मिश्र अपूर्णांकांची उदाहरणे विभाजित करणे. अपूर्णांकांसह क्रिया

मागील वेळी आपण अपूर्णांक कसे जोडायचे आणि वजा करायचे हे शिकलो ("अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी" हा धडा पहा). त्या क्रियांमधील सर्वात कठीण क्षण म्हणजे अपूर्णांकांना समान भाजकात आणणे.

आता गुणाकार आणि भागाकार हाताळण्याची वेळ आली आहे. चांगली बातमी अशी आहे की ही ऑपरेशन्स बेरीज आणि वजाबाकीपेक्षा अगदी सोपी आहेत. सुरुवातीला, सर्वात सोपा केस विचारात घ्या, जेव्हा विशिष्ट पूर्णांक भागाशिवाय दोन सकारात्मक अपूर्णांक असतात.

दोन अपूर्णांकांचा गुणाकार करण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे अंश आणि भाजक स्वतंत्रपणे गुणाकार करणे आवश्यक आहे. पहिली संख्या नवीन अपूर्णांकाचा अंश असेल आणि दुसरा भाजक असेल.

दोन अपूर्णांकांना विभाजित करण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या अपूर्णांकाचा "उलटा" सेकंदाने गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

पदनाम:

व्याख्येवरून असे दिसून येते की अपूर्णांकांचे विभाजन कमी करून गुणाकार केले जाते. अपूर्णांक फ्लिप करण्यासाठी, फक्त अंश आणि भाजक स्वॅप करा. म्हणून, संपूर्ण धड्यात आपण प्रामुख्याने गुणाकाराचा विचार करू.

गुणाकाराच्या परिणामी, कमी झालेला अपूर्णांक उद्भवू शकतो (आणि अनेकदा उद्भवतो) - अर्थातच, तो कमी करणे आवश्यक आहे. जर, सर्व कपात केल्यानंतर, अपूर्णांक चुकीचा असल्याचे दिसून आले, तर संपूर्ण भाग त्यात फरक केला पाहिजे. परंतु गुणाकाराने नेमके काय होणार नाही ते म्हणजे सामान्य भाजक कमी करणे: क्रॉसवाइज पद्धती नाहीत, कमाल घटक आणि किमान सामान्य गुणाकार.

व्याख्येनुसार आमच्याकडे आहे:

पूर्णांक भाग आणि ऋण अपूर्णांकांसह अपूर्णांकांचा गुणाकार

अपूर्णांकांमध्ये पूर्णांक भाग असल्यास, ते अयोग्य भागांमध्ये रूपांतरित केले जाणे आवश्यक आहे - आणि त्यानंतरच वर वर्णन केलेल्या योजनांनुसार गुणाकार केला पाहिजे.

अपूर्णांकाच्या अंशामध्ये, भाजकात किंवा त्याच्या समोर उणे असल्यास, ते खालील नियमांनुसार गुणाकाराच्या मर्यादेच्या बाहेर काढले जाऊ शकते किंवा पूर्णपणे काढून टाकले जाऊ शकते:

1. अधिक वेळा उणे उणे देते;
2. दोन नकारात्मक एक होकारार्थी बनवतात.

आत्तापर्यंत, हे नियम फक्त नकारात्मक अपूर्णांक जोडताना आणि वजा करताना आले आहेत, जेव्हा संपूर्ण भाग काढून टाकणे आवश्यक होते. उत्पादनासाठी, एकाच वेळी अनेक उणे "बर्न" करण्यासाठी त्यांचे सामान्यीकरण केले जाऊ शकते:

1. जोपर्यंत ते पूर्णपणे अदृश्य होत नाहीत तोपर्यंत आम्ही जोड्यांमध्ये उणे पार करतो. अत्यंत प्रकरणात, एक वजा टिकू शकतो - ज्याला जुळणी सापडली नाही;
2. जर कोणतेही उणे शिल्लक नसतील, तर ऑपरेशन पूर्ण झाले आहे - आपण गुणाकार सुरू करू शकता. जर शेवटचा उणे ओलांडला नाही, कारण त्याला जोडी सापडली नाही, तर आम्ही ते गुणाकाराच्या मर्यादेच्या बाहेर काढतो. तुम्हाला नकारात्मक अंश मिळेल.

एक कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा:

आम्ही सर्व अपूर्णांकांचे अयोग्यमध्ये भाषांतर करतो आणि नंतर गुणाकाराच्या मर्यादेबाहेरील वजा काढतो. जे राहते ते नेहमीच्या नियमांनुसार गुणाकार केले जाते. आम्हाला मिळते:

मी तुम्हाला पुन्हा एकदा आठवण करून देतो की हायलाइट केलेल्या पूर्णांक भागासह अपूर्णांकाच्या आधी येणारा वजा विशेषत: संपूर्ण अपूर्णांकाचा संदर्भ देते, आणि केवळ त्याच्या पूर्णांक भागासाठी नाही (हे शेवटच्या दोन उदाहरणांना लागू होते).

नकारात्मक संख्यांकडे देखील लक्ष द्या: जेव्हा गुणाकार केला जातो तेव्हा ते कंसात बंद केले जातात. हे गुणाकार चिन्हांपासून उणे वेगळे करण्यासाठी आणि संपूर्ण नोटेशन अधिक अचूक करण्यासाठी केले जाते.

फ्लाय वर अपूर्णांक कमी करणे

गुणाकार एक अतिशय कष्टकरी ऑपरेशन आहे. येथे संख्या खूप मोठी आहेत आणि कार्य सुलभ करण्यासाठी, आपण अपूर्णांक आणखी कमी करण्याचा प्रयत्न करू शकता गुणाकार करण्यापूर्वी. खरंच, थोडक्यात, अपूर्णांकांचे अंश आणि भाजक हे सामान्य घटक आहेत, आणि म्हणून, ते अपूर्णांकाच्या मूळ गुणधर्माचा वापर करून कमी केले जाऊ शकतात. उदाहरणे पहा:

एक कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा:

व्याख्येनुसार आमच्याकडे आहे:

सर्व उदाहरणांमध्ये, ज्या संख्या कमी केल्या आहेत आणि त्यापैकी काय शिल्लक आहे ते लाल रंगात चिन्हांकित केले आहे.

कृपया लक्षात ठेवा: पहिल्या प्रकरणात, गुणक पूर्णपणे कमी केले गेले. युनिट्स त्यांच्या जागी राहिल्या, जे सर्वसाधारणपणे वगळले जाऊ शकतात. दुस-या उदाहरणात, संपूर्ण कपात करणे शक्य नव्हते, परंतु एकूण गणना अजूनही कमी झाली आहे.

तथापि, कोणत्याही परिस्थितीत अपूर्णांक जोडताना आणि वजा करताना हे तंत्र वापरू नका! होय, काहीवेळा अशीच संख्या असते जी तुम्हाला कमी करायची असते. येथे, पहा:

आपण ते करू शकत नाही!

त्रुटी या वस्तुस्थितीमुळे उद्भवते की अपूर्णांक जोडताना, बेरीज अपूर्णांकाच्या अंशामध्ये दिसते, संख्यांच्या गुणाकारात नाही. म्हणून, अपूर्णांकाचा मुख्य गुणधर्म लागू करणे अशक्य आहे, कारण हा गुणधर्म विशेषत: संख्यांच्या गुणाकाराशी संबंधित आहे.

अपूर्णांक कमी करण्याचे इतर कोणतेही कारण नाही, म्हणून मागील समस्येचे योग्य निराकरण असे दिसते:

योग्य निर्णय:

जसे आपण पाहू शकता, योग्य उत्तर इतके सुंदर नाही. सर्वसाधारणपणे, सावधगिरी बाळगा.

अपूर्णांकांसह, तुम्ही विभागणीसह सर्व क्रिया करू शकता. हा लेख सामान्य अपूर्णांकांची विभागणी दर्शवितो. व्याख्या दिल्या जातील, उदाहरणे विचारात घेतली जातील. आपण अपूर्णांकांच्या नैसर्गिक संख्यांद्वारे आणि त्याउलट भागाकारावर राहू या. मिश्र संख्येने सामान्य अपूर्णांकाची विभागणी विचारात घेतली जाईल.

सामान्य अपूर्णांकांची विभागणी

भागाकार हा गुणाकाराचा व्यस्त आहे. विभाजित करताना, अज्ञात घटक ज्ञात उत्पादनावर असतो आणि दुसरा घटक असतो, जिथे त्याचा दिलेला अर्थ सामान्य अपूर्णांकांसह संरक्षित केला जातो.

सामान्य अपूर्णांक a b ला c d ने भागणे आवश्यक असल्यास, अशी संख्या निश्चित करण्यासाठी, तुम्हाला c d ने भागाकार गुणाकार करणे आवश्यक आहे, यामुळे शेवटी लाभांश a b मिळेल. चला एक संख्या मिळवू आणि ती b · d c लिहू, जिथे d c हा c d संख्येचा परस्पर आहे. गुणाकाराचे गुणधर्म वापरून समानता लिहिता येते, म्हणजे: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , जेथे a b d c ही अभिव्यक्ती a b ला c d ने भागण्याचा भाग आहे.

येथून आम्ही सामान्य अपूर्णांकांचे विभाजन करण्यासाठी नियम प्राप्त करतो आणि तयार करतो:

व्याख्या १

सामान्य अपूर्णांक a b ला c d ने भागण्यासाठी, भाजकाच्या परस्परसंबंधाने लाभांश गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

चला नियम एक अभिव्यक्ती म्हणून लिहू: a b: c d = a b d c

भागाकाराचे नियम गुणाकारात कमी केले जातात. त्यावर टिकून राहण्यासाठी, तुम्हाला सामान्य अपूर्णांकांचा गुणाकार करण्यात पारंगत असणे आवश्यक आहे.

चला सामान्य अपूर्णांकांच्या विभाजनाकडे वळू.

उदाहरण १

भागाकार 9 7 बाय 5 3 करा. परिणाम अपूर्णांक म्हणून लिहा.

उपाय

5 3 ही संख्या 3 5 चा परस्पर आहे. तुम्ही सामान्य अपूर्णांक विभाजित करण्यासाठी नियम वापरणे आवश्यक आहे. आम्ही ही अभिव्यक्ती खालीलप्रमाणे लिहितो: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

उत्तर: 9 7: 5 3 = 27 35 .

अपूर्णांक कमी करताना, जर अंश भाजकापेक्षा मोठा असेल तर तुम्ही संपूर्ण भाग हायलाइट करावा.

उदाहरण २

8 15: 24 65 विभाजित करा. उत्तर अपूर्णांक म्हणून लिहा.

उपाय

भागाकाराकडून गुणाकाराकडे स्विच करणे हा उपाय आहे. आम्ही ते या फॉर्ममध्ये लिहितो: 8 15: 24 65 = 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

कपात करणे आवश्यक आहे आणि हे खालीलप्रमाणे केले आहे: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

आम्ही पूर्णांक भाग निवडतो आणि 13 9 = 1 4 9 मिळवतो.

उत्तर: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

नैसर्गिक संख्येने असाधारण अपूर्णांकाचा भागाकार

आम्ही नैसर्गिक संख्येने अपूर्णांक भागण्याचा नियम वापरतो: b ला नैसर्गिक संख्येने n ने भागण्यासाठी, तुम्हाला फक्त भाजकाचा n ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. येथून आपल्याला अभिव्यक्ती मिळते: a b: n = a b · n .

भागाकार नियम हा गुणाकार नियमाचा परिणाम आहे. म्हणून, अपूर्णांक म्हणून नैसर्गिक संख्येचे प्रतिनिधित्व केल्याने या प्रकारची समानता मिळेल: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

एका संख्येने अपूर्णांकाचा हा भाग विचारात घ्या.

उदाहरण ३

अपूर्णांक 1645 ला 12 ने भागा.

उपाय

अपूर्णांकाला संख्येने विभाजित करण्याचा नियम लागू करा. आपल्याला 16 45: 12 = 16 45 12 सारखी अभिव्यक्ती मिळते.

चला अपूर्णांक कमी करूया. आपल्याला 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 मिळतात.

उत्तर: 16 45: 12 = 4 135 .

सामान्य अपूर्णांकाने नैसर्गिक संख्येचा भागाकार

विभागणी नियम समान आहे बद्दलनैसर्गिक संख्येला सामान्य अपूर्णांकाने विभाजित करण्याचा नियम: नैसर्गिक संख्येला n ला सामान्य a b ने विभाजित करण्यासाठी, n चा अंश a b च्या परस्परसंख्येने गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

नियमाच्या आधारे, आपल्याकडे n: a b \u003d n b a आहे, आणि नैसर्गिक संख्येला सामान्य अपूर्णांकाने गुणाकार करण्याच्या नियमामुळे, आपल्याला आपली अभिव्यक्ती n: a b \u003d n b a या स्वरूपात मिळते. उदाहरणासह या विभाजनाचा विचार करणे आवश्यक आहे.

उदाहरण ४

25 ला 15 28 ने भागा.

उपाय

भागाकाराकडून गुणाकाराकडे जाणे आवश्यक आहे. आम्ही 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 या अभिव्यक्तीच्या स्वरूपात लिहितो. चला अपूर्णांक कमी करू आणि 46 2 3 अपूर्णांकाच्या रूपात परिणाम मिळवू.

उत्तर: 25: 15 28 = 46 2 3 .

मिश्र संख्येने सामान्य अपूर्णांकाचा भागाकार

सामान्य अपूर्णांकाला मिश्र संख्येने विभाजित करताना, आपण सामान्य अपूर्णांकांना विभाजित करण्यासाठी सहजपणे चमकू शकता. तुम्हाला मिश्र संख्या अयोग्य अपूर्णांकात रूपांतरित करणे आवश्यक आहे.

उदाहरण ५

अपूर्णांक 35 16 ला 3 1 8 ने विभाजित करा.

उपाय

3 1 8 ही मिश्र संख्या असल्याने, ती अयोग्य अपूर्णांक म्हणून दर्शवू. मग आपल्याला 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 मिळेल. आता अपूर्णांकांची विभागणी करू. आम्हाला मिळते 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

उत्तर: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

मिश्र संख्येचे विभाजन करणे सामान्य संख्यांप्रमाणेच केले जाते.

तुम्हाला मजकुरात चूक आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

सामान्य अपूर्णांक संख्या प्रथम 5 व्या इयत्तेतील शाळकरी मुलांना भेटतात आणि त्यांच्या आयुष्यभर त्यांच्यासोबत असतात, कारण दैनंदिन जीवनात बहुतेक वेळा एखाद्या वस्तूचा संपूर्णपणे नव्हे तर स्वतंत्र तुकड्यांमध्ये विचार करणे किंवा वापरणे आवश्यक असते. या विषयाच्या अभ्यासाची सुरुवात - शेअर करा. समभाग समान भाग आहेतज्यामध्ये एखादी वस्तू विभागली जाते. तथापि, व्यक्त करणे नेहमीच शक्य नसते, उदाहरणार्थ, उत्पादनाची लांबी किंवा किंमत पूर्णांक म्हणून; एखाद्याने कोणत्याही मोजमापाचे भाग किंवा समभाग विचारात घेतले पाहिजेत. "क्रश करणे" या क्रियापदापासून बनविलेले - भागांमध्ये विभागणे आणि अरबी मुळे असणे, आठव्या शतकात "अपूर्णांक" हा शब्द स्वतः रशियन भाषेत दिसून आला.

च्या संपर्कात आहे

अपूर्णांक अभिव्यक्ती हा गणिताचा सर्वात कठीण विभाग मानला जातो. 17 व्या शतकात, जेव्हा गणितातील पहिली पाठ्यपुस्तके दिसली, तेव्हा त्यांना "तुटलेली संख्या" असे म्हटले गेले, जे लोकांच्या समजुतीमध्ये प्रदर्शित करणे फार कठीण होते.

साध्या फ्रॅक्शनल अवशेषांचे आधुनिक स्वरूप, ज्याचे भाग क्षैतिज रेषेने अचूकपणे विभक्त केले आहेत, प्रथम फिबोनाची - पिसाच्या लिओनार्डोने प्रोत्साहन दिले. त्यांचे लेखन 1202 चा आहे. परंतु या लेखाचा उद्देश वाचकांना सोप्या आणि स्पष्टपणे समजावून सांगणे हा आहे की भिन्न भाजकांसह मिश्रित अपूर्णांकांचा गुणाकार कसा होतो.

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांचा गुणाकार

सुरुवातीला, ते निश्चित करणे आवश्यक आहे अपूर्णांकांचे प्रकार:

• योग्य;
• चुकीचे
• मिश्र

पुढे, तुम्हाला समान भाजक असलेल्या अपूर्णांक संख्यांचा गुणाकार कसा केला जातो हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे. या प्रक्रियेचा नियम स्वतंत्रपणे तयार करणे सोपे आहे: समान भाजकांसह साध्या अपूर्णांकांचा गुणाकार केल्याने एक अपूर्णांक अभिव्यक्ती असते, ज्याचा अंश हा अंशांचा गुणाकार असतो आणि भाजक हा या अपूर्णांकांच्या भाजकांचा गुणाकार असतो. . म्हणजेच, खरेतर, नवीन भाजक हा सुरुवातीला अस्तित्वात असलेल्यापैकी एकाचा वर्ग आहे.

गुणाकार करताना भिन्न भाजकांसह साधे अपूर्णांकदोन किंवा अधिक घटकांसाठी, नियम बदलत नाही:

एक/b * c/d = एसी / b*d.

फरक एवढाच आहे की फ्रॅक्शनल बार अंतर्गत तयार केलेली संख्या वेगवेगळ्या संख्यांचे गुणाकार असेल आणि अर्थातच, त्याला एका संख्यात्मक अभिव्यक्तीचा वर्ग म्हणता येणार नाही.

उदाहरणे वापरून भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांच्या गुणाकाराचा विचार करणे योग्य आहे:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

उदाहरणे अंशात्मक अभिव्यक्ती कमी करण्याचे मार्ग वापरतात. तुम्ही भाजकाच्या संख्येसह केवळ अंशांची संख्या कमी करू शकता; अपूर्णांक बारच्या वर किंवा खाली संलग्न घटक कमी करता येत नाहीत.

साध्या अपूर्णांक संख्यांबरोबरच मिश्र अपूर्णांकांची संकल्पना आहे. मिश्र संख्येमध्ये पूर्णांक आणि अंशात्मक भाग असतात, म्हणजेच ही या संख्यांची बेरीज असते:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

गुणाकार कसे कार्य करते?

विचारार्थ अनेक उदाहरणे दिली आहेत.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

उदाहरणाने संख्येचा गुणाकार वापरला आहे सामान्य अपूर्णांक भाग, तुम्ही सूत्राद्वारे या क्रियेसाठी नियम लिहू शकता:

एक* ब/c = a*b /c

खरं तर, असे उत्पादन समान अंशात्मक अवशेषांची बेरीज असते आणि संज्ञांची संख्या ही नैसर्गिक संख्या दर्शवते. विशेष प्रकरण:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

अपूर्णांकाच्या शेषाने संख्येचा गुणाकार सोडवण्याचा दुसरा पर्याय आहे. तुम्हाला फक्त या संख्येने भाजक विभाजित करणे आवश्यक आहे:

डी* e/f = e/f: d.

हे तंत्र वापरणे उपयुक्त आहे जेव्हा भाजक नैसर्गिक संख्येने उर्वरित न करता किंवा जसे ते म्हणतात, पूर्णपणे विभाजित केले जाते.

मिश्र संख्यांना अयोग्य अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित करा आणि पूर्वी वर्णन केलेल्या पद्धतीने उत्पादन मिळवा:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

या उदाहरणामध्ये मिश्र अपूर्णांक अयोग्य अपूर्णांक म्हणून दर्शविण्याचा एक मार्ग समाविष्ट आहे, तो सामान्य सूत्र म्हणून देखील दर्शविला जाऊ शकतो:

a bc = a*b+ c/c, जेथे नवीन अपूर्णांकाचा भाजक पूर्णांक भागाचा भाजकासह गुणाकार करून आणि मूळ अपूर्णांक उर्वरित भागाच्या अंशामध्ये जोडून तयार केला जातो आणि भाजक तोच राहतो.

ही प्रक्रिया उलट कार्य करते. पूर्णांक भाग आणि अपूर्णांक उर्वरित निवडण्यासाठी, तुम्हाला अयोग्य अपूर्णांकाचा अंश त्याच्या भाजकाने “कोपरा” ने विभाजित करणे आवश्यक आहे.

अयोग्य अपूर्णांकांचा गुणाकारनेहमीच्या पद्धतीने उत्पादित. जेव्हा एंट्री एकाच फ्रॅक्शनल रेषेखाली जाते, तेव्हा आवश्यकतेनुसार, ही पद्धत वापरून संख्या कमी करण्यासाठी तुम्हाला अपूर्णांक कमी करावे लागतील आणि परिणामाची गणना करणे सोपे होईल.

विविध प्रोग्रामच्या भिन्नतेमध्ये अगदी जटिल गणिती समस्या सोडवण्यासाठी इंटरनेटवर अनेक सहाय्यक आहेत. अशा सेवांची पुरेशी संख्या भाजकांमधील भिन्न संख्येसह अपूर्णांकांच्या गुणाकाराची गणना करण्यात मदत करतात - अपूर्णांकांची गणना करण्यासाठी तथाकथित ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर. ते केवळ गुणाकार करू शकत नाहीत, तर सामान्य अपूर्णांक आणि मिश्र संख्यांसह इतर सर्व साध्या अंकगणित ऑपरेशन्स देखील करू शकतात. त्यासह कार्य करणे कठीण नाही, साइट पृष्ठावर संबंधित फील्ड भरली जातात, गणितीय क्रियेचे चिन्ह निवडले जाते आणि "गणना करा" दाबले जाते. कार्यक्रम आपोआप मोजला जातो.

फ्रॅक्शनल नंबर्ससह अंकगणित ऑपरेशन्सचा विषय मध्यम आणि वरिष्ठ शालेय मुलांच्या संपूर्ण शिक्षणामध्ये संबंधित आहे. हायस्कूलमध्ये, ते यापुढे सर्वात सोप्या प्रजातींचा विचार करत नाहीत, परंतु पूर्णांक अपूर्णांक अभिव्यक्ती, परंतु परिवर्तन आणि गणनेसाठीच्या नियमांचे ज्ञान, पूर्वी मिळालेले, त्याच्या मूळ स्वरूपात लागू केले जाते. चांगल्या प्रकारे शिकलेले मूलभूत ज्ञान सर्वात जटिल कार्यांच्या यशस्वी निराकरणावर पूर्ण आत्मविश्वास देते.

शेवटी, लिओ टॉल्स्टॉयचे शब्द उद्धृत करणे अर्थपूर्ण आहे, ज्यांनी लिहिले: “माणूस हा एक अंश आहे. त्याचा अंश वाढवणे माणसाच्या सामर्थ्यात नाही - स्वतःचे गुण, परंतु कोणीही त्याचा भाजक कमी करू शकतो - त्याचे स्वतःचे मत, आणि या घटाने तो त्याच्या परिपूर्णतेच्या जवळ येतो.

1. पहिल्या अपूर्णांकाला दुसऱ्याने भागण्यासाठी, तुम्हाला भागाकाराच्या व्यस्त संख्येने लाभांश गुणाकार करावा लागेल.

योग्य आणि अयोग्य अपूर्णांकांसाठी, विभागणी नियम खालीलप्रमाणे आहे:

अपूर्णांक भागण्यासाठी, लाभांशाच्या अंशाचा भागाकाराच्या भाजकाने गुणाकार करा आणि लाभांशाच्या भाजकाचा भागाकाराच्या अंशाने गुणाकार करा. आपण पहिले उत्पादन अंश म्हणून आणि दुसरे भाजक म्हणून घेतो.

अपूर्णांकाने अपूर्णांकाची विभागणी.

1-विहीर सामान्य अपूर्णांक एका सेकंदाने विभाजित करण्यासाठी, शून्याच्या समान नाही, आपण हे करणे आवश्यक आहे:

• 1ल्या अपूर्णांकाच्या अंशाचा 2ऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने गुणाकार करा आणि परिणामी अपूर्णांकाच्या अंशामध्ये गुणाकार लिहा;
• 1ल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाचा 2ऱ्या अपूर्णांकाच्या अंशाने गुणाकार करा आणि परिणामी अपूर्णांकाच्या भाजकामध्ये गुणाकार लिहा.

दुसऱ्या शब्दांत, अपूर्णांकांचे विभाजन गुणाकारात जाते.

1-विहीर अपूर्णांकाला एका सेकंदाने विभाजित करण्यासाठी, तुम्हाला लाभांश (1-विहीर अपूर्णांक) विभाजकाच्या परस्परसंबंधाने गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

एका संख्येने अपूर्णांकाचा भागाकार.

योजनाबद्धपणे, नैसर्गिक संख्येने अपूर्णांक भागणे असे दिसते:

अपूर्णांकाला नैसर्गिक संख्येने विभाजित करण्यासाठी, खालील पद्धत वापरा:

आम्‍ही नैसर्गिक संख्‍याला अयोग्य अपूर्णांक म्‍हणून व्‍यक्‍त करतो जो संख्‍येच्‍या बरोबरीचा असतो आणि 1 च्‍या बरोबरीचा भाजक असतो.

विभागणी आहे. या लेखात आपण याबद्दल बोलू सामान्य अपूर्णांकांची विभागणी. प्रथम, आपण सामान्य अपूर्णांकांचे विभाजन करण्याचा नियम देऊ आणि अपूर्णांकांचे विभाजन करण्याची उदाहरणे पाहू. पुढे, आपण एका सामान्य अपूर्णांकाला नैसर्गिक संख्येने आणि संख्येला अपूर्णांकाने विभाजित करण्यावर लक्ष केंद्रित करू. शेवटी, मिश्र संख्येने सामान्य अपूर्णांकाचे विभाजन कसे केले जाते याचा विचार करा.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

सामान्य अपूर्णांकाची सामान्य अपूर्णांकाने विभागणी

हे ज्ञात आहे की भागाकार हा गुणाकाराचा व्यस्त आहे (भागाकार आणि गुणाकार यांच्यातील संबंध पहा). म्हणजेच, विभाजनामध्ये उत्पादन आणि दुसरा घटक ज्ञात असताना अज्ञात घटक शोधणे समाविष्ट असते. सामान्य अपूर्णांकांचे विभाजन करताना समान विभागणीची भावना जपली जाते.

सामान्य अपूर्णांकांचे विभाजन करण्याच्या उदाहरणांचा विचार करा.

लक्षात घ्या की आपण अपूर्णांक कमी करणे आणि अयोग्य अपूर्णांकातून पूर्णांक भाग निवडण्याबद्दल विसरू नये.

नैसर्गिक संख्येने सामान्य अपूर्णांकाचा भागाकार

आम्ही लगेच देऊ अपूर्णांकाला नैसर्गिक संख्येने विभाजित करण्याचा नियम: a/b अपूर्णांकाला नैसर्गिक संख्येने n ने भागण्यासाठी, तुम्हाला अंश तोच सोडावा लागेल आणि भाजकाचा n ने गुणाकार करावा लागेल, म्हणजेच .

हा भागाकार नियम सामान्य अपूर्णांकांसाठी असलेल्या विभाग नियमाचे थेट पालन करतो. खरंच, नैसर्गिक संख्येचे अपूर्णांक म्हणून प्रतिनिधित्व केल्याने खालील समानता येतात .

अपूर्णांकाला संख्येने विभाजित करण्याचे उदाहरण विचारात घ्या.

उदाहरण.

अपूर्णांक 16/45 ला नैसर्गिक संख्या 12 ने विभाजित करा.

उपाय.

एका अपूर्णांकाला संख्येने विभाजित करण्याच्या नियमानुसार, आपल्याकडे आहे . चला कपात करूया: . ही विभागणी पूर्ण झाली आहे.

उत्तर:

.

सामान्य अपूर्णांकाने नैसर्गिक संख्येचा भागाकार

अपूर्णांक विभाजित करण्याचा नियम समान आहे नैसर्गिक संख्येला सामान्य अपूर्णांकाने विभाजित करण्याचा नियम: नैसर्गिक संख्या n ला सामान्य अपूर्णांक a / b ने भागण्यासाठी, तुम्हाला n संख्या a / b च्या पारस्परिक अपूर्णांकाने गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

आवाज दिलेल्या नियमानुसार, , आणि सामान्य अपूर्णांकाने नैसर्गिक संख्येचा गुणाकार करण्याचा नियम आपल्याला फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहिण्याची परवानगी देतो.

एक उदाहरण विचारात घ्या.

उदाहरण.

नैसर्गिक संख्या 25 ला अपूर्णांक 15/28 ने विभाजित करा.

उपाय.

चला भागाकाराकडून गुणाकाराकडे जाऊया, आपल्याकडे आहे . पूर्णांक भाग कमी केल्यानंतर आणि निवडल्यानंतर, आपल्याला मिळेल.

उत्तर:

.

मिश्र संख्येने सामान्य अपूर्णांकाचा भागाकार

मिश्र संख्येने सामान्य अपूर्णांकाचा भागाकारसामान्य अपूर्णांकांच्या विभागणीमध्ये सहजपणे कमी केले जाते. हे करण्यासाठी, ते पुरेसे आहे