आम्हाला आधीच माहित आहे की $R$ वास्तविक संख्यांचा संच परिमेय आणि अपरिमेय संख्यांनी बनलेला आहे.

परिमेय संख्या नेहमी दशांश (मर्यादित किंवा अनंत नियतकालिक) म्हणून दर्शवल्या जाऊ शकतात.

अपरिमेय संख्या अनंत परंतु आवर्ती नसलेल्या दशांश म्हणून लिहिल्या जातात.

$R$ च्या वास्तविक संख्यांच्या संचामध्ये $-\infty $ आणि $+\infty $ हे घटक देखील समाविष्ट असतात, ज्यासाठी असमानता $-\infty

वास्तविक संख्या दर्शविण्याच्या पद्धतींचा विचार करा.

सामान्य अपूर्णांक

सामान्य अपूर्णांक दोन नैसर्गिक संख्या आणि क्षैतिज अपूर्णांक पट्टी वापरून लिहिले जातात. फ्रॅक्शनल बार प्रत्यक्षात डिव्हिजन चिन्हाची जागा घेते. रेषेखालील संख्या हा भाजक (विभाज्य) आहे, रेषेच्या वरची संख्या अंश (विभाज्य) आहे.

व्याख्या

अपूर्णांकाचा अंश त्याच्या भाजकापेक्षा कमी असल्यास त्याला योग्य म्हणतात. याउलट, एखाद्या अपूर्णांकाचा अंश त्याच्या भाजकापेक्षा मोठा किंवा समान असल्यास त्याला अयोग्य म्हटले जाते.

सामान्य अपूर्णांकांसाठी, साधे, व्यावहारिकदृष्ट्या स्पष्ट, तुलना नियम आहेत ($m$,$n$,$p$ नैसर्गिक संख्या आहेत):

समान भाजक असलेल्या दोन अपूर्णांकांपैकी, मोठा अंश असलेला एक मोठा आहे, म्हणजे $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ साठी $m>n$;
समान अंश असलेल्या दोन अपूर्णांकांपैकी, लहान भाजक असलेला एक मोठा आहे, म्हणजे $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ साठी $ m
योग्य अपूर्णांक नेहमी एकापेक्षा कमी असतो; अयोग्य अपूर्णांक नेहमी एकापेक्षा मोठा असतो; एक अपूर्णांक ज्याचा अंश भाजकाच्या बरोबरीचा आहे;
कोणताही अयोग्य अपूर्णांक हा कोणत्याही योग्य अपूर्णांकापेक्षा मोठा असतो.

दशांश संख्या

दशांश संख्या (दशांश अपूर्णांक) च्या नोटेशनचे स्वरूप आहे: पूर्णांक भाग, दशांश बिंदू, अपूर्णांक भाग. अंशाचा "कोन" भाजकाने विभाजित करून सामान्य अपूर्णांकाची दशांश नोटेशन मिळवता येते. याचा परिणाम एकतर मर्यादित दशांश अपूर्णांक किंवा अनंत नियतकालिक दशांश अपूर्णांकात होऊ शकतो.

व्याख्या

अपूर्णांक अंकांना दशांश स्थान म्हणतात. या प्रकरणात, दशांश बिंदूनंतरच्या पहिल्या अंकाला दहावा अंक, दुसरा - शंभरावा अंक, तिसरा - हजारवा अंक इ.

उदाहरण १

आम्ही दशांश संख्या 3.74 चे मूल्य निर्धारित करतो. आम्हाला मिळते: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

दशांश संख्या गोलाकार असू शकते. या प्रकरणात, आपण ज्या अंकावर राउंडिंग केले जाते ते निर्दिष्ट करणे आवश्यक आहे.

गोलाकार नियम खालीलप्रमाणे आहे:

या अंकाच्या उजवीकडील सर्व अंक शून्याने बदलले जातात (जर हे अंक दशांश बिंदूच्या आधी असतील तर) किंवा टाकून दिले जातात (जर हे अंक दशांश बिंदूनंतर असतील);
दिलेल्या अंकानंतरचा पहिला अंक 5 पेक्षा कमी असल्यास, या अंकाचा अंक बदलला जात नाही;
दिलेल्या अंकानंतरचा पहिला अंक 5 किंवा त्याहून अधिक असल्यास, या अंकाचा अंक एकाने वाढतो.

उदाहरण २

चला 17302 ची संख्या जवळच्या हजारापर्यंत पूर्ण करू: 17000.
17378 ची संख्या जवळच्या शंभरापर्यंत पूर्ण करू: 17400.
चला संख्या 17378.45 ते दहापट करू: 17380.
चला 378.91434 या संख्येला जवळच्या शंभरव्या क्रमांकापर्यंत पूर्ण करू: 378.91.
चला 378.91534 या संख्येला जवळच्या शंभरव्या क्रमांकापर्यंत पूर्ण करू: 378.92.

दशांश संख्येचे सामान्य अपूर्णांकात रूपांतर करणे.

केस १

दशांश संख्या ही समाप्त होणारी दशांश असते.

रूपांतरण पद्धत खालील उदाहरणात दर्शविली आहे.

उदाहरण २

आमच्याकडे आहे: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

सामान्य भाजक कमी करा आणि मिळवा:

अपूर्णांक कमी केला जाऊ शकतो: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

केस 2

दशांश संख्या ही अनंत आवर्ती दशांश असते.

परिवर्तन पद्धत या वस्तुस्थितीवर आधारित आहे की नियतकालिक दशांश अपूर्णांकाचा नियतकालिक भाग अनंत घटणाऱ्या भौमितिक प्रगतीच्या सदस्यांची बेरीज मानला जाऊ शकतो.

उदाहरण ४

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. प्रगतीचा पहिला सदस्य $a=0.74$ आहे, प्रगतीचा भाजक $q=0.01$ आहे.

उदाहरण 5

$0.5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . प्रगतीचा पहिला सदस्य $a=0.08$ आहे, प्रगतीचा भाजक $q=0.1$ आहे.

अमर्याद घटणार्‍या भौमितिक प्रगतीच्या अटींची बेरीज $s=\frac(a)(1-q) $ या सूत्राद्वारे मोजली जाते, जेथे $a$ ही पहिली संज्ञा आहे आणि $q$ हा प्रगती $चा भाजक आहे. \left (0

उदाहरण 6

अनंत नियतकालिक दशांश अपूर्णांक $0,\left(72\right)$ ला नियमित मध्ये रूपांतरित करू.

प्रगतीचा पहिला सदस्य $a=0.72$ आहे, प्रगतीचा भाजक $q=0.01$ आहे. आम्हाला मिळते: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)(99) =\frac(8) )(११)$. तर $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

उदाहरण 7

अनंत नियतकालिक दशांश अपूर्णांक $0.5\left(3\right)$ चे नियमित रुपांतर करू.

प्रगतीचा पहिला सदस्य $a=0.03$ आहे, प्रगतीचा भाजक $q=0.1$ आहे. आम्हाला मिळते: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)(90) =\frac(1) )(३०)$.

तर $0.5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac(1)(30) ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

वास्तविक संख्या संख्या रेषेवरील बिंदूंद्वारे दर्शविली जाऊ शकतात.

या प्रकरणात, आम्ही संख्यात्मक अक्षांना एक अनंत सरळ रेषा म्हणतो, ज्यावर मूळ (बिंदू $O$), सकारात्मक दिशा (बाणाने दर्शविलेले) आणि स्केल (मूल्ये प्रदर्शित करण्यासाठी) निवडले जातात.

सर्व वास्तविक संख्या आणि संख्यात्मक अक्षाच्या सर्व बिंदूंमध्ये एक-ते-एक पत्रव्यवहार आहे: प्रत्येक बिंदू एका संख्येशी संबंधित आहे आणि याउलट, प्रत्येक संख्या एका बिंदूशी संबंधित आहे. म्हणून, वास्तविक संख्यांचा संच जसा अक्ष सतत आणि अनंत असतो त्याच प्रकारे अखंड आणि अनंत असतो.

वास्तविक संख्यांच्या संचाच्या काही उपसंचांना संख्यात्मक अंतराल म्हणतात. संख्यात्मक मध्यांतराचे घटक म्हणजे $x\in R$ मध्ये विशिष्ट असमानतेचे समाधान करणारी संख्या. $a\in R$, $b\in R$ आणि $a\le b$ द्या. या प्रकरणात, अंतरांचे प्रकार खालीलप्रमाणे असू शकतात:

मध्यांतर $\left(a,\; b\right)$. त्याच वेळी $ a
विभाग $\left$. शिवाय, $a\le x\le b$.
अर्ध-विभाग किंवा अर्ध-मांतर $\left$. त्याच वेळी $ a \le x
अनंत स्पॅन्स, उदा. $a

एक प्रकारचे मध्यांतर देखील खूप महत्वाचे आहे, ज्याला बिंदूचा अतिपरिचित क्षेत्र म्हणतात. दिलेल्या बिंदूचा परिसर $x_(0) \in R$ हा एक अनियंत्रित मध्यांतर आहे $\left(a,\; b\right)$ ज्यामध्ये हा बिंदू स्वतःमध्ये असतो, म्हणजे $a 0$ - 10व्या त्रिज्या.

संख्येचे परिपूर्ण मूल्य

$x$ चे निरपेक्ष मूल्य (किंवा मापांक) ही $\left|x\right|$, $\left|x\right|=\left द्वारे परिभाषित केलेली एक गैर-ऋण वास्तविक संख्या आहे. start(अॅरे)(c) (\; \; x\; \; (\rm चालू)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm चालू)\; \; x

भौमितिकदृष्ट्या, $\left|x\right|$ म्हणजे वास्तविक अक्षावरील $x$ आणि 0 बिंदूंमधील अंतर.

परिपूर्ण मूल्यांचे गुणधर्म:

$\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
बेरीजच्या मापांकासाठी आणि दोन संख्यांच्या फरकाच्या मापांकासाठी, असमानता $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ आणि $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y \right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
उत्पादनाचे मापांक आणि दोन संख्यांच्या भागफलाचे मापांक $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ आणि $\left समानतेचे समाधान करतात |\frac(x)(y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

अनियंत्रित संख्या $a>0$ च्या निरपेक्ष मूल्याच्या व्याख्येच्या आधारावर, कोणीही खालील असमानतेच्या जोडीची समानता देखील स्थापित करू शकते:

जर $ \left|x\right|
जर $\left|x\right|\le a$ तर $-a\le x\le a$;
जर $\left|x\right|>a$ तर एकतर $xa$;
जर $\left|x\right|\ge a$, तर एकतर $x\le -a$ किंवा $x\ge a$.

उदाहरण 8

असमानता सोडवा $\left|2\cdot x+1\right|

ही असमानता $-7 असमानतेच्या समतुल्य आहे

येथून आम्हाला मिळते: $-8

अपरिमेय संख्या अनंत परंतु आवर्ती नसलेल्या दशांश म्हणून लिहिल्या जातात.

वास्तविक संख्या दर्शविण्याच्या पद्धतींचा विचार करा.

सामान्य अपूर्णांक

व्याख्या

समान भाजक असलेल्या दोन अपूर्णांकांपैकी, मोठा अंश असलेला एक मोठा आहे, म्हणजे $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ साठी $m>n$;
समान अंश असलेल्या दोन अपूर्णांकांपैकी, लहान भाजक असलेला एक मोठा आहे, म्हणजे $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ साठी $ m
योग्य अपूर्णांक नेहमी एकापेक्षा कमी असतो; अयोग्य अपूर्णांक नेहमी एकापेक्षा मोठा असतो; एक अपूर्णांक ज्याचा अंश भाजकाच्या बरोबरीचा आहे;
कोणताही अयोग्य अपूर्णांक हा कोणत्याही योग्य अपूर्णांकापेक्षा मोठा असतो.

दशांश संख्या

व्याख्या

उदाहरण १

आम्ही दशांश संख्या 3.74 चे मूल्य निर्धारित करतो. आम्हाला मिळते: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

गोलाकार नियम खालीलप्रमाणे आहे:

या अंकाच्या उजवीकडील सर्व अंक शून्याने बदलले जातात (जर हे अंक दशांश बिंदूच्या आधी असतील तर) किंवा टाकून दिले जातात (जर हे अंक दशांश बिंदूनंतर असतील);
दिलेल्या अंकानंतरचा पहिला अंक 5 पेक्षा कमी असल्यास, या अंकाचा अंक बदलला जात नाही;
दिलेल्या अंकानंतरचा पहिला अंक 5 किंवा त्याहून अधिक असल्यास, या अंकाचा अंक एकाने वाढतो.

उदाहरण २

चला 17302 ची संख्या जवळच्या हजारापर्यंत पूर्ण करू: 17000.
17378 ची संख्या जवळच्या शंभरापर्यंत पूर्ण करू: 17400.
चला संख्या 17378.45 ते दहापट करू: 17380.
चला 378.91434 या संख्येला जवळच्या शंभरव्या क्रमांकापर्यंत पूर्ण करू: 378.91.
चला 378.91534 या संख्येला जवळच्या शंभरव्या क्रमांकापर्यंत पूर्ण करू: 378.92.

दशांश संख्येचे सामान्य अपूर्णांकात रूपांतर करणे.

केस १

दशांश संख्या ही समाप्त होणारी दशांश असते.

रूपांतरण पद्धत खालील उदाहरणात दर्शविली आहे.

उदाहरण २

आमच्याकडे आहे: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

सामान्य भाजक कमी करा आणि मिळवा:

अपूर्णांक कमी केला जाऊ शकतो: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

केस 2

दशांश संख्या ही अनंत आवर्ती दशांश असते.

उदाहरण ४

उदाहरण 5

उदाहरण 6

अनंत नियतकालिक दशांश अपूर्णांक $0,\left(72\right)$ ला नियमित मध्ये रूपांतरित करू.

उदाहरण 7

अनंत नियतकालिक दशांश अपूर्णांक $0.5\left(3\right)$ चे नियमित रुपांतर करू.

तर $0.5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac(1)(30) ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

वास्तविक संख्या संख्या रेषेवरील बिंदूंद्वारे दर्शविली जाऊ शकतात.

मध्यांतर $\left(a,\; b\right)$. त्याच वेळी $ a
विभाग $\left$. शिवाय, $a\le x\le b$.
अर्ध-विभाग किंवा अर्ध-मांतर $\left$. त्याच वेळी $ a \le x
अनंत स्पॅन्स, उदा. $a

संख्येचे परिपूर्ण मूल्य

भौमितिकदृष्ट्या, $\left|x\right|$ म्हणजे वास्तविक अक्षावरील $x$ आणि 0 बिंदूंमधील अंतर.

परिपूर्ण मूल्यांचे गुणधर्म:

$\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
बेरीजच्या मापांकासाठी आणि दोन संख्यांच्या फरकाच्या मापांकासाठी, असमानता $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ आणि $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y \right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
उत्पादनाचे मापांक आणि दोन संख्यांच्या भागफलाचे मापांक $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ आणि $\left समानतेचे समाधान करतात |\frac(x)(y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

जर $ \left|x\right|
जर $\left|x\right|\le a$ तर $-a\le x\le a$;
जर $\left|x\right|>a$ तर एकतर $xa$;
जर $\left|x\right|\ge a$, तर एकतर $x\le -a$ किंवा $x\ge a$.

उदाहरण 8

असमानता सोडवा $\left|2\cdot x+1\right|

ही असमानता $-7 असमानतेच्या समतुल्य आहे

येथून आम्हाला मिळते: $-8

क्रमांक १. परिमेय संख्यांचे गुणधर्म.

 सुव्यवस्था . कोणत्याही परिमेय संख्यांसाठी आणि एक नियम आहे जो तुम्हाला त्यांच्यातील एक आणि तीनपैकी एकच ओळखू देतो. संबंध: "", "" किंवा "". या नियमाला म्हणतात ऑर्डर करण्याचा नियमआणि खालीलप्रमाणे तयार केले आहे: दोन सकारात्मक संख्या दोन पूर्णांकांच्या समान संबंधाने जोडल्या जातात; दोन नॉन-पॉझिटिव्ह संख्या आणि दोन गैर-ऋणात्मक संख्यांच्या समान संबंधाने संबंधित आहेत आणि; जर अचानक नकारात्मक नाही तर नकारात्मक असेल तर.

अपूर्णांकांची बेरीज

 अतिरिक्त ऑपरेशन . बेरीज नियम, जे त्यांना काही परिमेय संख्येसह पत्रव्यवहारात ठेवते. या प्रकरणात, नंबर स्वतःच कॉल केला जातो बेरीज संख्या u दर्शविली जाते आणि अशी संख्या शोधण्याच्या प्रक्रियेला म्हणतात बेरीज. बेरीज नियमात खालील फॉर्म आहे: .

 गुणाकार ऑपरेशन . कोणत्याही परिमेय संख्यांसाठी आणि एक तथाकथित आहे गुणाकार नियम, जे त्यांना काही परिमेय संख्येसह पत्रव्यवहारात ठेवते. या प्रकरणात, नंबर स्वतःच कॉल केला जातो काम संख्या ii दर्शविली जाते आणि अशी संख्या शोधण्याच्या प्रक्रियेला देखील म्हणतात गुणाकार. गुणाकार नियम खालीलप्रमाणे आहे: .

 संक्रमणशीलता ऑर्डर संबंध.परिमेय संख्यांच्या कोणत्याही तिहेरीसाठी, आणि जर कमी आणि कमी, तर कमी, आणि जर समान आणि समान असेल तर समान.

 कम्युटेटिव्हिटी या व्यतिरिक्त.तर्कशुद्ध अटींच्या ठिकाणी बदल झाल्यामुळे, बेरीज बदलत नाही.

 सहवास या व्यतिरिक्त.ज्या क्रमाने तीन परिमेय संख्या जोडल्या जातात त्याचा परिणाम परिणामावर होत नाही.

 उपलब्धताशून्य . एक परिमेय संख्या 0 आहे जी बेरीज केल्यावर इतर प्रत्येक परिमेय संख्या जतन करते.

 विरुद्ध संख्यांची उपस्थिती.कोणत्याही परिमेय संख्येमध्ये विरुद्ध परिमेय संख्या असते, जी बेरीज केल्यावर 0 देते.

 गुणाकाराची कम्युटेटिव्हिटी.तर्कसंगत घटकांची ठिकाणे बदलून, उत्पादन बदलत नाही.

 गुणाकाराची संगती ।ज्या क्रमाने तीन परिमेय संख्यांचा गुणाकार केला जातो त्याचा परिणामावर परिणाम होत नाही.

 उपलब्धतायुनिट्स . एक परिमेय संख्या 1 आहे जी गुणाकार केल्यावर इतर प्रत्येक परिमेय संख्या जतन करते.

 उपलब्धतापरस्पर संख्या . शून्य नसलेल्या कोणत्याही परिमेय संख्येमध्ये व्यस्त परिमेय संख्या असते, ज्याचा गुणाकार 1 देतो.

 वितरणक्षमता बेरीज वर गुणाकार.गुणाकार ऑपरेशन वितरण कायद्याद्वारे बेरीज ऑपरेशनशी सुसंगत आहे:

 जोडणीच्या ऑपरेशनशी ऑर्डरचा संबंध.परिमेय असमानतेच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूस समान परिमेय संख्या जोडली जाऊ शकते.

 गुणाकाराच्या ऑपरेशनसह ऑर्डरच्या संबंधाचे कनेक्शन.परिमेय असमानतेच्या डाव्या आणि उजव्या बाजूंना समान सकारात्मक परिमेय संख्येने गुणले जाऊ शकते.

 आर्किमिडीजचे स्वयंसिद्ध . परिमेय संख्या काहीही असो, तुम्ही इतकी एकके घेऊ शकता की त्यांची बेरीज ओलांडली जाईल.

क्रमांक 2. वास्तविक संख्येचे मॉड्यूलस.

व्याख्या . नॉन-ऋणात्मक वास्तविक संख्या x चे मॉड्यूलस ही संख्या स्वतःच आहे: | x | = x; ऋण वास्तविक संख्या x चे मॉड्यूलस ही विरुद्ध संख्या आहे: I x | = - x.

थोडक्यात, हे असे लिहिले आहे:

2. वास्तविक संख्येच्या मॉड्यूलसचा भौमितीय अर्थ

वास्तविक संख्या आणि त्याच्या भौमितिक संच R वर परत येऊ मॉडेल- संख्या रेखा. आम्ही ओळीवर दोन बिंदू a आणि b चिन्हांकित करतो (दोन वास्तविक संख्या a आणि b), बिंदू a आणि b (- ग्रीक वर्णमाला "ro" चे अक्षर) मधील अंतर (a, b) द्वारे दर्शवितो. हे अंतर b - a, जर b > a (Fig. 101), ते a - b, a > b असल्यास (Fig. 102), शेवटी, a = b असल्यास ते शून्य आहे.

सर्व तीन प्रकरणे एका सूत्राने व्यापलेली आहेत:

b) समीकरण | x + 3.2 | = 2 फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहा | x - (- 3.2) | \u003d 2 आणि पुढे (x, - 3.2) \u003d 2. समन्वय रेषेवर दोन बिंदू आहेत जे बिंदूपासून काढले जातात - 3.2 2 च्या समान अंतरावर. हे बिंदू आहेत - 5.2 आणि - 1.2 (चित्र . . 104). तर समीकरण दोन आहे मूळ: -5.2 आणि -1.2.

№4.वास्तविक संख्यांचा संच

परिमेय संख्यांचा संच आणि अपरिमेय संख्यांचा संच याला संच म्हणतात वैध (किंवा साहित्य ) संख्या . वास्तविक संख्यांचा संच चिन्हाद्वारे दर्शविला जातो आर. अर्थात, .

वास्तविक क्रमांक वर प्रदर्शित केले जातात संख्यात्मक अक्ष ओहठिपके (चित्र). या प्रकरणात, प्रत्येक वास्तविक संख्या संख्यात्मक अक्षाच्या विशिष्ट बिंदूशी संबंधित आहे आणि अक्षाचा प्रत्येक बिंदू विशिष्ट वास्तविक संख्येशी संबंधित आहे.

म्हणून, "वास्तविक संख्या" या शब्दांऐवजी आपण "बिंदू" म्हणू शकता.

क्र. 5. संख्या अंतर.

अंतर प्रकार	भौमितिक प्रतिमा	पदनाम	असमानता वापरून लेखन
मध्यांतर

अर्धा मध्यांतर
अर्धा मध्यांतर


उघडा तुळई
उघडा तुळई

क्रमांक 6. संख्यात्मक कार्य.

प्रत्येक क्रमांकाला एकच संख्या नियुक्त केल्यास संख्या संच द्या y, मग आम्ही सेटवर म्हणतो डीसंख्यात्मक कार्य :

y = f (x),

खूप डीम्हणतात कार्य व्याप्ती आणि दर्शविले डी (f (x)). सर्व घटकांचा संच f (x), कुठे म्हणतात कार्य श्रेणी आणि दर्शविले इ (f (x)).

क्रमांक xअनेकदा कॉल करा कार्य युक्तिवाद किंवा स्वतंत्र व्हेरिएबल आणि संख्या y- अवलंबून व्हेरिएबल किंवा, खरं तर, कार्य चल x. मूल्याशी संबंधित संख्या म्हणतात कार्य मूल्य एका बिंदूवर आणि सूचित करा किंवा

फंक्शन सेट करण्यासाठी f, आपण निर्दिष्ट करणे आवश्यक आहे:

1) त्याची व्याख्या डोमेन डी (f (x));

2) नियम निर्दिष्ट करा f, त्यानुसार प्रत्येक मूल्य काही मूल्याशी संबंधित आहे y = f (x).

№7. व्यस्त कार्य,

व्यस्त कार्य

जर वितर्क आणि कार्याची भूमिका उलट असेल तर xचे कार्य बनते y. या प्रकरणात, एक नवीन कार्य म्हणतात व्यस्त कार्य.समजा आपल्याकडे एक कार्य आहे:

वि = u 2 ,

कुठे u- युक्तिवाद, अ वि- कार्य. जर आपण त्यांच्या भूमिका उलट्या केल्या तर आपल्याला मिळेल u एक कार्य म्हणून वि :

जर आपण दोन्ही फंक्शन्समधील युक्तिवाद म्हणून दर्शवितो x , आणि फंक्शन द्वारे y, नंतर आमच्याकडे दोन कार्ये आहेत:

त्यातील प्रत्येक दुसऱ्याचा व्यस्त आहे.

उदाहरणे. ही फंक्शन्स एकमेकांच्या उलट आहेत:

1) पाप xआणि आर्कसिन x, कारण जर y= पाप x, नंतर x= आर्कसिन y;

२) कॉस xआणि अर्कोस x, कारण जर y= cos x, नंतर x= अर्कोस y;

3) टॅन xआणि आर्कटन x, कारण जर y= टॅन x, नंतर x= आर्कटान y;

4) e xआणि ln x, कारण जर y= e x, नंतर x=ln y

व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये- गणितीय कार्ये जी त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या व्यस्त असतात. व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्यांमध्ये सहसा सहा कार्ये समाविष्ट असतात:

arcsine(प्रतीक: आर्कसिन)

चाप कोसाइन(प्रतीक: अर्कोस)

चाप स्पर्शिका(पद: arctg; परदेशी साहित्यात arctan)

चाप स्पर्शिका(पद: arcctg; परदेशी साहित्यात arcotan)

आर्कसेकंट(प्रतीक: arcsec)

arccosecant(पद: आर्कोसेक; परदेशी साहित्यात arccsc)

№8. मूलभूत प्राथमिक कार्ये. प्राथमिक कार्ये

हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये बहु-मूल्य (अनंत महत्त्वपूर्ण) आहेत, त्यांच्यासह कार्य करताना, तथाकथित मुख्य मूल्ये वापरली जातात.

№9. जटिल संख्या

असे लिहिले आहे: a+ द्वि. येथे aआणि b – वास्तविक संख्या, अ i – काल्पनिक एकक, म्हणजे i 2 = –1. क्रमांक a म्हणतात abscissa, अ b – आदेशजटिल संख्या a+ b.i दोन जटिल संख्या a+ द्वि आणि a – द्वि म्हणतात संयुग्मितजटिल संख्या.

आकृतीमध्ये दर्शविल्याप्रमाणे, वास्तविक संख्या एका सरळ रेषेवरील बिंदूंद्वारे दर्शविली जाऊ शकते, जेथे बिंदू A संख्या 4 दर्शवितो आणि बिंदू B -5 दर्शवितो. समान संख्या ओए, ओबी विभागांद्वारे देखील दर्शविली जाऊ शकतात, केवळ त्यांची लांबीच नव्हे तर त्यांची दिशा देखील लक्षात घेऊन.

संख्या रेषेचा प्रत्येक बिंदू M काही वास्तविक संख्या दर्शवतो (खंड OM एकक लांबीच्या अनुरूप असल्यास परिमेय आणि अतुलनीय असल्यास अपरिमेय). अशा प्रकारे, संमिश्र संख्यांसाठी संख्या रेषेवर जागा नाही.

परंतु संमिश्र संख्या संख्या समतल वर दर्शविल्या जाऊ शकतात. हे करण्यासाठी, आम्ही दोन्ही अक्षांवर समान स्केलसह, विमानात आयताकृती समन्वय प्रणाली निवडतो.

कॉम्प्लेक्स नंबर a + b iबिंदू M द्वारे प्रस्तुत केले जाते, ज्यामध्ये abscissa x abscissa बरोबर असतो aसंमिश्र संख्या, आणि y चा ordinate ordinate च्या बरोबरीचा आहे bजटिल संख्या.

वास्तविक क्रमांक II

§ 44 वास्तविक संख्यांचे भौमितिक प्रतिनिधित्व

भौमितिकदृष्ट्या वास्तविक संख्या, परिमेय संख्यांप्रमाणे, एका सरळ रेषेवरील बिंदूंनी दर्शविल्या जातात.

द्या l - एक अनियंत्रित सरळ रेषा, आणि O - त्यातील काही बिंदू (Fig. 58). प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या α च्या अंतरावर O च्या उजवीकडे पडलेला बिंदू A पत्रव्यवहार करा α लांबीची एकके.

जर, उदाहरणार्थ, α = 2.1356..., नंतर

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

इ. हे उघड आहे की या प्रकरणात बिंदू A रेषेवर असणे आवश्यक आहे l अंकांशी संबंधित बिंदूंच्या उजवीकडे

2; 2,1; 2,13; ... ,

परंतु अंकांशी संबंधित बिंदूंच्या डावीकडे

3; 2,2; 2,14; ... .

हे दर्शविले जाऊ शकते की या अटी ओळीवर परिभाषित करतात l एकमेव बिंदू A, ज्याला आपण वास्तविक संख्येची भौमितिक प्रतिमा मानतो α = 2,1356... .

त्याचप्रमाणे, प्रत्येक ऋण वास्तविक संख्या β च्या अंतरावर O च्या डावीकडे असलेला B बिंदू पत्रव्यवहार करा β | लांबीची एकके. शेवटी, आम्ही "शून्य" या संख्येला बिंदू O नियुक्त करतो.

तर, क्रमांक 1 सरळ रेषेत प्रदर्शित होईल l बिंदू A, O च्या उजवीकडे लांबीच्या एका युनिटच्या अंतरावर स्थित आहे (चित्र 59), संख्या - √2 - बिंदू B, O च्या डावीकडे √2 एकक लांबीच्या अंतरावर आहे, इ.

सरळ रेषेत कसे ते दाखवू l होकायंत्र आणि शासक वापरून, तुम्ही √2, √3, √4, √5, इत्यादि वास्तविक संख्यांशी संबंधित बिंदू शोधू शकता. हे करण्यासाठी, सर्वप्रथम, ज्यांची लांबी द्वारे व्यक्त केली जाते अशा विभागांची रचना कशी करायची ते आम्ही दाखवू. या संख्या. AB हा लांबीचे एकक म्हणून घेतलेला खंड मानूया (चित्र 60).

बिंदू A वर, आम्ही या सेगमेंटला एक लंब पुनर्संचयित करतो आणि त्यावर AB खंडाच्या बरोबरीचा AC विभाग बाजूला ठेवतो. मग, पायथागोरियन प्रमेय काटकोन त्रिकोण ABC वर लागू केल्यास, आपल्याला मिळते; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2

म्हणून, BC ची लांबी √2 आहे. आता आपण C बिंदूवर BC रेषाखंडाचा लंब पुनर्संचयित करू आणि त्यावर D बिंदू निवडू या म्हणजे खंड CD ही एकक लांबी AB प्रमाणे असेल. मग काटकोन त्रिकोण BCD वरून आपल्याला आढळते:

ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3

म्हणून, BD ची लांबी √3 आहे. वर्णन केलेली प्रक्रिया पुढे चालू ठेवल्यास, आम्हाला BE, BF, ... असे विभाग मिळू शकतात, ज्यांची लांबी √4, √5, इत्यादी संख्यांनी व्यक्त केली जाते.

आता ओळीवर l √2, √3, √4, √5, इत्यादी संख्यांचे भौमितिक प्रतिनिधित्व म्हणून काम करणारे बिंदू शोधणे सोपे आहे.

उदाहरणार्थ, बिंदू O (Fig. 61) च्या उजवीकडे BC सेगमेंट ठेवल्यास, आपल्याला C बिंदू मिळेल, जो √2 क्रमांकाचे भौमितिक प्रतिनिधित्व म्हणून काम करतो. त्याच प्रकारे, बिंदू O च्या उजवीकडे BD खंड ठेवल्यास, आपल्याला बिंदू D" मिळेल, जी √3, इत्यादी संख्येची भौमितिक प्रतिमा आहे.

तथापि, एखाद्याने असा विचार करू नये की संख्या रेषेवर होकायंत्र आणि शासक यांच्या मदतीने l दिलेल्या कोणत्याही वास्तविक संख्येशी संबंधित बिंदू शोधू शकतो. उदाहरणार्थ, हे सिद्ध झाले आहे की, तुमच्याकडे फक्त कंपास आणि एक शासक असल्याने, ज्याची लांबी संख्येने व्यक्त केली जाते असा खंड तयार करणे अशक्य आहे. π = 3.14 ... . तर नंबर लाईनवर l अशा बांधकामांच्या मदतीने या संख्येशी संबंधित बिंदू निर्दिष्ट करणे अशक्य आहे. तरीही, असा बिंदू अस्तित्वात आहे.

म्हणून प्रत्येक वास्तविक संख्येसाठी α रेषेचा काही सु-परिभाषित बिंदू जोडणे शक्य आहे l . हा बिंदू प्रारंभ बिंदू O पासून | च्या अंतरावर विभक्त होईल α | लांबीची एकके आणि जर O च्या उजवीकडे असेल α > 0, आणि O जर डावीकडे α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . खरंच, नंबर द्या α बिंदू A आणि संख्याशी संबंधित आहे β - बिंदू B. नंतर, जर α > β , नंतर A B च्या उजवीकडे असेल (चित्र 62, a); तर α < β , नंतर A B च्या डावीकडे पडेल (Fig. 62, b).

परिमेय संख्यांच्या भौमितीय प्रतिनिधित्वाबद्दल § 37 मध्ये बोलताना, आम्ही प्रश्न विचारला: सरळ रेषेचा कोणताही बिंदू काही लोकांची भौमितिक प्रतिमा मानला जाऊ शकतो का? तर्कशुद्धसंख्या? तेव्हा या प्रश्नाचे उत्तर आम्ही देऊ शकलो नाही; आता आपण त्याचे उत्तर निश्चितपणे देऊ शकतो. रेषेवर असे बिंदू आहेत जे अपरिमेय संख्यांचे भौमितीय प्रतिनिधित्व म्हणून काम करतात (उदाहरणार्थ, √2). म्हणून, सरळ रेषेवरील प्रत्येक बिंदू परिमेय संख्या दर्शवत नाही. परंतु या प्रकरणात, दुसरा प्रश्न उद्भवतो: वास्तविक रेषेचा कोणताही बिंदू काही लोकांची भौमितिक प्रतिमा म्हणून मानला जाऊ शकतो का? वैधसंख्या? हा प्रश्न आधीच सकारात्मक पद्धतीने सोडवला गेला आहे.

खरंच, A ला रेषेवर एक अनियंत्रित बिंदू असू द्या l , O च्या उजवीकडे पडलेले (चित्र 63).

OA ची लांबी काही सकारात्मक वास्तविक संख्येने व्यक्त केली जाते α (§ 41 पहा). म्हणून बिंदू A ही संख्येची भौमितिक प्रतिमा आहे α . त्याचप्रमाणे, हे स्थापित केले आहे की O च्या डावीकडे असलेला प्रत्येक बिंदू B, ऋण वास्तविक संख्येची भौमितिक प्रतिमा मानली जाऊ शकते - β , कुठे β - VO विभागाची लांबी. शेवटी, बिंदू O शून्य संख्येचे भौमितीय प्रतिनिधित्व म्हणून काम करतो. हे स्पष्ट आहे की ओळीचे दोन वेगळे बिंदू l समान वास्तविक संख्येची भौमितीय प्रतिमा असू शकत नाही.

वर नमूद केलेल्या कारणांमुळे, एक सरळ रेषा ज्यावर काही बिंदू O हा "प्रारंभिक" बिंदू म्हणून दर्शविला जातो (लांबीच्या दिलेल्या युनिटसाठी) संख्या रेखा.

निष्कर्ष. सर्व वास्तविक संख्यांचा संच आणि वास्तविक रेषेच्या सर्व बिंदूंचा संच एका-एक पत्रव्यवहारात असतो.

याचा अर्थ असा की प्रत्येक वास्तविक संख्या संख्या रेषेच्या एका, चांगल्या-परिभाषित बिंदूशी संबंधित आहे आणि, त्याउलट, संख्या रेषेच्या प्रत्येक बिंदूशी, अशा पत्रव्यवहारासह, एक, सु-परिभाषित वास्तविक संख्येशी संबंधित आहे.

व्यायाम

320. दोन बिंदूंपैकी कोणते बिंदू क्रमांक रेषेवर डावीकडे आहेत आणि कोणते उजवीकडे आहेत, जर हे बिंदू संख्यांशी संबंधित असतील तर:

अ) १.४५४५४५... आणि १.४५५४५४...; c) 0 आणि - 1.56673...;

b) - 12.0003... आणि - 12.0002...; ड) 13.24... आणि 13.00....

321. जर हे बिंदू संख्यांशी जुळत असतील तर दोन बिंदूंपैकी कोणता बिंदू क्रमांक रेषेवरील प्रारंभिक बिंदू O पासून पुढे आहे ते शोधा:

अ) ५.२३९७... आणि ४.४९९६...; .. c)-0.3567... आणि 0.3557... .

ड) - 15.0001 आणि - 15.1000...;

322. या विभागात √ लांबीचा एक खंड तयार करायचा हे दाखवले होते n होकायंत्र आणि सरळ किनारी वापरून, तुम्ही पुढीलप्रमाणे पुढे जाऊ शकता: प्रथम √2 लांबीचा एक विभाग तयार करा, नंतर √3 लांबीचा एक विभाग इ., जोपर्यंत आपण √ लांबीच्या खंडापर्यंत पोहोचत नाही तोपर्यंत. n . पण प्रत्येक निश्चित साठी पी > 3 या प्रक्रियेला गती मिळू शकते. उदाहरणार्थ, तुम्ही √10 लांबीचा विभाग कसा तयार कराल?

३२३*. क्रमांक 1 / शी संबंधित क्रमांक रेषेवर बिंदू शोधण्यासाठी होकायंत्र आणि शासक कसे वापरावे α , जर बिंदूची स्थिती संख्याशी संबंधित असेल α , माहीत आहे?

या लेखात, आम्ही तपशीलवार विश्लेषण करू संख्येचे परिपूर्ण मूल्य. आम्ही संख्येच्या मॉड्यूलसच्या विविध व्याख्या देऊ, नोटेशन सादर करू आणि ग्राफिक चित्रे देऊ. या प्रकरणात, आम्ही व्याख्येनुसार संख्येचे मॉड्यूलस शोधण्याच्या विविध उदाहरणांचा विचार करतो. त्यानंतर, आम्ही मॉड्यूलचे मुख्य गुणधर्म सूचीबद्ध करतो आणि त्याचे समर्थन करतो. लेखाच्या शेवटी, आम्ही जटिल संख्येचे मॉड्यूलस कसे निर्धारित केले जाते आणि कसे शोधले जाते याबद्दल बोलू.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

संख्येचे मॉड्यूल - व्याख्या, नोटेशन आणि उदाहरणे

प्रथम आम्ही परिचय मॉड्यूलस पदनाम. अंक a चे मॉड्यूल असे लिहिले जाईल, म्हणजे, नंबरच्या डावीकडे आणि उजवीकडे आपण मॉड्यूलचे चिन्ह बनवणाऱ्या उभ्या रेषा ठेवू. एक दोन उदाहरणे देऊ. उदाहरणार्थ, modulo -7 असे लिहिले जाऊ शकते; मॉड्यूल 4,125 असे लिहिले आहे आणि मॉड्यूल असे लिहिले आहे.

मॉड्यूलची खालील व्याख्या वास्तविक संख्यांच्या संचाचे घटक भाग म्हणून, आणि म्हणून, पूर्णांक आणि परिमेय आणि अपरिमेय संख्यांना संदर्भित करते. मध्ये कॉम्प्लेक्स नंबरच्या मॉड्यूलसबद्दल बोलू.

व्याख्या.

मॉड्युलस ऑफ एएकतर स्वतः a ही संख्या आहे, जर a ही सकारात्मक संख्या असेल, किंवा संख्या −a, संख्या a च्या विरुद्ध असेल, जर a नकारात्मक संख्या असेल, किंवा 0, जर a=0 असेल तर.

संख्‍येच्‍या मापांकाची व्‍यक्‍त व्‍याख्‍या पुष्कळदा खालील फॉर्ममध्‍ये लिहिली जाते , या नोटेशनचा अर्थ असा आहे की जर a>0 , जर a=0 , आणि जर a<0 .

रेकॉर्ड अधिक संक्षिप्त स्वरूपात प्रस्तुत केले जाऊ शकते . या नोटेशनचा अर्थ असा आहे की जर (a 0 पेक्षा मोठा किंवा समान आहे), आणि जर a<0 .

एक विक्रमही आहे . येथे, प्रकरण जेव्हा a=0 चे वेगळे स्पष्टीकरण केले पाहिजे. या प्रकरणात, आपल्याकडे आहे, परंतु −0=0 , कारण शून्य ही स्वतःच्या विरुद्ध असलेली संख्या मानली जाते.

आणूया संख्येचे मॉड्यूलस शोधण्याची उदाहरणेदिलेल्या व्याख्येसह. उदाहरणार्थ, 15 आणि अंकांचे मॉड्यूल्स शोधू. चला शोधण्यास सुरुवात करूया. 15 ही संख्या सकारात्मक असल्याने, त्याचे मापांक, व्याख्येनुसार, या संख्येइतकेच आहे, म्हणजे, . संख्येचे मॉड्यूलस काय आहे? ऋण संख्या असल्याने, त्याचे मॉड्यूलस संख्येच्या विरुद्ध असलेल्या संख्येइतके असते, म्हणजेच संख्या . अशा प्रकारे, .

या परिच्छेदाच्या शेवटी, आम्ही एक निष्कर्ष देतो, जो संख्येचे मॉड्यूलस शोधताना व्यवहारात लागू करणे खूप सोयीचे आहे. संख्‍येच्‍या मापांकच्‍या व्‍याख्‍येवरून ते असे होते संख्येचे मापांक हे मापांकाच्या चिन्हाखालील संख्येइतके असते, त्याच्या चिन्हाकडे दुर्लक्ष करून, आणि वर चर्चा केलेल्या उदाहरणांवरून, हे अगदी स्पष्टपणे दृश्यमान आहे. व्हॉइस्ड स्टेटमेंट हे स्पष्ट करते की संख्येचे मॉड्यूलस का म्हटले जाते संख्येचे परिपूर्ण मूल्य. तर संख्येचे मापांक आणि संख्येचे निरपेक्ष मूल्य एकच आहे.

अंतर म्हणून संख्येचे मॉड्यूलस

भौमितिकदृष्ट्या, संख्येच्या मॉड्यूलसचा अर्थ असा केला जाऊ शकतो अंतर. आणूया अंतराच्या दृष्टीने संख्येच्या मॉड्यूलसचे निर्धारण.

व्याख्या.

मॉड्युलस ऑफ एसमन्वय रेषेवरील उत्पत्तीपासून अंक a शी संबंधित बिंदूपर्यंतचे अंतर आहे.

ही व्याख्या पहिल्या परिच्छेदात दिलेल्या संख्येच्या मॉड्यूलसच्या व्याख्येशी सहमत आहे. चला हा मुद्दा स्पष्ट करूया. उत्पत्तीपासून पॉझिटिव्ह संख्येशी संबंधित बिंदूपर्यंतचे अंतर या संख्येइतके आहे. शून्य हे उत्पत्तीशी सुसंगत आहे, म्हणून बिंदू 0 सह उत्पत्तीपासून बिंदूपर्यंतचे अंतर शून्य आहे (कोणताही एक खंड नाही आणि एकक खंडाचा कोणताही भाग बनवणारा कोणताही खंड O बिंदूपासून बिंदूपर्यंत जाण्यासाठी पुढे ढकलण्याची गरज नाही. समन्वय 0 सह). उगमस्थानापासून ऋण समन्वय असलेल्या बिंदूपर्यंतचे अंतर दिलेल्या बिंदूच्या समन्वयाच्या विरुद्ध असलेल्या संख्येइतके असते, कारण ते उगमापासून बिंदूपर्यंतच्या अंतराएवढे असते ज्याचा समन्वय विरुद्ध संख्या आहे.

उदाहरणार्थ, अंक 9 चे मॉड्यूलस 9 आहे, कारण 9 सह उत्पत्तीपासून बिंदूपर्यंतचे अंतर नऊ आहे. आणखी एक उदाहरण घेऊ. समन्वय −3.25 सह बिंदू O बिंदूपासून 3.25 च्या अंतरावर आहे, म्हणून .

संख्‍येच्‍या मापांकाची ध्वनी व्याख्या ही दोन संख्‍यांच्‍या फरकाचे मापांक परिभाषित करण्‍याची एक विशेष बाब आहे.

व्याख्या.

दोन संख्यांचा फरक मॉड्यूलस a आणि b हे निर्देशांक a आणि b सह समन्वय रेषेच्या बिंदूंमधील अंतराच्या समान आहेत.

म्हणजेच, समन्वय रेषेवर A(a) आणि B(b) वर बिंदू दिल्यास, बिंदू A ते बिंदू B पर्यंतचे अंतर a आणि b या संख्यांमधील फरकाच्या मॉड्यूलसच्या बरोबरीचे आहे. बिंदू B म्हणून O (संदर्भ बिंदू) बिंदू घेतल्यास या परिच्छेदाच्या सुरुवातीला दिलेल्या संख्येच्या मॉड्यूलसची व्याख्या मिळेल.

अंकगणित वर्गमूळाद्वारे संख्येचे मापांक निश्चित करणे

कधी कधी सापडतात अंकगणित वर्गमूळाद्वारे मापांकाचे निर्धारण.

उदाहरणार्थ, या व्याख्येच्या आधारे −30 संख्यांचे मॉड्यूल्स काढू. आमच्याकडे आहे . त्याचप्रमाणे, आम्ही दोन-तृतियांश च्या मॉड्यूलसची गणना करतो: .

अंकगणित वर्गमूळाच्या दृष्टीने संख्येच्या मापांकाची व्याख्या देखील या लेखाच्या पहिल्या परिच्छेदात दिलेल्या व्याख्येशी सुसंगत आहे. ते दाखवूया. एक सकारात्मक संख्या असू द्या, तर संख्या −a ऋण आहे. मग आणि , जर a=0 असेल तर .

मॉड्यूल गुणधर्म

मॉड्यूलमध्ये अनेक वैशिष्ट्यपूर्ण परिणाम आहेत - मॉड्यूल गुणधर्म. आता आम्ही त्यापैकी मुख्य आणि सर्वात सामान्यपणे वापरलेले देऊ. या गुणधर्मांची पुष्टी करताना, आम्ही अंतराच्या दृष्टीने संख्येच्या मापांकाच्या व्याख्येवर अवलंबून राहू.

चला सर्वात स्पष्ट मॉड्यूल गुणधर्म - सह प्रारंभ करूया संख्येचे मॉड्यूलस ही ऋण संख्या असू शकत नाही. शाब्दिक स्वरूपात, या मालमत्तेमध्ये कोणत्याही संख्येचा फॉर्म असतो. या गुणधर्माचे औचित्य सिद्ध करणे खूप सोपे आहे: संख्येचे मॉड्यूलस हे अंतर आहे आणि अंतर ऋण संख्या म्हणून व्यक्त केले जाऊ शकत नाही.

चला मॉड्यूलच्या पुढील गुणधर्माकडे जाऊ या. जर ही संख्या शून्य असेल तरच संख्येचे मॉड्यूलस शून्य असते. शून्याचे मापांक व्याख्येनुसार शून्य आहे. शून्य मूळशी संबंधित आहे, समन्वय रेषेवरील इतर कोणताही बिंदू शून्याशी संबंधित नाही, कारण प्रत्येक वास्तविक संख्या समन्वय रेषेवरील एका बिंदूशी संबंधित आहे. त्याच कारणास्तव, शून्याशिवाय इतर कोणतीही संख्या उत्पत्तीशिवाय इतर बिंदूशी संबंधित आहे. आणि उत्पत्तीपासून O बिंदू व्यतिरिक्त इतर कोणत्याही बिंदूपर्यंतचे अंतर शून्याच्या बरोबरीचे नाही, कारण दोन बिंदूंमधील अंतर शून्याच्या बरोबरीचे असते आणि जर हे बिंदू जुळले तरच. वरील तर्क हे सिद्ध करतात की केवळ शून्याचे मापांक शून्याच्या बरोबरीचे आहे.

पुढे जा. विरुद्ध संख्यांमध्ये समान मॉड्यूल असतात, म्हणजेच कोणत्याही संख्येसाठी a. खरंच, समन्वय रेषेवरील दोन बिंदू, ज्यांचे समन्वय विरुद्ध संख्या आहेत, ते मूळपासून समान अंतरावर आहेत, याचा अर्थ विरुद्ध संख्यांचे मॉड्यूल समान आहेत.

पुढील मॉड्यूल गुणधर्म आहे: दोन संख्यांच्या गुणाकाराचे मापांक या संख्यांच्या मॉड्युलच्या गुणाकाराच्या बरोबरीचे असते, ते आहे, . व्याख्येनुसार, a आणि b संख्यांच्या गुणाकाराचे मापांक एकतर a b if , किंवा −(a b) if आहे. वास्तविक संख्यांच्या गुणाकाराच्या नियमांवरून असे दिसून येते की a आणि b संख्यांच्या मोड्युलीचे गुणाकार a b , , किंवा −(a b) , if , जे मानले गेलेले गुणधर्म सिद्ध करतात.

a ला b ने विभाजित करण्याच्या भागाचे मापांक हे a च्या मापांकाला b च्या मापांकाने विभाजित करण्याच्या भागाकाराच्या बरोबरीचे असते., ते आहे, . आपण मॉड्यूलच्या या गुणधर्माचे समर्थन करूया. भागफल गुणाकाराच्या समान असल्याने, नंतर . मागील मालमत्तेमुळे, आपल्याकडे आहे . हे फक्त समानता वापरण्यासाठी राहते, जे संख्येच्या मॉड्यूलसच्या व्याख्येमुळे वैध आहे.

खालील मॉड्यूल गुणधर्म असमानता म्हणून लिहिले आहे: , a, b आणि c या अनियंत्रित वास्तविक संख्या आहेत. लेखी असमानता यापेक्षा अधिक काही नाही त्रिकोण असमानता. हे स्पष्ट करण्यासाठी, समन्वय रेषेवरील A(a) , B(b) , C(c) हे बिंदू घेऊ आणि ABC या क्षीण त्रिकोणाचा विचार करू, ज्याचे शिरोबिंदू एकाच रेषेवर आहेत. व्याख्येनुसार, फरकाचे मापांक AB खंडाच्या लांबीच्या बरोबरीचे आहे, - AC खंडाची लांबी, आणि - CB खंडाची लांबी. त्रिकोणाच्या कोणत्याही बाजूची लांबी इतर दोन बाजूंच्या लांबीच्या बेरजेपेक्षा जास्त नसल्यामुळे, असमानता त्यामुळे विषमताही कायम आहे.

नुकतीच सिद्ध झालेली असमानता फॉर्ममध्ये अधिक सामान्य आहे . लिखित असमानता सामान्यत: फॉर्म्युलेशनसह मॉड्यूलची स्वतंत्र मालमत्ता मानली जाते: “ दोन संख्यांच्या बेरीजचे मॉड्यूलस या संख्यांच्या मोड्युलीच्या बेरीजपेक्षा जास्त नाही" पण असमानता थेट असमानतेचे अनुसरण करते, जर आपण त्यात b ऐवजी −b ठेवले आणि c=0 घेतले.

कॉम्प्लेक्स नंबर मॉड्यूलस

देऊया जटिल संख्येच्या मापांकाचे निर्धारण. आम्हाला दिले जाऊ द्या जटिल संख्या, बीजगणित स्वरूपात लिहिलेले आहे, जिथे x आणि y काही वास्तविक संख्या आहेत, जे अनुक्रमे, दिलेल्या कॉम्प्लेक्स नंबर z चे वास्तविक आणि काल्पनिक भाग दर्शवतात आणि एक काल्पनिक एकक आहे.

व्याख्या.

संमिश्र संख्येचे मॉड्यूलस z=x+i y ला दिलेल्या मिश्र संख्येच्या वास्तविक आणि काल्पनिक भागांच्या वर्गांच्या बेरजेचे अंकगणित वर्गमूळ म्हणतात.

जटिल संख्येचे मापांक z असे दर्शविले जाते, नंतर जटिल संख्येच्या मॉड्यूलसची ध्वनी व्याख्या अशी लिहीली जाऊ शकते .

ही व्याख्या तुम्हाला बीजगणितीय नोटेशनमधील कोणत्याही जटिल संख्येच्या मॉड्यूलसची गणना करण्यास अनुमती देते. उदाहरणार्थ, कॉम्प्लेक्स नंबरचे मॉड्यूलस काढू. या उदाहरणात, जटिल संख्येचा वास्तविक भाग आहे , आणि काल्पनिक भाग उणे चार आहे. मग, जटिल संख्येच्या मॉड्यूलसच्या व्याख्येनुसार, आपल्याकडे आहे .

वास्तविक संख्येच्या मापांकाच्या भौमितीय व्याख्येशी साधर्म्य साधून, जटिल संख्येच्या मापांकाचे भौमितिक व्याख्या अंतराच्या दृष्टीने दिले जाऊ शकते.

व्याख्या.

कॉम्प्लेक्स नंबर मॉड्यूलस z हे कॉम्प्लेक्स प्लेनच्या सुरुवातीपासून या प्लेनमधील z क्रमांकाशी संबंधित बिंदूपर्यंतचे अंतर आहे.

पायथागोरियन प्रमेयानुसार, O बिंदूपासून बिंदूपर्यंतचे अंतर निर्देशांक (x, y) सह , म्हणून, , कुठे आढळते. म्हणून, जटिल संख्येच्या मॉड्यूलसची शेवटची व्याख्या पहिल्याशी सहमत आहे.

ही व्याख्या तुम्हाला त्रिकोणमितीय स्वरूपात लिहिल्यास z मधील जटिल संख्येचे मॉड्यूलस काय आहे हे त्वरित सूचित करण्यास देखील अनुमती देते. किंवा घातांक स्वरूपात. येथे . उदाहरणार्थ, जटिल संख्येचे मॉड्यूलस 5 आहे , आणि कॉम्प्लेक्स नंबरचे मॉड्यूलस आहे.

हे देखील पाहिले जाऊ शकते की जटिल संख्येचे गुणाकार आणि त्याचे जटिल संयुग्म वास्तविक आणि काल्पनिक भागांच्या वर्गांची बेरीज देते. खरोखर, . परिणामी समानता आपल्याला जटिल संख्येच्या मॉड्यूलसची आणखी एक व्याख्या देण्यास अनुमती देते.

व्याख्या.

कॉम्प्लेक्स नंबर मॉड्यूलस z हे या संख्येच्या गुणाकाराचे अंकगणितीय वर्गमूळ आहे आणि त्याचे संमिश्र संयुग्मित आहे, म्हणजेच .

शेवटी, आम्ही लक्षात घेतो की संबंधित उपविभागात तयार केलेल्या मॉड्यूलचे सर्व गुणधर्म जटिल संख्यांसाठी देखील वैध आहेत.

संदर्भग्रंथ.

Vilenkin N.Ya. इ. गणित. ग्रेड 6: शैक्षणिक संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक.
मकर्यचेव्ह यु.एन., मिंड्युक एन.जी., नेशकोव्ह के.आय., सुवेरोवा एस.बी. बीजगणित: 8 पेशींसाठी पाठ्यपुस्तक. शैक्षणिक संस्था.
Lunts G.L., Elsgolts L.E. जटिल व्हेरिएबलची कार्ये: विद्यापीठांसाठी पाठ्यपुस्तक.
प्रिव्हलोव्ह आय.आय. कॉम्प्लेक्स व्हेरिएबलच्या फंक्शन्सच्या सिद्धांताचा परिचय.