पॉवर फंक्शन परिभाषित करा आणि उदाहरणे द्या. "पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म" या विषयाचा अभ्यास करण्याची पद्धत

पॉवर फंक्शनफॉर्मचे कार्य आहे y = xp, जेथे p ही दिलेली वास्तविक संख्या आहे.

पॉवर फंक्शन गुणधर्म

जर सूचक p = 2n- सम नैसर्गिक संख्या:
- व्याख्येचे डोमेन सर्व वास्तविक संख्या आहेत, म्हणजे, संच R;
- मूल्यांचा संच - नकारात्मक नसलेल्या संख्या, म्हणजे y ≥ 0;
- कार्य सम आहे;
- इंटरव्हल x ≤ 0 वर फंक्शन कमी होत आहे आणि इंटरव्हल x ≥ 0 वर वाढत आहे.
p = 2n सह फंक्शनचे उदाहरण: y=x4.

जर सूचक p = 2n - 1- विषम नैसर्गिक संख्या:
- परिभाषाचे डोमेन - सेट आर;
- मूल्यांचा संच - आर सेट करा;
- कार्य विषम आहे;
- संपूर्ण वास्तविक अक्षावर कार्य वाढत आहे.
p = 2n - 1 सह फंक्शनचे उदाहरण: y=x5.

जर सूचक p=-2n, कुठे n- नैसर्गिक संख्या:
- मूल्यांचा संच - सकारात्मक संख्या y > 0;
- कार्य सम आहे;
- इंटरव्हल x 0 वर फंक्शन वाढत आहे.
p = -2n सह फंक्शनचे उदाहरण: y = 1/x2.

जर सूचक p = -(2n - 1), कुठे n- नैसर्गिक संख्या:
- एक्स = 0 व्यतिरिक्त, परिभाषेचे डोमेन सेट R आहे;
- मूल्यांचा संच - R सेट करा, y = 0 वगळता;
- कार्य विषम आहे;
- अंतराल x 0 वर फंक्शन कमी होत आहे.
p = -(2n - 1) सह फंक्शनचे उदाहरण: y = 1/x3.

जर सूचक pएक सकारात्मक वास्तविक पूर्णांक नसलेली संख्या आहे:
- व्याख्येचे डोमेन - नॉन-नकारात्मक संख्या x ≥ 0;
- मूल्यांचा संच - नॉन-नकारात्मक संख्या y ≥ 0;
- इंटरव्हल x ≥ 0 वर फंक्शन वाढत आहे.
घातांक p सह फंक्शनचे उदाहरण, जेथे p हा सकारात्मक वास्तविक पूर्णांक नसतो: y=x4/3.

जर सूचक pएक ऋण वास्तविक पूर्णांक नसलेली संख्या आहे:
- व्याख्येचे डोमेन - सकारात्मक संख्या x > 0;
- मूल्यांचा संच - सकारात्मक संख्या y > 0;
- अंतराल x > ० वर फंक्शन कमी होत आहे.
घातांक p सह फंक्शनचे उदाहरण, जेथे p हा ऋणात्मक वास्तविक नसलेला पूर्णांक आहे: y=x-1/3.

ग्रेड 10

पॉवर फंक्शन

शक्ती म्हणतातसूत्राद्वारे दिलेले कार्यकुठे, p – काही वास्तविक संख्या.

आय . निर्देशांकसम नैसर्गिक संख्या आहे. मग पॉवर फंक्शन कुठेn

डी ( y )= (−; +).

2) फंक्शनची व्याप्ती गैर-ऋणात्मक संख्यांचा संच आहे जर:

नॉन-पॉझिटिव्ह संख्यांचा संच जर:

3) ) . तर फंक्शनओय .

4) जर, तर फंक्शन कमी होतेएक्स (-; 0] आणि सह वाढतेएक्स आणि येथे कमी होतेएक्स \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

आलेख (चित्र 2).

आकृती 2. फंक्शनचा आलेख $f\left(x\right)=x^(2n)$

नैसर्गिक विषम घातांकासह पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म

व्याख्येचे क्षेत्र म्हणजे सर्व वास्तविक संख्या.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ हे विषम कार्य आहे.

$f(x)$ संपूर्ण परिभाषेच्या डोमेनवर सतत आहे.

श्रेणी ही सर्व वास्तविक संख्या आहे.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

फंक्शन संपूर्ण व्याख्या डोमेनवर वाढते.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ साठी.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\उजवीकडे)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

फंक्शन $x\in (-\infty ,0)$ साठी अवतल आहे आणि $x\in (0,+\infty)$ साठी उत्तल आहे.

आलेख (चित्र 3).

आकृती 3. फंक्शनचा आलेख $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

पूर्णांक घातांकासह पॉवर फंक्शन

सुरुवातीला, आम्ही पूर्णांक घातांकासह पदवीची संकल्पना सादर करतो.

व्याख्या 3

पूर्णांक घातांकासह $a$ ची डिग्री $n$ सूत्राद्वारे निर्धारित केली जाते:

आकृती 4

आता पूर्णांक घातांक, त्याचे गुणधर्म आणि आलेख असलेले पॉवर फंक्शन विचारात घ्या.

व्याख्या 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ ला पूर्णांक घातांकासह पॉवर फंक्शन म्हणतात.

जर अंश शून्यापेक्षा जास्त असेल, तर आपण नैसर्गिक घातांक असलेल्या पॉवर फंक्शनच्या बाबतीत येऊ. आम्ही आधीच वर चर्चा केली आहे. $n=0$ साठी आपल्याला $y=1$ एक रेखीय फंक्शन मिळेल. त्याचा विचार आम्ही वाचकावर सोडतो. ऋण पूर्णांक घातांकासह पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म विचारात घेणे बाकी आहे

ऋण पूर्णांक घातांकासह पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म

व्याप्ती $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ आहे.

जर घातांक सम असेल तर फंक्शन सम असेल; जर ते विषम असेल तर फंक्शन विषम असेल.

$f(x)$ संपूर्ण परिभाषेच्या डोमेनवर सतत आहे.

मूल्याची श्रेणी:

घातांक सम असल्यास, $(0,+\infty)$, विषम असल्यास, $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

घातांक विषम असल्यास, फंक्शन $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ म्हणून कमी होते. सम घातांकासाठी, फंक्शन $x\in (0,+\infty)$ म्हणून कमी होते. आणि $x\in \left(-\infty ,0\right)$ म्हणून वाढते.

संपूर्ण डोमेनवर $f(x)\ge 0$

पॉवर फंक्शन y = x p च्या डोमेनवर, खालील सूत्रे धारण करतात:
; ;
;
; ;
; ;
; .

पॉवर फंक्शन्सचे गुणधर्म आणि त्यांचे आलेख

शून्य, p = 0 च्या घातांकासह पॉवर फंक्शन

जर पॉवर फंक्शनचे घातांक y = x p शून्य, p = 0 बरोबर असेल, तर पॉवर फंक्शन सर्व x ≠ 0 साठी परिभाषित केले जाईल आणि स्थिर असेल, एक समान असेल:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

नैसर्गिक विषम घातांकासह पॉवर फंक्शन, p = n = 1, 3, 5, ...

नैसर्गिक विषम घातांक n = 1, 3, 5, ... सह पॉवर फंक्शन y = x p = x n विचारात घ्या. असा सूचक असे देखील लिहिला जाऊ शकतो: n = 2k + 1, जेथे k = 0, 1, 2, 3, ... एक गैर-ऋण पूर्णांक आहे. खाली अशा फंक्शन्सचे गुणधर्म आणि आलेख आहेत.

n = 1, 3, 5, ... च्या विविध मूल्यांसाठी नैसर्गिक विषम घातांकासह पॉवर फंक्शन y = x n चा आलेख.

डोमेन: -∞ < x < ∞
एकाधिक मूल्ये: -∞ < y < ∞
समता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:नीरसपणे वाढते
अतिरेक:नाही
उत्तल:
येथे -∞< x < 0 выпукла вверх
० वर< x < ∞ выпукла вниз
ब्रेकपॉइंट्स: x=0, y=0
x=0, y=0
मर्यादा:
;
खाजगी मूल्ये:
x = -1 वर,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0, y(0) = 0 n = 0 साठी
x = 1, y(1) = 1 n = 1 साठी
उलट कार्य:
n = 1 साठी, फंक्शन स्वतःच्या उलट आहे: x = y
n ≠ 1 साठी, व्यस्त कार्य हे अंश n चे मूळ आहे:

नैसर्गिक सम घातांकासह पॉवर फंक्शन, p = n = 2, 4, 6, ...

नैसर्गिक सम घातांक n = 2, 4, 6, ... सह पॉवर फंक्शन y = x p = x n विचारात घ्या. असा सूचक असेही लिहिला जाऊ शकतो: n = 2k, जेथे k = 1, 2, 3, ... ही नैसर्गिक संख्या आहे. अशा फंक्शन्सचे गुणधर्म आणि आलेख खाली दिले आहेत.

n = 2, 4, 6, ... च्या विविध मूल्यांसाठी नैसर्गिक सम घातांकासह पॉवर फंक्शन y = x n चा आलेख.

डोमेन: -∞ < x < ∞
एकाधिक मूल्ये: 0 ≤ y< ∞
समता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x ≤ 0 साठी नीरसपणे कमी होते
x ≥ 0 साठी मोनोटोनिकली वाढते
अतिरेक:किमान, x=0, y=0
उत्तल:उत्तल खाली
ब्रेकपॉइंट्स:नाही
समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू: x=0, y=0
मर्यादा:
;
खाजगी मूल्ये:
x = -1 साठी, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0, y(0) = 0 n = 0 साठी
x = 1, y(1) = 1 n = 1 साठी
उलट कार्य:
n = 2 साठी, वर्गमूळ:
n ≠ 2 साठी, अंश n चे मूळ:

पूर्णांक ऋण घातांकासह पॉवर फंक्शन, p = n = -1, -2, -3, ...

ऋण पूर्णांक घातांक n = -1, -2, -3, ... सह पॉवर फंक्शन y = x p = x n विचारात घ्या. जर आपण n = -k ठेवले, जेथे k = 1, 2, 3, ... ही नैसर्गिक संख्या आहे, तर ती खालीलप्रमाणे दर्शविली जाऊ शकते:

घातांक n = -1, -2, -3, ... च्या विविध मूल्यांसाठी ऋण पूर्णांक घातांकासह पॉवर फंक्शन y = x n चा आलेख.

विषम घातांक, n = -1, -3, -5, ...

खाली y = x n या विषम ऋण घातांकासह n = -1, -3, -5, ... फंक्शनचे गुणधर्म आहेत.

डोमेन: x ≠ 0
एकाधिक मूल्ये: y ≠ 0
समता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:नीरसपणे कमी होते
अतिरेक:नाही
उत्तल:
x येथे< 0 : выпукла вверх
x > 0 साठी : उत्तल खाली
ब्रेकपॉइंट्स:नाही
समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू:नाही
चिन्ह:
x येथे< 0, y < 0
x > 0, y > 0 साठी
मर्यादा:
; ; ;
खाजगी मूल्ये:
x = 1, y(1) = 1 n = 1 साठी
उलट कार्य:
n = -1 साठी,
n साठी< -2 ,

सम घातांक, n = -2, -4, -6, ...

खाली सम ऋण घातांक n = -2, -4, -6, ... सह y = x n फंक्शनचे गुणधर्म आहेत.

डोमेन: x ≠ 0
एकाधिक मूल्ये: y > 0
समता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x येथे< 0 : монотонно возрастает
x > 0 साठी : नीरसपणे कमी होत आहे
अतिरेक:नाही
उत्तल:उत्तल खाली
ब्रेकपॉइंट्स:नाही
समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू:नाही
चिन्ह: y > 0
मर्यादा:
; ; ;
खाजगी मूल्ये:
x = 1, y(1) = 1 n = 1 साठी
उलट कार्य:
n = -2 साठी,
n साठी< -2 ,

परिमेय (अपूर्णांक) घातांकासह पॉवर फंक्शन

परिमेय (अपूर्णांक) घातांकासह पॉवर फंक्शन y = x p विचारात घ्या, जेथे n पूर्णांक आहे, m > 1 ही नैसर्गिक संख्या आहे. शिवाय, n, m मध्ये सामान्य विभाजक नाहीत.

अंशात्मक निर्देशकाचा भाजक विषम आहे

अपूर्णांक घातांकाचा भाजक विषम असू द्या: m = 3, 5, 7, ... . या प्रकरणात, पॉवर फंक्शन x p हे दोन्ही सकारात्मक आणि ऋण x मूल्यांसाठी परिभाषित केले आहे. जेव्हा घातांक p विशिष्ट मर्यादेत असतो तेव्हा अशा पॉवर फंक्शन्सचे गुणधर्म विचारात घ्या.

p नकारात्मक आहे, p< 0

परिमेय घातांक (विषम भाजक m = 3, 5, 7, ... सह) शून्यापेक्षा कमी असू द्या: .

घातांकाच्या विविध मूल्यांसाठी परिमेय ऋणात्मक घातांकासह घातांकीय कार्यांचे आलेख, जेथे m = 3, 5, 7, ... विषम आहे.

विषम अंश, n = -1, -3, -5, ...

परिमेय ऋण घातांकासह y = x p या पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म येथे आहेत, जेथे n = -1, -3, -5, ... एक विषम ऋण पूर्णांक आहे, m = 3, 5, 7 ... एक आहे विषम नैसर्गिक संख्या.

डोमेन: x ≠ 0
एकाधिक मूल्ये: y ≠ 0
समता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:नीरसपणे कमी होते
अतिरेक:नाही
उत्तल:
x येथे< 0 : выпукла вверх
x > 0 साठी : उत्तल खाली
ब्रेकपॉइंट्स:नाही
समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू:नाही
चिन्ह:
x येथे< 0, y < 0
x > 0, y > 0 साठी
मर्यादा:
; ; ;
खाजगी मूल्ये:
x = -1, y(-1) = (-1) n = -1 साठी
x = 1, y(1) = 1 n = 1 साठी
उलट कार्य:

सम अंश, n = -2, -4, -6, ...

परिमेय ऋणात्मक घातांकासह पॉवर फंक्शन y = x p चे गुणधर्म, जेथे n = -2, -4, -6, ... ही सम ऋण पूर्णांक आहे, m = 3, 5, 7 ... ही विषम नैसर्गिक संख्या आहे .

डोमेन: x ≠ 0
एकाधिक मूल्ये: y > 0
समता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x येथे< 0 : монотонно возрастает
x > 0 साठी : नीरसपणे कमी होत आहे
अतिरेक:नाही
उत्तल:उत्तल खाली
ब्रेकपॉइंट्स:नाही
समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू:नाही
चिन्ह: y > 0
मर्यादा:
; ; ;
खाजगी मूल्ये:
x = -1, y(-1) = (-1) n = 1 साठी
x = 1, y(1) = 1 n = 1 साठी
उलट कार्य:

p-मूल्य सकारात्मक आहे, एक पेक्षा कमी, 0< p < 1

परिमेय घातांकासह पॉवर फंक्शनचा आलेख (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

विषम अंश, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

डोमेन: -∞ < x < +∞
एकाधिक मूल्ये: -∞ < y < +∞
समता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:नीरसपणे वाढते
अतिरेक:नाही
उत्तल:
x येथे< 0 : выпукла вниз
x > ० साठी : उत्तल वर
ब्रेकपॉइंट्स: x=0, y=0
समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू: x=0, y=0
चिन्ह:
x येथे< 0, y < 0
x > 0, y > 0 साठी
मर्यादा:
;
खाजगी मूल्ये:
x = -1, y(-1) = -1 साठी
x = 0, y(0) = 0 साठी
x = 1, y(1) = 1 साठी
उलट कार्य:

सम अंश, n = 2, 4, 6, ...

परिमेय घातांकासह y = x p या पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म 0 च्या आत आहेत.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

डोमेन: -∞ < x < +∞
एकाधिक मूल्ये: 0 ≤ y< +∞
समता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x येथे< 0 : монотонно убывает
x > ० साठी : नीरसपणे वाढत आहे
अतिरेक: x = 0, y = 0 वर किमान
उत्तल: x ≠ 0 वर बहिर्वक्र वरच्या दिशेने
ब्रेकपॉइंट्स:नाही
समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू: x=0, y=0
चिन्ह: x ≠ 0, y > 0 साठी
मर्यादा:
;
खाजगी मूल्ये:
x = -1, y(-1) = 1 साठी
x = 0, y(0) = 0 साठी
x = 1, y(1) = 1 साठी
उलट कार्य:

घातांक p एक, p > 1 पेक्षा मोठा आहे

घातांकाच्या विविध मूल्यांसाठी परिमेय घातांक (p > 1) सह पॉवर फंक्शनचा आलेख, जेथे m = 3, 5, 7, ... विषम आहे.

विषम अंश, n = 5, 7, 9, ...

एका पेक्षा जास्त परिमेय घातांकासह पॉवर फंक्शन y = x p चे गुणधर्म: . जिथे n = 5, 7, 9, ... ही विषम नैसर्गिक संख्या आहे, m = 3, 5, 7 ... ही विषम नैसर्गिक संख्या आहे.

डोमेन: -∞ < x < ∞
एकाधिक मूल्ये: -∞ < y < ∞
समता:विषम, y(-x) = - y(x)
मोनोटोन:नीरसपणे वाढते
अतिरेक:नाही
उत्तल:
येथे -∞< x < 0 выпукла вверх
० वर< x < ∞ выпукла вниз
ब्रेकपॉइंट्स: x=0, y=0
समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू: x=0, y=0
मर्यादा:
;
खाजगी मूल्ये:
x = -1, y(-1) = -1 साठी
x = 0, y(0) = 0 साठी
x = 1, y(1) = 1 साठी
उलट कार्य:

सम अंश, n = 4, 6, 8, ...

एका पेक्षा जास्त परिमेय घातांकासह पॉवर फंक्शन y = x p चे गुणधर्म: . जिथे n = 4, 6, 8, ... ही एक सम नैसर्गिक संख्या आहे, m = 3, 5, 7 ... ही विषम नैसर्गिक संख्या आहे.

डोमेन: -∞ < x < ∞
एकाधिक मूल्ये: 0 ≤ y< ∞
समता:सम, y(-x) = y(x)
मोनोटोन:
x येथे< 0 монотонно убывает
x > 0 साठी मोनोटोनिकली वाढते
अतिरेक: x = 0, y = 0 वर किमान
उत्तल:उत्तल खाली
ब्रेकपॉइंट्स:नाही
समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू: x=0, y=0
मर्यादा:
;
खाजगी मूल्ये:
x = -1, y(-1) = 1 साठी
x = 0, y(0) = 0 साठी
x = 1, y(1) = 1 साठी
उलट कार्य:

अपूर्णांक निर्देशकाचा भाजक सम आहे

अपूर्णांक घातांकाचा भाजक सम असू द्या: m = 2, 4, 6, ... . या प्रकरणात, पॉवर फंक्शन x p वितर्काच्या नकारात्मक मूल्यांसाठी परिभाषित केलेले नाही. त्याचे गुणधर्म अपरिमेय घातांक असलेल्या पॉवर फंक्शनशी जुळतात (पुढील विभाग पहा).

अपरिमेय घातांकासह पॉवर फंक्शन

अपरिमेय घातांक p सह पॉवर फंक्शन y = x p विचारात घ्या. अशा फंक्शन्सचे गुणधर्म वर विचारात घेतलेल्या पेक्षा वेगळे आहेत कारण ते x वितर्काच्या नकारात्मक मूल्यांसाठी परिभाषित केलेले नाहीत. युक्तिवादाच्या सकारात्मक मूल्यांसाठी, गुणधर्म केवळ घातांक p च्या मूल्यावर अवलंबून असतात आणि p पूर्णांक, परिमेय किंवा अपरिमेय आहे यावर अवलंबून नाही.

घातांक p च्या भिन्न मूल्यांसाठी y = x p .

ऋण p सह पॉवर फंक्शन< 0

डोमेन: x > ०
एकाधिक मूल्ये: y > 0
मोनोटोन:नीरसपणे कमी होते
उत्तल:उत्तल खाली
ब्रेकपॉइंट्स:नाही
समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू:नाही
मर्यादा: ;
खाजगी मूल्य: x = 1, y(1) = 1 p = 1 साठी

पॉवर फंक्शन पॉझिटिव्ह घातांक p > 0 सह

निर्देशक एक 0 पेक्षा कमी आहे< p < 1

डोमेन: x ≥ 0
एकाधिक मूल्ये: y ≥ 0
मोनोटोन:नीरसपणे वाढते
उत्तल:उत्तल वर
ब्रेकपॉइंट्स:नाही
समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू: x=0, y=0
मर्यादा:
खाजगी मूल्ये: x = 0, y(0) = 0 p = 0 साठी.
x = 1, y(1) = 1 p = 1 साठी

निर्देशक एक p > 1 पेक्षा मोठा आहे

डोमेन: x ≥ 0
एकाधिक मूल्ये: y ≥ 0
मोनोटोन:नीरसपणे वाढते
उत्तल:उत्तल खाली
ब्रेकपॉइंट्स:नाही
समन्वय अक्षांसह छेदनबिंदू: x=0, y=0
मर्यादा:
खाजगी मूल्ये: x = 0, y(0) = 0 p = 0 साठी.
x = 1, y(1) = 1 p = 1 साठी

संदर्भ:
I.N. ब्रॉनस्टीन, के.ए. सेमेंड्येव, अभियंते आणि उच्च शैक्षणिक संस्थांच्या विद्यार्थ्यांसाठी गणिताचे हँडबुक, लॅन, 2009.

हे देखील पहा:

मूलभूत प्राथमिक कार्ये, त्यांचे अंतर्निहित गुणधर्म आणि संबंधित आलेख हे गणितीय ज्ञानाच्या मूलभूत गोष्टींपैकी एक आहेत, गुणाकार सारणीसारखेच महत्त्व आहे. प्राथमिक कार्ये सर्व सैद्धांतिक समस्यांच्या अभ्यासासाठी आधार, आधार आहेत.

खालील लेख मूलभूत प्राथमिक कार्यांच्या विषयावर मुख्य सामग्री प्रदान करतो. आम्ही संज्ञा सादर करू, त्यांची व्याख्या देऊ; चला प्रत्येक प्रकारच्या प्राथमिक कार्यांचा तपशीलवार अभ्यास करूया आणि त्यांच्या गुणधर्मांचे विश्लेषण करूया.

खालील प्रकारची मूलभूत प्राथमिक कार्ये ओळखली जातात:

व्याख्या १

स्थिर कार्य (स्थिर);
n व्या पदवीचे मूळ;
शक्ती कार्य;
घातांकीय कार्य;
लॉगरिदमिक कार्य;
त्रिकोणमितीय कार्ये;
भ्रातृ त्रिकोणमितीय कार्ये.

स्थिर कार्य हे सूत्रानुसार परिभाषित केले जाते: y = C (C ही काही वास्तविक संख्या आहे) आणि त्याचे नाव देखील आहे: स्थिरांक. हे फंक्शन स्वतंत्र व्हेरिएबल x चे कोणतेही वास्तविक मूल्य y - मूल्य C च्या समान मूल्याशी संबंधित आहे की नाही हे निर्धारित करते.

स्थिरांकाचा आलेख ही एक सरळ रेषा आहे जी x-अक्षाच्या समांतर असते आणि निर्देशांक (0, C) असलेल्या बिंदूमधून जाते. स्पष्टतेसाठी, आम्ही स्थिर फंक्शन्सचे आलेख सादर करतो y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (रेखांकनात अनुक्रमे काळ्या, लाल आणि निळ्या रंगात चिन्हांकित).

व्याख्या २

हे प्राथमिक कार्य सूत्र y = x n (n ही एकापेक्षा मोठी नैसर्गिक संख्या आहे) द्वारे परिभाषित केले आहे.

फंक्शनच्या दोन फरकांचा विचार करू.

nव्या अंशाचे मूळ, n ही सम संख्या आहे

स्पष्टतेसाठी, आम्ही रेखाचित्र सूचित करतो, जे अशा फंक्शन्सचे आलेख दर्शविते: y = x , y = x 4 आणि y = x 8 . ही फंक्शन्स कलर-कोडेड आहेत: अनुक्रमे काळा, लाल आणि निळा.

निर्देशकाच्या इतर मूल्यांसाठी सम डिग्रीच्या कार्याच्या आलेखाचे समान दृश्य.

व्याख्या 3

nव्या अंशाच्या फंक्शन रूटचे गुणधर्म, n ही सम संख्या आहे

व्याख्येचे क्षेत्र म्हणजे सर्व गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्यांचा संच आहे [ 0 , + ∞);
जेव्हा x = 0 , फंक्शन y = x n चे मूल्य शून्य आहे;
हे कार्य सामान्य स्वरूपाचे कार्य आहे (ते सम किंवा विषम नाही);
श्रेणी: [ 0 , + ∞);
हे फंक्शन y = x n रूटच्या सम घातांकासह संपूर्ण व्याख्येच्या डोमेनवर वाढते;
फंक्शनमध्ये परिभाषेच्या संपूर्ण डोमेनवर वरच्या दिशेने एक उत्तलता आहे;
कोणतेही वळण बिंदू नाहीत;
कोणतीही लक्षणे नाहीत;
सम n साठी फंक्शनचा आलेख (0 ; 0) आणि (1 ; 1) बिंदूंमधून जातो.

n व्या अंशाचे मूळ, n ही विषम संख्या आहे

असे कार्य वास्तविक संख्यांच्या संपूर्ण संचावर परिभाषित केले आहे. स्पष्टतेसाठी, फंक्शन्सच्या आलेखांचा विचार करा y = x 3 , y = x 5 आणि x 9 रेखांकनामध्ये, ते रंगांद्वारे दर्शविले जातात: वक्रांचे अनुक्रमे काळा, लाल आणि निळे रंग.

y = x n फंक्शनच्या रूटच्या घातांकाची इतर विषम मूल्ये समान स्वरूपाचा आलेख देईल.

व्याख्या 4

nव्या अंशाच्या फंक्शन रूटचे गुणधर्म, n ही विषम संख्या आहे

व्याख्येचे डोमेन सर्व वास्तविक संख्यांचा संच आहे;
हे कार्य विषम आहे;
मूल्यांची श्रेणी सर्व वास्तविक संख्यांचा संच आहे;
मूळचे विषम घातांक असलेले फंक्शन y = x n व्याख्येच्या संपूर्ण डोमेनवर वाढते;
फंक्शनमध्ये मध्यांतर (- ∞ ; 0 ] आणि मध्यांतरावर उत्तलता असते [ 0 , + ∞);
इन्फ्लेक्शन पॉइंटमध्ये निर्देशांक असतात (0 ; 0);
कोणतीही लक्षणे नाहीत;
विषम n साठी फंक्शनचा आलेख (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) आणि (1 ; 1) बिंदूंमधून जातो.

पॉवर फंक्शन

व्याख्या 5

पॉवर फंक्शन y = x a या सूत्राद्वारे परिभाषित केले आहे.

आलेखांचा प्रकार आणि फंक्शनचे गुणधर्म घातांकाच्या मूल्यावर अवलंबून असतात.

जेव्हा पॉवर फंक्शनमध्ये पूर्णांक घातांक a असतो, तेव्हा पॉवर फंक्शनच्या आलेखाचे स्वरूप आणि त्याचे गुणधर्म घातांक सम किंवा विषम आहे की नाही आणि घातांकाचे चिन्ह काय आहे यावर अवलंबून असते. या सर्व विशेष प्रकरणांचा खाली अधिक तपशीलवार विचार करूया;
घातांक अपूर्णांक किंवा अपरिमेय असू शकतो - यावर अवलंबून, आलेखांचे प्रकार आणि फंक्शनचे गुणधर्म देखील बदलतात. आम्ही अनेक अटी सेट करून विशेष प्रकरणांचे विश्लेषण करू: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
पॉवर फंक्शनमध्ये शून्य घातांक असू शकतो, आम्ही खाली या केसचे अधिक तपशीलवार विश्लेषण करू.

चला पॉवर फंक्शनचे विश्लेषण करूया y = x a जेव्हा a ही विषम धन संख्या असते, उदाहरणार्थ, a = 1 , 3 , 5 …

स्पष्टतेसाठी, आम्ही अशा पॉवर फंक्शन्सचे आलेख सूचित करतो: y = x (ग्राफचा काळा रंग), y = x 3 (तक्ताचा निळा रंग), y = x 5 (लेखाचा लाल रंग), y = x 7 (हिरवा आलेख). जेव्हा a = 1 , तेव्हा आपल्याला y = x रेखीय फंक्शन मिळते.

व्याख्या 6

जेव्हा घातांक विषम धनात्मक असतो तेव्हा पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म

x ∈ (- ∞; + ∞) साठी फंक्शन वाढत आहे;
फंक्शन x ∈ (- ∞; 0 ] साठी बहिर्वक्र आहे आणि x ∈ [ 0; + ∞) साठी अवतल आहे (रेखीय कार्य वगळून);
इन्फ्लेक्शन पॉइंटमध्ये निर्देशांक असतात (0 ; 0) (रेखीय कार्य वगळून);
कोणतीही लक्षणे नाहीत;
फंक्शन पासिंग पॉइंट्स: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1) .

चला पॉवर फंक्शनचे विश्लेषण करूया y = x a जेव्हा a ही सम धन संख्या असते, उदाहरणार्थ, a = 2 , 4 , 6 ...

स्पष्टतेसाठी, आम्ही अशा पॉवर फंक्शन्सचे आलेख सूचित करतो: y \u003d x 2 (ग्राफचा काळा रंग), y = x 4 (ग्राफचा निळा रंग), y = x 8 (ग्राफचा लाल रंग). जेव्हा a = 2, तेव्हा आपल्याला एक चतुर्भुज फंक्शन मिळते ज्याचा आलेख चतुर्भुज पॅराबोला असतो.

व्याख्या 7

जेव्हा घातांक अगदी सकारात्मक असतो तेव्हा पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म:

व्याख्येचे डोमेन: x ∈ (- ∞; + ∞);
x ∈ (- ∞; 0 ] साठी कमी होत आहे;
x ∈ (- ∞; + ∞) साठी फंक्शन अवतल आहे;
कोणतेही वळण बिंदू नाहीत;
कोणतीही लक्षणे नाहीत;
फंक्शन पासिंग पॉइंट्स: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1) .

खालील आकृती घातांकीय कार्य आलेखांची उदाहरणे दाखवते y = x a जेव्हा a विषम ऋण संख्या असते: y = x - 9 (ग्राफचा काळा रंग); y = x - 5 (तक्ताचा निळा रंग); y = x - 3 (ग्राफचा लाल रंग); y = x - 1 (हिरवा आलेख). जेव्हा \u003d - 1, तेव्हा आपल्याला व्यस्त प्रमाणात मिळते, ज्याचा आलेख हायपरबोला असतो.

व्याख्या 8

जेव्हा घातांक विषम ऋण असतो तेव्हा पॉवर फंक्शन गुणधर्म:

जेव्हा x \u003d 0, तेव्हा आम्हाला दुसऱ्या प्रकारची विसंगती मिळते, कारण lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ a \u003d - 1, - 3, - साठी ५,.... अशाप्रकारे, सरळ रेषा x = 0 ही अनुलंब असिम्प्टोट आहे;

श्रेणी: y ∈ (- ∞; 0) ∪ (0 ; + ∞);
फंक्शन विषम आहे कारण y (- x) = - y (x) ;
x ∈ - ∞ साठी फंक्शन कमी होत आहे; 0 ∪ (0 ; + ∞);
फंक्शन x ∈ (- ∞; 0) साठी उत्तल आहे आणि x ∈ (0 ; + ∞) साठी अवतल आहे;
कोणतेही वळण बिंदू नाहीत;

k = लिम x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 जेव्हा a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

फंक्शन पासिंग पॉइंट्स: (- 1; - 1), (1; 1) .

खाली दिलेली आकृती पॉवर फंक्शन आलेखांची उदाहरणे दाखवते y = x a जेव्हा a सम ऋण संख्या असते: y = x - 8 (काळ्या रंगात चार्ट); y = x - 4 (ग्राफचा निळा रंग); y = x - 2 (ग्राफचा लाल रंग).

व्याख्या ९

जेव्हा घातांक अगदी ऋण असतो तेव्हा पॉवर फंक्शन गुणधर्म:

व्याख्येचे डोमेन: x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0 ; + ∞);

जेव्हा x \u003d 0, तेव्हा आम्हाला दुसऱ्या प्रकारची विसंगती मिळते, कारण lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ a \u003d - 2, - 4, - साठी ६,.... अशाप्रकारे, सरळ रेषा x = 0 ही अनुलंब असिम्प्टोट आहे;

फंक्शन सम आहे कारण y (- x) = y (x) ;
फंक्शन x ∈ (- ∞; 0) साठी वाढत आहे आणि x ∈ 0 साठी कमी होत आहे; +∞;
फंक्शन x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0 ; + ∞) साठी अवतल आहे;
कोणतेही वळण बिंदू नाहीत;
क्षैतिज अॅसिम्प्टोट ही सरळ रेषा y = 0 आहे कारण:

k = लिम x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 जेव्हा a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

फंक्शन पासिंग पॉइंट्स: (- 1; 1), (1; 1) .

अगदी सुरुवातीपासून, खालील पैलूकडे लक्ष द्या: जेव्हा a हा विषम भाजकासह सकारात्मक अपूर्णांक असतो, तेव्हा काही लेखक मध्यांतर घेतात - ∞ या पॉवर फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन म्हणून; + ∞, घातांक a हा एक अपरिवर्तनीय अपूर्णांक आहे असे नमूद करणे. या क्षणी, बीजगणित आणि विश्लेषणाच्या सुरुवातीच्या अनेक शैक्षणिक प्रकाशनांचे लेखक पॉवर फंक्शन्स परिभाषित करत नाहीत, जेथे घातांक हा तर्काच्या नकारात्मक मूल्यांसाठी विषम भाजक असलेला एक अपूर्णांक आहे. पुढे, आम्ही फक्त अशा स्थितीचे पालन करू: आम्ही संच घेतो [ 0 ; +∞). विद्यार्थ्यांसाठी शिफारस: मतभेद टाळण्यासाठी शिक्षकांचा दृष्टिकोन जाणून घ्या.

चला तर मग पॉवर फंक्शन पाहू y = x a जेव्हा घातांक परिमेय किंवा अपरिमेय संख्या असेल तर ती 0 असेल< a < 1 .

पॉवर फंक्शन्स ग्राफच्या सहाय्याने स्पष्ट करू y = x a जेव्हा a = 11 12 (काळ्या रंगात चार्ट); a = 5 7 (ग्राफचा लाल रंग); a = 1 3 (तक्ताचा निळा रंग); a = 2 5 (ग्राफचा हिरवा रंग).

घातांकाची इतर मूल्ये a (0 गृहीत धरून< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

व्याख्या 10

पॉवर फंक्शन गुणधर्म 0 वर< a < 1:

श्रेणी: y ∈ [ 0 ; +∞);
फंक्शन x ∈ [ 0 साठी वाढत आहे; +∞);
फंक्शनमध्ये x ∈ (0 ; + ∞) साठी बहिर्वक्रता आहे;
कोणतेही वळण बिंदू नाहीत;
कोणतीही लक्षणे नाहीत;

चला पॉवर फंक्शनचे विश्लेषण करूया y = x a जेव्हा घातांक ही पूर्णांक नसलेली परिमेय किंवा अपरिमेय संख्या असेल तर ती a > 1 असेल.

आम्ही पॉवर फंक्शनचे आलेख स्पष्ट करतो y \u003d x a दिलेल्या परिस्थितीत खालील फंक्शन्सचा उदाहरण म्हणून वापर करा: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (काळा, लाल, निळा, हिरवा आलेख, अनुक्रमे).

a > 1 या स्थितीतील घातांकाची इतर मूल्ये आलेखाचे समान दृश्य देईल.

व्याख्या 11

> 1 साठी पॉवर फंक्शन गुणधर्म:

व्याख्या डोमेन: x ∈ [ 0 ; +∞);
श्रेणी: y ∈ [ 0 ; +∞);
हे कार्य सामान्य स्वरूपाचे कार्य आहे (ते विषम किंवा सम नाही);
फंक्शन x ∈ [ 0 साठी वाढत आहे; +∞);
फंक्शन x ∈ (0 ; + ∞) साठी अवतल आहे (जेव्हा 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
कोणतेही वळण बिंदू नाहीत;
कोणतीही लक्षणे नाहीत;
फंक्शन पासिंग पॉइंट्स: (0; 0), (1; 1) .

आम्ही तुमचे लक्ष वेधून घेतो! जेव्हा a हा विषम भाजकासह ऋणात्मक अपूर्णांक असतो, तेव्हा काही लेखकांच्या कार्यात असे मत आहे की या प्रकरणात व्याख्येचे क्षेत्र मध्यांतर आहे - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) या तरतुदीसह की घातांक a हा एक अपरिवर्तनीय अपूर्णांक आहे. याक्षणी, बीजगणितावरील शैक्षणिक साहित्याचे लेखक आणि विश्लेषणाची सुरुवात, वितर्काच्या नकारात्मक मूल्यांसाठी विषम भाजक असलेल्या अपूर्णांकाच्या रूपात घातांकासह उर्जा कार्ये परिभाषित करत नाहीत. पुढे, आम्ही फक्त अशा दृश्याचे पालन करतो: आम्ही (0 ; + ∞) अपूर्णांक ऋणात्मक घातांकांसह पॉवर फंक्शन्सचे डोमेन म्हणून घेतो. विद्यार्थ्यांसाठी सूचना: मतभेद टाळण्यासाठी या टप्प्यावर तुमच्या शिक्षकाची दृष्टी स्पष्ट करा.

आम्ही विषय चालू ठेवतो आणि पॉवर फंक्शनचे विश्लेषण करतो y = x a प्रदान केले आहे: - 1< a < 0 .

येथे खालील फंक्शन्सच्या आलेखांचे रेखाचित्र आहे: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (अनुक्रमे काळ्या, लाल, निळ्या, हिरव्या रेषा ).

व्याख्या 12

पॉवर फंक्शन गुणधर्म - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ जेव्हा - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

श्रेणी: y ∈ 0 ; +∞;
हे कार्य सामान्य स्वरूपाचे कार्य आहे (ते विषम किंवा सम नाही);
कोणतेही वळण बिंदू नाहीत;

खालील रेखाचित्र y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (अनुक्रमे वक्रांचे काळा, लाल, निळा, हिरवा रंग) पॉवर फंक्शन्सचे आलेख दर्शविते.

व्याख्या 13

a साठी पॉवर फंक्शन गुणधर्म< - 1:

व्याख्या डोमेन: x ∈ 0 ; +∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ जेव्हा a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

श्रेणी: y ∈ (0; + ∞);
हे कार्य सामान्य स्वरूपाचे कार्य आहे (ते विषम किंवा सम नाही);
x ∈ 0 साठी फंक्शन कमी होत आहे; +∞;
x ∈ 0 साठी फंक्शन अवतल आहे; +∞;
कोणतेही वळण बिंदू नाहीत;
क्षैतिज अॅसिम्प्टोट - सरळ रेषा y = 0 ;
फंक्शन पासिंग पॉइंट: (1; 1) .

जेव्हा \u003d 0 आणि x ≠ 0, तेव्हा आपल्याला y \u003d x 0 \u003d 1 फंक्शन मिळते, जे बिंदू (0; 1) वगळण्यात आलेली रेषा ठरवते (आम्ही मान्य केले की 0 0 ही अभिव्यक्ती दिली जाणार नाही. कोणतेही मूल्य).

घातांकीय फंक्शनला फॉर्म आहे y = a x , जेथे a > 0 आणि a ≠ 1 , आणि या फंक्शनचा आलेख बेस a च्या मूल्यावर आधारित वेगळा दिसतो. चला विशेष प्रकरणांचा विचार करूया.

प्रथम, घातांकीय फंक्शनच्या पायाचे मूल्य शून्य ते एक (0) असते तेव्हा परिस्थितीचे विश्लेषण करूया< a < 1) . एक उदाहरणात्मक उदाहरण म्हणजे a = 1 2 (वक्रचा निळा रंग) आणि a = 5 6 (वक्रचा लाल रंग) साठी फंक्शन्सचे आलेख.

घातांकीय फंक्शनच्या आलेखांना बेसच्या इतर मूल्यांसाठी समान स्वरूप असेल, जर ० असेल तर< a < 1 .

व्याख्या 14

जेव्हा पाया एकापेक्षा कमी असतो तेव्हा घातांकीय कार्याचे गुणधर्म:

श्रेणी: y ∈ (0; + ∞);
हे कार्य सामान्य स्वरूपाचे कार्य आहे (ते विषम किंवा सम नाही);
घातांकीय फंक्शन ज्याचा पाया एकापेक्षा कमी आहे तो संपूर्ण व्याख्येच्या डोमेनवर कमी होत आहे;
कोणतेही वळण बिंदू नाहीत;
क्षैतिज अॅसिम्प्टोट ही सरळ रेषा y = 0 आहे ज्याचे चल x + ∞ कडे प्रवृत्त होते;

आता घातांक फंक्शनचा पाया एक (a > 1) पेक्षा मोठा असेल तेव्हा केस विचारात घ्या.

चला घातांकीय फंक्शन्स y = 3 2 x (वक्राचा निळा रंग) आणि y = e x (ग्राफचा लाल रंग) च्या आलेखाने हे विशेष केस स्पष्ट करू.

पायाची इतर मूल्ये, एकापेक्षा जास्त, घातांकीय कार्याच्या आलेखाचे समान दृश्य देईल.

व्याख्या 15

जेव्हा पाया एकापेक्षा मोठा असतो तेव्हा घातांकीय कार्याचे गुणधर्म:

व्याख्येचे डोमेन वास्तविक संख्यांचा संपूर्ण संच आहे;
श्रेणी: y ∈ (0; + ∞);
हे कार्य सामान्य स्वरूपाचे कार्य आहे (ते विषम किंवा सम नाही);
एक घातांकीय कार्य ज्याचा पाया एकापेक्षा मोठा आहे x ∈ - ∞ साठी वाढत आहे; +∞;
x ∈ - ∞ साठी फंक्शन अवतल आहे; +∞;
कोणतेही वळण बिंदू नाहीत;
क्षैतिज अॅसिम्प्टोट - सरळ रेषा y = 0 व्हेरिएबल x सह - ∞ ;
फंक्शन पासिंग पॉइंट: (0; 1)

लॉगरिदमिक फंक्शनचे स्वरूप y = log a (x) आहे, जेथे a > 0 , a ≠ 1 आहे.

अशा फंक्शनची व्याख्या केवळ युक्तिवादाच्या सकारात्मक मूल्यांसाठी केली जाते: x ∈ 0 साठी; +∞

बेस a च्या मूल्यावर आधारित लॉगरिदमिक फंक्शनच्या आलेखाचे वेगळे स्वरूप आहे.

प्रथम परिस्थिती विचारात घ्या जेव्हा 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

बेसची इतर मूल्ये, एकापेक्षा जास्त नसलेली, आलेखाचे समान दृश्य देईल.

व्याख्या 16

बेस एकापेक्षा कमी असताना लॉगरिदमिक फंक्शनचे गुणधर्म:

व्याख्या डोमेन: x ∈ 0 ; +∞ जसे x उजवीकडून शून्याकडे झुकते, फंक्शनची मूल्ये + ∞;
श्रेणी: y ∈ - ∞ ; +∞;
हे कार्य सामान्य स्वरूपाचे कार्य आहे (ते विषम किंवा सम नाही);
लॉगरिदमिक
x ∈ 0 साठी फंक्शन अवतल आहे; +∞;
कोणतेही वळण बिंदू नाहीत;
कोणतीही लक्षणे नाहीत;

आता लॉगरिदमिक फंक्शनचा पाया एकापेक्षा मोठा असताना एका विशेष केसचे विश्लेषण करूया: a > 1 . खालील रेखांकनामध्ये, लॉगरिदमिक फंक्शन्सचे आलेख आहेत y = log 3 2 x आणि y = ln x (अनुक्रमे आलेखांचे निळे आणि लाल रंग).

एकापेक्षा जास्त बेसची इतर मूल्ये आलेखाचे समान दृश्य देईल.

व्याख्या 17

बेस एकापेक्षा मोठा असताना लॉगरिदमिक फंक्शनचे गुणधर्म:

व्याख्या डोमेन: x ∈ 0 ; +∞ x उजवीकडून शून्याकडे झुकत असल्याने, फंक्शनची मूल्ये - ∞;
श्रेणी: y ∈ - ∞ ; + ∞ (वास्तविक संख्यांचा संपूर्ण संच);
हे कार्य सामान्य स्वरूपाचे कार्य आहे (ते विषम किंवा सम नाही);
लॉगरिदमिक फंक्शन x ∈ 0 साठी वाढत आहे; +∞;
फंक्शनमध्ये x ∈ 0 साठी बहिर्वक्रता आहे; +∞;
कोणतेही वळण बिंदू नाहीत;
कोणतीही लक्षणे नाहीत;
फंक्शन पासिंग पॉइंट: (1; 0)

त्रिकोणमितीय कार्ये साइन, कोसाइन, स्पर्शिका आणि कोटॅंजेंट आहेत. चला त्या प्रत्येकाच्या गुणधर्मांचे आणि संबंधित आलेखांचे विश्लेषण करूया.

सर्वसाधारणपणे, सर्व त्रिकोणमितीय कार्ये नियतकालिकतेच्या गुणधर्माद्वारे दर्शविली जातात, म्हणजे. जेव्हा f (x + T) = f (x) (T हा कालावधी) या कालावधीच्या मूल्यानुसार एकमेकांपासून भिन्न असलेल्या तर्काच्या भिन्न मूल्यांसाठी फंक्शनची मूल्ये पुनरावृत्ती केली जातात. अशा प्रकारे, त्रिकोणमितीय कार्यांच्या गुणधर्मांच्या सूचीमध्ये आयटम "किमान सकारात्मक कालावधी" जोडला जातो. याव्यतिरिक्त, आम्ही युक्तिवादाची अशी मूल्ये सूचित करू ज्यासाठी संबंधित कार्य नाहीसे होते.

साइन फंक्शन: y = sin(x)

या फंक्शनच्या आलेखाला साइन वेव्ह म्हणतात.

व्याख्या 18

साइन फंक्शनचे गुणधर्म:

व्याख्येचे क्षेत्र: वास्तविक संख्यांचा संपूर्ण संच x ∈ - ∞ ; +∞;
x = π k , जेथे k ∈ Z (Z हा पूर्णांकांचा संच आहे) तेव्हा फंक्शन नाहीसे होते;
x ∈ - π 2 + 2 π · k साठी फंक्शन वाढत आहे; π 2 + 2 π k , k ∈ Z आणि x ∈ π 2 + 2 π k साठी कमी होत आहे; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
साइन फंक्शनमध्ये π 2 + 2 π · k बिंदूंवर स्थानिक कमाल असते; 1 आणि बिंदूंवर स्थानिक मिनिमा - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
साइन फंक्शन अवतल असते जेव्हा x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z आणि उत्तल जेव्हा x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
कोणतीही लक्षणे नाहीत.

कोसाइन फंक्शन: y=cos(x)

या फंक्शनच्या आलेखाला कोसाइन वेव्ह म्हणतात.

व्याख्या १९

कोसाइन फंक्शनचे गुणधर्म:

व्याख्या डोमेन: x ∈ - ∞ ; +∞;
सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी: T \u003d 2 π;
श्रेणी: y ∈ - 1 ; एक ;
हे कार्य सम आहे, कारण y (- x) = y (x) ;
x ∈ - π + 2 π · k साठी फंक्शन वाढत आहे; 2 π · k , k ∈ Z आणि x ∈ 2 π · k साठी कमी होत आहे; π + 2 π k , k ∈ Z ;
कोसाइन फंक्शनमध्ये बिंदू 2 π · k वर स्थानिक कमाल असते; π + 2 π · k बिंदूंवर 1 , k ∈ Z आणि स्थानिक मिनिमा ; - 1 , k ∈ z ;
कोसाइन फंक्शन अवतल असते जेव्हा x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z आणि उत्तल जेव्हा x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
विक्षेपण बिंदूंमध्ये π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
कोणतीही लक्षणे नाहीत.

स्पर्शिका कार्य: y = t g (x)

या फंक्शनचा आलेख म्हणतात स्पर्शिका

व्याख्या 20

स्पर्शिका कार्याचे गुणधर्म:

व्याख्येचे डोमेन: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , जेथे k ∈ Z (Z हा पूर्णांकांचा संच आहे);
lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ अशा प्रकारे, रेषा x = π 2 + π · k k ∈ Z ही अनुलंब लक्षणे आहेत;
k ∈ Z साठी x = π k (Z हा पूर्णांकांचा संच आहे) तेव्हा फंक्शन नाहीसे होते;
श्रेणी: y ∈ - ∞ ; +∞;
हे कार्य विषम आहे कारण y (- x) = - y (x) ;
फंक्शन - π 2 + π · k वर वाढत आहे; π 2 + π k , k ∈ Z ;
स्पर्शिका कार्य हे x ∈ [ π · k साठी अवतल आहे ; π 2 + π k) , k ∈ Z आणि x ∈ साठी बहिर्वक्र (- π 2 + π k; π k ] , k ∈ Z ;
विक्षेपण बिंदूंमध्ये π k समन्वय असतात; 0 , k ∈ Z ;

कोटॅंजेंट फंक्शन: y = c t g (x)

या फंक्शनच्या आलेखाला कोटांजेंटॉइड म्हणतात. .

व्याख्या 21

कोटॅंजेंट फंक्शनचे गुणधर्म:

व्याख्येचे क्षेत्र: x ∈ (π k; π + π k), जेथे k ∈ Z (Z हा पूर्णांकांचा संच आहे);

lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . अशा प्रकारे, रेषा x = π k k ∈ Z ही अनुलंब लक्षणे आहेत;

सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी: T \u003d π;
k ∈ Z साठी x = π 2 + π k (Z हा पूर्णांकांचा संच आहे) तेव्हा फंक्शन नाहीसे होते;
श्रेणी: y ∈ - ∞ ; +∞;
हे कार्य विषम आहे कारण y (- x) = - y (x) ;
x ∈ π · k साठी फंक्शन कमी होत आहे; π + π k , k ∈ Z ;
x ∈ (π k; π 2 + π k ] , k ∈ Z आणि x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z साठी कोटंजेंट फंक्शन अवतल आहे.
विक्षेपण बिंदूंमध्ये π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
तेथे कोणतेही तिरकस आणि क्षैतिज लक्षणे नाहीत.

व्यस्त त्रिकोणमितीय फंक्शन्स म्हणजे आर्क्साइन, आर्कोसाइन, आर्कटॅंजेंट आणि आर्कोटॅंजेंट. बहुतेकदा, नावात उपसर्ग "आर्क" च्या उपस्थितीमुळे, व्यस्त त्रिकोणमितीय फंक्शन्सला आर्क फंक्शन्स म्हणतात. .

आर्कसिन फंक्शन: y = a r c sin (x)

व्याख्या 22

आर्कसिन फंक्शनचे गुणधर्म:

हे कार्य विषम आहे कारण y (- x) = - y (x) ;
x ∈ 0 साठी अर्क्साइन फंक्शन अवतल आहे; 1 आणि x ∈ - 1 साठी बहिर्वक्रता; 0;
इन्फ्लेक्शन पॉइंट्समध्ये निर्देशांक असतात (0 ; 0), ते फंक्शनचे शून्य देखील आहे;
कोणतीही लक्षणे नाहीत.

अर्कोसाइन फंक्शन: y = a r c cos (x)

व्याख्या 23

आर्कोसिन फंक्शन गुणधर्म:

व्याख्या डोमेन: x ∈ - 1 ; एक ;
श्रेणी: y ∈ 0 ; π;
हे कार्य सामान्य स्वरूपाचे आहे (सम किंवा विषम नाही);
व्याख्याच्या संपूर्ण डोमेनवर फंक्शन कमी होत आहे;
अर्कोसाइन फंक्शन x ∈ - 1 साठी अवतल आहे; x ∈ 0 साठी 0 आणि बहिर्वक्रता; एक ;
इन्फ्लेक्शन पॉइंट्सचे निर्देशांक 0 असतात; π2;
कोणतीही लक्षणे नाहीत.

आर्कटांजेंट फंक्शन: y = a r c t g (x)

व्याख्या 24

आर्कटांजेंट फंक्शन गुणधर्म:

व्याख्या डोमेन: x ∈ - ∞ ; +∞;
श्रेणी: y ∈ - π 2 ; π2;
हे कार्य विषम आहे कारण y (- x) = - y (x) ;
फंक्शन संपूर्ण व्याख्या डोमेनवर वाढत आहे;
आर्कटॅंजेंट फंक्शन x ∈ (- ∞; 0 ] साठी अवतल आहे आणि x ∈ [ 0 ; + ∞) साठी उत्तल आहे;
इन्फ्लेक्शन पॉइंटमध्ये निर्देशांक आहेत (0; 0), ते फंक्शनचे शून्य देखील आहे;
क्षैतिज लक्षणे y = - π 2 साठी x → - ∞ आणि y = π 2 साठी x → + ∞ (आकृतीमधील लक्षणे हिरव्या रेषा आहेत) आहेत.

आर्क कोटॅंजेंट फंक्शन: y = a r c c t g (x)

व्याख्या 25

आर्क कोटॅंजेंट फंक्शन गुणधर्म:

व्याख्या डोमेन: x ∈ - ∞ ; +∞;
श्रेणी: y ∈ (0; π);
हे कार्य सामान्य प्रकारचे आहे;
व्याख्याच्या संपूर्ण डोमेनवर फंक्शन कमी होत आहे;
चाप कोटॅंजेंट फंक्शन x ∈ [ 0 साठी अवतल आहे; + ∞) आणि x ∈ (- ∞; 0 ] साठी बहिर्वक्रता;
इन्फ्लेक्शन पॉइंटमध्ये 0 निर्देशांक असतात; π2;
क्षैतिज लक्षणे सरळ रेषा आहेत y = π येथे x → - ∞ (रेखांकनातील हिरवी रेषा) आणि y = 0 येथे x → + ∞.

तुम्हाला मजकुरात चूक आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा