– určitě budou úkoly na trigonometrii. Trigonometrie se často nelíbí pro potřebu nacpat obrovské množství obtížných vzorců, které se to hemží siny, kosiny, tečenami a kotangens. Stránky již jednou radily, jak si zapamatovat zapomenutý vzorec, na příkladu vzorce Euler a Peel.
A v tomto článku se pokusíme ukázat, že stačí pevně znát pouze pět jednoduchých goniometrických vzorců a zbytek obecně rozumět a odvodit je za pochodu. Je to jako s DNA: molekula neuchovává kompletní plány hotového živého tvora. Spíše obsahuje návod na jeho sestavení z dostupných aminokyselin. Takže v trigonometrii znát některé obecné zásady, dostaneme vše potřebné vzorce z malého souboru těch, které je třeba mít na paměti.
Budeme se spoléhat na následující vzorce:
Ze vzorců pro součty sinus a kosinus, když víme o paritě funkce kosinus a lichosti funkce sinus, dosadíme -b místo b, získáme vzorce pro rozdíly:
- Sinus rozdílu: hřích(a-b) = hříchAcos(-b)+cosAhřích(-b) = hříchAcosb-cosAhříchb
- Kosinus rozdílu: cos(a-b) = cosAcos(-b)-hříchAhřích(-b) = cosAcosb+hříchAhříchb
Vložením a = b do stejných vzorců získáme vzorce pro sinus a kosinus dvojitých úhlů:
- Sinus dvojitého úhlu: hřích2a = hřích(a+a) = hříchAcosA+cosAhříchA = 2hříchAcosA
- Kosinus dvojitého úhlu: cos2a = cos(a+a) = cosAcosA-hříchAhříchA = cos2a-hřích2a
Vzorce pro další vícenásobné úhly se získají podobně:
- Sinus trojitého úhlu: hřích3a = hřích(2a+a) = hřích2acosA+cos2ahříchA = (2hříchAcosA)cosA+(cos2a-hřích2a)hříchA = 2hříchAcos2a+hříchAcos2a-hřích 3 a = 3 hříchAcos2a-hřích 3 a = 3 hříchA(1-hřích2a)-hřích 3 a = 3 hříchA-4hřích 3a
- Kosinus trojitého úhlu: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosA-hřích2ahříchA = (cos2a-hřích2a)cosA-(2hříchAcosA)hříchA = cos 3 a- hřích2acosA-2hřích2acosA = cos 3 a-3 hřích2acosA = cos 3 a-3 (1- cos2a)cosA = 4cos 3 a-3 cosA
Než budeme pokračovat, podívejme se na jeden problém.
Dáno: úhel je ostrý.
Najděte jeho kosinus if
Řešení zadané jedním studentem:
Protože , Že hříchA= 3,a cosA = 4.
(z matematického humoru)
Takže definice tečny vztahuje tuto funkci jak na sinus, tak na kosinus. Ale můžete získat vzorec, který vztahuje tečnu pouze ke kosinusu. Abychom to odvodili, vezmeme hlavní trigonometrickou identitu: hřích 2 A+cos 2 A= 1 a vydělte to cos 2 A. Dostaneme:
Řešením tohoto problému by tedy bylo:
(Vzhledem k tomu, že úhel je ostrý, při extrakci kořene se bere znaménko +)
Těžko zapamatovatelný vzorec pro tangens součtu je další. Vypíšeme to takto:
Okamžitě se zobrazí a
Ze vzorce kosinus pro dvojitý úhel můžete získat vzorce sinus a kosinus pro poloviční úhly. Chcete-li to provést, na levé straně vzorce dvojitého úhlu kosinus:
cos2
A = cos 2
A-hřích 2
A
přidáme jednu a vpravo - trigonometrickou jednotku, tj. součet druhých mocnin sinus a kosinus.
cos2a+1 = cos2a-hřích2a+cos2a+hřích2a
2cos 2
A = cos2
A+1
Vyjadřování cosA přes cos2
A a provedením změny proměnných dostaneme:
Znaménko se bere v závislosti na kvadrantu.
Podobně, odečtením jedničky od levé strany rovnosti a součtu druhých mocnin sinus a kosinus od pravé, dostaneme:
cos2a-1 = cos2a-hřích2a-cos2a-hřích2a
2hřích 2
A = 1-cos2
A
A konečně, abychom převedli součet goniometrických funkcí na součin, použijeme následující techniku. Řekněme, že potřebujeme reprezentovat součet sinů jako součin hříchA+hříchb. Zaveďme proměnné x a y takové, že a = x+y, b+x-y. Pak
hříchA+hříchb = hřích(x+y)+ hřích(x-y) = hřích X cos y+ cos X hřích y+ hřích X cos y- cos X hřích y=2 hřích X cos y Vyjádřeme nyní x a y pomocí a a b.
Protože a = x+y, b = x-y, pak . Proto
Můžete okamžitě odstoupit
- Vzorec pro rozdělení součin sinu a kosinu PROTI množství: hříchAcosb = 0.5(hřích(a+b)+hřích(a-b))
Vzorce pro převod rozdílu sinů a součtu a rozdílu kosinus na součin i pro dělení součinů sinů a kosinus na součet doporučujeme procvičit a odvodit sami. Po absolvování těchto cvičení si důkladně osvojíte dovednost odvozování goniometrických vzorců a neztratíte se ani v tom nejtěžším testu, olympiádě nebo testování.
V tomto článku se na to podíváme komplexně. Základní trigonometrické identity představují rovnosti, které vytvářejí spojení mezi sinusem, kosinusem, tečnou a kotangens jednoho úhlu a umožňují najít kteroukoli z těchto goniometrických funkcí prostřednictvím známého jiného úhlu.
Okamžitě uveďme hlavní trigonometrické identity, které budeme v tomto článku analyzovat. Zapišme si je do tabulky a níže uvedeme výstup těchto vzorců a poskytneme potřebná vysvětlení.
Navigace na stránce.
Vztah sinusu a kosinu jednoho úhlu
Někdy nemluví o hlavních trigonometrických identitách uvedených v tabulce výše, ale o jedné jediné základní trigonometrická identita druh 
. Vysvětlení této skutečnosti je poměrně jednoduché: rovnosti se získávají z hlavní goniometrické identity po dělení obou jejích částí pomocí resp. 
A 
vyplývají z definic sinus, kosinus, tangens a kotangens. O tom si povíme podrobněji v následujících odstavcích.
To znamená, že je to rovnost, která je zvláště zajímavá a která dostala název hlavní trigonometrické identity.
Před prokázáním hlavní goniometrické identity uvedeme její formulaci: součet druhých mocnin sinu a kosinu jednoho úhlu je shodně roven jedné. Teď to dokažme.
Základní goniometrická identita se velmi často používá při proměna trigonometrické výrazy . Umožňuje nahradit součet druhých mocnin sinu a kosinu jednoho úhlu jedničkou. Neméně často se základní trigonometrická identita používá v obráceném pořadí: jednotka je nahrazena součtem druhých mocnin sinu a kosinu libovolného úhlu.
Tangenta a kotangens přes sinus a kosinus
Identity spojující tečnu a kotangensu se sinem a kosinusem jednoho úhlu pohledu a 
vyplývají bezprostředně z definic sinus, kosinus, tangens a kotangens. Ve skutečnosti je sinus podle definice y, kosinus je osa x, tečna je poměr ordináty k úsečce, tj. 
a kotangens je poměr úsečky k ose pořadnice, tj. 
.
Díky takové samozřejmosti identit a Tangenta a kotangensa jsou často definovány nikoli poměrem úseček a pořadnic, ale poměrem sinusových a kosinusových. Tangenta úhlu je tedy poměr sinusu ke kosinusu tohoto úhlu a kotangens je poměr kosinu a sinu.
Na závěr tohoto odstavce je třeba poznamenat, že identity a probíhají pro všechny úhly, pod kterými dávají goniometrické funkce v nich obsažené smysl. Vzorec je tedy platný pro libovolné , kromě (jinak bude mít jmenovatel nulu a my jsme nedefinovali dělení nulou) a vzorec - pro všechny , odlišné od , kde z je libovolné .
Vztah mezi tečnou a kotangens
Ještě zřetelnější trigonometrická identita než předchozí dvě je identita spojující tečnu a kotangens jednoho úhlu tvaru . Je jasné, že platí pro jakékoli jiné úhly než , jinak není tečna ani kotangens definována.
Důkaz vzorce velmi jednoduché. Podle definice a odkud 
. Důkaz mohl být proveden trochu jinak. Od té doby , Že 
.
Tangenta a kotangens stejného úhlu, pod kterým dávají smysl, jsou tedy .
Referenční data pro tečnu (tg x) a kotangensu (ctg x). Geometrická definice, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabulka tečen a kotangens, derivace, integrály, rozšíření řad. Vyjádření prostřednictvím komplexních proměnných. Spojení s hyperbolickými funkcemi.
Geometrická definice
|BD| - délka oblouku kružnice se středem v bodě A.
α je úhel vyjádřený v radiánech.
Tangenta ( opálení α) - Tento goniometrická funkce, v závislosti na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, rovný poměru délky protějšího ramene |BC| na délku sousedního ramene |AB| .
Kotangens ( ctg α) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky sousedního ramene |AB| na délku protější nohy |BC| .
Tečna
Kde n- Celý.
V západní literatuře je tečna označena takto:
.
;
;
.
Graf funkce tangens, y = tan x
Kotangens
Kde n- Celý.
V západní literatuře, kotangens je označován takto:
.
Přijímají se také následující zápisy:
;
;
.
Graf funkce kotangens, y = ctg x
Vlastnosti tečny a kotangens
Periodicita
Funkce y = tg x a y = ctg x jsou periodické s periodou π.
Parita
Funkce tangens a kotangens jsou liché.
Oblasti vymezení a hodnot, rostoucí, klesající
Funkce tangens a kotangens jsou spojité ve své oblasti definice (viz důkaz spojitosti). Hlavní vlastnosti tečny a kotangens jsou uvedeny v tabulce ( n- Celý).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Rozsah a kontinuita | ||
| Rozsah hodnot | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Vzrůstající | - | |
| Klesající | - | |
| Extrémy | - | - |
| Nuly, y = 0 | ||
| Průsečík bodů se souřadnicovou osou, x = 0 | y= 0 | - |
Vzorce
Výrazy pomocí sinus a kosinus
;
;
;
;
;
Vzorce pro tečnu a kotangens ze součtu a rozdílu
Zbývající vzorce lze snadno získat například
Součin tečen
Vzorec pro součet a rozdíl tečen
Tato tabulka uvádí hodnoty tečen a kotangens pro určité hodnoty argumentu. 
Výrazy pomocí komplexních čísel
Výrazy prostřednictvím hyperbolických funkcí
;
;
Deriváty
; .
.
Derivace n-tého řádu vzhledem k proměnné x funkce:
.
Odvození vzorců pro tečnu > > > ; pro kotangens >> >
Integrály
Rozšíření řady
Chcete-li získat rozšíření tečny v mocninách x, musíte vzít několik členů rozšíření v mocninné řadě pro funkce hřích x A cos x a rozdělte tyto polynomy navzájem, . Tím se získají následující vzorce.
Na .
na .
Kde Bn- Bernoulliho čísla. Jsou určeny buď ze vztahu opakování:
;
;
kde .
Nebo podle Laplaceova vzorce: 
Inverzní funkce
Inverzní funkce k tečně a kotangens jsou arkustangens a arkotangens, v daném pořadí.
Arktangens, arctg
, Kde n- Celý.
Arccotangens, arcctg
, Kde n- Celý.
Reference:
V. Bronstein, K.A. Semendyaev, Příručka matematiky pro inženýry a vysokoškolské studenty, „Lan“, 2009.
G. Korn, Příručka matematiky pro vědce a inženýry, 2012.
Jednou z oblastí matematiky, se kterou se studenti nejvíce potýkají, je trigonometrie. Není se čemu divit: pro svobodné zvládnutí této oblasti znalostí potřebujete prostorové myšlení, schopnost najít sinus, kosinus, tangens, kotangens pomocí vzorců, zjednodušit výrazy a umět používat číslo pí. výpočty. Navíc při dokazování vět musíte umět používat trigonometrii, a to vyžaduje buď rozvinutou matematickou paměť, nebo schopnost odvodit složité logické řetězce.
Počátky trigonometrie
Seznámení s touto vědou by mělo začít definicí sinus, kosinus a tangens úhlu, ale nejprve musíte pochopit, co trigonometrie dělá obecně.
Historicky hlavním předmětem studia v tomto oboru matematické vědy byly pravoúhlé trojúhelníky. Přítomnost úhlu 90 stupňů umožňuje provádět různé operace, které umožňují určit hodnoty všech parametrů příslušného obrázku pomocí dvou stran a jednoho úhlu nebo dvou úhlů a jedné strany. V minulosti si lidé tohoto vzoru všimli a začali jej aktivně využívat při stavbě budov, navigaci, astronomii a dokonce i v umění.
První etapa
Zpočátku lidé mluvili o vztahu mezi úhly a stranami výhradně na příkladu pravoúhlých trojúhelníků. Poté byly objeveny speciální vzorce, které umožnily rozšířit hranice použití v každodenním životě tohoto odvětví matematiky.
Studium trigonometrie ve škole dnes začíná pravoúhlými trojúhelníky, po kterých studenti využívají nabyté znalosti z fyziky a řešení abstraktních goniometrických rovnic, které začínají na střední škole.
Sférická trigonometrie
Později, když věda dosáhla dalšího stupně vývoje, začaly se vzorce se sinusem, kosinusem, tangensem a kotangensem používat ve sférické geometrii, kde platí jiná pravidla a součet úhlů v trojúhelníku je vždy větší než 180 stupňů. Tento oddíl se na škole nestuduje, ale je potřeba o jeho existenci vědět minimálně proto povrch Země a povrch jakékoli jiné planety je konvexní, což znamená, že jakékoli označení povrchu bude mít v trojrozměrném prostoru „obloukový tvar“.
Vezměte zeměkouli a nit. Připojte nit k libovolným dvěma bodům na zeměkouli tak, aby byla napnutá. Pozor - nabylo tvaru oblouku. Takovými formami se zabývá sférická geometrie, která se využívá v geodézii, astronomii a dalších teoretických i aplikovaných oborech.
Pravoúhlý trojuhelník
Poté, co jsme se trochu dozvěděli o způsobech použití trigonometrie, vraťme se k základní trigonometrii, abychom dále pochopili, co je sinus, kosinus, tangens, jaké výpočty lze s jejich pomocí provádět a jaké vzorce použít.
Prvním krokem je pochopení souvisejících pojmů pravoúhlý trojuhelník. Za prvé, přepona je strana protilehlá úhlu 90 stupňů. Je nejdelší. Pamatujeme si, že podle Pythagorovy věty je jeho číselná hodnota rovna odmocnině součtu čtverců ostatních dvou stran.
Pokud jsou například obě strany 3 a 4 centimetry, délka přepony bude 5 centimetrů. Mimochodem, staří Egypťané o tom věděli asi před čtyřmi a půl tisíci lety.
Dvě zbývající strany, které svírají pravý úhel, se nazývají nohy. Kromě toho si musíme pamatovat, že součet úhlů v trojúhelníku v pravoúhlém souřadnicovém systému je roven 180 stupňům.
Definice
Konečně, s pevným pochopením geometrického základu, se můžeme obrátit na definici sinus, kosinus a tangens úhlu.
Sinus úhlu je poměr protilehlé větve (tj. strany protilehlé k požadovanému úhlu) k přeponě. Kosinus úhlu je poměr přilehlé strany k přeponě.
Pamatujte, že sinus ani kosinus nemohou být větší než jedna! Proč? Protože přepona je standardně nejdelší Bez ohledu na to, jak je noha dlouhá, bude kratší než přepona, což znamená, že jejich poměr bude vždy menší než jedna. Pokud tedy v odpovědi na problém získáte sinus nebo kosinus s hodnotou větší než 1, hledejte chybu ve výpočtech nebo uvažování. Tato odpověď je zjevně nesprávná.
Konečně, tangens úhlu je poměr protilehlé strany k sousední straně. Vydělení sinus kosinus dá stejný výsledek. Podívejte se: podle vzorce vydělíme délku strany přeponou, pak vydělíme délkou druhé strany a vynásobíme přeponou. Dostaneme tedy stejný vztah jako v definici tečny.
Kotangens je tedy poměr strany přiléhající k rohu k opačné straně. Stejný výsledek dostaneme vydělením jedničky tečnou.
Podívali jsme se tedy na definice toho, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens, a můžeme přejít ke vzorcům.
Nejjednodušší vzorce
V trigonometrii se bez vzorců neobejdete - jak bez nich najít sinus, kosinus, tangens, kotangens? Ale to je přesně to, co je vyžadováno při řešení problémů.
První vzorec, který potřebujete znát, když začínáte studovat trigonometrii, říká, že součet druhých mocnin sinu a kosinu úhlu je roven jedné. Tento vzorec je přímým důsledkem Pythagorovy věty, ale šetří čas, pokud potřebujete znát spíše velikost úhlu než strany.
Mnoho studentů si nemůže vzpomenout na druhý vzorec, který je také velmi oblíbený při řešení školních úloh: součet jedné a druhé mocniny tečny úhlu je roven jedné dělené druhou mocninou kosinu úhlu. Podívejte se blíže: jedná se o stejné tvrzení jako v prvním vzorci, pouze obě strany identity byly rozděleny druhou mocninou kosinusu. Ukazuje se, že jednoduchá matematická operace ano trigonometrický vzorec zcela k nepoznání. Pamatujte: s vědomím, co je sinus, kosinus, tangens a kotangens, transformačních pravidel a několika základních vzorců, můžete kdykoli odvodit požadované složitější vzorce na listu papíru.
Vzorce pro dvojité úhly a sčítání argumentů
Další dva vzorce, které se musíte naučit, souvisí s hodnotami sinus a kosinus pro součet a rozdíl úhlů. Jsou uvedeny na obrázku níže. Vezměte prosím na vědomí, že v prvním případě se sinus a kosinus násobí oba časy a ve druhém se sčítá párový součin sinus a kosinus.
Existují také vzorce spojené s argumenty dvojitého úhlu. Jsou zcela odvozeny od předchozích - v praxi se je snažte získat sami tím, že vezmete úhel alfa rovný úhlu beta.
Nakonec si všimněte, že vzorce s dvojitým úhlem lze přeskupit, aby se snížila mocnina sinus, kosinus, tečna alfa.
Věty
Dvě hlavní věty v základní trigonometrii jsou sinová věta a kosinová věta. Pomocí těchto teorémů můžete snadno pochopit, jak najít sinus, kosinus a tečnu, a tedy plochu obrázku a velikost každé strany atd.
Sinusová věta říká, že dělení délky každé strany trojúhelníku opačným úhlem vede ke stejnému číslu. Navíc se toto číslo bude rovnat dvěma poloměrům kružnice opsané, tedy kružnice obsahující všechny body daného trojúhelníku.
Kosinová věta zobecňuje Pythagorovu větu a promítá ji na libovolné trojúhelníky. Ukazuje se, že od součtu čtverců dvou stran odečtěte jejich součin vynásobený dvojitým kosinusem sousedního úhlu - výsledná hodnota se bude rovnat druhé mocnině třetí strany. Pythagorova věta se tedy ukazuje jako speciální případ kosinové věty.
Neopatrné chyby
I když víte, co je sinus, kosinus a tangens, je snadné udělat chybu kvůli roztržitosti nebo chybě v nejjednodušších výpočtech. Abychom se takovým chybám vyhnuli, pojďme se podívat na ty nejoblíbenější.
Za prvé, neměli byste převádět zlomky na desetinná místa, dokud nezískáte konečný výsledek – odpověď můžete ponechat jako společný zlomek, není-li v podmínkách uvedeno jinak. Takovou transformaci nelze nazvat chybou, ale je třeba si uvědomit, že v každé fázi problému se mohou objevit nové kořeny, které by podle autorovy myšlenky měly být redukovány. V tomto případě budete ztrácet čas zbytečným matematické operace. To platí zejména pro hodnoty, jako je odmocnina ze tří nebo odmocnina ze dvou, protože se vyskytují v problémech na každém kroku. Totéž platí pro zaokrouhlování „ošklivých“ čísel.
Dále si všimněte, že kosinová věta platí pro jakýkoli trojúhelník, ale ne pro Pythagorovu větu! Pokud omylem zapomenete odečíst dvojnásobek součinu stran vynásobeného kosinusem úhlu mezi nimi, dostanete nejen zcela špatný výsledek, ale také prokážete naprosté nepochopení předmětu. To je horší než nedbalá chyba.
Za třetí, nezaměňujte hodnoty pro úhly 30 a 60 stupňů pro sinus, kosinus, tangens, kotangens. Pamatujte si tyto hodnoty, protože sinus 30 stupňů se rovná kosinu 60 a naopak. Je snadné je zaměnit, v důsledku čehož nevyhnutelně získáte chybný výsledek.
aplikace
Mnoho studentů se zahájením studia trigonometrie nespěchá, protože nechápou její praktický význam. Co je sinus, kosinus, tangens pro inženýra nebo astronoma? Jedná se o koncepty, pomocí kterých můžete vypočítat vzdálenost ke vzdáleným hvězdám, předpovědět pád meteoritu nebo poslat výzkumnou sondu na jinou planetu. Bez nich není možné postavit budovu, navrhnout auto, vypočítat zatížení povrchu nebo trajektorii objektu. A to jsou jen ty nejviditelnější příklady! Ostatně trigonometrie v té či oné podobě se používá všude, od hudby po medicínu.
Konečně
Takže jste sinus, kosinus, tangens. Můžete je použít ve výpočtech a úspěšně řešit školní problémy.
Celý smysl trigonometrie spočívá v tom, že pomocí známých parametrů trojúhelníku musíte vypočítat neznámé. Parametrů je celkem šest: délka tři strany a velikosti tří úhlů. Jediný rozdíl v úlohách spočívá v tom, že jsou dána různá vstupní data.
Nyní víte, jak najít sinus, kosinus, tečnu na základě známých délek nohou nebo přepony. Protože tyto pojmy neznamenají nic jiného než poměr a poměr je zlomek, hlavní cíl Goniometrickým problémem se stává hledání kořenů obyčejné rovnice nebo soustavy rovnic. A tady vám pomůže běžná školní matematika.
