मूळnव्या पदवी आणि त्याचे मुख्य गुणधर्म
पदवीवास्तविक संख्या aनैसर्गिक निर्देशकासह पीएक काम आहे पीघटक, ज्यापैकी प्रत्येक समान आहे अ:
a1 = a; a2 = a a; a n =
उदाहरणार्थ,
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
पाच वेळा
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
4 वेळा
वास्तविक संख्या aम्हणतात पदवीचा आधारआणि नैसर्गिक संख्या n - पदवी सूचक.
नैसर्गिक घातांकासह अंशांचे मुख्य गुणधर्म थेट व्याख्येचे अनुसरण करतात: कोणत्याहीसह सकारात्मक संख्येची पदवी पी e एनसकारात्मक सम घातांकासह ऋण संख्येची पदवी धनात्मक असते, विषम संख्येसह ती ऋण असते.
उदाहरणार्थ,
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
अंशांसह क्रिया खालीलप्रमाणे केल्या जातात नियम
1. समान पायासह शक्तींचा गुणाकार करण्यासाठी, घातांक जोडणे पुरेसे आहे, आणि आधार समान सोडणे, म्हणजे
उदाहरणार्थ, p5∙p3 = p5+3 =p8
2. समान आधारांसह अंशांचे विभाजन करण्यासाठी, लाभांश निर्देशकातून विभाजक निर्देशक वजा करणे पुरेसे आहे, आणि आधार समान सोडा, म्हणजे
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">
2. पॉवरला पॉवर वाढवण्यासाठी, बेस समान ठेवून घातांकांचा गुणाकार करणे पुरेसे आहे, म्हणजे
(वर)मी = p वरउदाहरणार्थ, (23)2 = 26.
4. एखादे उत्पादन एका पॉवरमध्ये वाढवण्यासाठी, प्रत्येक घटकाला या पॉवरपर्यंत वाढवणे आणि परिणाम गुणाकार करणे पुरेसे आहे, म्हणजे
(अ b) पी= एक ∙bपी.
उदाहरणार्थ, (2y3)2= 4y6.
5. एका अपूर्णांकाला घात वाढवण्यासाठी, या घातासाठी अंश आणि भाजक वेगळे करणे आणि पहिल्या निकालाला दुसऱ्याने भागणे पुरेसे आहे, म्हणजे
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">
लक्षात घ्या की ही सूत्रे कधीकधी उजवीकडून डावीकडे वाचण्यासाठी उपयुक्त असतात. या प्रकरणात, ते नियम बनतात. उदाहरणार्थ, केस 4 मध्ये, apvp= (av) pआम्हाला खालील नियम मिळतात: करण्यासाठी समान घातांकांसह शक्तींचा गुणाकार करण्यासाठी, घातांक समान ठेवून, पायाचा गुणाकार करणे पुरेसे आहे.
हा नियम वापरणे प्रभावी आहे, उदाहरणार्थ, खालील उत्पादनाची गणना करताना
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=((-1)( +1))5=( = 1.
आता आपण मुळाची व्याख्या देतो.
वास्तविक संख्येचे nवे मूळ aवास्तविक क्रमांक म्हणतात X,ज्याची nवी शक्ती आहे a
स्वाभाविकच, नैसर्गिक घातांकांसह अंशांच्या मूलभूत गुणधर्मांनुसार, कोणत्याही सकारात्मक संख्येवरून सम अंशाच्या मुळाची दोन विरुद्ध मूल्ये आहेत, उदाहरणार्थ, संख्या 4 आणि -4 ही 16 चे वर्गमूळ आहेत. , (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16 पासून, आणि संख्या 3 आणि -3 हे 81 चे चौथे मूळ आहेत, (-3)4 = 34 = 81 पासून.
तसेच, ऋण संख्येचे कोणतेही मूळ नाही, कारण कोणत्याही वास्तविक संख्येची सम घात ही गैर-ऋण असते. विषम अंशाच्या मुळासाठी, कोणत्याही वास्तविक संख्येसाठी या संख्येपासून विषम अंशाचे एकच मूळ असते. उदाहरणार्थ, 3 हे 27 चे तिसरे मूळ आहे कारण Z3 = 27, आणि -2 हे -32 चे पाचवे मूळ आहे कारण (-2)5 = 32.
पॉझिटिव्ह संख्येपासून सम डिग्रीच्या दोन मुळांच्या अस्तित्वाच्या संबंधात, मूळची ही संदिग्धता दूर करण्यासाठी आम्ही अंकगणितीय मूळ संकल्पना सादर करतो.
नॉन-ऋणात्मक संख्येच्या n-व्या मूळच्या नॉन-ऋणात्मक मूल्याला म्हणतात अंकगणित मूळ.
उदाहरणार्थ, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.
हे लक्षात ठेवले पाहिजे की तर्कहीन समीकरणे सोडवताना, त्यांची मुळे नेहमी अंकगणित मानली जातात.
आम्ही nth अंशाच्या रूटची मुख्य मालमत्ता लक्षात घेतो.
रूटचे निर्देशक आणि मूळ अभिव्यक्तीची डिग्री समान नैसर्गिक संख्येने गुणाकार किंवा भागल्यास रूटचे मूल्य बदलणार नाही, म्हणजे
उदाहरण 7. सामान्य भाजकापर्यंत कमी करा आणि
मी पुन्हा प्लेटकडे पाहिलं... आणि, चला जाऊया!
चला एका सोप्यापासून सुरुवात करूया:
एक मिनिट थांब. हे, याचा अर्थ आपण ते असे लिहू शकतो:
समजले? तुमच्यासाठी हे पुढील आहे:
परिणामी संख्यांची मुळे नक्की काढलेली नाहीत? काळजी करू नका, येथे काही उदाहरणे आहेत:
पण जर दोन गुणक नसतील तर अधिक? त्याच! मूळ गुणाकार सूत्र अनेक घटकांसह कार्य करते:
आता पूर्णपणे स्वतंत्र:
उत्तरे:शाब्बास! सहमत आहे, सर्वकाही अगदी सोपे आहे, मुख्य गोष्ट म्हणजे गुणाकार सारणी जाणून घेणे!
रूट विभागणी
आम्ही मुळांचा गुणाकार शोधला, आता भागाकाराच्या गुणधर्माकडे जाऊया.
मी तुम्हाला आठवण करून देतो की सर्वसाधारणपणे सूत्र असे दिसते:
आणि याचा अर्थ असा भागाचे मूळ मुळांच्या भागाच्या बरोबरीचे असते.
बरं, चला उदाहरणे पाहू:
हे सर्व विज्ञान आहे. आणि येथे एक उदाहरण आहे:
पहिल्या उदाहरणाप्रमाणे सर्व काही गुळगुळीत नाही, परंतु जसे आपण पाहू शकता, तेथे काहीही क्लिष्ट नाही.
अभिव्यक्ती असे दिसल्यास काय होईल:
आपल्याला फक्त उलट सूत्र लागू करण्याची आवश्यकता आहे:
आणि येथे एक उदाहरण आहे:
आपण ही अभिव्यक्ती देखील पाहू शकता:
सर्व काही समान आहे, फक्त येथे तुम्हाला अपूर्णांकांचे भाषांतर कसे करायचे हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे (जर तुम्हाला आठवत नसेल तर विषय पहा आणि परत या!). आठवलं? आता आम्ही ठरवू!
मला खात्री आहे की तुम्ही प्रत्येक गोष्टीचा, प्रत्येक गोष्टीचा सामना केला आहे, आता एका डिग्रीमध्ये मुळे तयार करण्याचा प्रयत्न करूया.
घातांक
वर्गमूळाचा वर्ग केल्यास काय होईल? हे सोपे आहे, संख्येच्या वर्गमूळाचा अर्थ लक्षात ठेवा - ही अशी संख्या आहे ज्याचे वर्गमूळ समान आहे.
तर, ज्याचे वर्गमूळ समान आहे अशा संख्येचा वर्ग केला तर आपल्याला काय मिळेल?
बरं, नक्कीच,!
चला उदाहरणे पाहू:
सर्व काही सोपे आहे, बरोबर? आणि जर रूट वेगळ्या प्रमाणात असेल तर? ठीक आहे!
त्याच तर्काला चिकटून राहा आणि अंशांसह गुणधर्म आणि संभाव्य क्रिया लक्षात ठेवा.
"" विषयावरील सिद्धांत वाचा आणि सर्वकाही आपल्यासाठी अत्यंत स्पष्ट होईल.
उदाहरणार्थ, येथे एक अभिव्यक्ती आहे:
या उदाहरणात, पदवी सम आहे, परंतु ती विषम असल्यास काय? पुन्हा, पॉवर गुणधर्म लागू करा आणि सर्वकाही घटक करा:
यासह, सर्व काही स्पष्ट दिसते आहे, परंतु एका संख्येपासून अंशात रूट कसे काढायचे? येथे, उदाहरणार्थ, हे आहे:
तेही सोपे, बरोबर? जर पदवी दोनपेक्षा जास्त असेल तर? आम्ही अंशांचे गुणधर्म वापरून समान तर्काचे अनुसरण करतो:
बरं, सर्व काही स्पष्ट आहे का? मग तुमची स्वतःची उदाहरणे सोडवा:
आणि येथे उत्तरे आहेत:
रूटच्या चिन्हाखाली परिचय
आपण मुळाशी काय करायला शिकलो नाही! हे फक्त मूळ चिन्हाखाली संख्या प्रविष्ट करण्याचा सराव करण्यासाठी राहते!
हे अगदी सोपे आहे!
समजा आपल्याकडे एक संख्या आहे
आपण त्याचे काय करू शकतो? बरं, अर्थातच, ट्रिपल हे मूळचे वर्गमूळ आहे हे लक्षात ठेवताना, मुळाखाली लपवा!
आम्हाला त्याची गरज का आहे? होय, उदाहरणे सोडवताना फक्त आमची क्षमता वाढवण्यासाठी:
तुम्हाला मुळांचा हा गुणधर्म कसा आवडला? जीवन खूप सोपे करते? माझ्यासाठी, ते बरोबर आहे! फक्त आपण हे लक्षात ठेवले पाहिजे की आपण वर्गमूळ चिन्हाखाली फक्त सकारात्मक संख्या प्रविष्ट करू शकतो.
स्वतःसाठी हे उदाहरण वापरून पहा:
आपण व्यवस्थापित केले? आपण काय मिळवावे ते पाहूया:
शाब्बास! तुम्ही रूट चिन्हाखाली नंबर टाकण्यात व्यवस्थापित केले! चला तितक्याच महत्त्वाच्या गोष्टीकडे वळू - वर्गमूळ असलेल्या संख्यांची तुलना कशी करायची याचा विचार करा!
रूट तुलना
वर्गमूळ असलेल्या संख्यांची तुलना करणे का शिकले पाहिजे?
अगदी साधे. बर्‍याचदा, परीक्षेत आलेल्या मोठ्या आणि लांबलचक अभिव्यक्तींमध्ये, आम्हाला एक तर्कहीन उत्तर मिळते (तुम्हाला ते काय आहे ते आठवते का? आम्ही आज याबद्दल आधीच बोललो!)
आम्हाला प्राप्त उत्तरे समन्वय रेषेवर ठेवण्याची आवश्यकता आहे, उदाहरणार्थ, समीकरण सोडवण्यासाठी कोणता मध्यांतर योग्य आहे हे निर्धारित करण्यासाठी. आणि इथेच अडचण निर्माण होते: परीक्षेत कोणतेही कॅल्क्युलेटर नाही आणि त्याशिवाय कोणती संख्या मोठी आहे आणि कोणती लहान आहे याची कल्पना कशी करावी? बस एवढेच!
उदाहरणार्थ, कोणते मोठे आहे ते ठरवा: किंवा?
तुम्ही लगेच बॅटवरून म्हणणार नाही. बरं, मूळ चिन्हाखाली संख्या जोडण्याची पार्स केलेली प्रॉपर्टी वापरू?
मग पुढे:
बरं, स्पष्टपणे, रूटच्या चिन्हाखालील संख्या जितकी मोठी असेल तितकी मूळ स्वतःच मोठी!
त्या. जर याचा अर्थ.
यावरून आम्ही ठामपणे असा निष्कर्ष काढतो आणि कोणीही आम्हाला अन्यथा पटवून देणार नाही!
मोठ्या संख्येने मुळे काढणे
त्यापूर्वी, आम्ही रूटच्या चिन्हाखाली एक घटक ओळखला, परंतु तो कसा काढायचा? आपल्याला फक्त ते बाहेर काढण्याची आणि जे काढले जाते ते काढण्याची आवश्यकता आहे!
दुसऱ्या मार्गाने जाणे आणि इतर घटकांमध्ये विघटन करणे शक्य होते:
वाईट नाही, बरोबर? यापैकी कोणताही दृष्टिकोन योग्य आहे, तुम्हाला कसे आरामदायक वाटते ते ठरवा.
यासारख्या गैर-मानक कार्यांचे निराकरण करताना फॅक्टरिंग खूप उपयुक्त आहे:
आम्ही घाबरत नाही, आम्ही कृती करतो! आम्ही मूळ अंतर्गत प्रत्येक घटकाचे विघटन स्वतंत्र घटकांमध्ये करतो:
आणि आता ते स्वतः वापरून पहा (कॅल्क्युलेटरशिवाय! ते परीक्षेत नसेल):
हा शेवट आहे का? आम्ही अर्ध्यावर थांबत नाही!
हे सर्व आहे, हे सर्व इतके भयानक नाही, बरोबर?
घडले? चांगले केले, तुम्ही बरोबर आहात!
आता हे उदाहरण वापरून पहा:
आणि एक उदाहरण म्हणजे क्रॅक करण्यासाठी एक कठीण नट आहे, त्यामुळे त्याच्याकडे कसे जायचे ते लगेच समजू शकत नाही. पण आपण अर्थातच दात आहोत.
बरं, फॅक्टरिंग सुरू करूया का? ताबडतोब, आम्ही लक्षात घेतो की तुम्ही संख्येला (विभाज्यतेची चिन्हे लक्षात ठेवा):
आणि आता, ते स्वतः वापरून पहा (पुन्हा, कॅल्क्युलेटरशिवाय!):
बरं, चाललं का? चांगले केले, तुम्ही बरोबर आहात!
सारांश
- नॉन-ऋणात्मक संख्येचे वर्गमूळ (अंकगणित वर्गमूळ) ही एक नॉन-ऋणात्मक संख्या आहे ज्याचा वर्ग समान आहे.
. - जर आपण एखाद्या गोष्टीचे वर्गमूळ घेतले तर आपल्याला नेहमी एक गैर-नकारात्मक परिणाम मिळतो.
- अंकगणित मूळ गुणधर्म:
- वर्गमुळांची तुलना करताना, हे लक्षात ठेवले पाहिजे की रूटच्या चिन्हाखालील संख्या जितकी मोठी असेल तितकी मूळ स्वतःच मोठी असेल.
तुम्हाला वर्गमूळ कसे आवडते? सर्व स्पष्ट?
वर्गमूळाबद्दल परीक्षेत तुम्हाला जे काही माहित असणे आवश्यक आहे ते आम्ही पाण्याशिवाय तुम्हाला समजावून सांगण्याचा प्रयत्न केला.
आता तुझी पाळी. हा विषय तुमच्यासाठी अवघड आहे की नाही हे आम्हाला लिहा.
आपण काहीतरी नवीन शिकलात की सर्वकाही आधीच स्पष्ट होते.
टिप्पण्यांमध्ये लिहा आणि परीक्षेसाठी शुभेच्छा!
या लेखातील सामग्री हा विषयाचा भाग मानला पाहिजे तर्कहीन अभिव्यक्तींचे परिवर्तन. येथे, उदाहरणे वापरून, आम्ही मुळांच्या गुणधर्मांवर आधारित परिवर्तने पार पाडताना उद्भवणार्‍या सर्व सूक्ष्मता आणि बारकावे (ज्यापैकी बरेच आहेत) विश्लेषण करू.
पृष्ठ नेव्हिगेशन.
मुळांचे गुणधर्म आठवा
आपण मुळांच्या गुणधर्मांचा वापर करून अभिव्यक्तींच्या परिवर्तनास सामोरे जाणार असल्याने, मुख्य गोष्टी लक्षात ठेवण्यास त्रास होत नाही किंवा त्याहूनही चांगले, ते कागदावर लिहून आपल्यासमोर ठेवा.
प्रथम, वर्गमूळ आणि त्यांच्या खालील गुणधर्मांचा अभ्यास केला जातो (a, b, a 1, a 2, ..., a k या वास्तविक संख्या आहेत):
आणि नंतर, रूटची कल्पना विस्तृत केली जाते, न्व्या पदवीच्या मूळची व्याख्या सादर केली जाते आणि अशा गुणधर्मांचा विचार केला जातो (a, b, a 1, a 2, ..., a k वास्तविक संख्या आहेत, m, n, n 1, n 2, ... , n k - नैसर्गिक संख्या):
मूळ चिन्हांखालील संख्यांसह अभिव्यक्ती रूपांतरित करणे
नेहमीप्रमाणे, ते प्रथम संख्यात्मक अभिव्यक्तीसह कार्य करण्यास शिकतात आणि त्यानंतरच ते व्हेरिएबल्ससह अभिव्यक्तीकडे जातात. आपण तेच करू, आणि प्रथम आपण मुळांच्या चिन्हांखाली केवळ संख्यात्मक अभिव्यक्ती असलेल्या असमंजसपणाच्या अभिव्यक्तींच्या परिवर्तनास सामोरे जाऊ, आणि आधीच पुढील परिच्छेदामध्ये आपण मुळांच्या चिन्हांखाली चलने सादर करू.
हे अभिव्यक्ती बदलण्यासाठी कसे वापरले जाऊ शकते? अगदी सोपे: उदाहरणार्थ, आपण अतार्किक अभिव्यक्तीला अभिव्यक्तीने किंवा त्याउलट बदलू शकतो. म्हणजेच, जर रूपांतरित अभिव्यक्तीमध्ये मुळांच्या कोणत्याही सूचीबद्ध गुणधर्मांच्या डाव्या (उजवीकडे) भागाच्या अभिव्यक्तीशी जुळणारी अभिव्यक्ती असेल, तर ती उजव्या (डाव्या) भागातून संबंधित अभिव्यक्तीने बदलली जाऊ शकते. मुळांच्या गुणधर्मांचा वापर करून अभिव्यक्तींचे हे परिवर्तन आहे.
आणखी काही उदाहरणे घेऊ.
चला अभिव्यक्ती सोपी करूया 
. संख्या 3, 5 आणि 7 सकारात्मक आहेत, म्हणून आपण मुळांचे गुणधर्म सुरक्षितपणे लागू करू शकतो. येथे तुम्ही वेगळ्या पद्धतीने वागू शकता. उदाहरणार्थ, गुणधर्म-आधारित रूट म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते, आणि k=3 सह गुणधर्म-आधारित रूट, या दृष्टिकोनासह, समाधान असे दिसेल: 
अन्यथा करणे शक्य होते, सह बदलणे, आणि नंतर सह, या प्रकरणात समाधान असे दिसेल: 
इतर उपाय शक्य आहेत, उदाहरणार्थ: 
आणखी एक उदाहरण पाहू. चला अभिव्यक्तीचे रूपांतर करूया. मुळांच्या गुणधर्मांची सूची पाहता, आम्ही त्यातून उदाहरण सोडवण्यासाठी आवश्यक असलेले गुणधर्म निवडतो, हे स्पष्ट आहे की त्यापैकी दोन आणि येथे उपयुक्त आहेत, जे कोणत्याही a साठी वैध आहेत. आमच्याकडे आहे: 
वैकल्पिकरित्या, कोणीही प्रथम मूळ चिन्हे वापरून अभिव्यक्ती बदलू शकते 
आणि नंतर मुळांचे गुणधर्म लागू करा
या बिंदूपर्यंत, आम्ही फक्त वर्गमूळ असलेली अभिव्यक्ती रूपांतरित केली आहेत. इतर निर्देशक असलेल्या मुळांसह कार्य करण्याची वेळ आली आहे.
उदाहरण.
अतार्किक अभिव्यक्ती बदला 
.
उपाय.
मालमत्तेद्वारे 
दिलेल्या उत्पादनाचा पहिला घटक क्रमांक −2 ने बदलला जाऊ शकतो:
पुढे जा. मालमत्तेच्या गुणवत्तेनुसार, दुसरा घटक म्हणून दर्शविले जाऊ शकते, आणि 81 च्या जागी तीनच्या चतुर्भुज शक्तीने दुखापत होत नाही, कारण मुळांच्या चिन्हाखाली उर्वरित घटकांमध्ये संख्या 3 दिसून येते:
फॉर्मच्या मुळांच्या गुणोत्तरासह अपूर्णांकाचे मूळ पुनर्स्थित करण्याचा सल्ला दिला जातो, ज्याचे आणखी रूपांतर केले जाऊ शकते: 
. आमच्याकडे आहे 
टूसह ऑपरेशन केल्यावर परिणामी अभिव्यक्ती फॉर्म घेईल, आणि ते मुळांच्या उत्पादनाचे रूपांतर करण्यासाठी राहते.
मुळांच्या उत्पादनांचे रूपांतर करण्यासाठी, ते सहसा एका निर्देशकापर्यंत कमी केले जातात, ज्यासाठी सर्व मुळांचे निर्देशक घेण्याचा सल्ला दिला जातो. आमच्या बाबतीत, LCM(12, 6, 12)=12 , आणि फक्त रूट या निर्देशकापर्यंत कमी करावे लागेल, कारण इतर दोन मुळांमध्ये आधीच असा सूचक आहे. या कार्याचा सामना करण्यासाठी समानता अनुमती देते, जी उजवीकडून डावीकडे लागू केली जाते. तर 
. हा निकाल लक्षात घेता, आमच्याकडे आहे
आता मुळांचे उत्पादन उत्पादनाच्या मुळाद्वारे बदलले जाऊ शकते आणि उर्वरित, आधीच स्पष्ट, परिवर्तन केले जाऊ शकते:
चला सोल्यूशनची एक छोटी आवृत्ती बनवूया:
उत्तर:
.
स्वतंत्रपणे, आम्ही यावर जोर देतो की मुळांचे गुणधर्म लागू करण्यासाठी, मुळांच्या चिन्हे (a≥0, इ.) अंतर्गत संख्यांवर लादलेले निर्बंध विचारात घेणे आवश्यक आहे. त्यांच्याकडे दुर्लक्ष केल्यास चुकीचे परिणाम होऊ शकतात. उदाहरणार्थ, आम्हाला माहित आहे की मालमत्ता गैर-ऋणात्मक a साठी धारण करते. त्यावर आधारित, आम्ही सुरक्षितपणे जाऊ शकतो, उदाहरणार्थ, वरून, कारण 8 ही सकारात्मक संख्या आहे. परंतु जर आपण ऋण संख्येचे अर्थपूर्ण मूळ घेतले, उदाहरणार्थ, , आणि, वरील गुणधर्मावर आधारित, त्यास 2 ने बदलले, तर आपण −2 ला 2 ने बदलू. खरंच, , अ . म्हणजेच, ऋण अ साठी, समानता चुकीची असू शकते, ज्याप्रमाणे मुळांचे इतर गुणधर्म त्यांच्यासाठी निर्दिष्ट केलेल्या अटी विचारात न घेता खोटे असू शकतात.
परंतु मागील परिच्छेदात जे सांगितले गेले होते त्याचा अर्थ असा नाही की मूळ चिन्हांखाली ऋण संख्या असलेल्या अभिव्यक्ती मुळांच्या गुणधर्मांचा वापर करून बदलल्या जाऊ शकत नाहीत. त्यांना फक्त संख्यांसह ऑपरेशनचे नियम लागू करून किंवा समानतेशी संबंधित असलेल्या ऋण संख्येपासून विषम अंश रूटची व्याख्या वापरून "तयार" करणे आवश्यक आहे, जेथे −a ही ऋण संख्या आहे (तर a सकारात्मक आहे) . उदाहरणार्थ, ते लगेच बदलले जाऊ शकत नाही, कारण −2 आणि −3 या ऋण संख्या आहेत, परंतु ते आम्हाला मूळपासून कडे जाण्याची परवानगी देते आणि नंतर उत्पादनातून मूळचा गुणधर्म लागू करू देते: 
. आणि आधीच्या एका उदाहरणात मुळापासून अठराव्या अंशाच्या मुळाकडे जाणे आवश्यक होते 
, आणि त्यामुळे 
.
म्हणून, मुळांच्या गुणधर्मांचा वापर करून अभिव्यक्तींचे रूपांतर करण्यासाठी, आपल्याला आवश्यक आहे
- सूचीमधून योग्य गुणधर्म निवडा,
- रूट अंतर्गत संख्या निवडलेल्या मालमत्तेसाठी अटी पूर्ण करतात याची खात्री करा (अन्यथा, तुम्हाला प्राथमिक परिवर्तन करणे आवश्यक आहे),
- आणि अपेक्षित परिवर्तन करा.
मूळ चिन्हांखाली व्हेरिएबल्ससह अभिव्यक्ती रूपांतरित करणे
अतार्किक अभिव्यक्तींचे रूपांतर करण्यासाठी ज्यामध्ये केवळ संख्याच नाही तर मूळ चिन्हाखाली चल देखील आहेत, या लेखाच्या पहिल्या परिच्छेदामध्ये सूचीबद्ध केलेल्या मुळांचे गुणधर्म काळजीपूर्वक लागू करणे आवश्यक आहे. सूत्रांमध्ये समाविष्ट असलेल्या संख्यांद्वारे समाधानी असणे आवश्यक असलेल्या अटींमुळे हे बहुतांश भागांसाठी आहे. उदाहरणार्थ, सूत्राच्या आधारे, अभिव्यक्ती केवळ x≥0 आणि x+1≥0 अटी पूर्ण करणाऱ्या x मूल्यांसाठी अभिव्यक्तीने बदलली जाऊ शकते, कारण निर्दिष्ट सूत्र a≥0 आणि b≥ साठी सेट केले आहे. 0
या अटींकडे दुर्लक्ष करण्यात काय धोका आहे? या प्रश्नाचे उत्तर खालील उदाहरणाद्वारे स्पष्टपणे दिसून येते. समजा x=−2 असताना अभिव्यक्तीचे मूल्य काढावे लागेल. जर आपण x च्या ऐवजी −2 ही संख्या लगेच बदलली तर आपल्याला आवश्यक मूल्य मिळेल 
. आणि आता कल्पना करूया की, काही विचारांच्या आधारे, आम्ही दिलेली अभिव्यक्ती फॉर्ममध्ये रूपांतरित केली आणि त्यानंतरच आम्ही मूल्य मोजण्याचे ठरविले. आपण x ऐवजी −2 ही संख्या बदलतो आणि अभिव्यक्तीवर पोहोचतो 
, ज्याला अर्थ नाही.
बघूया काय होते ते स्वीकार्य मूल्यांची श्रेणी (ODZ)व्हेरिएबल x जेव्हा अभिव्यक्तीतून अभिव्यक्तीकडे जाते. आम्ही ODZ चा उल्लेख योगायोगाने केला नाही, कारण केलेल्या परिवर्तनांच्या स्वीकारार्हतेवर नियंत्रण ठेवण्याचे हे एक गंभीर साधन आहे आणि अभिव्यक्तीच्या परिवर्तनानंतर ODZ बदलणे कमीतकमी सावध असले पाहिजे. या अभिव्यक्तींसाठी ODZ शोधणे कठीण नाही. अभिव्यक्तीसाठी, ODZ असमानता x (x+1)≥0 वरून निर्धारित केले जाते, त्याचे समाधान संख्यात्मक संच देते (−∞, −1]∪∪∪)
