समीकरणाद्वारे समीकरणाची विभागणी. एका बहुपदीचा बहुपदी भागाकार उर्वरित सह

काही वर्षांपूर्वी मला हे जाणून आश्चर्य वाटले होते की आज शाळांमध्ये (अगदी अनेक भौतिकशास्त्र आणि गणिताच्या शाळांमध्ये), वर्तुळांमध्ये आणि अगदी “रिहर्सल” च्या बाबतीतही, ते बहुपदी किंवा बहुपदींना एका स्तंभात विभाजित करण्यास शिकवत नाहीत. मजेदार गोष्ट अशी आहे की शाळकरी मुलांना हॉर्नरची योजना माहित आहे आणि बहुपदी विभाजित करण्यासाठी ते वापरतात. असे दिसते की स्तंभात विभागणे नाजूक मनासाठी खूप कठीण मानले जाते, परंतु तो एक टॅब्लेट लक्षात ठेवण्यास सक्षम आहे जो प्रथम पदवीच्या बहुपदी भागाला अनुमती देतो. स्वाभाविकच, त्याच वेळी, अशा प्रकारे विभाजन का शक्य आहे हे शाळेतील मुलांना समजते याची कोणीही काळजी घेत नाही. अशा लोकांच्या शिक्षणातील एक स्पष्ट अंतर भरून काढण्यासाठी, मी येथे एका बहुपदीला एका स्तंभाद्वारे बहुपदी विभाजित करण्याची पद्धत देतो, जी प्रत्यक्षात अगदी सोपी आहे आणि तुम्हाला अनियंत्रित पदवीच्या बहुपदांमध्ये विभागण्याची परवानगी देते.

दोन बहुपदांसाठी आणि (शून्य समान नसावेत) सत्य आहे या वस्तुस्थितीपासून सुरुवात करूया. जर उर्वरित शून्य असेल, तर आपण म्हणतो की ते एका शेषाशिवाय भागते.

आणि आता उदाहरणे पाहू: त्यावर बहुपदी विभाजित करणे शिकणे सोपे आहे.

उदाहरण १द्वारे भागा (लक्षात ठेवा की दोन्ही बहुपदी उतरत्या क्रमाने लिहिलेल्या आहेत). प्रथम मी काय घडले पाहिजे ते लिहीन आणि नंतर ते कसे मिळवायचे याचे स्पष्टीकरण देईन.

प्रथम, लाभांशाचा वरिष्ठ सदस्य - हा - विभाजकाच्या वरिष्ठ सदस्याद्वारे, म्हणजे, द्वारे विभागला जातो. परिणामी परिणाम, जो समान आहे, भागाचा अग्रगण्य सदस्य असेल. आता आपण या बहुपदीने भागाकार गुणाकार करतो (आपल्याला मिळते) आणि लाभांशातून निकाल वजा करतो. बाकी आम्ही मिळवतो. या शेषाचे वरिष्ठ पद, ज्याला पुन्हा विभाजकाच्या वरिष्ठ पदाने भागले जाते, जे समान आहे, आपल्याला मिळते, जो भागफलाचा दुसरा सदस्य असेल. या संज्ञेने गुणाकार केलेला भागाकार पहिल्या शेषातून वजा केला जातो. आम्हाला दुसरे उरलेले मिळते, जे शून्य आहे. हे विभाजन प्रक्रिया पूर्ण करते.

हे तपासणे सोपे आहे

साधारणपणे बोलायचे झाले तर, भागाकार भागाकाराच्या अंशापेक्षा कमी (कठोरपणे कमी!) परिणामी उरलेल्या भागाची पदवी लवकर संपते. आणखी एक उदाहरण पाहू.

उदाहरण २ने भागूया.

भागाकार पूर्ण झाला आहे कारण शेवटच्या शेषाची पदवी विभाजक () च्या अंशापेक्षा कमी आहे, दुसऱ्या शब्दांत, शेषाची सर्वोच्च पद विभाजकाच्या सर्वोच्च पदाने पूर्णपणे भागता येत नाही.

परीक्षा.खरंच, हे सत्यापित करणे सोपे आहे

विधान

उर्वरित अपूर्ण खाजगी.

टिप्पणी

कोणत्याही बहुपदी $A(x)$ आणि $B(x)$ ($B(x)$ ची पदवी 0 पेक्षा मोठी आहे) $Q(x)$ आणि $R(x)$ मधून अद्वितीय बहुपदी आहेत प्रतिपादनाची स्थिती.

1. बहुपदी $x^(4) + 3x^(3) +5$ ला $x^(2) + 1$ ने भागल्यानंतर उरलेला भाग म्हणजे $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4.$
2. बहुपदी $x^(4) + 3x^(3) +5$ ला $x^(4) + 1$ ने भागल्यानंतर उरलेला भाग म्हणजे $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x ^( 3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
3. बहुपदी $x^(4) + 3x^(3) +5$ ला $x^(6) + 1$ ने भागल्यानंतर उरलेला भाग म्हणजे $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^( 4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

विधान

कोणत्याही दोन बहुपदी $A(x)$ आणि $B(x)$ (जेथे बहुपदी $B(x)$ ची पदवी शून्य नसलेली असते), तेथे $A(x)$ फॉर्ममध्ये बहुपदी प्रतिनिधित्व असते $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, जेथे $Q(x)$ आणि $R(x)$ हे बहुपदी आहेत आणि $R(x)$ ची डिग्री पेक्षा कमी आहे $B(x).$ ची पदवी

पुरावा

आम्ही बहुपद $A(x) च्या अंशावर इंडक्शनद्वारे प्रतिपादन सिद्ध करू.$ ते $n$ ने दर्शवा. जर $n = 0$, विधान सत्य आहे: $A(x)$ हे $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ म्हणून दर्शविले जाऊ शकते.$ आता, विधान सिद्ध करू द्या पदवीचे बहुपद $n \ leqm$. पदवी $k= n+1.$ च्या बहुपदांसाठी प्रतिपादन सिद्ध करू

बहुपदी $B(x)$ ची पदवी $m$ च्या समान असू द्या. तीन प्रकरणांचा विचार करा: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ आणि त्या प्रत्येकासाठी प्रतिपादन सिद्ध करा.

1. $k< m$
   बहुपद $A(x)$ असे दर्शविले जाऊ शकते

   $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

   असे प्रतिपादन केले आहे.

2. $k = m$
   बहुपदी $A(x)$ आणि $B(x)$ ला फॉर्म द्या

   $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \dots + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(कुठे) ) \: a_(n+1) \neq 0;$

   $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \dots + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(कुठे) ) \: b_(n+1) \neq 0.$

   चला $A(x)$ असे दर्शवू

   $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Big).$

   लक्षात घ्या की बहुपदी $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ ही कमाल $n+1$ आहे, तर हे प्रतिनिधित्व आहे इच्छित एक आणि प्रतिपादन समाधानी आहे.

3. $k > m$
   आम्ही बहुपद $A(x)$ फॉर्ममध्ये दर्शवतो

   $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (कुठे) \: a_(n+1) \neq 0.$

   बहुपदी $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1) चा विचार करा.$ हे $A म्हणून दर्शविले जाऊ शकते" (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, जेथे बहुपदीची पदवी $R"(x)$ $m$ पेक्षा कमी असेल, तर $A(x) चे प्रतिनिधित्व $ म्हणून पुन्हा लिहिले जाऊ शकते

   $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$

   लक्षात घ्या की बहुपदी $xR"(x)$ ची पदवी $m+1$ पेक्षा कमी आहे, म्हणजे $k$ पेक्षा कमी. नंतर $xR"(x)$ हे प्रेरक गृहीतके पूर्ण करते आणि $xR म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते. "(x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, जिथे बहुपदी $R""(x)$ ची डिग्री $m$ पेक्षा कमी आहे. $ साठी प्रतिनिधित्व पुन्हा लिहा A(x)$ कसे

   $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$

   $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$

   बहुपदी $R""(x) + a_(0)$ ची डिग्री $m$ पेक्षा कमी आहे, म्हणून विधान सत्य आहे.

प्रतिपादन सिद्ध झाले आहे.

या प्रकरणात, बहुपदी $R(x)$ म्हणतात उर्वरित$A(x)$ ला $B(x)$ आणि $Q(x)$ ने भागून - अपूर्ण खाजगी.

जर $R(x)$ चा उरलेला भाग शून्य बहुपदी असेल, तर $A(x)$ ला $B(x)$ ने भाग जातो असे म्हटले जाते.

लक्षात ठेवा की नैसर्गिक संख्या a ला नैसर्गिक संख्या b ने भागणे म्हणजे a ची संख्या दर्शवणे.

जेथे भागांक c आणि उर्वरित r हे गैर-ऋण पूर्णांक आहेत आणि उर्वरित r असमानतेचे समाधान करतात:

जर आपण बहुपदांना एकमेकांद्वारे विभाजित केले तर अशीच परिस्थिती उद्भवते.

खरंच, बहुपदांवर बेरीज, वजाबाकी आणि गुणाकार क्रिया करत असताना, परिणाम नेहमीच बहुपदी असेल. विशेषतः, शून्य नसलेल्या दोन बहुपदांचा गुणाकार करताना, गुणाकाराची पदवी घटकांच्या अंशांच्या बेरजेइतकी असेल.

तथापि, परिणामी बहुपदांची विभागणीबहुपदी नेहमी प्राप्त होत नाही.

ते म्हणतात की एक बहुपद दुसर्‍या बहुपदी द्वारे पूर्णतः (उर्वरित न करता) भाग जातोजर विभाजनाचा परिणाम बहुपदी असेल.

जर एका बहुपदीला दुसऱ्या बहुपदीने भाग जात नसेल, तर नेहमीकेले जाऊ शकते उर्वरित सह बहुपदांची विभागणी, ज्याचा परिणाम म्हणून भागफल आणि उर्वरित दोन्ही बहुपदी असतील.

व्याख्या . बहुपदी विभाजित करा a(x) बहुपदी b(x) उर्वरित सह- याचा अर्थ बहुपदी दर्शवणे a(x) म्हणून

a(x) = b(x) c(x) + आर(x) ,

बहुपद कोठे आहे c(x) हा भागांक आणि बहुपदी आहे आर(x) शेष आहे, आणि उर्वरित अंश असमानता पूर्ण करते:

हे सूत्र लक्षात घेणे महत्वाचे आहे

a(x) = b(x) c(x) + आर(x)

आहे ओळख , म्हणजे व्हेरिएबल x च्या सर्व मूल्यांसाठी वैध समानता.

भागामध्ये कमी अंशाच्या बहुपदी बहुपदीने (शेष सह किंवा शिवाय) विभाजित करताना, एक बहुपद प्राप्त होते ज्याची पदवी लाभांश आणि विभाजक यांच्या अंशांमधील फरकाच्या समान असते.

बहुपदींना उर्वरितसह विभाजित करण्याचा एक मार्ग आहे "कोपरा" ने बहुपदांची विभागणी, जे पूर्णांक भागाकारताना कसे घडते याचे संपूर्ण साधर्म्य आहे.

आता आपण बहुपदी विभाजित करण्याच्या या पद्धतीच्या वर्णनाकडे वळू.

उदाहरण. व्हेरिएबलच्या घटत्या शक्तींमध्ये पूर्वी बहुपदांची मांडणी केल्यावर, आम्ही बहुपदी विभाजित करतो

2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1

बहुपदासाठी

x 2 - x + 1 .

उपाय . चरणांमध्ये "कोपरा" ने बहुपदी विभाजित करण्यासाठी अल्गोरिदमचे वर्णन करूया:

1. वाटणे लाभांशाची पहिली मुदत 2x 4 विभाजकाच्या पहिल्या टर्मपर्यंत x 2. आम्हाला मिळते खाजगी प्रथम सदस्य 2x 2 .
2. गुणाकार करा खाजगी प्रथम सदस्य 2x 2 वर दुभाजक x 2 - x+ 1, आणि गुणाकाराचा परिणाम

2x 4 - 2x 3 + 2x 2

विभाज्य खाली लिहा 2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1 .

3. त्याच्या खाली लिहिलेल्या बहुपदी लाभांशातून आपण वजा करतो. आम्हाला मिळते प्रथम उर्वरित

x 3 + 3x 2 - 8x .

जर हे उरलेले शून्य असेल किंवा बहुपदी असेल ज्याची पदवी विभाजकाच्या अंशापेक्षा कमी असेल (या प्रकरणात, 2 पेक्षा कमी), तर भागाकार प्रक्रिया पूर्ण होईल. मात्र, तसे होत नसल्याने विभागणी सुरूच आहे.

4. वाटणे उर्वरित प्रथम टर्म x 3 विभाजकाच्या पहिल्या टर्मपर्यंत x 2. आम्हाला मिळते खाजगी दुसरा सदस्य x
5. गुणाकार करा खाजगी दुसरा सदस्य x चालू दुभाजक x 2 - x + 1 , आणि गुणाकाराचा परिणाम

x 3 - x 2 +x

प्रथम खाली लिहा x 3 + 3x 2 - 8x .

6. त्याखाली लिहिलेल्या बहुपदी पहिल्या शेषातून आपण वजा करतो. आम्हाला मिळते दुसरा उर्वरित

4x 2 - 9x + 1 .

जर हे उरलेले शून्य असेल किंवा बहुपदी असेल ज्याची पदवी विभाजकाच्या अंशापेक्षा कमी असेल, तर भागाकार प्रक्रिया पूर्ण होईल. मात्र, तसे होत नसल्याने विभागणी सुरूच आहे.

7. वाटणे दुसऱ्या उर्वरित पहिल्या टर्म 4x 2 वर प्रथम विभाजक पद x 2. आम्हाला मिळते खाजगीचा तिसरा सदस्य 4 .
8. गुणाकार करा खाजगीचा तिसरा सदस्य 4 वर दुभाजक x 2 - x + 1 , आणि गुणाकाराचा परिणाम

चला काही व्याख्यांसह प्रारंभ करूया. $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x ^(n)+a_(1)x^ फॉर्मची अभिव्यक्ती (n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. उदाहरणार्थ, $4x^(14)+87x^2+4x-11$ ही अभिव्यक्ती बहुपदी आहे ज्याची पदवी $14$ आहे. हे खालीलप्रमाणे दर्शविले जाऊ शकते: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

गुणांक $a_0$ ला बहुपदी $P_n(x)$ चे अग्रगण्य गुणांक म्हणतात. उदाहरणार्थ, बहुपद $4x^(14)+87x^2+4x-11$ साठी, अग्रगण्य गुणांक $4$ आहे ($x^(14)$ पूर्वीची संख्या). $a_n$ या संख्‍याला $P_n(x)$ बहुपदीचा मुक्त सदस्‍य म्हणतात. उदाहरणार्थ, $4x^(14)+87x^2+4x-11$ साठी इंटरसेप्ट $(-11)$ आहे. आता प्रमेयाकडे वळूया, ज्यावर, खरं तर, या पृष्ठावरील सामग्रीचे सादरीकरण आधारित असेल.

$P_n(x)$ आणि $G_m(x)$ कोणत्याही दोन बहुपदांसाठी $Q_p(x)$ आणि $R_k(x)$ अशी समानता मिळू शकते.

\begin(समीकरण) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end(समीकरण)

आणि $k< m$.

"बहुपदी $P_n(x)$ ला बहुपदी $G_m(x)$ ने विभाजित करा" या वाक्यांशाचा अर्थ "बहुपदी $P_n(x)$ चे (1) फॉर्ममध्ये प्रतिनिधित्व करा". आम्ही बहुपदी $P_n(x)$ ला विभाज्य, बहुपद $G_m(x)$ ला विभाजक, बहुपद $Q_p(x)$ ला $P_n(x)$ भागिले $G_m(x)$, आणि बहुपदी $ R_k(x)$ - $P_n(x)$ ला $G_m(x)$ ने भागल्यावर उर्वरित. उदाहरणार्थ, बहुपदांसाठी $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ आणि $G_4(x)=3x^4+4x^2+ 2 $ तुम्ही ही समानता मिळवू शकता:

$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$

येथे बहुपदी $P_6(x)$ हा विभाज्य आहे, बहुपदी $G_4(x)$ हा विभाजक आहे, बहुपदी $Q_2(x)=4x^2+x$ हा $P_6(x)$ चा भागाकार आहे. $G_4(x) $, आणि बहुपद $R_3(x)=2x^3+1$ $P_6(x)$ ला $G_4(x)$ ने भागल्यावर उरते. मी लक्षात घेतो की उर्वरित (म्हणजे 3) ची डिग्री विभाजक (म्हणजे 4) च्या अंशापेक्षा कमी आहे, म्हणून समानतेची अट पूर्ण केली जाते.

जर $R_k(x)\equiv 0$ असेल, तर बहुपदी $P_n(x)$ या बहुपदी $G_m(x)$ ने भाग न घेता उर्वरित म्हटले जाईल. उदाहरणार्थ, बहुपदी $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ हे बहुपदी $3x^4+15$ द्वारे विभाज्य आहे, कारण समानता धारण करते:

$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$

येथे बहुपद $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ विभाज्य आहे; बहुपद $G_4(x)=3x^4+15$ - भाजक; आणि बहुपद $Q_2(x)=7x^2+2x$ हे $P_6(x)$ चा भाग $G_4(x)$ ने भागले आहे. बाकी शून्य आहे.

बहुपदीला बहुपदीमध्ये विभाजित करण्यासाठी, "स्तंभ" द्वारे विभागणे किंवा, जसे की त्याला "कोपरा" देखील म्हणतात. आम्ही उदाहरणांसह या पद्धतीच्या अंमलबजावणीचे विश्लेषण करू.

उदाहरणांकडे जाण्यापूर्वी, मी आणखी एक संज्ञा सादर करेन. तो सर्वसाधारणपणे स्वीकारले जात नाही, आणि आम्ही ते केवळ सामग्री सादर करण्याच्या सोयीसाठी वापरू. या पृष्ठाच्या शेवटपर्यंत, आम्ही बहुपदी $P_n(x)$ च्या अग्रगण्य घटकाला $a_(0)x^(n)$ म्हणू. उदाहरणार्थ, बहुपद $4x^(14)+87x^2+4x-11$ साठी अग्रगण्य घटक $4x^(14)$ आहे.

उदाहरण #1

"स्तंभ" विभाग वापरून $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ $5x^2-x+2$ ने विभाजित करा.

तर आपल्याकडे दोन बहुपदी आहेत, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ आणि $G_2(x)=5x^2-x+2$. पहिल्याची पदवी $5$ आहे आणि दुसऱ्याची पदवी $2$ आहे. बहुपदी $P_5(x)$ हा लाभांश आहे आणि बहुपद $G_2(x)$ हा भाजक आहे. आमचे कार्य भागफल आणि उर्वरित शोधणे आहे. टप्प्याटप्प्याने समस्या सोडवली जाईल. संख्या विभाजित करण्यासाठी आम्ही समान नोटेशन वापरू:

पहिली पायरी

बहुपदी $P_5(x)$ (म्हणजे $10x^5$) बहुपदी $Q_2(x)$ (म्हणजे $5x^2$) च्या सर्वोच्च घटकाने विभाजित करा:

$$ \frac(10x^5)(5x^2)=2x^(5-2)=2x^3. $$

परिणामी अभिव्यक्ती $2x^3$ हा भागाचा पहिला घटक आहे:



मिळवण्यासाठी बहुपद $5x^2-x+2$ ला $2x^3$ ने गुणा:

$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$

चला निकाल लिहू:

आता बहुपद $10x^5-2x^4+4x^3$ बहुपदी $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ मधून वजा करा:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$



इथेच पहिली पायरी संपते. आम्हाला मिळालेला परिणाम विस्तारित स्वरूपात लिहिला जाऊ शकतो:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 $$

बहुपदीची पदवी $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (म्हणजे 4) बहुपदी $5x^2-x+2$ (म्हणजे 2) पेक्षा मोठी असल्याने, प्रक्रिया विभागणी चालू ठेवणे आवश्यक आहे. चला दुसऱ्या पायरीवर जाऊया.

दुसरी पायरी

आता आपण $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ आणि $5x^2-x+2$ या बहुपदांसह कार्य करू. पहिल्या चरणाप्रमाणेच, आम्ही पहिल्या बहुपदीच्या अग्रगण्य घटकाला (म्हणजे $5x^4$) दुसऱ्या बहुपदीच्या अग्रगण्य घटकाने विभाजित करतो (म्हणजे $5x^2$):

$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$

परिणामी अभिव्यक्ती $x^2$ हा भागफलाचा दुसरा घटक आहे. भागफल $x^2$ मध्ये जोडा



मिळवण्यासाठी बहुपद $5x^2-x+2$ ला $x^2$ ने गुणा:

$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$

चला निकाल लिहू:



आता बहुपद $5x^4-x^3+2x^2$ बहुपदी $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ मधून वजा करा:

$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$

आम्ही हे बहुपदी ओळीखाली आधीच जोडतो:



इथेच दुसरी पायरी संपते. प्राप्त केलेला परिणाम विस्तारित स्वरूपात लिहिला जाऊ शकतो:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2x+5 $$

बहुपदीची पदवी $-15x^3+23x^2-2x+5$ (म्हणजे 3) बहुपदी $5x^2-x+2$ (म्हणजे 2) पेक्षा मोठी असल्याने, आपण भागाकार चालू ठेवतो. प्रक्रिया चला तिसर्‍या पायरीवर जाऊया.

तिसरी पायरी

आता आपण $-15x^3+23x^2-2x+5$ आणि $5x^2-x+2$ या बहुपदांसह कार्य करू. मागील चरणांप्रमाणेच, आम्ही पहिल्या बहुपदीच्या अग्रगण्य घटकाला (म्हणजे $-15x^3$) दुसऱ्या बहुपदीच्या अग्रगण्य घटकाने (म्हणजे $5x^2$) विभाजित करतो:

$$ \frac(-15x^3)(5x^2)=-3x^(2-1)=-3x^1=-3x. $$

परिणामी अभिव्यक्ती $(-3x)$ हा भागफलाचा तिसरा घटक आहे. चला भागफल $-3x$ जोडू



मिळवण्यासाठी बहुपद $5x^2-x+2$ ला $(-3x)$ ने गुणा:

$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$

चला निकाल लिहू:



आता बहुपदी $-15x^3+3x^2-6x$ मधून बहुपदी $-15x^3+23x^2-2x+5$ वजा करा:

$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$

आम्ही हे बहुपदी ओळीखाली आधीच जोडतो:



तिसरी पायरी इथेच संपते. प्राप्त केलेला परिणाम विस्तारित स्वरूपात लिहिला जाऊ शकतो:

$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 $$

बहुपदीची पदवी $20x^2+4x+5$ (म्हणजे 2) बहुपदी $5x^2-x+2$ (म्हणजे 2) च्या बरोबरीची असल्याने, आपण भागाकार प्रक्रिया सुरू ठेवतो. चला चौथ्या पायरीवर जाऊया.

चौथी पायरी

आता आपण $20x^2+4x+5$ आणि $5x^2-x+2$ या बहुपदांसह कार्य करू. मागील चरणांप्रमाणेच, आम्ही पहिल्या बहुपदीच्या अग्रगण्य घटकाला (म्हणजे $20x^2$) दुसऱ्या बहुपदीच्या अग्रगण्य घटकाने विभाजित करतो (म्हणजे $5x^2$):

$$ \frac(20x^2)(5x^2)=4x^(2-2)=4x^0=4. $$

परिणामी संख्या $4$ हा भागाचा चौथा घटक आहे. चला भागफल $4$ जोडू



मिळवण्यासाठी बहुपद $5x^2-x+2$ ला $4$ ने गुणा:

$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$

चला निकाल लिहू:



आता आपण बहुपद $20x^2-4x+8$ बहुपदी $20x^2+4x+5$ मधून वजा करतो.

ते आवश्यक असू द्या

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).

येथे उत्पादन (2x 3 - 7x 2 + x + 1) आणि एक घटक (2x - 1) दिलेला आहे, - आपल्याला दुसरा घटक शोधण्याची आवश्यकता आहे. या उदाहरणात, हे लगेच स्पष्ट होते (परंतु हे सर्वसाधारणपणे स्थापित केले जाऊ शकत नाही) की इतर, इच्छित, घटक किंवा भागफल देखील बहुपदी आहे. हे स्पष्ट आहे कारण या उत्पादनात 4 अटी आहेत आणि हा गुणक फक्त 2 आहे. तथापि, इच्छित गुणकाला किती संज्ञा आहेत हे आधीच सांगणे अशक्य आहे: 2 अटी, 3 अटी इत्यादी असू शकतात. लक्षात ठेवा की सर्वोच्च पद एका घटकाच्या सर्वोच्च पदाचा दुसऱ्या गुणाकाराच्या सर्वोच्च पदाने गुणाकार केल्याने गुणाकार नेहमी निघतो (बहुपदीचा बहुपदीने गुणाकार पहा) आणि अशा संज्ञा असू शकत नाहीत, आम्हाला खात्री आहे की 2x 3 (उच्चतम पद हे उत्पादन) 2x गुणाकार (या घटकाची सर्वोच्च संज्ञा) शोधलेल्या गुणाकाराच्या अज्ञात अग्रगण्य पदाने होईल. शेवटचा शोधण्यासाठी, म्हणून, आपल्याला 2x 3 ने 2x ने भागावे लागेल - आपल्याला x 2 मिळेल. हे खासगीचे ज्येष्ठ सदस्य डॉ.

तेव्हा लक्षात ठेवा की बहुपदीला बहुपदीने गुणाकारताना, एका बहुपदीच्या प्रत्येक पदाला दुसऱ्या पदाच्या प्रत्येक पदाने गुणावे लागते. म्हणून, हा गुणाकार (2x 3 - 7x 2 + x + 1) हा विभाजक (2x - 1) आणि भागाच्या सर्व पदांचा गुणाकार आहे. पण आता आपण भाजकाचा गुणाकार आणि भागफलाचा पहिला (सर्वोच्च) सदस्य शोधू शकतो, म्हणजे (2x - 1) ∙ x 2; आम्हाला 2x 3 - x 2 मिळेल. भागाकाराच्या सर्व पदांनुसार (it = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) विभाजकाचे गुणाकार जाणून घेणे आणि भागाच्या 1ल्या पदावरून (it = 2x 3 - x 2) भाजकाचे गुणन जाणून घेणे. वजाबाकी आपण 1ला, खाजगी सदस्य वगळता इतर सर्वांनी भागाकाराचा गुणाकार शोधू शकतो. मिळवा

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

या उर्वरित गुणाकाराची सर्वोच्च पद (–6x 2) ही भाजकाच्या सर्वोच्च पदाची (2x) गुणाकार असणे आवश्यक आहे आणि उर्वरित पदाची सर्वोच्च पद (1ली पद वगळता) भागांकाची असणे आवश्यक आहे. येथून आपल्याला उर्वरित भागाचे वरिष्ठ पद सापडते. आम्हाला -6x 2 ÷ 2x आवश्यक आहे, आम्हाला -3x मिळेल. इच्छित भागफलाची ही दुसरी संज्ञा आहे. आपण पुन्हा भाजक (2x - 1) आणि दुसरा, नुकताच सापडलेला, भागफल पद, म्हणजे -3x शोधू शकतो.

आम्हाला मिळते (2x - 1) ∙ (-3x) \u003d -6x 2 + 3x. या संपूर्ण गुणाकारातून, आम्ही भागफलाच्या 1ल्या पदाने विभाजकाचा गुणाकार आधीच वजा केला आहे आणि उर्वरित -6x 2 + x + 1 मिळवला आहे, जो 1ला, अटी वगळता उर्वरित भागाकाराचा गुणाकार आहे. भागाचे. त्यातून नुकतेच आढळलेले उत्पादन -6x 2 + 3x वजा केल्यास, आपल्याला उर्वरित भाग मिळतो, जो भागफलाचे सदस्य 1ला आणि 2रा वगळता इतर सर्वांनी भागाकाराचा गुणाकार आहे:

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

या उर्वरित उत्पादनाच्या (–2x) वरिष्ठ पदाला विभाजकाच्या वरिष्ठ पदाने (2x) विभाजित केल्यास, आम्हाला उर्वरित भागाचे वरिष्ठ पद किंवा तिसरे पद मिळते, (–2x) ÷ 2x = –1, ही भागफलाची 3री संज्ञा आहे.

भाजकाला त्याचा गुणाकार केल्याने मिळते

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

भाजकाचा हा गुणाकार आत्तापर्यंत उरलेल्या संपूर्ण उत्पादनातून भागफलाच्या 3र्या पदाने वजा करणे, उदा.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

आपण पाहणार आहोत की आपल्या उदाहरणात गुणांक = 0 चे सदस्य 1 ला, 2रा आणि 3रा वगळता उर्वरित भागांमध्ये उत्पादन विभागले गेले आहे, ज्यावरून आपण असा निष्कर्ष काढतो की भागाला अधिक सदस्य नाहीत, म्हणजे.

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

मागील वरून आपण पाहतो: 1) उतरत्या शक्तींमध्ये लाभांश आणि विभाजकाच्या अटींची मांडणी करणे सोयीचे आहे, 2) गणना करण्यासाठी काही प्रकारचे क्रम स्थापित करणे आवश्यक आहे. अशा सोयीस्कर क्रमाचा विचार केला जाऊ शकतो जो अंकगणितामध्ये बहु-मूल्य असलेल्या संख्यांना विभाजित करताना वापरला जातो. त्याचे अनुसरण करून, आम्ही मागील सर्व गणिते खालीलप्रमाणे मांडतो (अधिक संक्षिप्त स्पष्टीकरण बाजूला दिले आहेत):

येथे आवश्यक असलेली वजाबाकी सबट्राहेंडच्या पदांच्या चिन्हे बदलून केली जातात आणि ही चल चिन्हे वर लिहिली जातात.

होय, लिहिले आहे



याचा अर्थ: सबट्राहेंड 2x 3 - x 2 होता आणि चिन्हे बदलल्यानंतर आम्हाला -2x 3 + x 2 मिळाले.

गणनेच्या स्वीकृत व्यवस्थेमुळे, लाभांश आणि भागाकाराच्या अटी उतरत्या शक्तींमध्ये मांडल्या गेल्यामुळे आणि दोन्ही बहुपदींमधील x अक्षराच्या अंश प्रत्येक वेळी 1 ने खाली जातात या वस्तुस्थितीमुळे, ते वळले. अशा संज्ञा एकमेकांच्या खाली लिहिल्या जातात (उदाहरणार्थ: –7x 2 आणि +x 2) त्यांना कास्ट करणे सोपे का आहे. हे लक्षात घेतले जाऊ शकते की गणनाच्या प्रत्येक क्षणी लाभांशाच्या सर्व सदस्यांची आवश्यकता नसते. उदाहरणार्थ, ज्या क्षणी भागफलाची दुसरी संज्ञा आढळली त्या क्षणी +1 शब्दाची आवश्यकता नाही आणि गणनाचा हा भाग सरलीकृत केला जाऊ शकतो.




अधिक उदाहरणे:

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

a अक्षरे उतरत्या शक्तींमध्ये आणि लाभांश आणि भाजकात लावा:




(लक्षात घ्या की येथे, लाभांशामध्ये 3 सह पद नसल्यामुळे, पहिल्या वजाबाकीमध्ये असे दिसून आले की समान अटी -a 2 b 2 आणि -2a 3 b एकमेकांखाली स्वाक्षरी केलेले नाहीत. अर्थात, ते एका पदापर्यंत कमी करता येत नाही आणि दोन्ही ज्येष्ठतेमध्ये ओळीच्या खाली लिहिलेले आहेत).




दोन्ही उदाहरणांमध्ये, एखाद्याने समान संज्ञांकडे अधिक लक्ष दिले पाहिजे: 1) समान संज्ञा सहसा एकमेकांच्या खाली लिहिल्या जात नाहीत आणि 2) कधीकधी (उदाहरणार्थ, शेवटच्या उदाहरणात, अटी -4a n आणि - a n पहिल्या वजाबाकीमध्ये) समान संज्ञा एकाच्या खाली न लिहिल्या जातात.

बहुपदांची विभागणी वेगळ्या क्रमाने करणे शक्य आहे, म्हणजे: प्रत्येक वेळी सर्वात कमी पद किंवा सर्व किंवा उर्वरित भाग पाहण्यासाठी. या प्रकरणात काही अक्षरांच्या चढत्या घातांमध्ये या बहुपदींची मांडणी करणे सोयीचे आहे. उदाहरणार्थ: