حل خاص معادلات دیفرانسیل عمومی معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

بیایید وظیفه ای را که هنگام یافتن انتگرال های معین با آن روبرو هستیم را به یاد بیاوریم:

یا dy = f(x)dx. راه حل او:

و به محاسبه انتگرال نامعین می رسد. در عمل، بیشتر اتفاق می افتد کار دشوار: یافتن تابع y، اگر معلوم باشد که رابطه ای از فرم را برآورده می کند

این رابطه به متغیر مستقل مربوط می شود x، تابع ناشناخته yو مشتقات آن به ترتیب nفراگیر، نامیده می شوند .

یک معادله دیفرانسیل شامل یک تابع تحت علامت مشتقات (یا دیفرانسیل) از یک مرتبه یا دیگری است. بالاترین مرتبه، مرتبه (9.1) نامیده می شود. .

معادلات دیفرانسیل:

- سفارش اول،

سفارش دوم

- مرتبه پنجم و غیره

تابعی که معادله دیفرانسیل معین را برآورده می کند، جواب آن نامیده می شود , یا انتگرال . حل آن یعنی یافتن همه راه حل های آن. اگر برای عملکرد مورد نیاز است yتوانستیم فرمولی را به دست آوریم که همه راه حل ها را می دهد، سپس می گوییم که آن را پیدا کرده ایم راه حل کلی, یا انتگرال کلی .

راه حل کلی شامل nثابت های دلخواه و به نظر می رسد

اگر رابطه ای حاصل شود که مربوط می شود x، yو nثابت های دلخواه، به شکلی که با توجه به آن مجاز نیست y -

آنگاه چنین رابطه ای انتگرال کلی معادله (9.1) نامیده می شود.

مشکل کوشی

هر جواب خاص، یعنی هر تابع خاصی که معادله دیفرانسیل معینی را برآورده می کند و به ثابت های دلخواه وابسته نیست، یک جواب خاص نامیده می شود. , یا انتگرال جزئی برای به دست آوردن راه حل های خاص (انتگرال) از راه حل های عمومی، باید ثابت های خاصی را ارائه داد مقادیر عددی.

نمودار یک راه حل خاص را منحنی انتگرال می گویند. راه حل کلی که شامل تمام راه حل های جزئی است، خانواده ای از منحنی های انتگرال است. برای یک معادله مرتبه اول، این خانواده به یک ثابت دلخواه برای معادله بستگی دارد nمرتبه - از nثابت های دلخواه

مسئله کوشی یافتن یک راه حل خاص برای معادله است nمرتبه، رضایت بخش nشرایط اولیه:

که توسط آن n ثابت c 1، c 2،...، c n تعیین می شود.

معادلات دیفرانسیل مرتبه 1

برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه 1 که با توجه به مشتق حل نشده است، شکل دارد

یا برای مجاز نسبتا

مثال 3.46. جواب کلی معادله را پیدا کنید

راه حل.یکپارچه سازی، می گیریم

که در آن C یک ثابت دلخواه است. اگر مقادیر عددی خاصی را به C اختصاص دهیم، راه حل های خاصی به دست می آوریم، برای مثال،

مثال 3.47. مقدار فزاینده ای از پول سپرده شده در بانک را مشروط به تعهدی 100 r در نظر بگیرید بهره مرکب در سال بگذارید Yo مقدار اولیه پول باشد و Yx - در پایان xسال. اگر سود سالی یک بار محاسبه شود، می گیریم

که در آن x = 0، 1، 2، 3، .... هنگامی که سود دو بار در سال محاسبه می شود، دریافت می کنیم

که در آن x = 0، 1/2، 1، 3/2، .... هنگام محاسبه بهره nیک بار در سال و اگر xمقادیر متوالی 0، 1/n، 2/n، 3/n،... را می گیرد، سپس

1/n = h را تعیین کنید، سپس تساوی قبلی به صورت زیر خواهد بود:

با بزرگنمایی نامحدود n(در ) در حد به روند افزایش مقدار پول با اقلام پیوسته بهره می رسیم:

بنابراین واضح است که با تغییر مداوم xقانون تغییر در عرضه پول با یک معادله دیفرانسیل مرتبه 1 بیان می شود. جایی که Y x یک تابع مجهول است، x- متغیر مستقل، r- ثابت بیایید این معادله را حل کنیم، برای این کار آن را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

کجا ، یا ، جایی که P نشان دهنده e C است.

از شرایط اولیه Y(0) = Yo، P را پیدا می کنیم: Yo = Pe o، از کجا، Yo = P. بنابراین، جواب به شکل زیر است:

اجازه دهید مشکل اقتصادی دوم را در نظر بگیریم. مدل‌های اقتصاد کلان نیز با معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه 1 توصیف می‌شوند و تغییرات در درآمد یا خروجی Y را به عنوان تابعی از زمان توصیف می‌کنند.

مثال 3.48. بگذارید درآمد ملی Y با نرخی متناسب با مقدار آن افزایش یابد:

و بگذارید کسری مخارج دولت با ضریب تناسب مستقیماً متناسب با درآمد Y باشد q. کسری هزینه منجر به افزایش بدهی ملی می شود D:

شرایط اولیه Y = Yo و D = Do در t = 0. از معادله اول Y = Yoe kt. با جایگزینی Y، dD/dt = qYoe kt را دریافت می کنیم. راه حل کلی شکل دارد
D = (q / k) Yoe kt + С، که در آن С = const، که از شرایط اولیه تعیین می شود. با جایگزینی شرایط اولیه، Do = (q/k)Yo + C را دریافت می کنیم. بنابراین، در نهایت،

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1)،

این نشان می دهد که بدهی ملی با همان نرخ نسبی در حال افزایش است ک، همان درآمد ملی است.

اجازه دهید ساده ترین معادلات دیفرانسیل را در نظر بگیریم nمرتبه، اینها معادلات فرم هستند

راه حل کلی آن را می توان با استفاده از nبار ادغام ها

مثال 3.49.مثال y """ = cos x را در نظر بگیرید.

راه حل.یکپارچه سازی، پیدا می کنیم

راه حل کلی شکل دارد

معادلات دیفرانسیل خطی

آنها به طور گسترده در علم اقتصاد استفاده می شوند. اگر (9.1) شکل زیر را داشته باشد:

سپس خطی نامیده می شود، جایی که рo(x)، р1(x)،...، рn(x)، f(x) - توابع مشخص شده. اگر f(x) = 0، (9.2) همگن و در غیر این صورت ناهمگن نامیده می شود. جواب کلی معادله (9.2) برابر است با مجموع هر یک از جواب های خاص آن y(x)و حل کلی معادله همگن مربوط به آن:

اگر ضرایب р o (x)، р 1 (x)،...، р n (x) ثابت باشند، (9.2)

(9.4) معادله دیفرانسیل خطی با ضرایب مرتبه ثابت نامیده می شود n .

برای (9.4) به شکل زیر است:

بدون از دست دادن کلیت، می توانیم p o = 1 را تنظیم کرده و (9.5) را در فرم بنویسیم

ما به دنبال راه حل (9.6) به شکل y = e kx خواهیم بود که k یک ثابت است. ما داریم: y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx. با جایگزینی عبارات به دست آمده در (9.6)، خواهیم داشت:

(9.7) یک معادله جبری است، مجهول آن است ک، مشخصه نامیده می شود. معادله مشخصه دارای درجه است nو nریشه هایی که در میان آنها می تواند چندگانه و پیچیده باشد. بگذارید k 1 , k 2 ,..., k n واقعی و متمایز باشد، پس - راه حل های خاص (9.7) و کلی

یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن خطی با ضرایب ثابت را در نظر بگیرید:

معادله مشخصه آن شکل دارد

(9.9)

متمایز آن D = p 2 - 4q، بسته به علامت D، سه مورد ممکن است.

1. اگر D>0 باشد، ریشه های k 1 و k 2 (9.9) واقعی و متفاوت هستند و جواب کلی به شکل زیر است:

راه حل.معادله مشخصه: k 2 + 9 = 0، از آنجا k = ± 3i، a = 0، b = 3، راه حل کلی به شکل زیر است:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه 2 هنگام مطالعه یک مدل اقتصادی نوع وب با موجودی کالاها استفاده می شود، که در آن نرخ تغییر قیمت P به اندازه موجودی بستگی دارد (بند 10 را ببینید). اگر عرضه و تقاضا تابع خطی قیمت باشند، یعنی

a ثابت است که نرخ واکنش را تعیین می کند، سپس فرآیند تغییر قیمت با معادله دیفرانسیل توصیف می شود:

برای یک راه حل خاص می توانیم یک ثابت بگیریم

قیمت تعادل معنادار انحراف معادله همگن را برآورده می کند

(9.10)

معادله مشخصه به صورت زیر خواهد بود:

در صورت مثبت بودن عبارت بیایید نشان دهیم . ریشه های معادله مشخصه k 1,2 = ± i w، بنابراین جواب کلی (9.10) به شکل زیر است:

جایی که C و ثابت دلخواه هستند، از شرایط اولیه تعیین می شوند. ما قانون تغییر قیمت را در طول زمان به دست آوردیم:

I. معادلات دیفرانسیل معمولی

1.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

معادله دیفرانسیل معادله ای است که یک متغیر مستقل را به هم مرتبط می کند x، تابع مورد نیاز است yو مشتقات یا دیفرانسیل های آن.

معادله دیفرانسیل به صورت نمادین به صورت زیر نوشته می شود:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y,y,.., y (n))=0

اگر تابع مورد نیاز به یک متغیر مستقل وابسته باشد، معادله دیفرانسیل معمولی نامیده می شود.

حل معادله دیفرانسیلتابعی نامیده می شود که این معادله را به یک هویت تبدیل می کند.

ترتیب معادله دیفرانسیلترتیب بالاترین مشتق موجود در این معادله است

نمونه ها

1. یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر بگیرید

جواب این معادله تابع y = 5 ln x است. در واقع، جایگزینی y"در معادله، هویت را دریافت می کنیم.

و این بدان معنی است که تابع y = 5 ln x– راه حلی برای این معادله دیفرانسیل است.

2. معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را در نظر بگیرید y" - 5y" +6y = 0. تابع جواب این معادله است.

واقعا، .

با جایگزینی این عبارات در معادله، به دست می آوریم: , – هویت.

و این بدان معنی است که تابع راه حل این معادله دیفرانسیل است.

ادغام معادلات دیفرانسیلفرآیند یافتن راه حل برای معادلات دیفرانسیل است.

حل کلی معادله دیفرانسیلتابع فرم نامیده می شود ، که به اندازه ترتیب معادله شامل ثابت دلخواه مستقل است.

حل جزئی معادله دیفرانسیلراه حلی است که از یک راه حل کلی برای مقادیر مختلف عددی ثابت های دلخواه بدست می آید. مقادیر ثابت دلخواه در مقادیر اولیه معینی از آرگومان و تابع یافت می شود.

نمودار یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال.

نمونه ها

1. یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول پیدا کنید

xdx + ydy = 0، اگر y= 4 در x = 3.

راه حل. با ادغام هر دو طرف معادله، به دست می آوریم

نظر دهید. یک ثابت دلخواه C که در نتیجه ادغام به دست می آید را می توان به هر شکلی که برای تبدیل های بعدی مناسب است نشان داد. در این مورد، با در نظر گرفتن معادله متعارف یک دایره، نشان دادن یک ثابت دلخواه C به شکل راحت است.

- حل کلی معادله دیفرانسیل.

حل خاص معادله ای که شرایط اولیه را برآورده می کند y = 4 در x = 3 از کلی با جایگزین کردن شرایط اولیه به راه حل کلی پیدا می شود: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

با جایگزینی C=5 به جواب کلی، دریافت می کنیم x 2 + y 2 = 5 2 .

این یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل است که از یک راه حل کلی در شرایط اولیه داده شده به دست می آید.

2. جواب کلی معادله دیفرانسیل را بیابید

راه حل این معادله هر تابعی از شکل است که در آن C یک ثابت دلخواه است. در واقع، با جایگزینی در معادلات، به دست می آوریم: , .

در نتیجه، این معادله دیفرانسیل دارای بی نهایت جواب است، زیرا برای مقادیر مختلف ثابت C، تساوی راه حل های متفاوتی را برای معادله تعیین می کند.

به عنوان مثال، با جایگزینی مستقیم می توانید تأیید کنید که توابع راه حل های معادله هستند.

مسئله ای که در آن باید راه حل خاصی برای معادله پیدا کنید y" = f(x,y)ارضای شرایط اولیه y (x 0) = y 0، مسئله کوشی نامیده می شود.

حل معادله y" = f(x,y)، ارضای شرایط اولیه، y (x 0) = y 0، راه حلی برای مشکل کوشی نامیده می شود.

راه حل مسئله کوشی معنای هندسی ساده ای دارد. در واقع، با توجه به این تعاریف، برای حل مشکل کوشی y" = f(x,y)با توجه به اینکه y (x 0) = y 0، یعنی پیدا کردن منحنی انتگرال معادله y" = f(x,y)که از آن عبور می کند نقطه داده شده M 0 (x 0,y 0).

II. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

2.1. مفاهیم اساسی

یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول معادله ای از فرم است F(x,y,y") = 0.

معادله دیفرانسیل مرتبه اول مشتق اول را شامل می شود و مشتقات مرتبه بالاتر را شامل نمی شود.

معادله y" = f(x,y)معادله مرتبه اول حل شده با توجه به مشتق نامیده می شود.

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول تابعی از فرم است که شامل یک ثابت دلخواه است.

مثال.یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر بگیرید.

راه حل این معادله تابع است.

در واقع، با جایگزینی این معادله با مقدار آن، دریافت می کنیم

یعنی 3x=3x

بنابراین، تابع یک راه حل کلی برای معادله برای هر ثابت C است.

راه حل خاصی برای این معادله پیدا کنید که شرط اولیه را برآورده کند y(1)=1جایگزینی شرایط اولیه x = 1، y = 1به حل کلی معادله، از کجا می‌رسیم C=0.

بنابراین، با جایگزین کردن مقدار به دست آمده در این معادله، یک راه حل خاص از یک راه حل عمومی به دست می آوریم C=0- راه حل خصوصی

2.2. معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک معادله ای به شکل زیر است: y"=f(x)g(y)یا از طریق دیفرانسیل، که در آن f(x)و g(y)- توابع مشخص شده

برای آن ها y، که برای آن، معادله y"=f(x)g(y)معادل معادله است، که در آن متغیر yفقط در سمت چپ وجود دارد و متغیر x فقط در سمت راست است. آنها می گویند: "در معادله. y"=f(x)g(yبیایید متغیرها را از هم جدا کنیم."

معادله فرم معادله متغیر جدا شده نامیده می شود.

ادغام دو طرف معادله توسط x، دریافت می کنیم G(y) = F(x) + Cجواب کلی معادله است که در آن G(y)و F(x)- برخی از ضد مشتقات، به ترتیب، از توابع و f(x), سیثابت دلخواه

الگوریتم حل معادله دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک

مثال 1

معادله را حل کنید y" = xy

راه حل. مشتق یک تابع y"آن را جایگزین کنید

بیایید متغیرها را از هم جدا کنیم

بیایید هر دو طرف برابری را ادغام کنیم:

مثال 2

2 سال" = 1- 3x 2، اگر y 0 = 3در x 0 = 1

این یک معادله متغیر جدا شده است. بیایید آن را در دیفرانسیل تصور کنیم. برای این کار این معادله را در فرم بازنویسی می کنیم از اینجا

با ادغام هر دو طرف آخرین برابری، متوجه می شویم

جایگزینی مقادیر اولیه x 0 = 1، y 0 = 3ما پیدا خواهیم کرد با 9=1-1+سی، یعنی C = 9.

بنابراین، انتگرال جزئی مورد نیاز خواهد بود یا

مثال 3

برای منحنی که از یک نقطه می گذرد معادله بنویسید M(2;-3)و داشتن مماس با ضریب زاویه ای

راه حل. با توجه به شرایط

این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک است. با تقسیم متغیرها به دست می آید:

با ادغام هر دو طرف معادله، بدست می آوریم:

با استفاده از شرایط اولیه، x = 2و y = - 3ما پیدا خواهیم کرد سی:

بنابراین معادله مورد نیاز شکل دارد

2.3. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول معادله ای از فرم است y" = f(x)y + g(x)

کجا f(x)و g(x)- برخی از توابع مشخص شده

اگر g(x)=0سپس معادله دیفرانسیل خطی همگن نامیده می شود و به شکل زیر است: y" = f(x)y

اگر پس معادله y" = f(x)y + g(x)ناهمگن نامیده می شود.

حل کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی y" = f(x)yبا فرمول: Where با- ثابت دلخواه

به ویژه، اگر C=0،سپس راه حل است y = 0اگر یک معادله همگن خطی دارای شکل باشد y" = کیکجا کمقداری ثابت است، سپس حل کلی آن به شکل زیر است: .

حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی y" = f(x)y + g(x)با فرمول داده می شود ,

آن ها برابر است با مجموع جواب کلی معادله همگن خطی مربوطه و جواب خاص این معادله.

برای یک معادله ناهمگن خطی شکل y" = kx + b,

کجا کو ب- برخی از اعداد و یک راه حل خاص یک تابع ثابت خواهد بود. بنابراین، راه حل کلی شکل دارد.

مثال. معادله را حل کنید y" + 2y +3 = 0

راه حل. بیایید معادله را به شکل نمایش دهیم y" = -2y - 3کجا k = -2، b= -3راه حل کلی با فرمول ارائه می شود.

بنابراین، جایی که C یک ثابت دلخواه است.

2.4. حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول به روش برنولی

یافتن یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول y" = f(x)y + g(x)به حل دو معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده با استفاده از جایگزینی کاهش می یابد y=uv، کجا توو v- توابع ناشناخته از x. این روش حل را روش برنولی می نامند.

الگوریتم حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول

y" = f(x)y + g(x)

1. جایگزینی را وارد کنید y=uv.

2. این برابری را متمایز کنید y" = u"v + uv"

3. جایگزین yو y"در این معادله: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)یا u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. عبارات معادله را طوری گروه بندی کنید که توآن را از پرانتز خارج کنید:

5. از براکت، با برابر کردن آن با صفر، تابع را پیدا کنید

این یک معادله قابل تفکیک است:

بیایید متغیرها را تقسیم کنیم و بدست آوریم:

کجا . .

6. مقدار حاصل را جایگزین کنید vبه معادله (از مرحله 4):

و تابع را پیدا کنید این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک است:

7- راه حل کلی را به شکل زیر بنویسید: ، یعنی .

مثال 1

یک راه حل خاص برای معادله پیدا کنید y" = -2y +3 = 0اگر y=1در x = 0

راه حل. بیایید آن را با استفاده از جایگزینی حل کنیم y=uv،.y" = u"v + uv"

جایگزین کردن yو y"به این معادله می رسیم

با گروه بندی جمله های دوم و سوم در سمت چپ معادله، عامل مشترک را خارج می کنیم تو خارج از پرانتز

عبارت داخل پرانتز را با صفر برابر می کنیم و با حل معادله حاصل، تابع را پیدا می کنیم v = v(x)

معادله ای با متغیرهای جدا شده بدست می آوریم. بیایید هر دو طرف این معادله را ادغام کنیم: تابع را پیدا کنید v:

بیایید مقدار حاصل را جایگزین کنیم vدر معادله به دست می آوریم:

این یک معادله متغیر جدا شده است. بیایید هر دو طرف معادله را ادغام کنیم: بیایید تابع را پیدا کنیم u = u(x,c) بیایید یک راه حل کلی پیدا کنیم: اجازه دهید یک راه حل خاص برای معادله پیدا کنیم که شرایط اولیه را برآورده کند y = 1در x = 0:

III. معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر

3.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم معادله ای است که مشتقات آن بالاتر از مرتبه دوم نباشد. در حالت کلی، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر نوشته می شود: F(x،y،y،y") = 0

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم تابعی از شکل است که شامل دو ثابت دلخواه است. ج 1و ج 2.

یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم، راه حلی است که از یک جواب کلی برای مقادیر معینی از ثابت های دلخواه به دست می آید. ج 1و ج 2.

3.2. معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت

معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابتمعادله فرم نامیده می شود y" + py" +qy = 0، کجا صو q- مقادیر ثابت

الگوریتم حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابت

1. معادله دیفرانسیل را به شکل زیر بنویسید: y" + py" +qy = 0.

2. معادله مشخصه آن را ایجاد کنید، نشان دهید y"از طریق r 2, y"از طریق r, yدر 1: r 2 + pr + q = 0

داده شده است ماشین حساب آنلاینبه شما امکان می دهد معادلات دیفرانسیل را بصورت آنلاین حل کنید. کافی است معادله خود را در فیلد مناسب وارد کنید و مشتق تابع را از طریق آپستروف نشان دهید و روی دکمه حل معادله کلیک کنید و سیستم پیاده سازی شده بر اساس وب سایت محبوب WolframAlpha جزئیات را ارائه می دهد حل یک معادله دیفرانسیلکاملا رایگان شما همچنین می توانید مشکل کوشی را از کل مجموعه تعریف کنید راه حل های ممکنضریب مربوط به شرایط اولیه داده شده را انتخاب کنید. مشکل کوشی در یک فیلد جداگانه وارد می شود.

معادله دیفرانسیل

به طور پیش فرض، تابع در معادله yتابعی از یک متغیر است x. با این حال، می توانید نام خود را برای متغیر مشخص کنید، اگر مثلاً y(t) را در معادله بنویسید، ماشین حساب به طور خودکار آن را تشخیص می دهد yیک تابع از یک متغیر وجود دارد تی. با کمک ماشین حساب می توانید حل معادلات دیفرانسیلاز هر پیچیدگی و نوع: همگن و ناهمگن، خطی یا غیرخطی، مرتبه اول یا مرتبه دوم و بالاتر، معادلات با متغیرهای قابل تفکیک یا غیرقابل تفکیک و غیره. تفاوت راه حل معادله به صورت تحلیلی داده شده است توضیحات مفصل. معادلات دیفرانسیل در فیزیک و ریاضیات بسیار رایج هستند. بدون محاسبه آنها، حل بسیاری از مسائل (به ویژه در فیزیک ریاضی) غیرممکن است.

یکی از مراحل حل معادلات دیفرانسیل، ادغام توابع است. روش های استانداردی برای حل معادلات دیفرانسیل وجود دارد. لازم است معادلات را به شکلی با متغیرهای قابل تفکیک y و x کاهش دهیم و توابع جدا شده را به طور جداگانه ادغام کنیم. برای انجام این کار، گاهی اوقات باید جایگزین خاصی انجام شود.