorců v přímém pořadí se ujistit, že vztah skutečně vede k bodu. A samozřejmě, samozřejmě, kresba nebude zbytečná. A abych vás konečně přesvědčil o výhodách kostkovaného sešitu, jednoduché tužky a pravítka, navrhuji pro vás záludný problém, který musíte vyřešit sami:
Příklad 4
tečka . Segment je jedenapůlkrát kratší než segment. Najděte bod, pokud jsou známy souřadnice bodů 
.
Řešení je na konci lekce. Mimochodem, není to jediné, pokud půjdete jinou cestou z ukázky, nebude to chyba, hlavní je, že se odpovědi shodují.
Pro prostorové segmenty bude vše naprosto stejné, bude přidána pouze jedna souřadnice navíc.
Pokud jsou známy dva body v prostoru, pak souřadnice bodu, který dělí segment ve vztahu k, jsou vyjádřeny vzorcem:
.
Příklad 5
Body se dávají. Najděte souřadnice bodu patřícího do segmentu, pokud je to známo 
.
Řešení: Podmínka implikuje vztah: 
. Tento příklad byl převzat ze skutečného testu a jeho autor si dovolil malou hříčku (pro případ, že by někdo klopýtl) - racionálnější by bylo zapsat podíl do podmínky takto: 
.
Podle vzorců pro souřadnice středu segmentu:
Odpovědět: 
Výroba 3D výkresů pro účely kontroly je mnohem obtížnější. Vždy si však můžete udělat schematický nákres, abyste pochopili alespoň podmínku – které segmenty je třeba korelovat.
Pokud jde o zlomky v odpovědi, nedivte se, je to běžná věc. Řekl jsem to mnohokrát, ale budu se opakovat: ve vyšší matematice je zvykem používat obyčejné správné a nesprávné zlomky. Odpověď je ve formuláři 
bude stačit, ale varianta s nesprávnými zlomky je standardnější.
Zahřívací úloha pro nezávislé řešení:
Příklad 6
Body se dávají. Najděte souřadnice bodu, pokud je známo, že rozděluje segment v poměru.
Řešení a odpověď jsou na konci lekce. Pokud je obtížné orientovat se v proporcích, vytvořte schematický nákres.
V nezávislých a testy uvažované příklady se vyskytují jak samostatně, tak i nedílná součást větší úkoly. V tomto smyslu je typický problém hledání těžiště trojúhelníku.
Nevidím typ úlohy, kde je jeden z konců segmentu neznámý. zvláštní význam, protože vše bude podobné plochému případu, až na to, že existuje trochu více výpočtů. Pojďme si lépe zavzpomínat na naše školní léta:
Vzorce pro souřadnice středu segmentu
I netrénovaní čtenáři si pamatují, jak rozdělit segment na polovinu. Problém rozdělení segmentu na dvě stejné části je v tomto ohledu speciálním případem rozdělení segmentu. Obouruční pila funguje nejdemokratičtějším způsobem a každý soused u stolu dostane stejnou hůl:
V tuto slavnostní hodinu bubny tlučou a vítají významnou část. A obecné vzorce 
zázračně přeměněno na něco známého a jednoduchého: 
Výhodným bodem je skutečnost, že souřadnice konců segmentu lze bezbolestně přeskupit: 
V obecných vzorcích taková luxusní místnost, jak chápete, nefunguje. A tady to není nijak zvlášť potřeba, takže je to příjemná maličkost.
Pro prostorový případ platí zřejmá analogie. Pokud jsou zadány konce segmentu, pak souřadnice jeho středu jsou vyjádřeny vzorcem:
Příklad 7
Rovnoběžník je definován souřadnicemi jeho vrcholů. Najděte průsečík jeho úhlopříček.
Řešení: Kdo si přeje, může dokreslit. Graffiti doporučuji především těm, kteří úplně zapomněli školní kurz geometrie.
Podle známé vlastnosti jsou úhlopříčky rovnoběžníku rozděleny na polovinu svým průsečíkem, takže problém lze řešit dvěma způsoby.
Metoda jedna: Zvažte opačné vrcholy 
. Pomocí vzorců pro rozdělení segmentu na polovinu najdeme střed úhlopříčky:
Velmi často v problému C2 potřebujete pracovat s body, které půlí segment. Souřadnice takových bodů lze snadno vypočítat, pokud jsou známy souřadnice konců segmentu.
Nechť je tedy segment definován jeho konci - body A = (x a; y a; za) a B = (x b; y b; z b). Souřadnice středu segmentu - označme ho bodem H - pak lze najít pomocí vzorce:
Jinými slovy, souřadnice středu segmentu jsou aritmetickým průměrem souřadnic jeho konců.
· Úkol . Jednotková krychle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je umístěna v souřadnicovém systému tak, aby osy x, y a z směřovaly podél hran AB, AD a AA 1 a počátek se kryje s bodem A. Bod K je střed okraje A 1 B 1 . Najděte souřadnice tohoto bodu.
Řešení. Protože bod K je středem segmentu A 1 B 1, jeho souřadnice se rovnají aritmetickému průměru souřadnic konců. Zapišme si souřadnice konců: A 1 = (0; 0; 1) a B 1 = (1; 0; 1). Nyní najdeme souřadnice bodu K:
Odpovědět: K = (0,5; 0; 1)
· Úkol . Jednotková krychle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je umístěna v souřadnicovém systému tak, aby osy x, y a z směřovaly podél hran AB, AD a AA 1 a počátek se shodoval s bodem A. Najděte souřadnice bodu L, ve kterém protínají úhlopříčky čtverce A 1 B 1 C 1 D 1 .
Řešení. Z průběhu planimetrie víme, že průsečík úhlopříček čtverce je stejně vzdálený od všech jeho vrcholů. Konkrétně A1L = C1L, tzn. bod L je středem úsečky A 1 C 1. Ale A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), takže máme:
Odpovědět: L = (0,5; 0,5; 1)
Nejjednodušší problémy analytické geometrie.
Akce s vektory v souřadnicích
Je velmi vhodné naučit se řešit úlohy, které budou zvažovány plně automaticky, a vzorce memorovat, ani si to nemusíte pamatovat schválně, zapamatují si to sami =) To je velmi důležité, protože ostatní problémy analytické geometrie jsou založeny na nejjednodušších elementárních příkladech a bude otravné trávit další čas pojídáním pěšců . Není potřeba si zapínat horní knoflíky na košili, mnoho věcí znáš ze školy.
Prezentace materiálu bude mít paralelní průběh - jak pro rovinu, tak pro vesmír. Z toho důvodu, že všechny vzorce... uvidíte sami.
Jak najít střed úsečky pomocí kružítka Základní problém najít střed úsečky pomocí kružítka byl formulován již ve starověku. Často je připisován starověkým řeckým mudrcům, ale s největší pravděpodobností byl přítomen i v jiných kulturách, ve kterých se rozvíjela matematika a geometrie (například ve starověkém Egyptě). V dávných dobách měl tento úkol i velmi praktické uplatnění, protože znalost, jak pomocí jednoduchých měřících přístrojů najít střed segmentu, se hodily například při zeměměřičství, územním řízení a stavebnictví. Dnes, s dostupností sofistikovaných měřících zařízení, je takový úkol spíše cvičením pro rozvoj intelektových schopností a prostorové představivosti školáků.
Jak se tento problém vlastně řeší? Vezmeme kružítko a otevřeme ho tak, aby poloměr zamýšlené kružnice byl zjevně větší než polovina daného segmentu. Nyní umístíme základnu (jehlu) kružítka do jednoho z bodů ohraničujících segment a nakreslíme kružnici o zvoleném poloměru. V zásadě při řešení problému, jak sestrojit střed segmentu, stačí nakreslit půlkruh umístěný „uvnitř“ segmentu. Poté nasadíme střelku kompasu na druhý konec segmentu a opakujeme postup narýsování půlkruhu Po dokončení popsaného postupu vidíme, že se naše kruhy protínají ve dvou bodech. Vezměte pravítko a spojte tyto dva body přímkou. Dostaneme přímku kolmou k původnímu segmentu. Je to průsečík této přímky a segmentu, který je uprostřed posledně jmenované.
Samozřejmě je důležité pochopit samotnou podstatu tohoto úkolu. Proč se střed segmentu objevuje přesně tam, kde se čáry protínají? Znalost významu této úlohy se může hodit například při hledání odpovědi na otázku, jak najít střed trojúhelníku, stejně jako při řešení jiných, složitějších geometrických úloh Pokud tedy spojíme extrém body původního segmentu s průsečíky našich kružnic, dostaneme čtyřúhelník . Ale který čtyřúhelník? Všechny jeho strany jsou poloměry našich kružnic, což znamená, že jsou stejně dlouhé (koneckonců jsme použili stejný poloměr). Jakýkoli čtyřúhelník s rovné strany je kosočtverec, jehož úhlopříčky se vždy protínají v pravém úhlu a, což je pro náš problém důležitější, se navzájem půlí. To je právě logika takového řešení problému konstrukce středu segmentu pomocí kružítka.
Pokud je otázka formulována jinak, totiž jak zjistit souřadnice středu úsečky, pak k jejímu řešení je nutné znát souřadnice jejích koncových bodů. Souřadnice středu se budou rovnat polovině součtu souřadnic koncových bodů segmentu. Samozřejmě už se to tu používá Kartézský systém souřadnice, a proto mají tyto problémy různé podstaty, ačkoli řeší stejný problém.
V každém případě je řešení různých formulací geometrických problémů velmi užitečné pro rozvoj inteligence a představivosti dítěte. Tyto nástroje osobního rozvoje byste proto neměli zanedbávat.
