1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!
Определение матрицы
Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.
Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.
Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.
Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.
Операции сложения и вычитания матриц
Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.
Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.
На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:
Операция умножения матриц
Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:
И пример с реальными числами. Умножим матрицы:
Операция транспонирования матрицы
Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:
Определитель матрицы
Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!
Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.
А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.
Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.
Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.
Определение 1. Матрицей А размера m n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений (называемых элементами матрицы),i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
,
или
Определение
2.
Две матрицы
и
одного размера называютсяравными
,
если они совпадают поэлементно, т.е.
=
,i
= 1,2,3,…,m,
j
= 1,2,3,…,n.
С помощью матриц легко записывать некоторые экономические зависимости, например таблицы распределения ресурсов по некоторым отраслям экономики.
Определение 3. Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n , а в противном случае прямоугольной.
Определение 4. Переход от матрицы А к матрице А т, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы.
Виды
матриц: квадратная (размера 33)
-
,
прямоугольная
(размера 25)
-
,
диагональная
-
,
единичная -
,
нулевая -
,
матрица-строка
-
,
матрица-столбец -.
Определение
5.
Элементы
квадратной матрицы порядка n
с одинаковыми индексами называются
элементами главной диагонали, т.е. это
элементы:
.
Определение 6. Элементы квадратной матрицы порядка n называются элементами побочной диагонали, если сумма их индексов равна n + 1, т.е. это элементы: .
1.2. Операции над матрицами.
1
0
.
Суммой
двух матриц
и
одинакового размера называется матрица
С = (с ij),
элементы которой определяются равенством
с ij
= a ij
+ b ij ,
(i
= 1,2,3,…,m,
j
= 1,2,3,…,n).
Свойства операции сложения матриц.
Для любых матриц А,В,С одного размера выполняются равенства:
1) А + В = В + А (коммутативность),
2) (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность).
2
0
.
Произведением
матрицы
на число
называется матрица
того же размера, что и матрица А, причемb ij
= 
(i
= 1,2,3,…,m,
j
= 1,2,3,…,n).
Свойства операции умножения матрицы на число.
(А) = ()А (ассоциативность умножения);
(А+В) = А+В (дистрибутивность умножения относительно сложения матриц);
(+)А = А+А (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел).
Определение 7.
Линейной
комбинацией матриц
и
одинакового размера называется выражение
видаА+В,
где
и
- произвольные числа.
3 0 . Произведением А В матриц А и В соответственно размеров mn и nk называется матрица С размера mk, такая, что элемент с ij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В, т.е. с ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .
Произведение АВ существует, только в том случае, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.
Свойства операции умножения матриц:
(АВ)С = А(ВС) (ассоциативность);
(А+В)С = АС+ВС (дистрибутивность относительно сложения матриц);
А(В+С) = АВ+АС (дистрибутивность относительно сложения матриц);
АВ ВА (не коммутативность).
Определение 8. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими или перестановочными.
Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.
Определение 9. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие операции:
Перемена местами двух строк (столбцов).
Умножение каждого элемента строки (столбца) на число, отличное от нуля.
Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).
Определение 10. Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований называется эквивалентной (обозначается ВА).
Пример 1.1. Найти линейную комбинацию матриц 2А–3В, если
,
.
,
,
.
Пример
1.2.
Найти
произведение матриц
,
если
.
Решение:
т.к количество столбцов первой матрицы
совпадает с количеством строк второй
матрицы, то произведение матриц
существует. В результате получаем новую
матрицу
,
где
В
результате получим
.
Лекция 2. Определители. Вычисление определителей второго, третьего порядка. Свойства определителей n -го порядка.
Матрица обозначается заглавными латинскими буквами (А , В , С,. ..).
Определение 1 . Прямоугольная таблица вида ,
состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей .
Элемент матрицы, i – номер строки, j – номер столбца.
Виды матриц:
элементов, стоящих на главной диагонали:
trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .
§2. Определители 2, 3 и n-го порядка
Пусть даны две квадратные матрицы:
Определение
1
.
Определителем второго порядка матрицы
А
1
называется число, обозначаемое ∆ и
равное
,
где
Пример . Вычислить определитель 2-го порядка:
Определение 2 . Определителем 3-го порядка квадратной матрицы А 2 называется число вида:
Это один из способов вычисления определителя.
Пример. Вычислить
Определение 3 . Если определитель состоит из n-строк и n-столбцов, то он называется определителем n-го порядка.
Свойства определителей:
Определитель не меняется при транспонировании (т.е. если в нем строки и столбцы поменять местами с сохранением порядка следования).
Если в определителе поменять местами какие-либо две строки или два столбца, то определитель изменит только знак.
Общий множитель какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
Определитель равен нулю, если элементы каких-либо двух строк равны или пропорциональны.
Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Пример.
Определение 4. Определитель, полученный из данного путем вычеркивания столбца и строки, называется минором соответствующего элемента. М ij элемента a ij .
Определение 5. Алгебраическим дополнением элемента а ij , называется выражение
§3. Действия над матрицами
Линейные операции
1)При сложении матриц складываются их одноименные элементы.
При вычитании матриц вычитаются их одноименные элементы.
При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число:
3.2.Умножение матриц.
Произведение матрицы А на матрицу В есть новая матрица , элементы которой равны сумме произведений элементовi-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В . Произведение матрицы А на матрицу В можно находить только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В противном случае, произведение невозможно.
Замечание:
(не подчиняется свойству коммутативности)
§ 4. Обратная матрица
Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, причем матрица должна быть невырожденной.
Определение 1. Матрица А называется невырожденной , если определитель этой матрицы не равен нулю
Определение 2. А -1 называется обратной матрицей для данной невырожденной квадратной матрицы А , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так слева получается единичная матрица.
Алгоритм вычисления обратной матрицы
1 способ (с помощью алгебраических дополнений)
Пример
1:
Матрицы в математике - один из важнейших объектов, имеющих прикладное значение. Часто экскурс в теорию матриц начинают со слов: "Матрица - это прямоугольная таблица...". Мы начнём этот экскурс несколько с другой стороны.
Телефонные книги любого размера и с любым числом данных об абоненте - ни что иное, как матрицы. Такие матрицы имеют примерно следующий вид:
Ясно, что такими матрицами мы все пользуемся почти каждый день. Эти матрицы бывают с различным числом строк (различаются как выпущенный телефонной компанией справочник, в котором могут быть тысячи, сотни тысяч и даже миллионы строк и только что начатая Вами новая записная книжка, в которой меньше десяти строк) и столбцов (справочник должностных лиц какой-нибудь организации, в котором могут быть такие столбцы, как должность и номер кабинета и та же Ваша записная книжка, где может не быть никаких данных, кроме имени, и, таким образом, в ней только два столбца - имя и телефон).
Всякие матрицы можно складывать и умножать, а также проводить над ними другие операции, однако нет необходимости складывать и умножать телефонные справочники, от этого нет никакой пользы, к тому же можно и подвинуться рассудком.
Но очень многие матрицы можно и нужно складывать и перемножать и решать таким образом различные насущные задачи. Ниже примеры таких матриц.
Матрицы, в которых столбцы - выпуск единиц продукции того или иного вида, а строки - годы, в которых ведётся учёт выпуска этой продукции:
Можно складывать матрицы такого вида, в которых учтён выпуск аналогичной продукции различными предприятиями, чтобы получить суммарные данные по отрасли.
Или матрицы, состоящие, к примеру, из одного столбца, в которых строки - средняя себестоимость того или иного вида продукции:
Матрицы двух последних видов можно умножать, а в результате получится матрица-строка, содержащая себестоимость всех видов продукции по годам.
Матрицы, основные определения
Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m строках и n столбцах, называется mn-матрицей (или просто матрицей ) и записывается так:
(1)
В матрице (1) числа называются её элементами (как и в определителе, первый индекс означает номер строки, второй – столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, n ).
Матрица называется прямоугольной , если .
Если же m = n , то матрица называется квадратной , а число n – её порядком .
Определителем квадратной матрицы A называется определитель, элементами которого являются элементы матрицы A . Он обозначается символом |A |.
Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной , несингулярной ), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной , сингулярной ), если её определитель равен нулю.
Матрицы называются равными , если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.
Матрица называется нулевой , если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0 или .
Например,
Матрицей-строкой (или строчной ) называется 1n -матрица, а матрицей-столбцом (или столбцовой ) – m 1-матрица.
Матрица A " , которая получается из матрицы A заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированной относительно матрицы A . Таким образом, для матрицы (1) транспонированной является матрица
Операция перехода к матрице A " , транспонированной относительно матрицы A , называется транспонированием матрицы A . Для mn -матрицы транспонированной является nm -матрица.
Транспонированной относительно матрицы является матрица A , то есть
(A ")" = A .
Пример 1. Найти матрицу A " , транспонированную относительно матрицы
и выяснить, равны ли определители исходной и транспонированной матриц.
Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными .
Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной . Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю.
Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны одному и тому же числу, отличному от нуля, а все прочие равны нулю, называется скалярной матрицей .
Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичной матрицей третьего порядка является матрица
Пример 2. Даны матрицы:
Решение. Вычислим определители данных матриц. Пользуясь правилом треугольников, найдём
Определитель матрицы B
вычислим по формуле 
Легко получаем, что 
Следовательно, матрицы A и – неособенные (невырожденные, несингулярные), а матрица B – особенная (вырожденная, сингулярная).
Определитель единичной матрицы любого порядка, очевидно, равен единице.
Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 3. Даны матрицы
,
,
Установить, какие из них являются неособенными (невырожденными, несингулярными).
Применение матриц в математико-экономическом моделировании
В виде матриц просто и удобно записываются структурированные данные о том или ином объекте. Матричные модели создаются не только для хранения этих структурированных данных, но и для решения различных задач с этими данными средствами линейной алгебры.
Так, известной матричной моделью экономики является модель "затраты-выпуск", внедрённая американским экономистом русского происхождения Василием Леонтьевым. Эта модель исходит из предположения, что весь производственный сектор экономики разбит на n чистых отраслей. Каждая из отраслей выпускает продукцию только одного вида и разные отрасли выпускают разную продукцию. Из-за такого разделения труда между отраслями существуют межотраслевые связи, смысл которых состоит в том, что часть продукции каждой отрасли передаётся другим отраслям в качестве ресурса производства.
Объём продукции i -й отрасли (измеряемый определённой единицей измерения), которая была произведена за отчётный период, обозначается через и называется полным выпуском i -й отрасли. Выпуски удобно разместить в n -компонентную строку матрицы.
Количество единиц продукции i -й отрасли, которое необходимо затратить j -й отрасли для производства единицы своей продукции, обозначается и называется коэффициентом прямых затрат.
Матрицей размера m ? n называется прямоугольная таблица чисел, содержащих m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита (A,B,C…) , а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией:
Где i - номер строки, j - номер столбца.
Например, матрица
Или в сокращённой записи, A=(); i =1,2…, m ; j=1,2, …, n.
Используются другие обозначения матрицы например: , ? ?.
Две матрицы А и В одного размера называются равными , если они совпадают поэлементно,т.е. = , где i= 1, 2, 3, …, m , а j = 1, 2, 3, …, n.
Рассмотрим основные типы матриц:
1. Пусть m = n, тогда матрица А - квадратная матрица, которая имеет порядок n:
Элементы образуют главную диагональ, элементы образуют побочную диагональ.
Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю:
Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной , если все элементы главной диагонали равны 1:
Заметим, что единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а также подчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц.
Приведем примеры единичных матриц:
Квадратные матрицы
называются верхней и нижней треугольными соответственно.
- 2. Пусть m = 1, тогда матрица А - матрица-строка, которая имеет вид:
- 3. Пусть n =1, тогда матрица А - матрица-столбец, которая имеет вид:
4. Нулевой матрицей называется матрица порядка mn, все элементы которой равны 0:
Заметим, что нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел.
5. Матрица называется транспонированной к матрице и обозначается, если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы.
Пример . Пусть
Заметим, если матрица А имеет порядок mn , то транспонированная матрица имеет порядок nm .
6. Матрица А называется симметричной, если А=, и кососимметричной, если А = .
Пример . Исследовать на симметричность матрицы А и В .
следовательно, матрица А - симметричная, так как А = .
следовательно, матрица В - кососимметричная, так как В = - .
Заметим, что симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные. На главной диагонали симметричной матрицы могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть На главной диагонали кососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главной диагонали
матрица квадратный лаплас аннулирование
