خطوط مرتبه دوم.
بیضی و معادله متعارف آن. دایره

پس از مطالعه کامل خطوط مستقیم در هواپیماما به بررسی هندسه دنیای دو بعدی ادامه می دهیم. مخاطرات دو برابر شده است و من از شما دعوت می کنم از یک گالری زیبا از بیضی ها، هذلولی ها، سهمی ها بازدید کنید که نمایندگان معمولی هستند. خطوط مرتبه دوم. گشت و گذار در حال حاضر آغاز شده است، و اول اطلاعات مختصردرباره کل نمایشگاه در طبقات مختلف موزه:

مفهوم خط جبری و ترتیب آن

خط در هواپیما نامیده می شود جبری، اگر در سیستم مختصات افینمعادله آن شکل دارد، که در آن یک چند جمله ای متشکل از عبارات شکل (- عدد واقعی، - اعداد صحیح غیر منفی) است.

همانطور که می بینید، معادله یک خط جبری شامل سینوس ها، کسینوس ها، لگاریتم ها و دیگر بوموندهای کاربردی نیست. فقط X و Y وارد می شوند اعداد صحیح غیر منفیدرجه

سفارش خطیبرابر با حداکثر مقدار اصطلاحات موجود در آن است.

با توجه به قضیه مربوطه، مفهوم خط جبری و همچنین ترتیب آن به انتخاب بستگی ندارد. سیستم مختصات افینبنابراین، برای سهولت وجود، فرض می‌کنیم که تمام محاسبات بعدی در آن صورت می‌گیرد مختصات دکارتی.

معادله کلیخط مرتبه دوم دارای فرم، جایی است که - اعداد واقعی دلخواه (مرسوم است که آن را با ضریب دو بنویسند)، و ضرایب در همان زمان برابر با صفر نیستند.

اگر ، پس معادله به ساده می شود ، و اگر همزمان ضرایب برابر با صفر نباشند، دقیقاً همین است معادله کلی یک خط "مسطح".، که نشان می دهد خط سفارش اول.

بسیاری معنای اصطلاحات جدید را درک کرده اند، اما، با این وجود، برای تسلط 100٪ بر مواد، انگشتان خود را به سوکت می چسبانیم. برای تعیین ترتیب خط، باید تکرار کنید همه شرایطمعادلات آن و پیدا کردن برای هر یک از آنها مجموع درجاتمتغیرهای ورودی

به عنوان مثال:

عبارت حاوی "x" تا توان 1 است.
این عبارت حاوی "Y" تا توان 1 است.
هیچ متغیری در عبارت وجود ندارد، بنابراین مجموع توان آنها صفر است.

حالا بیایید بفهمیم که چرا معادله خط را تعریف می کند دومسفارش:

این عبارت حاوی "x" تا توان 2 است.
جمع دارای مجموع توانهای متغیرها است: 1 + 1 = 2;
این عبارت حاوی "Y" تا توان 2 است.
همه اصطلاحات دیگر - کمتردرجه

حداکثر مقدار: 2

اگر مثلاً به معادله خود اضافه کنیم، آنگاه مشخص خواهد شد خط مرتبه سوم. بدیهی است که شکل کلی معادله خط مرتبه سوم شامل « مجموعه کامل» شرایط، مجموع توان متغیرهایی که در آنها برابر با سه است:
، که در آن ضرایب به طور همزمان برابر با صفر نیستند.

در صورتی که یک یا چند عبارت مناسب را اضافه کنید که حاوی ، سپس ما قبلاً در مورد آن صحبت خواهیم کرد خطوط سفارش 4و غیره

ما باید بیش از یک بار با خطوط جبری مرتبه های 3، 4 و بالاتر مواجه شویم، به ویژه در هنگام آشنایی با سیستم مختصات قطبی.

با این حال، اجازه دهید به معادله کلی بازگردیم و ساده ترین تغییرات مدرسه را به خاطر بسپاریم. به عنوان مثال، یک سهمی به وجود می آید که معادله آن را می توان به راحتی به یک شکل کلی تقلیل داد، و یک هذلولی با یک معادله معادل. با این حال، همه چیز به این راحتی نیست ...

ضرر قابل توجه معادله کلیاین است که تقریباً همیشه مشخص نیست که کدام خط را تعیین می کند. حتی در ساده ترین حالت، بلافاصله متوجه نمی شوید که این یک هذل گویی است. چنین طرح‌بندی‌هایی فقط در یک بالماسکه خوب هستند، بنابراین یک مشکل معمولی در دوره هندسه تحلیلی در نظر گرفته می‌شود. معادله خط مرتبه 2 را به شکل متعارف می آورد.

شکل متعارف یک معادله چیست؟

این به طور کلی پذیرفته شده است نمای استانداردمعادله، زمانی که در عرض چند ثانیه مشخص می شود که چه جسم هندسی را تعریف می کند. علاوه بر این، فرم متعارف برای حل بسیاری از مشکلات عملی بسیار مناسب است. بنابراین، برای مثال، با توجه به معادله متعارف "مسطح" مستقیماولاً بلافاصله مشخص می شود که این یک خط مستقیم است و ثانیاً نقطه متعلق به آن و بردار جهت به راحتی قابل مشاهده است.

بدیهی است که هر خط سفارش 1یک خط مستقیم است در طبقه دوم، دیگر این نگهبان نیست که منتظر ما است، بلکه یک گروه بسیار متنوع تر از 9 مجسمه است:

طبقه بندی خطوط مرتبه دوم

با استفاده از مجموعه ای از اقدامات خاص، هر معادله یک خط مرتبه دوم به یکی از اشکال زیر کاهش می یابد:

(و اعداد حقیقی مثبت هستند)

1) - معادله متعارف بیضی؛

2) - معادله متعارف هذلولی.

3) - معادله متعارف سهمی؛

4) – خیالیبیضی

5) - یک جفت خط متقاطع؛

6) - جفت خیالیخطوط متقاطع (با یک نقطه تقاطع معتبر در مبدا)؛

7) - یک جفت خط موازی.

8) - جفت خیالیخطوط موازی؛

9) - یک جفت خط منطبق.

برخی از خوانندگان ممکن است این تصور را داشته باشند که فهرست ناقص است. به عنوان مثال در نقطه شماره 7 معادله زوج را مشخص می کند مستقیم، موازی با محور، و این سوال پیش می آید: معادله ای که خطوط موازی با محور ارتجاعی را تعیین می کند کجاست؟ جواب : آن متعارف در نظر گرفته نمی شود. خطوط مستقیم نشان دهنده همان حالت استاندارد است که 90 درجه چرخیده است و ورودی اضافی در طبقه بندی اضافی است، زیرا اساساً چیز جدیدی را به ارمغان نمی آورد.

بنابراین نه و تنها نه وجود دارد انواع مختلفخطوط مرتبه 2، اما در عمل آنها اغلب یافت می شوند بیضی، هذلولی و سهمی.

بیایید ابتدا به بیضی نگاه کنیم. طبق معمول، من روی آن نکاتی تمرکز می کنم که دارند ارزش عالیبرای حل مسائل، و اگر به استنتاج دقیق فرمول ها، اثبات قضایا نیاز دارید، لطفاً به عنوان مثال به کتاب درسی بازیلف/آتاناسیان یا الکساندروف مراجعه کنید.

بیضی و معادله متعارف آن

املا... لطفا اشتباهات برخی از کاربران Yandex که علاقه مند به "نحوه ساختن بیضی"، "تفاوت بین بیضی و بیضی" و "غیر مرکزیت یک بیضی" هستند را تکرار نکنید.

معادله متعارف بیضی دارای شکل است که در آن اعداد حقیقی مثبت هستند و . من بعداً تعریف بیضی را بیان خواهم کرد، اما در حال حاضر وقت آن است که از فروشگاه صحبت کردن فاصله بگیریم و یک مشکل رایج را حل کنیم:

چگونه یک بیضی بسازیم؟

بله، فقط آن را بگیرید و فقط آن را بکشید. این کار اغلب اتفاق می افتد و بخش قابل توجهی از دانش آموزان به درستی با نقاشی کنار نمی آیند:

مثال 1

بیضی بدست آمده توسط معادله را بسازید

راه حل: ابتدا اجازه دهید معادله را به شکل متعارف برسانیم:

چرا آوردن؟ یکی از مزایای معادله متعارف این است که به شما امکان می دهد فوراً تعیین کنید رئوس بیضی، که در نقاطی قرار دارند. به راحتی می توان فهمید که مختصات هر یک از این نقاط معادله را برآورده می کند.

در در این مورد :


بخشتماس گرفت محور اصلیبیضی
بخش – محور فرعی;
شماره تماس گرفت شفت نیمه اصلیبیضی
شماره – محور فرعی.
در مثال ما: .

برای اینکه سریع تصور کنید یک بیضی خاص چگونه به نظر می رسد، کافی است به مقادیر "a" و "be" معادله متعارف آن نگاه کنید.

همه چیز خوب، مرتب و زیبا است، اما یک نکته وجود دارد: من نقاشی را با استفاده از برنامه انجام دادم. و شما می توانید نقاشی را با استفاده از هر برنامه ای انجام دهید. با این حال، در واقعیت خشن، یک تکه کاغذ شطرنجی روی میز وجود دارد و موش ها به صورت دایره ای روی دستان ما می رقصند. افراد با استعداد هنری، البته، می توانند بحث کنند، اما شما موش هایی نیز دارید (هر چند کوچکتر). بیهوده نیست که بشریت خط کش، قطب نما، نقاله و سایر وسایل ساده را برای طراحی اختراع کرد.

به همین دلیل، بعید است بتوانیم با دانستن رئوس به دقت بیضی بکشیم. اگر بیضی کوچک باشد، مثلاً با نیم محور، مشکلی ندارد. متناوبا، می توانید مقیاس و بر این اساس، ابعاد نقاشی را کاهش دهید. اما به طور کلی یافتن نکات اضافی بسیار مطلوب است.

دو روش برای ساخت بیضی وجود دارد - هندسی و جبری. من ساخت و ساز با استفاده از قطب نما و خط کش را دوست ندارم زیرا الگوریتم کوتاه ترین نیست و ترسیم به طور قابل توجهی به هم ریخته است. در مواقع اضطراری لطفا به کتاب درسی مراجعه کنید، اما در واقع استفاده از ابزار جبر بسیار منطقی تر است. از معادله بیضی در پیش نویس به سرعت بیان می کنیم:

سپس معادله به دو تابع تقسیم می شود:
- قوس بالای بیضی را مشخص می کند.
- قوس پایین بیضی را مشخص می کند.

بیضی تعریف شده توسط معادله متعارف با توجه به محورهای مختصات و همچنین نسبت به مبدا متقارن است. و این عالی است - تقارن تقریباً همیشه منادی رایگان است. بدیهی است که کافی است با یک چهارم مختصات سروکار داشته باشیم، بنابراین به تابع نیاز داریم . برای یافتن نقاط اضافی با ابسیسا التماس می شود . بیایید روی سه پیامک روی ماشین حساب ضربه بزنید:

البته، همچنین خوب است که اگر اشتباه جدی در محاسبات انجام شود، بلافاصله در طول ساخت و ساز مشخص می شود.

اجازه دهید نقاط نقاشی (قرمز) را علامت گذاری کنیم، نقاط متقارن روی کمان های باقی مانده ( آبی) و با دقت کل شرکت را با یک خط وصل کنید:


بهتر است طرح اولیه را خیلی نازک بکشید و فقط پس از آن با مداد فشار وارد کنید. نتیجه باید یک بیضی کاملا مناسب باشد. به هر حال، دوست دارید بدانید این منحنی چیست؟

تعریف بیضی کانون های بیضی و خروج از مرکز بیضی

بیضی یک مورد خاص از بیضی است. کلمه "بیضی" را نباید به معنای فلسطینی فهمید ("کودک بیضی کشید" و غیره). این یک اصطلاح ریاضی است که فرمول بندی دقیقی دارد. هدف این درس در نظر گرفتن تئوری بیضی ها و انواع مختلف آنها نیست که در درس استاندارد هندسه تحلیلی عملاً به آنها توجهی نمی شود. و مطابق با نیازهای فعلی بیشتر، بلافاصله به تعریف دقیق بیضی می رویم:

بیضیمجموعه تمام نقاط صفحه است که مجموع فواصل هر یک از دو نقطه داده شده به نام ترفندهابیضی - از نظر عددی یک کمیت ثابت است برابر طولمحور اصلی این بیضی: .
در عین حال، فواصل بین فوکوس ها کمتر است ارزش داده شده: .

حالا همه چیز واضح تر می شود:

تصور کنید که نقطه آبی در امتداد یک بیضی حرکت می کند. بنابراین، مهم نیست که چه نقطه ای از بیضی را می گیریم، مجموع طول قطعات همیشه یکسان خواهد بود:

بیایید مطمئن شویم که در مثال ما مقدار مجموع واقعاً برابر با هشت است. به طور ذهنی نقطه "um" را در راس سمت راست بیضی قرار دهید، سپس: ، که چیزی است که باید بررسی شود.

روش دیگر ترسیم آن بر اساس تعریف بیضی است. ریاضیات بالاتر گاهی اوقات عامل تنش و استرس است، بنابراین وقت آن است که یک جلسه تخلیه مجدد داشته باشید. لطفاً کاغذ واتمن یا یک ورق مقوای بزرگ بردارید و با دو میخ به میز سنجاق کنید. اینها ترفندهایی خواهند بود. یک نخ سبز به سرهای ناخن بیرون زده ببندید و با مداد آن را تا انتها بکشید. سرب مدادی به نقطه خاصی که متعلق به بیضی است ختم می شود. حالا شروع به کشیدن مداد در امتداد ورق کاغذ کنید و نخ سبز را کشیده نگه دارید. روند را ادامه دهید تا به نقطه شروع برگردید ... عالی ... نقاشی توسط دکتر و معلم قابل بررسی است =)

چگونه کانون بیضی را پیدا کنیم؟

در مثال بالا، من نقاط کانونی "آماده" را به تصویر کشیدم و اکنون یاد خواهیم گرفت که چگونه آنها را از اعماق هندسه استخراج کنیم.

اگر یک بیضی با یک معادله متعارف به دست آید، کانون های آن دارای مختصاتی هستند ، اینجا کجاست فاصله از هر کانون تا مرکز تقارن بیضی.

محاسبات ساده تر از ساده هستند:

! مختصات خاص کانون ها را نمی توان با معنی «تسه» شناسایی کرد!تکرار می کنم که این است DISTANCE از هر کانون تا مرکز(که در حالت کلی لازم نیست دقیقاً در مبدا قرار گیرد).
و بنابراین، فاصله بین کانون ها نیز نمی تواند به موقعیت متعارف بیضی گره بخورد. به عبارت دیگر، بیضی را می توان به مکان دیگری منتقل کرد و مقدار آن بدون تغییر باقی می ماند، در حالی که کانون ها به طور طبیعی مختصات خود را تغییر می دهند. لطفا در نظر بگیرید در حال حاضردر طول مطالعه بیشتر موضوع

خروج از مرکز بیضی و معنای هندسی آن

خروج از مرکز یک بیضی نسبتی است که می تواند مقادیری در محدوده داشته باشد.

در مورد ما:

بیایید دریابیم که چگونه شکل یک بیضی به خارج از مرکز آن بستگی دارد. برای این راس چپ و راست را اصلاح کنیداز بیضی مورد نظر، یعنی مقدار محور نیمه اصلی ثابت می ماند. سپس فرمول خروج از مرکز به شکل زیر در می آید:

بیایید شروع کنیم به نزدیک کردن مقدار خروج از مرکز به وحدت. این تنها در صورتی امکان پذیر است که . به چه معناست؟ ... ترفندها را به خاطر بسپار . این بدان معنی است که کانون های بیضی در امتداد محور آبسیسا به سمت رئوس کناری "از هم دور می شوند". و از آنجایی که "قطعات سبز لاستیکی نیستند"، بیضی به ناچار شروع به صاف شدن می کند و به سوسیس نازک تر و نازک تری تبدیل می شود که روی یک محور قرار گرفته است.

بنابراین، هر چه مقدار خروج از مرکز بیضی به وحدت نزدیکتر باشد، بیضی کشیده تر می شود.

حالا بیایید روند مخالف را مدل کنیم: کانون های بیضی به سمت یکدیگر رفتند و به مرکز نزدیک شدند. این بدان معنی است که مقدار ce کمتر و کمتر می شود و بر این اساس، خروج از مرکز به صفر میل می کند: .
در این حالت، برعکس، "قطعات سبز" " شلوغ می شوند" و شروع به "فشار دادن" خط بیضی به بالا و پایین می کنند.

بنابراین، هر چه مقدار خروج از مرکز به صفر نزدیکتر باشد، بیضی بیشتر به آن شباهت دارد... به مورد محدود کننده زمانی که کانون ها با موفقیت دوباره در مبدا متحد می شوند نگاه کنید:

دایره یک حالت خاص از بیضی است

در واقع، در مورد تساوی نیم محورها، معادله متعارف بیضی شکل می گیرد، که به طور انعکاسی به معادله دایره ای با مرکز در مبدا شعاع "a" تبدیل می شود، که از مدرسه به خوبی شناخته شده است.

در عمل، علامت گذاری با حرف «ر» بیشتر استفاده می شود: . شعاع طول یک قطعه است که هر نقطه از دایره با فاصله شعاع از مرکز جدا می شود.

توجه داشته باشید که تعریف بیضی کاملاً صحیح است: کانون ها بر هم منطبق هستند و مجموع طول بخش های منطبق برای هر نقطه روی دایره ثابت است. از آنجایی که فاصله بین کانون ها است، پس خروج از مرکز هر دایره صفر است.

ساخت یک دایره آسان و سریع است، فقط از یک قطب نما استفاده کنید. با این حال، گاهی اوقات لازم است مختصات برخی از نقاط آن را دریابیم، در این مورد ما به روش آشنا می رویم - معادله را به شکل شاد ماتانوف می آوریم:

- عملکرد نیم دایره بالایی؛
- عملکرد نیم دایره پایین.

سپس مقادیر مورد نیاز را پیدا می کنیم، متمایز کردن, ادغام کردنو کارهای خوب دیگر انجام دهید

البته مقاله فقط برای مرجع است، اما چگونه می توان بدون عشق در جهان زندگی کرد؟ کار خلاقانه برای تصمیم مستقل

مثال 2

معادله متعارف یک بیضی را در صورتی بسازید که یکی از کانون ها و محورهای نیمه فرعی آن شناخته شده باشد (مرکز در مبدا باشد). رئوس، نقاط اضافی را بیابید و روی نقاشی یک خط بکشید. خروج از مرکز را محاسبه کنید.

حل و نقاشی در پایان درس

بیایید یک عمل اضافه کنیم:

بیضی را بچرخانید و موازی کنید

اجازه دهید به معادله متعارف بیضی بازگردیم، یعنی به شرایطی که راز آن از اولین ذکر این منحنی ذهن های کنجکاو را عذاب داده است. بنابراین ما به بیضی نگاه کردیم ، اما آیا در عمل امکان برآوردن معادله وجود ندارد ? بالاخره اینجا اما به نظر بیضی هم هست!

این نوع معادله نادر است، اما وجود دارد. و در واقع یک بیضی را تعریف می کند. بیایید ابهام زدایی کنیم:

در نتیجه ساخت و ساز، بیضی بومی ما به دست آمد که 90 درجه چرخیده است. یعنی - این ورودی غیر متعارفبیضی . ضبط کنید!- معادله هیچ بیضی دیگری را تعریف نمی کند، زیرا هیچ نقطه (کانونی) روی محور وجود ندارد که تعریف بیضی را برآورده کند.

منحنی های مرتبه دومدر یک صفحه خطوطی هستند که توسط معادلاتی تعریف می شوند که در آنها متغیر مختصات است xو yدر درجه دوم قرار دارند. اینها شامل بیضی، هذلولی و سهمی است.

نمای کلیمعادله منحنی مرتبه دوم به صورت زیر است:

کجا الف، ب، ج، د، ای، اف- اعداد و حداقل یکی از ضرایب الف، ب، جبرابر با صفر نیست

هنگام حل مسائل با منحنی های مرتبه دوم، اغلب معادلات متعارف بیضی، هذلولی و سهمی در نظر گرفته می شود. به راحتی می توان از معادلات کلی به آنها اشاره کرد.

بیضی داده شده توسط معادله متعارف

تعریف بیضیبیضی مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که مجموع فواصل آنها از نقاطی که کانون نامیده می شوند مقدار ثابتی بزرگتر از فاصله بین کانون ها باشد.

فوکوس ها مانند شکل زیر نشان داده شده اند.

معادله متعارف بیضی به شکل زیر است:

کجا الفو ب (الف > ب) - طول نیم محورها، یعنی نصف طول قطعات بریده شده توسط بیضی روی محورهای مختصات.

خط مستقیمی که از کانون های بیضی می گذرد، محور تقارن آن است. یکی دیگر از محورهای تقارن بیضی، خط مستقیمی است که از وسط یک قطعه عمود بر این قطعه می گذرد. نقطه در موردتقاطع این خطوط به عنوان مرکز تقارن بیضی یا به سادگی مرکز بیضی عمل می کند.

محور آبسیسا بیضی در نقاط ( الف, در مورد) و (- الف, در مورد) و محور ارتجاعی بر حسب نقاط ( ب, در مورد) و (- ب, در مورد). این چهار نقطه را رئوس بیضی می نامند. بخش بین رئوس بیضی در محور x را محور اصلی آن و در محور ارتین - محور کوچک آن نامیده می شود. قطعات آنها از بالا تا مرکز بیضی را نیمه محور می نامند.

اگر الف = ب، سپس معادله بیضی شکل می گیرد. این معادله یک دایره با شعاع است الفو دایره حالت خاصی از بیضی است. بیضی را می توان از دایره ای با شعاع به دست آورد الف، اگر آن را فشرده کنید الف/ببار در امتداد محور اوه .

مثال 1.بررسی کنید که آیا خطی که با یک معادله کلی داده می شود، است یا خیر ، بیضی

راه حل. معادله کلی را تبدیل می کنیم. ما از انتقال عبارت آزاد به سمت راست، تقسیم عبارت به ترم معادله به همان عدد و کاهش کسری استفاده می کنیم:

پاسخ دهید. معادله ای که در نتیجه تبدیل ها به دست می آید، معادله متعارف بیضی است. بنابراین، این خط یک بیضی است.

مثال 2.معادله متعارف یک بیضی را بسازید که نیم محورهای آن به ترتیب برابر با 5 و 4 باشد.

راه حل. ما به فرمول معادله متعارف یک بیضی نگاه می کنیم و جایگزین می کنیم: محور نیمه اصلی الف= 5، محور نیمی است ب= 4. معادله متعارف بیضی را به دست می آوریم:

نقاط و، با رنگ سبز در محور اصلی، که در آن نشان داده شده است

نامیده می شوند ترفندها.

تماس گرفت عجیب و غریببیضی

نگرش ب/الفمشخص کننده "فرشتی" بیضی است. هر چه این نسبت کوچکتر باشد، بیضی بیشتر در امتداد محور اصلی کشیده می شود. با این حال، درجه ازدیاد طول یک بیضی بیشتر از طریق خروج از مرکز بیان می شود، که فرمول آن در بالا ارائه شده است. برای بیضی های مختلف، خروج از مرکز از 0 تا 1 متغیر است و همیشه کمتر از واحد باقی می ماند.

مثال 3.اگر فاصله کانونها 8 و محور اصلی 10 باشد، معادله متعارف بیضی را بسازید.

راه حل. بیایید چند نتیجه ساده بگیریم:

اگر محور اصلی برابر با 10 باشد، نیمی از آن، یعنی نیم محور. الف = 5 ,

اگر فاصله بین کانون ها 8 باشد، عدد جاز مختصات کانونی برابر با 4 است.

جایگزین می کنیم و محاسبه می کنیم:

نتیجه معادله متعارف بیضی است:

مثال 4.معادله متعارف یک بیضی را بسازید که محور اصلی آن 26 و خروج از مرکز آن باشد.

راه حل. همانطور که از هر دو اندازه محور اصلی و معادله خروج از مرکز نشان داده می شود، محور نیمه اصلی بیضی الف= 13. از معادله خروج از مرکز عدد را بیان می کنیم ج، برای محاسبه طول نیم محور فرعی مورد نیاز است:

.

مجذور طول نیم محور فرعی را محاسبه می کنیم:

معادله متعارف بیضی را می سازیم:

مثال 5.کانون های بیضی را با معادله متعارف تعیین کنید.

راه حل. شماره را پیدا کنید ج، که اولین مختصات کانون های بیضی را تعیین می کند:

.

ما کانون های بیضی را دریافت می کنیم:

مثال 6.کانون های بیضی روی محور قرار دارند گاو نربه طور متقارن در مورد منشاء معادله متعارف بیضی را بسازید اگر:

1) فاصله بین فوکوس ها 30 و محور اصلی 34 است

2) محور کوچک 24، و یکی از کانون ها در نقطه (-5؛ 0) است.

3) خروج از مرکز، و یکی از کانون ها در نقطه (6; 0) است.

بیایید با هم به حل مشکلات بیضی ادامه دهیم

اگر یک نقطه دلخواه از بیضی باشد (در قسمت بالای سمت راست بیضی با رنگ سبز مشخص شده است) و فاصله تا این نقطه از کانون ها باشد، فرمول فواصل به شرح زیر است:

برای هر نقطه متعلق به بیضی، مجموع فواصل از کانون ها یک مقدار ثابت برابر با 2 است. الف.

خطوطی که با معادلات تعریف می شوند

نامیده می شوند مدیرانبیضی (در نقاشی خطوط قرمز در امتداد لبه ها وجود دارد).

از دو معادله بالا به دست می آید که برای هر نقطه از بیضی

,

فاصله این نقطه تا جهات و .

مثال 7.بیضی داده شده است. برای جهات آن معادله بنویسید.

راه حل. ما به معادله مستقیم نگاه می کنیم و متوجه می شویم که باید خروج از مرکز بیضی را پیدا کنیم، یعنی. ما تمام داده ها را برای این کار داریم. محاسبه می کنیم:

.

معادله جهات بیضی را به دست می آوریم:

مثال 8.معادله متعارف یک بیضی را بنویسید اگر کانون آن نقاط و جهت ها خطوط باشند.

قضیه. در سیستم مختصات متعارف برای یک بیضی، معادله بیضی به شکل زیر است:

اثبات ما اثبات را در دو مرحله انجام می دهیم. در مرحله اول، ثابت خواهیم کرد که مختصات هر نقطه ای که روی بیضی قرار دارد، معادله (4) را برآورده می کند. در مرحله دوم، ثابت خواهیم کرد که هر جوابی برای معادله (4) مختصات یک نقطه روی بیضی را به دست می دهد. از اینجا نتیجه خواهد شد که معادله (4) توسط آن نقاط و تنها نقاطی از صفحه مختصات که روی بیضی قرار دارند ارضا می شود. از این و تعریف معادله منحنی نتیجه می شود که معادله (4) معادله بیضی است.

1) نقطه M(x,y) نقطه ای از بیضی باشد، یعنی. مجموع شعاع کانونی آن 2a است:

بیایید از فرمول فاصله بین دو نقطه در صفحه مختصات استفاده کنیم و از این فرمول برای یافتن شعاع کانونی یک نقطه M استفاده کنیم:

از کجا تهیه کنیم:

بیایید یک ریشه را به سمت راست تساوی ببریم و آن را مربع کنیم:

با کاهش، دریافت می کنیم:

ما موارد مشابه را ارائه می دهیم، 4 کاهش می دهیم و رادیکال را حذف می کنیم:

.

مربع کردن

براکت ها را باز کنید و کوتاه کنید:

جایی که به دست می آوریم:

با استفاده از برابری (2) به دست می آوریم:

.

با تقسیم آخرین تساوی بر تساوی (4) و غیره به دست می آید.

2) فرض کنید یک جفت اعداد (x,y) معادله (4) را برآورده کند و فرض کنید M(x,y) نقطه متناظر در صفحه مختصات Oxy باشد.

سپس از (4) چنین می شود:

ما این برابری را با عبارت برای شعاع کانونی نقطه M جایگزین می کنیم:

.

در اینجا از برابری (2) و (3) استفاده کردیم.

بنابراین، . به همین ترتیب، .

حال توجه داشته باشید که از برابری (4) نتیجه می شود که

یا غیره ، سپس نابرابری به صورت زیر است:

از اینجا به نوبه خود نتیجه می شود که

از مساوات (5) نتیجه می شود که، i.e. نقطه M(x,y) نقطه ای از بیضی است و غیره.

قضیه ثابت شده است.

تعریف. معادله (4) معادله متعارف بیضی نامیده می شود.

تعریف. محورهای مختصات متعارف یک بیضی را محورهای اصلی بیضی می نامند.

تعریف. مبدأ سیستم مختصات متعارف بیضی را مرکز بیضی می گویند.

بیضیمکان هندسی نقاط یک صفحه نامیده می شود که برای هر یک از آنها مجموع فواصل دو نقطه داده شده از همان صفحه که کانون بیضی نامیده می شود مقدار ثابتی است. برای یک بیضی، چندین تعریف معادل بیشتر می توان ارائه داد. علاقه مندان می توانند در کتاب های درسی جدی تر هندسه تحلیلی با آنها آشنا شوند. در اینجا فقط اشاره می کنیم که بیضی منحنی است که به صورت برآمدگی بر روی صفحه دایره ای که در صفحه ای که تشکیل می شود به دست می آید. زاویه حادبا یک هواپیما برخلاف دایره، نوشتن معادله بیضی در یک سیستم مختصات دلخواه به شکل "مناسب" ممکن نیست. بنابراین برای یک بیضی ثابت باید یک سیستم مختصات انتخاب کرد تا معادله آن کاملاً ساده باشد. بگذار و کانون بیضی باشد. بیایید مبدا سیستم مختصات را در وسط قطعه قرار دهیم. محور در امتداد این بخش هدایت می شود، محور عمود بر این بخش هدایت می شود

24)هایپربولا

از یک درس ریاضی مدرسه می دانیم که منحنی تعریف شده با معادله، جایی که یک عدد است، هذلولی نامیده می شود. با این حال، این یک مورد خاص از هذلولی (هذلولی متساوی الاضلاع) است. تعریف 12. 5 هذلولی مکان نقاط روی صفحه است که برای هر یک از آنهاست ارزش مطلقتفاوت فاصله تا دو نقطه ثابت از یک صفحه که کانون هذلولی نامیده می شود، یک مقدار ثابت است. همانطور که در مورد بیضی، برای به دست آوردن معادله هذلولی انتخاب می کنیم سیستم مناسبمختصات بیایید مبدا مختصات را در وسط قطعه بین کانون ها قرار دهیم، محور را در امتداد این قطعه هدایت کنیم و محور مختصات را عمود بر آن هدایت کنیم. قضیه 12. 3 فاصله بین کانون ها و هذلولی ها مساوی باشد و قدر مطلق اختلاف فواصل نقطه هذلولی تا کانون ها برابر باشد. سپس هذلولی در سیستم مختصات انتخاب شده در بالا دارای معادله (12.8) است که در آن (12.9) اثبات. نقطه فعلی هذلولی باشد (شکل 12.9). برنج. 12. 9 . از آنجایی که اختلاف بین دو ضلع مثلث کمتر از ضلع سوم است، پس یعنی . بر اساس آخرین نابرابری، عدد واقعی تعریف شده با فرمول (12.9) وجود دارد. طبق قرارداد، تمرکزها عبارتند از . با استفاده از فرمول (10.4) برای حالت صفحه، با تعریف هذلولی این معادله را به شکل هر دو طرف مربع می نویسیم: پس از آوردن عبارت های مشابه و تقسیم بر 4، به برابری می رسیم. دوباره دو طرف را مربع می کنیم: با باز کردن براکت و آوردن عبارت های مشابه، با در نظر گرفتن فرمول (12.9)، معادله به شکل می رسد. بیایید هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم و معادله (12.8) بدست آوریم. معادله (12.8) معادله متعارف هذلولی نامیده می شود. گزاره 12. 3 یک هذلولی دارای دو محور متقارن عمود بر یکدیگر است که یکی از آنها کانون های هذلولی و یک مرکز تقارن را شامل می شود. اگر هذلولی با یک معادله متعارف به دست آید، آنگاه محورهای تقارن آن هستند

دریافت می کنیم: بنابراین، نمودار تابع دارای مجانبی است. از تقارن هذلولی به دست می آید که آن هم مجانبی است. ماهیت منحنی در مجاورت نقطه نامشخص است، یعنی اینکه آیا نمودار شکل می گیرد یا خیر و بخشی از هذلولی که با آن متقارن است نسبت به محور در این نقطه یک زاویه یا یک هذلولی در این نقطه است - یک منحنی صاف (یک مماس وجود دارد). برای حل این مسئله، از معادله (12.8) به صورت زیر بیان می کنیم: بدیهی است که این تابعدارای مشتق در نقطه، و در نقطه هذلولی دارای مماس عمودی است. با استفاده از داده های به دست آمده، نموداری از تابع رسم می کنیم (شکل 12.10). برنج. 12. 10. نمودار یک تابع در نهایت با استفاده از تقارن هذلولی، منحنی شکل 12.11 را به دست می آوریم. برنج. 12. 11-تعریف هایپربولی 12. 6 نقاط تقاطع هذلولی که با معادله متعارف (12.8) با محور تعریف شده اند، راس هذلولی نامیده می شوند، قطعه بین آنها نامیده می شود. محور واقعیهایپربولی پاره محور رده بین نقاط را محور خیالی می گویند. اعداد و به ترتیب نیمه محورهای واقعی و خیالی هذلولی نامیده می شوند. مبدأ مختصات را مرکز آن می گویند. کمیت را خروج از مرکز هذلولی می نامند. تبصره 12. 3 از برابری (12.9) نتیجه می شود که، یعنی برای هذلولی. خروج از مرکز، زاویه بین مجانب را مشخص می کند. تبصره 12. 4 بر خلاف بیضی، در معادله متعارف هذلولی، رابطه بین کمیت ها و می تواند دلخواه باشد. به ویژه، زمانی که ما یک هذلولی متساوی الاضلاع را دریافت می کنیم که از درس ریاضیات مدرسه شناخته می شود. اگر محورها را بگیریم و آنها را در امتداد نیمسازهای زوایای مختصات چهارم و اول هدایت کنیم، شکلی آشنا دارد (شکل 12.12). برنج. 12. 12. هذلولی متساوی الاضلاع برای انعکاس در شکل ویژگی های کیفیبرای یک هذلولی، کافی است رئوس آن را شناسایی کنید، مجانب ها را رسم کنید، و یک منحنی صاف که از رئوس عبور می کند، نزدیک به مجانب ها و شبیه به منحنی شکل 12.10 رسم کنید. مثال 12. 4 یک هذلولی بسازید، کانون و خارج از مرکز آن را پیدا کنید. راه حل. بیایید هر دو طرف معادله را بر 4 تقسیم کنیم. معادله متعارف، . مجانبی ترسیم می کنیم و هذلولی می سازیم (شکل 12.13). برنج. 12. 13. Hyperbola از فرمول (12.9) بدست می آوریم. سپس ترفندها عبارتند از , , . مثال 12. 5 هذلولی بسازید. کانون ها و خارج از مرکز آن را پیدا کنید. راه حل. بیایید معادله را به شکل تبدیل کنیم. با این حال، اگر متغیرها را دوباره طراحی کنیم، آنگاه در متغیرهای جدید معادله متعارف را به دست می آوریم. ، معادله در مختصات اصلی. نیمه محور واقعی برابر با 5 است، یک محور خیالی 2 است. مطابق با این داده ها، ساخت و ساز را انجام می دهیم (شکل 12.14). برنج. 12. 14. هایپربولا با معادله از فرمول (12.9) به دست می آوریم، کانون ها روی محور واقعی - , , جایی که مختصات در سیستم مختصات اصلی نشان داده شده است.

سهمی

در دوره مدرسهریاضیات سهمی را با جزئیات کافی مورد مطالعه قرار داد، که طبق تعریف، نمودار یک مثلث درجه دوم بود. در اینجا تعریف دیگری (هندسی) از سهمی ارائه خواهیم داد. تعریف 12. 7 سهمی مکان هندسی نقاط یک صفحه است که برای هر یک از آنها فاصله تا نقطه ثابتی از این صفحه که کانون نامیده می شود برابر است با فاصله تا یک خط مستقیم ثابت که در همان صفحه قرار دارد و به آن خط مستقیم می گویند. سهمی برای بدست آوردن معادله منحنی متناظر با این تعریف، یک سیستم مختصات مناسب را معرفی می کنیم. برای انجام این کار، عمود را از کانون به سمت جهت پایین بیاورید. بیایید مبدا مختصات را در وسط پاره قرار دهیم و محور را در امتداد قطعه طوری هدایت کنیم که جهت آن با جهت بردار منطبق باشد. بیایید محور عمود بر محور را رسم کنیم (شکل 12.15). برنج. 12. 15. قضیه 12. 4 بگذارید فاصله بین کانون و جهت سهمی برابر باشد. سپس در سیستم مختصات انتخاب شده سهمی معادله (12.10) اثبات است. در سیستم مختصات انتخاب شده، کانون سهمی نقطه است و جهت مدار دارای معادله است (شکل 12.15). بگذارید نقطه فعلی سهمی باشد. سپس با استفاده از فرمول (10.4) برای صفحه مورد، پیدا می کنیم فاصله از یک نقطه تا جهاز، طول عمودی است که از نقطه به جهات کاهش می یابد. از شکل 12.15 واضح است که . سپس با تعریف سهمی، یعنی بیایید دو طرف آخرین معادله را مربع کنیم: کجا پس از آوردن عبارت های مشابه، معادله (12.10) را به دست می آوریم. معادله (12.10) معادله متعارف سهمی نامیده می شود. گزاره 12. 4 سهمی دارای یک محور تقارن است. اگر سهمی با یک معادله متعارف به دست آید، آنگاه محور تقارن با محور منطبق است. اثبات به همان روش اثبات ادامه دهید (گزاره های 12.1). نقطه تلاقی محور تقارن با سهمی را رأس سهمی می نامند. اگر متغیرها را دوباره طراحی کنیم، می توان معادله (12.10) را به شکلی نوشت که با معادله سهمی معمول در یک درس ریاضی مدرسه مطابقت دارد. بنابراین، ما یک سهمی را بدون تحقیق اضافی ترسیم می کنیم (شکل 12.16). برنج. 12. 16. پارابولا مثال 12. 6 سهمی بسازید. تمرکز و کارگردان او را پیدا کنید. راه حل. معادله معادله متعارف سهمی است، . محور سهمی محور است، راس در مبدا است، شاخه های سهمی در امتداد محور هدایت می شوند. برای ساختن، چند نقطه از سهمی را خواهیم یافت. برای این کار مقادیری را به متغیر اختصاص می دهیم و مقادیر را پیدا می کنیم. بیایید امتیاز بگیریم , , . با در نظر گرفتن تقارن حول محور، منحنی رسم می کنیم (شکل 12.17) برنج. 12. 17. سهمی که با معادله Focus به دست می آید روی محور در فاصله ای از راس قرار دارد، یعنی دارای مختصاتی است. Directrix یک معادله دارد، یعنی . سهمی مانند یک بیضی دارای خاصیت مرتبط با بازتاب نور است (شکل 12.18). بیایید دوباره این ویژگی را بدون اثبات فرمول بندی کنیم. گزاره 12. 5 بگذارید کانون سهمی، یک نقطه دلخواه سهمی، و یک پرتو با مبدأ آن در نقطه ای موازی با محور سهمی باشد. سپس نرمال به سهمی در نقطه، زاویه تشکیل شده توسط قطعه و پرتو را به نصف تقسیم می کند. برنج. 12. 18. انعکاس یک پرتو نور از یک سهمی این ویژگی به این معنی است که پرتوی از نور که از کانون خارج می‌شود و از سهمی منعکس می‌شود، به موازات محور این سهمی خواهد رفت. و برعکس، تمام پرتوهایی که از بی نهایت و موازی با محور سهمی می آیند در کانون آن همگرا خواهند شد. این ویژگی به طور گسترده در فناوری استفاده می شود. نورافکن ها معمولا دارای یک آینه هستند که سطح آن با چرخش سهمی حول محور تقارن آن (آینه سهموی) به دست می آید. منبع نور در نورافکن ها در کانون یک سهمی قرار می گیرد. در نتیجه، نورافکن پرتویی از پرتوهای تقریباً موازی نور تولید می کند. از همین ویژگی در دریافت آنتن برای ارتباطات فضایی و در آینه های تلسکوپ استفاده می شود که جریانی از پرتوهای موازی امواج رادیویی یا جریانی از پرتوهای موازی نور را جمع آوری کرده و در کانون آینه متمرکز می کنند.

26) تعریف ماتریس. ماتریس یک جدول مستطیلی از اعداد است که شامل تعداد مشخصی m ردیف و تعداد مشخصی n ستون است.

مفاهیم اساسی ماتریس: اعداد m و n را مرتبه های ماتریس می گویند. اگر m=n، ماتریس نامیده می شود مربعو عدد m=n ترتیب آن است.

در ادامه، از نماد زیر برای نوشتن ماتریس استفاده می شود:

اگرچه گاهی اوقات در ادبیات این نام ظاهر می شود:

با این حال، برای نشان دادن مختصر یک ماتریس، اغلب از یک حرف بزرگ از الفبای لاتین استفاده می شود (مثلا A)، یا نماد ||a ij ||، و گاهی اوقات با توضیح: A=||a ij ||= (a ij) (i =1،2،...،m؛ j=1،2،...n)

اعداد a ij موجود در این ماتریس را عناصر آن می نامند. در ورودی a ij، شاخص اول i به معنای شماره ردیف و شاخص دوم j به معنای شماره ستون است.

به عنوان مثال، ماتریس

این ماتریسی از مرتبه 2×3 است، عناصر آن عبارتند از 11 = 1، 12 = x، 13 = 3، 21 =-2y، ...

بنابراین، ما تعریف ماتریس را معرفی کرده ایم. اجازه دهید انواع ماتریس ها را در نظر بگیریم و تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

انواع ماتریس ها

اجازه دهید مفهوم ماتریس ها را معرفی کنیم: مربع، مورب، واحد و صفر.

تعریف ماتریس مربع: ماتریس مربعیک ماتریس مرتبه n، ماتریس n×n نامیده می شود.

در مورد ماتریس مربع

مفهوم قطرهای اصلی و فرعی معرفی شده است. مورب اصلیماتریس قطری است که از گوشه سمت چپ بالای ماتریس به گوشه سمت راست پایین آن می رود.

مورب جانبیاز همان ماتریس، مورب از گوشه پایین سمت چپ به گوشه بالا سمت راست نامیده می شود.

مفهوم ماتریس مورب: موربیک ماتریس مربع است که در آن تمام عناصر خارج از قطر اصلی برابر با صفر هستند.

مفهوم ماتریس هویت: مجرد(گاهی با E نشان داده می شود) یک ماتریس مورب نامیده می شود که ماتریس هایی روی قطر اصلی قرار دارند.

مفهوم ماتریس صفر:پوچماتریسی است که همه عناصر آن صفر هستند.

دو ماتریس A و B اگر اندازه یکسانی داشته باشند (یعنی تعداد سطرها و تعداد ستونهای آنها یکسان باشد و عناصر متناظر آنها مساوی باشند) برابر هستند (A=B) گفته می شود. بنابراین، اگر

سپس A=B، اگر a 11 =b 11، a 12 =b 12، a 21 =b 21، a 22 =b 22

ماتریس از نوع خاص

ماتریس مربع تماس گرفت مثلثی بالا، اگر در i>j، و مثلثی پایین، اگر در من