Identické pojmy. Například zápis 5*3 znamená „5 se k sobě přidá 3krát“, to znamená, že je to jednoduše krátký zápis pro 5+5+5. Výsledek násobení se nazývá práce, a čísla, která se násobí, jsou multiplikátory nebo faktory. Nechybí ani násobilky.
Záznam
Násobení je označeno hvězdičkou *, křížkem nebo tečkou. Příspěvky
znamenat totéž. Znak násobení se často vynechává, pokud nezpůsobuje zmatek. Například místo obvykle píší .
Pokud existuje mnoho faktorů, pak některé z nich lze nahradit elipsami. Například součin celých čísel od 1 do 100 lze zapsat jako
V abecedním zápisu se také používá symbol produktu: 
Viz také
Nadace Wikimedia.
2010.
Podívejte se, co je „produkt (matematika)“ v jiných slovnících:
- (matematika) výsledek násobení. Umělecké dílo. Hudební kousek. Audiovizuální práce. Servisní práce ... Wikipedie
Produkt dvou nebo více objektů je zobecněním v teorii kategorií takových pojmů, jako je kartézský součin množin, přímý součin grup a součin topologických prostorů. Produkt rodiny objektů je na... ... Wikipedii
Kroneckerův součin je binární operace na maticích libovolné velikosti, označovaných jako. Výsledkem je bloková matice. Produkt Kronecker by neměl být zaměňován s běžným maticovým násobením. Operace je pojmenována po německé... ... Wikipedii
Historie vědy Podle tématu Matematika Přírodní vědy ... Wikipedie I. Vymezení předmětu matematika, propojení s ostatními vědami a technikou. Matematika (řec. mathematika, z mathema vědění, věda), nauka o kvantitativních vztazích a prostorových formách reálného světa. "Čistý...
Velká sovětská encyklopedie
Teorie kategorií je odvětví matematiky, které studuje vlastnosti vztahů mezi matematickými objekty, které nezávisí na vnitřní struktuře objektů. Někteří matematici [kdo?] považují teorii kategorií za příliš abstraktní a nevhodnou pro... ... Wikipedii
Tento termín má jiné významy, viz funkce. Požadavek "Zobrazení" je přesměrován sem; viz také další významy... Wikipedie
Tento termín má jiné významy, viz Provoz. Operace mapování, která přiřazuje jeden nebo více prvků množiny (argumentů) jinému prvku (hodnotě). Termín „operace“ se obvykle používá pro... ... Wikipedii
Tento termín má jiné významy, viz Rotor. Rotor nebo vír je vektorový diferenciální operátor přes vektorové pole. Označováno (v ruskojazyčné literatuře) nebo (v anglickojazyčné literatuře) a také jako vektorové násobení ... Wikipedia
knihy
- Sada stolů. Matematika. 4. třída. 8 tabulek + metodika, . Vzdělávací album o 8 listech (formát 68 x 98 cm): - Akcie. - Násobení a dělení čísla součinem. - Sčítání a odčítání veličin. - Násobení a dělení veličin. - Psané násobení...
- Kirik Novgorodec - ruský vědec 12. století v ruské knižní kultuře, Simonov R.A.. Kniha je věnována životu a dílu prvního ruského matematika a specialisty na kalendáře známého jménem, novgorodského mnicha Kirika (1110 - po 1156), který napsal vědecké pojednání v roce 1136, ...
Problém 1.2
Jsou dána dvě celá čísla X a T. Pokud mají různá znamení, pak přiřaďte X hodnotu součinu těchto čísel a T hodnotu jejich rozdílu modulo. Pokud mají čísla stejná znaménka, přiřaďte X hodnotu rozdílu modulo původním číslům a T hodnotu součinu těchto čísel. Zobrazte nové hodnoty X a T na obrazovce.
Úkol také není obtížný. „Nedorozumění“ může nastat pouze v případě, že jste zapomněli, co je modulový rozdíl (doufám, že si stále pamatujete, jaký je součin dvou celých čísel))).
Modulový rozdíl dvou čísel
Modulový rozdíl dvou celých čísel (i když nemusí nutně celých čísel - to je jedno, jde jen o to, že v našem problému jsou čísla celá čísla) - to, jednoduše řečeno, je, když je výsledkem výpočtu modul rozdílu dvou čísla.
To znamená, že se nejprve provede operace odečtení jednoho čísla od druhého. A pak se vypočítá modul výsledku této operace.
Matematicky to lze zapsat takto:
Pokud někdo zapomněl, co je to modul nebo jak ho vypočítat v Pascalu, tak viz.
Algoritmus pro určení znamének dvou čísel
Řešení problému jako celku je celkem jednoduché. Jediná věc, která může začátečníkům způsobit potíže, je identifikace znaků dvou čísel. To znamená, že musíme odpovědět na otázku: jak zjistit, zda čísla mají stejná nebo různá znaménka.
Za prvé, navrhuje jedno po druhém srovnání čísel s nulou. To je přijatelné. Ale zdrojový kód bude poměrně velký. Proto je správnější použít tento algoritmus:
- Vynásobte čísla navzájem
- Pokud výsledek méně než nula, což znamená, že čísla mají různá znaménka
- Pokud je výsledek nula nebo větší než nula, pak mají čísla stejná znaménka
Tento algoritmus jsem implementoval jako samostatný . A samotný program dopadl tak, jak je ukázáno v příkladech v Pascalu a C++ níže.
Řešení problému 1.2 v Pascalu kontrolní čísla programu; var A, X, T: celé číslo; //********************************************************** **************** // Zkontroluje, zda čísla N1 a N2 mají stejná znaménka. Pokud ano, pak // vrátí TRUE, jinak - FALSE //**************************************** * *************************** funkce ZnakNumbers(N1, N2: celé číslo) : boolean; begin := (N1 * N2) >= 0; konec; //********************************************************** **************** // HLAVNÍ PROGRAM //********************************** ***************************************** begin Write("X = ");
ReadLn(X); Napište("T = ");
ReadLn(T);
Tento jednoduchý program lze ještě trochu zjednodušit, pokud funkci nepoužíváte a mírně přepracujete zdrojový kód programu. Tím se mírně sníží celkový počet řádků zdrojového kódu. Jak to udělat - přemýšlejte sami.
Podívejme se na koncept násobení na příkladu:
Turisté byli na cestě tři dny. Každý den ušli stejnou trasu 4200 m. Jakou vzdálenost urazili za tři dny? Vyřešte problém dvěma způsoby.
Řešení:
Zvažme problém podrobně.
První den ušli turisté 4200m. Druhý den turisté ušli stejnou cestu 4200m a třetí den – 4200m. Pojďme to napsat matematickým jazykem:
4200+4200+4200=12600m.
Vidíme vzor, ve kterém se číslo 4200 opakuje třikrát, proto lze součet nahradit násobením:
4200⋅3=12600 m.
Odpověď: turisté ušli za tři dny 12 600 metrů.
Podívejme se na příklad:
Abychom se vyhnuli psaní dlouhého zápisu, můžeme ho napsat ve formě násobení. Číslo 2 se opakuje 11krát, takže příklad s násobením by vypadal takto:
2⋅11=22
Pojďme si to shrnout. Co je to násobení?
Násobení– jedná se o akci, která nahrazuje opakování termínu m n krát.
Zavolá se zápis m⋅n a výsledek tohoto výrazu součin čísel a volají se čísla m a n multiplikátory.
Podívejme se na to na příkladu:
7⋅12=84
Zavolá se výraz 7⋅12 a výsledek 84 součin čísel.
Volají se čísla 7 a 12 multiplikátory.
V matematice existuje několik zákonů násobení. Pojďme se na ně podívat:
Komutativní zákon násobení.
Zvažme problém:
Dali jsme dvě jablka 5 našim přátelům. Matematicky bude zadání vypadat takto: 2⋅5.
Nebo jsme dali 5 jablek dvěma našim přátelům. Matematicky bude zadání vypadat takto: 5⋅2.
V prvním a druhém případě rozdělíme stejný počet jablek rovný 10 kusům.
Pokud vynásobíme 2⋅5=10 a 5⋅2=10, výsledek se nezmění.
Vlastnost zákona komutativního násobení:
Změna umístění faktorů nemění produkt.
m⋅
n=n⋅m
Kombinační zákon násobení.
Podívejme se na příklad:
(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 nebo 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 dostaneme,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(A⋅
b) ⋅
C=
A⋅(b⋅
C)
Vlastnost asociativního zákona násobení:
Chcete-li vynásobit číslo součinem dvou čísel, můžete je nejprve vynásobit prvním faktorem a poté vynásobit výsledný součin druhým.
Záměnou více faktorů a jejich uvedením do závorek se výsledek nebo produkt nezmění.
Tyto zákony platí pro všechny přirozená čísla.
Vynásobení libovolného přirozeného čísla jednou.
Podívejme se na příklad:
7⋅1=7 nebo 1⋅7=7
A⋅1=a nebo 1⋅A=
A
Když se jakékoli přirozené číslo vynásobí jednou, součin bude vždy stejné číslo.
Násobení libovolného přirozeného čísla nulou.
6⋅0=0 nebo 0⋅6=0
A⋅0=0 nebo 0⋅A=0
Když se libovolné přirozené číslo vynásobí nulou, bude se součin rovnat nule.
Otázky k tématu „Násobení“:
Co je součin čísel?
Odpověď: součin čísel nebo násobení čísel je výraz m⋅n, kde m je člen a n je počet opakování tohoto členu.
K čemu slouží násobení?
Odpověď: aby se nepsalo dlouhé sčítání čísel, ale aby se psalo zkrácené. Například 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18
Jaký je výsledek násobení?
Odpověď: smysl díla.
Co znamená násobení 3⋅5?
Odpověď: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15
Pokud vynásobíte milion nulou, čemu se rovná součin?
Odpověď: 0
Příklad č. 1:
Nahraďte součet součinem: a) 12+12+12+12+12 b)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Odpověď: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27
Příklad č. 2:
Zapište to jako součin: a) a+a+a+a b) c+c+c+c+c+c+c
Řešení:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s
Úkol č. 1:
Máma koupila 3 bonboniéry. Každá krabička obsahuje 8 bonbónů. Kolik bonbónů maminka koupila?
Řešení:
V jedné krabičce je 8 bonbónů a my máme 3 takové krabičky.
8+8+8=8⋅3=24 bonbónů
Odpověď: 24 bonbónů.
Úkol č. 2:
Učitelka výtvarné výchovy řekla svým osmi studentům, aby si na každou hodinu připravili sedm tužek. Kolik tužek měly děti celkem?
Řešení:
Můžete vypočítat součet úkolu. První student měl 7 tužek, druhý student měl 7 tužek atd.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Záznam se ukázal jako nepohodlný a dlouhý, nahraďme součet produktem.
7⋅8=56
Odpověď je 56 tužek.
K řešení mnoha problémů „na maximum a minimum“, tzn. najít největší a nejmenší hodnoty variabilní velikost, můžete úspěšně použít některé algebraické výroky, se kterými se nyní seznámíme.
x y
Zvažte následující problém:
Na jaké dvě části by měl být rozdělen? dané číslo takže jejich produkt je nejlepší?
Nechte dané čísloA. Pak části, na které je číslo rozdělenoA, lze označit
a/2 + x A a/2 - x;
číslo X ukazuje, jak moc se tyto části liší od poloviny čísla A. Součin obou stran je stejný
(a/2 + x) · ( a/2 - x) = a 2/4 - x 2.
Je jasné, že součin odebraných dílů se bude zvyšovat X, tj. jak se rozdíl mezi těmito částmi zmenšuje. Největší produkt bude na x = 0, tj. v případě, kdy jsou obě strany stejné a/2.
Tak,
součin dvou čísel, jejichž součet je konstantní, bude největší, když se tato čísla budou navzájem rovnat.
x y z
Zvažme stejnou otázku pro tři čísla.
Na jaké tři části musí být toto číslo rozděleno, aby jejich součin byl největší?
Při řešení tohoto problému se budeme opírat o předchozí.
Nechte číslo A rozdělena na tři části. Předpokládejme nejprve, že ani jedna část není stejná a/3.Pak mezi nimi bude část, velká a/3(všechny tři nemohou být méně a/3); označme to tím
a/3+x.
Stejně tak mezi nimi bude část, která je menší a/3; označme to tím
a/3 - r.
Čísla X A na jsou pozitivní. Třetí díl se evidentně vyrovná
a/3 + y - x.
Čísla a/3 A a/3 + x - y mají stejný součet jako první dvě části čísla A, a rozdíl mezi nimi, tzn. x - y, menší než rozdíl mezi prvními dvěma částmi, který byl stejný x + y. Jak víme z řešení předchozího problému, vyplývá, že produkt
a/3 · ( a/3 + x - y)
větší než součin prvních dvou částí čísla A.
Pokud tedy první dvě části čísla A nahradit čísly
a/3 A a/3 + x - y,
a třetí ponechte beze změny, pak se součin zvýší.
Nechť je nyní jedna z částí již stejná a/3. Pak další dva mají formu
a/3+z A a/3 - z.
Pokud tyto poslední dvě části srovnáme a/3 (proto se jejich součet nezmění), pak se součin opět zvýší a vyrovná se
a/3 a/3 a/3 = a 3/27 .
Tak,
je-li číslo a rozděleno na 3 části, které se navzájem nerovnají, pak je součin těchto částí menší než 3 / 27, tzn. než součin tří stejných faktorů, které dohromady tvoří a.
Podobným způsobem můžete tuto větu dokázat pro čtyři faktory, pro pět atd.
x p · y q
Podívejme se nyní na obecnější případ.
Pro jaké hodnoty x a y je výraz x p y q největší, když x + y = a?
Musíme zjistit, na jaké hodnotě x je výraz
x p ·(a - x) q
dosáhne své největší hodnoty.
Vynásobme tento výraz číslem 1/р p q q. Pojďme získat nový výraz
x p / p p · (sekera ) q / q q,
která zjevně dosahuje největší hodnoty současně s počáteční.
Uveďme nyní získaný výraz ve tvaru
(sekera) /q (sekera) /q · ... · (sekera) /q ,
kde se opakují faktory prvního typu p jednou a dvakrát - q jednou.
Součet všech faktorů tohoto výrazu je roven
x / p + x / p + ... + x / p + (sekera) /q+ (sekera) /q + ... + (sekera) /q =
= px / p + q (sekera) / q = x + a - x = a ,
těch. konstantní hodnotu.
Na základě toho, co bylo dříve prokázáno, docházíme k závěru, že produkt
x/p · x/p · ... · x/p · (sekera) /q (sekera) /q · ... · (sekera) /q
dosahuje maxima, když jsou všechny jeho jednotlivé faktory stejné, tzn. Když
x/p= (sekera) /q.
Vědět to a - x = y, získáme přeskupením pojmů poměr
x/y = p/q.
Tak,
součin x p y q se součtem x + y konstantou dosáhne největší hodnoty, když
x: y = p: q.
Stejným způsobem se to dá dokázat
funguje
x p y q z r , x p y q z r t u atd.
s konstantními částkami x + y + z, x + y + z + t atd. dosáhnout své největší hodnoty, když
x: y: z = p: q: r,x: y: z: t = p: q: r: u atd.
Pokud je koncertní sál osvětlen 3 lustry po 25 žárovkách, bude celkový počet žárovek v těchto lustrech 25 + 25 + 25, tedy 75.
Součet, ve kterém jsou si všechny členy rovny, se píše kratší: místo 25 + 25 + 25 napište 25 3. To znamená 25 3 = 75 (obr. 43). Volá se číslo 75 práce volají se čísla 25 a 3 a čísla 25 a 3 multiplikátory.
Rýže. 43. Součin čísel 25 a 3
Vynásobení čísla m přirozeným číslem n znamená nalezení součtu n členů, z nichž každý je roven m.
Výraz m n a hodnota tohoto výrazu se nazývá práce číslamAn. Volají se čísla, která se násobí multiplikátory. Tito. m a n jsou faktory.
Produkty 7 4 a 4 7 se rovnají stejnému číslu 28 (obr. 44).
Rýže. 44. Produkt 7 4 = 4 7
1. Součin dvou čísel se při přeskupení faktorů nemění.
komutativní
A × b = b × A .
Součin (5 3) 2 = 15 2 a 5 (3 2) = 5 6 má stejnou hodnotu 30. To znamená 5 (3 2) = (5 3) 2 (obr. 45).
Rýže. 45. Produkt (5 3) 2 = 5 (3 2)
2. Chcete-li vynásobit číslo součinem dvou čísel, můžete je nejprve vynásobit prvním faktorem a poté vynásobit výsledný součin druhým faktorem.
Tato vlastnost násobení se nazývá asociativní. Pomocí písmen se to píše takto:
A (bc) = (abS).
Součet n členů, z nichž každý je roven 1, je roven n. Platí tedy rovnost 1 n = n.
Součet n členů, z nichž každý je roven nule, je roven nule. Platí tedy rovnost 0 n = 0.
Aby komutativní vlastnost násobení platila pro n = 1 an = 0, je dohodnuto, že m 1 = mam 0 = 0.
Znaménko násobení se obvykle nepíše před abecední faktory: místo 8 X napsat 8 X, místo toho Ab napsat Ab.
Před závorkou se také vynechává znaménko násobení. Například místo 2 ( a +b) napsat 2 (a+b) a místo ( X+ 2) (y + 3) napište (x + 2) (y + 3).
Místo ( ab) se zápisem abc.
Pokud v zápisu součinu nejsou žádné závorky, násobení se provádí v pořadí zleva doprava.
Práce se čtou a pojmenovávají každý faktor genitivní pád. Například:
1) 175 60 je součin sto sedmdesáti pěti a šedesáti;
2) 80 (X+ 1 7) – součin r.p. r.p.
osmdesát a součet x a sedmnáct
Pojďme vyřešit problém.
Kolik trojciferných čísel (obr. 46) lze sestavit z čísel 2, 4, 6, 8, pokud se čísla v čísle neopakují?
Řešení.
První číslice čísla může být kterákoli z čtyři daná čísla, druhé – kterékoli z tři ostatní a třetí – kterýkoli z dva ty zbývající. Ukazuje se:
Rýže. 46.K problému skládání trojciferných čísel
Celkem z těchto čísel vytvoříte 4 3 2 = 24 trojciferných čísel.
Pojďme vyřešit problém.
Představenstvo společnosti tvoří 5 osob. Představenstvo musí ze svých členů zvolit předsedu a místopředsedu. Kolika způsoby to lze provést?
Řešení.
Prezidentem společnosti může být zvolen jeden z 5 lidí:
Prezident:
Po zvolení prezidenta může být kterýkoli ze čtyř zbývajících členů představenstva zvolen viceprezidentem (obr. 47):
|
Rýže. 47. K volebnímu problému
To znamená, že existuje pět způsobů, jak vybrat prezidenta, a pro každého zvoleného prezidenta existují čtyři způsoby, jak vybrat viceprezidenta. Proto, celkový počet Počet způsobů výběru prezidenta a viceprezidenta společnosti je: 5 4 = 20 (viz obr. 47).
Pojďme vyřešit další problém.
Z vesnice Anikeevo vedou čtyři silnice do vesnice Bolshovo a tři silnice z vesnice Bolshovo do vesnice Vinogradovo (obr. 48). Kolika způsoby se můžete dostat z Anikeeva do Vinogradova přes vesnici Bolshevo?
Rýže. 48. K problému silnic
Řešení.
Pokud se dostanete z A do B po 1. silnici, pak jsou tři způsoby, jak pokračovat v cestě (obr. 49).
Rýže. 49. Možnosti cesty
Uvažováním stejným způsobem získáme tři způsoby, jak pokračovat v cestě, přičemž začínáme po 2., 3. a 4. silnici. To znamená, že celkem existuje 4 3 = 12 způsobů, jak se dostat z Anikeeva do Vinogradova.
Pojďme vyřešit ještě jeden problém.
Rodina složená z babičky, otce, matky, dcery a syna dostala 5 různých pohárů. Kolika způsoby lze rozdělit poháry mezi členy rodiny?
Řešení. První člen rodiny (například babička) má 5 možností, další (ať je to táta) má 4 možnosti. Další (např. maminka) si vybere ze 3 kelímků, další ze dvou a poslední dostane jeden zbývající hrnek. Ukažme si tyto metody na schématu (obr. 50).
Rýže. 50. Schéma řešení úlohy
Zjistili jsme, že pro každý výběr hrnečku babičkou odpovídají čtyři možné volby otce, tzn. pouze 5 4 způsoby. Poté, co si táta vybral hrneček, máma má tři možnosti, dcera dvě, syn jeden, tzn. pouze 3 2 1 způsoby. Nakonec zjistíme, že k vyřešení problému potřebujeme najít součin 5 4 3 2 1.
Všimněte si, že jsme získali součin všech přirozených čísel od 1 do 5. Takové součiny se píší stručněji:
5 4 3 2 1 = 5! (čti: „pěti faktoriálů“).
Faktoriál čísla– součin všech přirozených čísel od 1 do tohoto čísla.
Takže odpověď na problém je: 5! = 120, tzn. Poháry lze mezi členy rodiny rozdělit na sto dvacet způsobů.
