سطوح مخروطی. مقاطع مخروطی معادله سطح مخروطی

دانش آموزان اغلب در سال اول با سطوح درجه 2 مواجه می شوند. در ابتدا، مسائل مربوط به این موضوع ممکن است ساده به نظر برسند، اما با مطالعه ریاضیات عالی و کاوش عمیق در جنبه علمی، در نهایت می توانید مسیر آنچه را که اتفاق می افتد از دست بدهید. برای جلوگیری از این اتفاق، نه تنها باید به خاطر بسپارید، بلکه باید بدانید که چگونه این یا آن سطح به دست می‌آید، چگونه ضرایب تغییر روی آن و مکان آن نسبت به سیستم مختصات اصلی تأثیر می‌گذارد، و چگونه می‌توان آن را پیدا کرد. سیستم جدید(یکی که مرکز آن با مبدأ مختصات منطبق است و با یکی از محورهای مختصات موازی است). بیایید از همان ابتدا شروع کنیم.

تعریف

یک سطح مرتبه دوم GMT نامیده می شود که مختصات آن معادله کلی شکل زیر را برآورده می کند:

واضح است که هر نقطه متعلق به سطح باید دارای سه مختصات در یک مبنای مشخص باشد. اگرچه در برخی موارد مکان نقاط می تواند به عنوان مثال به یک صفحه تبدیل شود. این فقط به این معنی است که یکی از مختصات در کل محدوده مقادیر مجاز ثابت و برابر با صفر است.

شکل کامل کتبی برابری فوق به صورت زیر است:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - برخی از ثابت ها، x، y، z - متغیرهای متناظر مختصات وابستههر نقطه در این حالت حداقل یکی از عوامل ثابت نباید برابر با صفر باشد، یعنی هیچ نقطه ای با معادله مطابقت نخواهد داشت.

در اکثریت قریب به اتفاق مثال ها، بسیاری از عوامل عددی هنوز به طور یکسان برابر با صفر هستند و معادله به طور قابل توجهی ساده شده است. در عمل، تعیین اینکه آیا یک نقطه به یک سطح تعلق دارد دشوار نیست (کافی است مختصات آن را در معادله جایگزین کنید و بررسی کنید که آیا هویت برقرار است یا خیر). نکته کلیدیدر چنین کاری این است که دومی را به شکل متعارف برسانیم.

معادله ای که در بالا نوشته شده است، سطوح مرتبه دوم (همه در زیر ذکر شده است) را تعریف می کند. بیایید به نمونه های زیر نگاه کنیم.

انواع سطوح درجه 2

معادلات سطوح مرتبه دوم فقط در مقادیر ضرایب A نانومتر متفاوت است. از نمای کلیدر مقادیر مشخصی از ثابت ها می توان دریافت کرد سطوح مختلف، به شرح زیر طبقه بندی می شود:

1. سیلندرها
2. نوع بیضوی.
3. نوع هایپربولیک.
4. نوع مخروطی.
5. نوع سهمی.
6. هواپیماها

هر یک از انواع ذکر شدهیک شکل طبیعی و خیالی وجود دارد: در شکل تخیلی، مکان نقاط واقعی یا به شکل ساده‌تری منحط می‌شود یا کلاً وجود ندارد.

سیلندرها

این ساده ترین نوع است، زیرا منحنی نسبتاً پیچیده فقط در پایه قرار دارد و به عنوان راهنما عمل می کند. ژنراتورها خطوط مستقیم عمود بر صفحه ای هستند که پایه در آن قرار دارد.

نمودار یک استوانه دایره ای، یک مورد خاص از یک استوانه بیضوی را نشان می دهد. در صفحه XY، طرح آن بیضی خواهد بود (در مورد ما، یک دایره) - یک راهنما، و در XZ - یک مستطیل - از آنجایی که ژنراتورها موازی با محور Z هستند، برای به دست آوردن آن از معادله کلی برای دادن مقادیر زیر به ضرایب ضروری است:

به جای نمادهای معمول x، y، z، x با شماره سریال استفاده می شود - این هیچ معنایی ندارد.

در واقع، 1/a 2 و سایر ثابت های نشان داده شده در اینجا همان ضرایب نشان داده شده در هستند معادله کلی، اما مرسوم است که آنها را دقیقاً به این شکل بنویسید - این نمایش متعارف است. در ادامه، این نوع ورودی به طور انحصاری مورد استفاده قرار خواهد گرفت.

این یک استوانه هذلولی را تعریف می کند. طرح یکسان است - هذلول راهنما خواهد بود.

یک استوانه سهموی کمی متفاوت تعریف می شود: شکل متعارف آن شامل یک ضریب p است که پارامتر نامیده می شود. در واقع این ضریب برابر است با q=2p اما مرسوم است که آن را به دو عامل ارائه شده تقسیم کنیم.

نوع دیگری از سیلندر وجود دارد: خیالی. هیچ نقطه واقعی به چنین سیلندر تعلق ندارد. با معادله یک استوانه بیضوی توصیف می شود، اما به جای یک استوانه -1 وجود دارد.

نوع بیضوی

بیضی را می توان در امتداد یکی از محورها کشید (که در امتداد آن به مقادیر ثابت های a، b، c نشان داده شده در بالا بستگی دارد؛ بدیهی است که محور بزرگتر با ضریب بزرگتری مطابقت دارد).

یک بیضی خیالی نیز وجود دارد - به شرطی که مجموع مختصات ضرب شده در ضرایب برابر با -1 باشد:

هایپربولوئیدها

هنگامی که یک منهای در یکی از ثابت ها ظاهر می شود، معادله بیضی به معادله یک هیپربولوئید یک صفحه تبدیل می شود. باید درک کنید که این منهای نباید جلوی مختصات x3 قرار بگیرد! فقط تعیین می کند که کدام یک از محورها محور چرخش هایپربولوئید (یا موازی با آن باشد، زیرا زمانی که عبارت های اضافی در مربع ظاهر می شوند (مثلاً (x-2) 2)، مرکز شکل جابجا می شود، در نتیجه، سطح به موازات محورهای مختصات حرکت می کند). این برای تمام سطوح مرتبه دوم اعمال می شود.

علاوه بر این، باید بدانید که معادلات به شکل متعارف ارائه می شوند و می توان آنها را با تغییر دادن ثابت ها (در عین حفظ علامت!) تغییر داد. در عین حال، ظاهر آنها (هیپربولوئید، مخروط و غیره) یکسان باقی می ماند.

چنین معادله ای توسط یک هایپربولوئید دو صفحه ای به دست می آید.

سطح مخروطی

در معادله مخروط، وحدت وجود ندارد - برابر با صفر است.

فقط یک سطح مخروطی محدود را مخروط می نامند. تصویر زیر نشان می دهد که در واقع دو مخروط به اصطلاح روی نمودار وجود خواهد داشت.

نکته مهم: در تمام معادلات متعارف در نظر گرفته شده، ثابت ها به طور پیش فرض مثبت فرض می شوند. در غیر این صورت، علامت ممکن است بر نمودار نهایی تأثیر بگذارد.

صفحات مختصات به صفحات تقارن مخروط تبدیل می شوند، مرکز تقارن در مبدا قرار دارد.

در معادله یک مخروط خیالی فقط نقاط مثبت وجود دارد. این صاحب یک امتیاز واقعی است.

پارابولوئیدها

سطوح درجه 2 در فضا می تواند اشکال مختلفحتی با معادلات مشابه به عنوان مثال، پارابولوئیدها دو نوع هستند.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

یک پارابولوئید بیضوی، زمانی که محور Z عمود بر نقشه باشد، به صورت بیضی نمایش داده می شود.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

سهمی هذلولی: در مقاطعی با صفحات موازی ZY سهمی و در مقاطعی با صفحات موازی XY هذلولی بدست می آید.

هواپیماهای متقاطع

مواردی وجود دارد که سطوح مرتبه دوم در هواپیما تخریب می شوند. این هواپیماها را می توان به روش های مختلفی چیدمان کرد.

ابتدا به صفحات متقاطع نگاه می کنیم:

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0

با این اصلاح معادله متعارف، ما به سادگی دو صفحه متقاطع (خیالی!) را بدست می آوریم. همه نقاط واقعی روی محور مختصاتی هستند که در معادله وجود ندارد (در متعارف - محور Z).

هواپیماهای موازی

اگر فقط یک مختصات وجود داشته باشد، سطوح مرتبه دوم به یک جفت صفحه موازی تبدیل می‌شوند. فراموش نکنید، هر متغیر دیگری می تواند جای بازیکن را بگیرد. سپس صفحات موازی با محورهای دیگر بدست می آید.

در این صورت آنها خیالی می شوند.

هواپیماهای تصادفی

با این معادله سادهیک جفت هواپیما به یک هواپیما تبدیل می شود - آنها منطبق هستند.

فراموش نکنید که در مورد پایه سه بعدی، معادله فوق خط مستقیم y=0 را مشخص نمی کند! دو متغیر دیگر را از دست داده است، اما این فقط به این معنی است که مقدار آنها ثابت و برابر با صفر است.

ساخت و ساز

یکی از سخت ترین کارها برای یک دانش آموز دقیقاً ساخت سطوح درجه 2 است. با در نظر گرفتن زوایای شیب منحنی نسبت به محورها و جابجایی مرکز، حرکت از یک سیستم مختصات به سیستم دیگر دشوارتر است. بیایید تکرار کنیم که چگونه به طور مداوم ظاهر آینده یک نقاشی را به روشی تحلیلی تعیین کنیم.

برای ساخت یک سطح مرتبه دوم، باید:

• معادله را به شکل متعارف برسانید.
• تعیین نوع سطح مورد مطالعه؛
• بر اساس مقادیر ضرایب بسازید.

در زیر تمام انواع در نظر گرفته شده است:

برای تقویت این موضوع، یک نمونه از این نوع کارها را به تفصیل شرح خواهیم داد.

نمونه ها

فرض کنید معادله را داریم:

3 (x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

بیایید آن را به شکل متعارف برسانیم. بیایید مربع های کامل را انتخاب کنیم، یعنی عبارت های موجود را طوری بچینیم که تجزیه مجذور مجموع یا تفاضل باشند. به عنوان مثال: اگر (a+1) 2 =a 2 +2a+1، سپس a 2 +2a+1=(a+1) 2. ما عملیات دوم را انجام خواهیم داد. پرانتز در در این موردفاش کردن آن ضروری نیست، زیرا این فقط محاسبات را پیچیده می کند، اما لازم است فاکتور مشترک 6 را (در پرانتز با مربع کامل بازی) بردارید:

3 (x-1) 2 +6 (y+5) 2 +2z 2 =6

متغیر zet در این مورد فقط یک بار ظاهر می شود - فعلاً می توانید آن را به حال خود رها کنید.

بیایید معادله را در این مرحله تجزیه و تحلیل کنیم: همه مجهولات یک علامت مثبت در مقابل خود دارند. با تقسیم بر شش، یک برگ می شود. در نتیجه، ما یک معادله داریم که یک بیضی را تعریف می کند.

توجه کنید که 144 در 150-6 فاکتور شد و سپس -6 به سمت راست منتقل شد. چرا باید به این شکل انجام می شد؟ بدیهی است که بزرگترین مقسوم علیه در این مثال -6 است، بنابراین برای اینکه یک واحد پس از تقسیم بر آن در سمت راست باقی بماند، باید دقیقاً 6 را از 144 کنار بگذارید (این واقعیت است که واحد باید روی آن باشد. حق با حضور یک جمله آزاد نشان داده می شود - ثابتی که در مجهول ضرب نشده است.

بیایید همه چیز را بر شش تقسیم کنیم و معادله متعارف بیضی را بدست آوریم:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

در طبقه‌بندی سطوح مرتبه دوم که قبلاً استفاده می‌شد، زمانی که مرکز شکل در مبدا مختصات باشد، مورد خاصی در نظر گرفته می‌شود. در این مثال افست شده است.

ما فرض می کنیم که هر براکت با مجهولات یک متغیر جدید است. یعنی: a=x-1، b=y+5، c=z. در مختصات جدید، مرکز بیضی با نقطه (0،0،0) منطبق است، بنابراین، a=b=c=0، از آنجا: x=1، y=-5، z=0. در مختصات اولیه، مرکز شکل در نقطه (1،-5،0) قرار دارد.

بیضی از دو بیضی به دست می آید: اولی در صفحه XY و دومی در صفحه XZ (یا YZ - مهم نیست). ضرایبی که بر اساس آن متغیرها تقسیم می شوند در معادله متعارف مجذور می شوند. بنابراین، در مثال فوق، تقسیم بر ریشه دو، یک و ریشه سه صحیح تر است.

محور فرعی بیضی اول، موازی با محور Y برابر با دو است. محور اصلی موازی با محور X است - دو ریشه دو. محور فرعی بیضی دوم، موازی با محور Y، ثابت می ماند - برابر با دو است. و محور اصلی موازی با محور Z برابر با دو ریشه سه است.

با استفاده از داده های بدست آمده از معادله اصلی با تبدیل آن به شکل متعارف، می توانیم یک بیضی رسم کنیم.

جمع بندی

موضوع پوشش داده شده در این مقاله بسیار گسترده است، اما در واقع، همانطور که اکنون می بینید، خیلی پیچیده نیست. توسعه آن، در واقع، در لحظه ای به پایان می رسد که شما نام و معادلات سطوح (و، البته، ظاهر آنها را) به خاطر بسپارید. در مثال بالا، هر مرحله را به تفصیل بررسی کردیم، اما آوردن معادله به شکل متعارف نیازمند حداقل دانش ریاضیات عالی است و نباید برای دانش‌آموز مشکلی ایجاد کند.

تجزیه و تحلیل برنامه آینده بر اساس برابری موجود در حال حاضر بیش از کار دشوار. اما برای او تصمیم خوبکافی است درک کنیم که منحنی های مرتبه دوم مربوطه چگونه ساخته می شوند - بیضی ها، سهمی ها و غیره.

موارد انحطاط بخش ساده تری هستند. به دلیل عدم وجود برخی از متغیرها، نه تنها محاسبات، همانطور که قبلا ذکر شد، بلکه خود ساخت نیز ساده شده است.

به محض اینکه بتوانید با اطمینان تمام انواع سطوح را نامگذاری کنید، ثابت ها را تغییر دهید، یک نمودار را به یک شکل یا شکل دیگر تبدیل کنید، موضوع تسلط پیدا می کند.

در تحصیل موفق باشید

تعریف 1.سطح مخروطی یا مخروط با راس در نقطه M 0 سطحی است که توسط تمام خطوط مستقیم تشکیل شده است که هر یک از آنها از نقطه M 0 و از نقطه ای در خط γ عبور می کنند. نقطه M 0 راس مخروط، خط γ را راهنما می نامند. خطوط مستقیمی که از رأس مخروط می گذرند و روی آن قرار می گیرند، مولد مخروط نامیده می شوند.

قضیه.سطح سفارش 2 با معادله متعارف

مخروطی است با راس در مبدا که راهنمای آن بیضی است

اثبات

فرض کنید M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) نقطه ای از سطح α باشد، متفاوت از مبدا. ?=ОM 1 - خط مستقیم، M (x; y; z) متعلق به؟. از زمان | | ، سپس، به گونه ای که

از آنجا که، پس مختصات آن x 1 است. y 1 ; z 1 معادله (1) را برآورده می کند. با در نظر گرفتن شرایط (3) داریم که کجا t ≠ 0. تقسیم دو طرف معادله بر t 2 ≠ 0، به دست می آوریم که مختصات یک نقطه دلخواه M (x; y; z) از خط مستقیم m=ОM 1 معادله (1) را برآورده می کند. همچنین با مختصات نقطه O(0,0,0) ارضا می شود.

بنابراین، هر نقطه M (x; y; z) از خط مستقیم m=ОМ 1 روی سطح α با معادله (1) قرار دارد، یعنی خط مستقیم ОМ 1 =m یک مولد مستطیل سطح α است.

اکنون بخشی از سطح α را با صفحه ای موازی با صفحه اکسی با معادله در نظر می گیریم. z = c ≠ 0:

این بخش بیضی با نیم محور است الفو ب. بنابراین، این بیضی را قطع می کند. طبق تعریف 1 سطح α مخروطی با راس است در مورد(0,0,0) (همه خطوط m از مبدا عبور می کنند). مولدهای این مخروط خطوط مستقیم m هستند، راهنما بیضی فوق الذکر است.

قضیه ثابت شده است.

تعریف 2.سطح مرتبه 2 با معادله متعارف (1) مخروط مرتبه دوم نامیده می شود.

خواص مخروط مرتبه دوم.

1ºمخروط با معادله (1) با توجه به تمام صفحات مختصات، تمام محورهای مختصات و مبدا متقارن است (زیرا همه متغیرها در معادله (1) تا توان دوم موجود هستند).

2 درجههمه محورهای مختصات دارای یک نقطه مشترک با مخروط (1) هستند - مبدا مختصات، که به عنوان راس و مرکز آن در همان زمان عمل می کند.

3 درجهبرش یک مخروط (1) توسط هواپیماها Oxzو اویز- جفت خطوط مستقیم که در مبدا متقاطع می شوند. هواپیما اکسی- نقطه در مورد(0,0,0).

4 درجهبخش هایی از مخروط (1) توسط صفحات موازی با صفحات مختصات، اما با آنها منطبق نیستند، یا بیضی هستند یا هذلولی.

5 درجهاگر الف = ب، سپس این بیضی ها دایره هستند و مخروط خود سطحی از انقلاب است. در این حالت مخروط دایره ای نامیده می شود.

تعریف 3: مقطع مخروطی خطی است که در امتداد آن یک مخروط دایره ای با صفحه دلخواه که از راس آن عبور نمی کند قطع می شود. بنابراین، مقاطع متعارف بیضی، هذلولی و سهمی هستند.

سطوح مرتبه دوم- اینها سطوحی هستند که در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادلات جبری درجه دوم تعیین می شوند.

1. بیضی.

معادله (1) نامیده می شود معادله متعارف یک بیضی

اجازه دهید شکل هندسی بیضی را تعیین کنیم. برای انجام این کار، بخش هایی از این بیضی را توسط صفحات موازی با صفحه در نظر بگیرید اکسی.هر یک از این صفحات با یک معادله از فرم تعیین می شود z=h، کجا ساعت– هر عددی باشد و خطی که در قسمت به دست می آید با دو معادله تعیین می شود

اجازه دهید معادلات (2) را مطالعه کنیم معانی مختلف ساعت .

از آنجا نتیجه می شود که هواپیما z=hبیضی را در امتداد یک بیضی با نیمه محورها قطع می کند

تصویر مشابهی زمانی به دست می آید که یک سطح معین با صفحات موازی با صفحات مختصات قطع شود Oxzو اویز.

بنابراین، مقاطع در نظر گرفته شده امکان به تصویر کشیدن بیضی را به صورت یک سطح بیضی شکل بسته می دهد (شکل 156). مقادیر الف، ب، جنامیده می شوند شفت های محوربیضی در صورت a=b=cبیضی است کرویهفتم.

2. هایپربولوئید تک نواری.

معادله (3) معادله متعارف هیپربولوئید تک نواری نامیده می شود.

بیایید نوع سطح (3) را تنظیم کنیم. برای این کار بخشی از صفحات مختصات آن را در نظر بگیرید اکسی (y=0)وOyx (x=0).بر این اساس معادلات را بدست می آوریم

اکنون بخش هایی از این هایپربولوئید را با صفحات z=h موازی با صفحه مختصات در نظر بگیرید اکسی. خط حاصل در بخش با معادلات تعیین می شود

که از آن نتیجه می شود که صفحه z=h هیپربولوئید را در امتداد یک بیضی با نیم محور قطع می کند.

رسیدن به کمترین مقدار خود در h=0، یعنی. در بخش این هایپربولوئید، محور مختصات Oxy کوچکترین بیضی را با نیم محورهای a*=a و b*=b ایجاد می کند. با افزایش بی نهایت

بنابراین، بخش های در نظر گرفته شده این امکان را فراهم می کند که یک هایپربولوئید تک نواری را به شکل یک لوله بی نهایت به تصویر بکشیم که با دور شدن (در هر دو طرف) از صفحه اکسی، بی نهایت منبسط می شود.

کمیت های a، b، c را نیمه محورهای هایپربولوئید تک نواری می نامند.

3. هایپربولوئید دو ورق.

هایپربولوئید دو ورقی سطحی است که در برخی از سیستم مختصات مستطیلی با معادله تعریف می شود.

معادله (5) معادله متعارف یک هایپربولوئید دو ورق نامیده می شود.

اجازه دهید ظاهر هندسی سطح را تعیین کنیم (5). برای این کار، بخش های آن را با صفحات مختصات Oxy و Oyz در نظر بگیرید. بر این اساس معادلات را بدست می آوریم

که از آن نتیجه می شود که هذلولی ها در مقاطع به دست می آیند.

اکنون بخش هایی از این هایپربولوئید را با صفحات z=h موازی با صفحه مختصات Oxy در نظر بگیرید. خط به دست آمده در بخش با معادلات تعیین می شود

که از آن نتیجه می شود که وقتی

کمیت های a، b و c را نیمه محورهای هایپربولوئید دو ورق می گویند.

4. پارابولوئید بیضوی.

پارابولوئید بیضوی سطحی است که در برخی از سیستم مختصات مستطیلی با معادله تعریف می شود.

که در آن p>0 و q>0.

معادله (7) معادله متعارف پارابولوئید بیضوی نامیده می شود.

اجازه دهید بخش هایی از این سطح را با صفحات مختصات Oxy و Oyz در نظر بگیریم. بر این اساس معادلات را بدست می آوریم

که از آن نتیجه می شود که مقاطع سهمی هایی به دست می دهند که حول محور Oz متقارن هستند و رئوس آن در مبدا قرار دارند.

(8)<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

که از آن نتیجه می شود که در . با افزایش h، مقادیر a و b نیز افزایش می یابد. در h=0 بیضی به یک نقطه تبدیل می شود (صفحه z=0 هیپربولوئید داده شده را لمس می کند). در ساعت

بنابراین، بخش های در نظر گرفته شده امکان به تصویر کشیدن یک پارابولوئید بیضوی را به شکل یک کاسه بی نهایت محدب می دهد.

نقطه (0;0;0) راس پارابولوئید نامیده می شود. اعداد p و q پارامترهای آن هستند.

5. در مورد p=q، معادله (8) دایره ای را با مرکز محور Oz تعریف می کند، یعنی. پارابولوئید بیضوی را می توان به عنوان سطحی در نظر گرفت که از چرخش سهمی حول محور خود (پارابولوئید چرخش) تشکیل شده است.

پارابولوئید هیپربولیک.

پارابولوئید هذلولی سطحی است که در برخی از سیستم مختصات مستطیلی با معادله تعریف می شود.

اطلاعات نظری پایهسطح استوانه ای یا فقطسیلندر به هر سطحی گفته می شود که با حرکت یک خط مستقیم به موازات یک بردار حرکت کند و همیشه این خط را قطع کند که به آن می گویند.راهنمای خط مستقیم متحرک نامیده می شود

تکوینیسطح مخروطی یا فقطمخروط سطحی است که از حرکت یک خط مستقیم که از یک نقطه مشخص می گذرد به وجود می آید که به آن می گویندبالای مخروط و در امتداد این منحنی می لغزد. خط مستقیم متحرک نامیده می شودتشکیل یک مخروط، به هر سطحی گفته می شود که با حرکت یک خط مستقیم به موازات یک بردار حرکت کند و همیشه این خط را قطع کند که به آن می گویند.

چرخش یک شکل حول یک خط مستقیم معین (محور چرخش) حرکتی است که در آن هر نقطه از شکل
دایره ای را با مرکز روی محور چرخش توصیف می کند که در صفحه ای عمود بر محور چرخش قرار دارد.

سطحی که با چرخش یک خط به دور یک محور ایجاد می شود نامیده می شود سطح چرخش

معادلات متعارف سطوح مرتبه دوم

یک سطح مرتبه دوم در مختصات مستطیلی با یک معادله درجه دوم مشخص می شود

(7.1)

با تبدیل مختصات (چرخش محورها و ترجمه موازی)، معادله (7.1) به شکل متعارف کاهش می یابد. در صورتی که در رابطه (7.1) هیچ عبارتی با حاصلضرب مختصات وجود نداشته باشد، این معادله با مربع های کامل از هم جدا می شود. ,,و با ترجمه موازی محورهای مختصات به همان روشی که برای خطوط مرتبه دوم انجام شد به شکل متعارف در می آید (به مطالعه معادله کلی یک خط مرتبه دوم مراجعه کنید). سطوح مرتبه دوم و معادلات متعارف آنها در جدول ارائه شده است. 3.

شکل و محل سطوح مرتبه دوم معمولاً با روش مقاطع موازی بررسی می شود. ماهیت روش این است که سطح توسط چندین صفحه موازی با صفحات مختصات قطع می شود. شکل و پارامترهای بخش های حاصل امکان تعیین شکل خود سطح را فراهم می کند.

جدول 3

نمونه هایی از حل مسئله

مشکل 7.1.برای کره ای که شعاع آن برابر است معادله بنویسید ، و مرکز در نقطه است
.

راه حل.کره مجموعه ای از نقاط است که در همان فاصله از مرکز قرار دارند. بنابراین، نشان دادن با
مختصات یک نقطه دلخواه
حوزه ها و بیان برابری از طریق آنها
، خواهیم داشت

با مجذور دو طرف تساوی، معادله متعارف کره مورد نظر را به دست می آوریم:

اگر مرکز کره در مبدا قرار گیرد، معادله کره شکل ساده تری دارد:

.

پاسخ دهید.
.

مشکل 7.2.معادله ای برای سطح مخروطی با راس در مبدا و جهت بنویسید

(7.1)

راه حل.معادلات متعارف ژنراتورها از طریق یک نقطه
و دوره
راهنما فرم دارد

(7.2)

حذف کنیم ,,از معادلات (7.1) و (7.2). برای این کار در معادلات (7.2) جایگزین می کنیم در و تعریف کنید و :

;

جایگزینی این مقادیر و در معادله اول سیستم (7.1) خواهیم داشت:

یا

معادله به دست آمده یک مخروط مرتبه دوم را تعریف می کند (جدول 3 را ببینید)

مشکل 7.3.

راه حل.این سطح یک استوانه هذلولی با ژنراتیکس موازی با محور است
در واقع، این معادله شامل نمی شود ، و راهنمای استوانه هذلولی است

با مرکز تقارن در نقطه
و یک محور واقعی موازی با محور
.

مشکل 7.4.سطح داده شده توسط معادله را کاوش و بسازید

راه حل.بیایید سطح را با یک صفحه قطع کنیم
. در نتیجه ما داریم

کجا
. این معادله سهمی در صفحه است

برش یک سطح معین توسط یک صفحه
سهمی وجود دارد

بخش هواپیما
یک جفت خط متقاطع وجود دارد:

برش توسط صفحات موازی با هواپیما
هذلولی وجود دارد:

در
محور واقعی هذلولی با محور موازی است
، در
تبرها
. سطح مورد مطالعه یک پارابولوئید هذلولی است (در ارتباط با شکل آن، سطح "زین" نامیده می شود).

نظر دهید.ویژگی جالب یک سهمی هذلولی وجود خطوط مستقیمی است که با تمام نقاطشان روی سطح آن قرار دارند. چنین خطوطی نامیده می شود مولدهای مستطیلی یک سهمی هذلولیاز هر نقطه یک سهمی هذلولی دو مولد مستطیلی عبور می کنند.

مشکل 7.5.چه سطحی توسط معادله تعیین می شود

راه حل.برای آوردن این معادله به شکل متعارف، مربع های کامل متغیرها را انتخاب می کنیم ,,:

با مقایسه معادله به دست آمده با معادله جدولی (به جدول 3 مراجعه کنید)، می بینیم که این معادله یک هیپربولوئید تک صفحه ای است که مرکز آن به نقطه منتقل شده است.
با انتقال موازی سیستم مختصات طبق فرمول ها

بیایید معادله را به شکل متعارف برسانیم:

نظر دهید.یک هایپربولوئید یک ورق مانند هیپربولیک دارای دو خانواده از ژنراتورهای مستقیم است.