Цели урока:
Образовательные:
- Обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы “Тригонометрические функции числового аргумента”;
- Создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений.
Развивающие:
- Способствовать формированию умения применять приёмы – сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию;
- Развитие математического кругозора, мышления, речи, внимания и памяти.
Воспитательные:
- Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умения общаться, общей культуры.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Методы обучения: частично-поисковый, (эвристический).
Тестовая проверка уровня знаний, решение познавательных обобщающих задач, самопроверка, системные обобщения.
План урока.
- Орг. момент – 2 мин.
- Тест с самопроверкой – 10 мин.
- Сообщение по теме – 3 мин.
- Систематизация теоретического материала – 15 мин.
- Дифференцированная самостоятельная работа с самопроверкой – 10 мин.
- Итог самостоятельной работы – 2 мин.
- Подведение итогов урока – 3 мин.
Ход урока
1. Организационный момент.
Задание на дом:
Параграф 1, пункт 1.4
- Зачётные работы (задания были вывешены на
стенде).
Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”. Давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием. Ведь они пригодятся вам в дальнейшем.
Сегодня у нас заключительный урок по теме: “Тригонометрические функции числового аргумента”. Повторяем, обобщаем изученный материал, методы и приёмы решения тригонометрических выражений.
2. Тест с самопроверкой.
Работа проводится в двух вариантах. Вопросы на экране.
№ | 1 вариант | 2 вариант |
1 | Дайте определение синуса и косинуса острого угла | Дайте определение тангенса и котангенса острого угла |
2 | Какие числовые функции называют тангенсом и котангенсом? Дайте определение. | Какие числовые функции называют синусом и косинусом? Дайте определение. |
3 | Точка единичной окружности имеет координаты . Найдите значения sin, cos. | Точка единичной окружности имеет координаты (- 0,8; - 0,6). Найдите значение tg , ctg . |
4 | Какие из основных тригонометрических функций являются нечётными? Запишите соответствующие равенства. | Какие из основных тригонометрических функций являются чётными? Запишите соответствующие равенства. |
5 | Как изменяются значения синуса и косинуса при изменении угла на целое число оборотов? Запишите соответствующие равенства. | Как изменяются значения тангенса и котангенса при изменении угла на целое число оборотов? В чём особенность? Запишите соответствующие равенства. |
6 | Найдите значения sin cos, sin(- 630°), cos (- 630°). | Найдите значения tg , ctg , tg 540°, ctg(-450°). |
7 | На каком рисунке изображён график функции у= sin x? | На каком рисунке изображён график функции у= tg х? |
8 | Запишите формулы приведения для углов ( - ), (- ). | Запишите формулы приведения для углов (+ ), (+ ). |
9 | Напишите формулы сложения. | Напишите основные тригонометрические тождества. |
10 | Напишите формулы понижения степени. | Напишите формулы двойного аргумента. |
Учащиеся отмечают неправильные шаги. Количество правильных ответов заносится в листок учёта знаний.
3. Сообщение.
Сообщение об истории развития тригонометрии (выступает подготовленный ученик).
4. Систематизация теоретического материала.
Устные задания.
1) О чём речь? Что особенного?
Определите знак выражения:
а) cos (700°) tg 380°,
б) cos (- 1) sin(- 2)
2) О чём говорит этот блок формул? В чём ошибка?
3) Рассмотрим таблицу:
Тригонометрические преобразования |
|||
Отыскание значений тригонометрических выражений | Нахождение значения тригонометрической функции по известному значению данной тригонометрической функции | Упрощение тригонометричес-ких выражений | Тождества |
4) Решение задач каждого вида тригонометрических преобразований.
Отыскание значений тригонометрических выражений.
Нахождение значения тригонометрической функции по известному значению данной тригонометрической функции.
Дано: sin = ; < <
Найти cos2, ctg2.
Ответ: . < < 2
Найти: cos2 , tg2
Третий уровень сложности:
Дано: sin = ; < <
Найти: sin2 ; sin (60° - ); tg (45° + )
Дополнительное задание.
Докажите тождество:
4 sin 4 - 4 sin 2 = cos 2 2 - 1
6. Итог самостоятельной работы.
Учащиеся проверяют работу и заносят результаты в листок учёта знаний.
7. Подводится итог урока.
Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin t. Правда, правило соответствия довольно сложное, оно, как мы видели выше, заключается в следующем.
Чтобы по числу t найти значение sin t, нужно:
1) расположить числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);
2) на окружности найти точку, соответствующую числу t;
3) найти ординату этой точки.
Эта ордината и есть sin t.
Фактически речь идет о функции u = sin t, где t -- любое действительное число.
Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.
Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций, некоторые из этих соотношений мы уже получили:
sin 2 t+cos 2 t = 1
Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t и ctg t:
Все указанные формулы используются в тех случаях, когда, зная значение какой-либо тригонометрической функции, требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций.
Термины «синус», «косинус», «тангенс» и «котангенс» на самом деле были знакомы, правда, использовали их до сих пор в несколько иной интерпретации: в геометрии и в физике рассматривали синус, косинус, тангенс и котангенс у г л а (а не
числа, как это было в предыдущих параграфах).
Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла -- это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла -- это отношение катетов прямоугольного треугольника. Иной подход к понятиям синуса, косинуса, тангенса и котангенса развивали в предыдущих параграфах. На самом деле эти подходы взаимосвязаны.
Возьмем угол с градусной мерой б o и расположим его в модели «числовая окружность в прямоугольной системе координат» так, как показано на рис. 14
вершину угла совместим с центром
окружности (с началом системы координат),
а одну сторону угла совместим с
положительным лучом оси абсцисс. Точку
пересечения второй стороны угла с
окружностью обозначим буквой М. Ордина-
рис 14 б o , а абсциссу этой точки -- косинусом угла б o .
Для отыскания синуса или косинуса угла б o совсем не обязательно каждый раз делать указанные весьма сложные построения.
Достаточно заметить, что дуга AM составляет такую же часть длины числовой окружности, какую угол б o составляет от утла 360°. Если длину дуги AM обозначить буквой t, то получим:
Таким образом,
Например,
Считают, что 30° -- это градусная мера угла, а -- радианная мера того же угла: 30° = рад. Вообще:
В частности, рад, откуда, в свою очередь, получаем.
Так что же такое 1 радиан? Есть различные меры длин отрезков: сантиметры, метры, ярды и т.д. Есть и различные меры для обозначения величин углов. Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности. Угол в 1° -- это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую часть окружности. Угол в 1 радиан -- это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Из формулы, получаем, что 1 рад = 57,3°.
Рассматривая функцию u = sin t (или любую другую тригонометрическую функцию), мы можем считать независимую переменную t числовым аргументом, как это было в предыдущих параграфах, но можем считать эту переменную и мерой угла, т.е. угловым аргументом. Поэтому, говоря о тригонометрической функции, в определенном смысле безразлично считать ее функцией числового или углового аргумента.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
- Выработка умений и навыков применения тригонометрических формул для упрощения тригонометрических выражений.
- Реализация принципа деятельностного подхода в обучении учащихся, развитие коммуникабельности и толерантности учащихся, умения слушать и слышать других и высказывать своё мнение.
- Повышение интереса учащихся к математике.
Тип урока: тренировочный.
Вид урока: урок отработки навыков и умений.
Форма обучения: групповая.
Тип групп : группа, сидящая вместе. Ученики разного уровня обученности, информированности по данному предмету, совместимые учащиеся, что позволяет им взаимно дополнять и обогащать друг друга.
Оборудование: доска; мел; таблица «Тригонометр»; маршрутные листы; карточки с буквами (А, В, С.) для выполнения теста; таблички с названиями экипажей; оценочные листы; таблицы с названиями этапов пути; магниты, мультимедийный комплекс.
Ход урока
Ученики сидят по группам: 4 группы по 5-6 человек. Каждая группа – это экипаж машины с названиями, соответствующими названиям тригонометрических функций, во главе с рулевым. Каждому экипажу выдаётся маршрутный лист и определяется цель: пройти заданный маршрут успешно, без ошибок. Урок сопровождается презентацией.
I. Организационный момент.
Учитель сообщает тему урока, цель урока, ход урока, план работы групп, роль рулевых.
Вступительное слово учителя:
– Ребята! Запишите число и тему урока:«Тригонометрические функции числового аргумента».
Сегодня на уроке мы буде учиться:
- Вычислять значения тригонометрических функций;
- Упрощать тригонометрические выражения.
Для этого нужно знать:
- Определения тригонометрических функций
- Тригонометрические соотношения (формулы).
Известно давно, что одна голова хорошо, а две лучше, поэтому вы сегодня работаете в группах. Известно также, что дорогу осилит идущий. Но мы живём в век скоростей и время дорого, а значит можно сказать так: «Дорогу осилит едущий», поэтому сегодня урок у нас пройдёт в виде игры «Математическое ралли». Каждая группа – это экипаж машины, во главе с рулевым.
Цель игры:
- успешно пройти маршрут каждому экипажу;
- выявить чемпионов ралли.
Название экипажей соответствует марке машины, на которой вы совершаете пробег.
Представляются экипажи и их рулевые:
- Экипаж – «синус»
- Экипаж – «косинус»
- Экипаж – «тангенс»
- Экипаж – «котангенс»
Девиз гонки: «Торопись медленно!»
Вам предстоит совершить пробег по «математической местности» со множеством препятствий.
Маршрутные листы каждому экипажу выданы. Преодолеть препятствия смогут экипажи, которые знают определения и тригонометрические формулы.
Во время пробега каждый рулевой руководит экипажем, помогая, и оценивая вклад каждого члена экипажа в преодоление маршрута в виде «плюсов» и «минусов» в оценочном листе. За каждый правильный ответ группа получает «+», неправильный «-».
Вам предстоит преодолеть следующие этапы пути:
I этап. ПДД (правила дорожного движения).
II этап. Техосмотр.
III этап. Гонка по пересечённой местности.
IV этап. Внезапная остановка – авария.
V этап. Привал.
VI этап. Финиш.
VII этап. Итоги.
И так в путь!
I этап. ПДД (правила дорожного движения).
1) В каждом экипаже рулевые раздают каждому члену экипажа билеты с теоретическими вопросами:
- Расскажите определение синуса числа t и его знаки по четвертям.
- Расскажите определение косинуса числа t и его знаки по четвертям.
- Назовите наименьшее и наибольшее значения sin t и cos t.
- Расскажите определение тангенса числа t и его знаки по четвертям.
- Расскажите определение котангенса числа t и его знаки по четвертям.
- Расскажите, как найти значение функции sin t по известному числу t.
2) Соберите «рассыпавшиеся» формулы. На тайной доске таблица (см. ниже). Экипажи должны привести в соответствие формулы. Ответ каждая команда записывает на доске в виде строки соответствующих букв (парами).
а | tg 2 t + 1 | е | 1 |
в | tg t | ж | cos t / sin t, t ≠ к, кZ. |
д | sin 2 t + cos 2 t | и | 1/ sin 2 t, t ≠ к, кZ. |
ё | ctg t | к | 1,t ≠ к / 2, кZ. |
з | 1 + ctg 2 t | г | sin t /cos t, t ≠ /2 + к, кZ. |
й | tg t ∙ctg t | б | 1/ cos 2 t, t ≠ /2 + к, кZ. |
Ответ: аб, вг, де, ёж, зи, йк.
II этап. Техосмотр.
Устная работа: тест.
На тайной доске написано: задание: упростить выражение.
Рядом записаны варианты ответов. Экипажи определяют правильные ответы за1 мин. и поднимают соответствующий набор букв.
№ | Выражение | Варианты ответов | ||
А | В | С | ||
1. | 1 – cos 2 t | cos 2 t | - sin 2 t | sin 2 t |
2. | sin 2 t – 1 | cos 2 t | - cos 2 t | 2 cos 2 t |
3. | (cos t – 1)(1+ cos t) | -sin 2 t | (1+ cos t) 2 | (cos t – 1) 2 |
Ответ: С В А.
III этап. Гонка по пересечённой местности.
3 минуты экипажам на совещание по решению задания, а далее представители экипажей пишут решение на доске. Когда представители экипажей закончат записывать решение первого задания, все ученики (вместе с учителем) проверяют правильность и рациональность решений и записывают в тетрадь. Рулевые оценивают вклад каждого члена экипажа знаками « + » и « – » в оценочных листах.
Задания из учебника:
- Экипаж – «синус»: № 118 г;
- Экипаж – «косинус»: № 122 а;
- Экипаж – «тангенс»: № 123 г;
- Экипаж – «котангенс»: № 125 г.
IV этап. Внезапная остановка – авария.
– Ваш автомобиль сломался. Необходимо устранить неисправность вашего автомобиля.
Для каждого экипажа приведены высказывания, но в них допущены ошибки. Найдите эти ошибки и объясните, почему они были допущены. В высказываниях используются тригонометрические функции, соответствующие маркам ваших машин.
V этап. Привал.
Вы устали и должны отдохнуть. Пока экипаж отдыхает рулевые подводят предварительные итоги: считают «плюсы» и «минусы» у членов экипажа и в целом у экипажа.
Для учеников:
3 и более «+» – оценка «5»;
2 «+» – оценка «4»;
1 «+» – оценка «3».
Для экипажей: «+» и «-» взаимно уничтожаются. Считаются только оставшиеся знаки.
Отгадайте шараду .
Из чисел вы мой первый слог возьмите,
Второй – из слова «гордецы».
А третьим лошадей вы погоните,
Четвёртым будет блеянье овцы.
Мой пятый слог такой же, как и первый,
Последней буквой в алфавите является шестой,
А если отгадаешь ты всё верно,
То в математике раздел получишь ты такой.
(Три-го-но-ме-три-я)
Слово «тригонометрия» (от греческих слов «тригонон» – треугольник и «метрео» – измеряю) означает «измерение треугольников». Возникновение тригонометрии связано с развитием географии и астрономии – науки о движении небесных тел, о строении и развитии Вселенной.
В результате произведённых астрономических наблюдений возникла необходимость определения положения светил, вычисления расстояний и углов. Так как некоторые расстояния, например, от Земли до других планет, нельзя было измерить непосредственно, то учёные стали разрабатывать приёмы нахождения взаимосвязей между сторонами и углами треугольника, у которого две вершины расположены на земле, а третью представляет планета или звезда. Такие соотношения можно вывести, изучая различные треугольники и их свойства. Вот почему астрономические вычисления привели к решению (т. е. нахождению элементов) треугольника. Этим и занимается тригонометрия.
Зачатки тригонометрии были обнаружены в древнем Вавилоне. Вавилонские учёные умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Некоторые сведения тригонометрического характера встречаются в старинных памятниках других народов древности.
VI этап. Финиш.
Чтобы успешно пересечь линию финиша осталось поднапрячься и совершить «рывок». Очень важно в тригонометрии уметь быстро определять значения sin t, cost, tgt, ctg t, где 0 ≤ t ≤ . Учебники закрыть.
Экипажи поочерёдно называют значения функций sin t, cost, tgt, ctg t , если:
VII этап. Итоги.
Итоги игры.
Рулевые сдают оценочные листы. Определяется экипаж, ставший чемпионом «Математического ралли» и характеризуется работа остальных групп. Далее называются фамилии тех, кто получил оценки «5» и «4».
Итоги урока.
– Ребята! Чему вы сегодня научились на уроке? (упрощать тригонометрические выражения; находить значения тригонометрических функций). А что для этого нужно знать?
- определения и свойства sin t, cos t, tg t, ctg t;
- соотношения, связывающие значения различных тригонометрических функций;
- знаки тригонометрических функций по четвертям числовой окружности.
- значения тригонометрических функций первой четверти числовой окружности.
– Я думаю, что вы поняли, что формулы нужно хорошо знать, чтобы их правильно применять. Вы также поняли, что тригонометрия очень важная часть математики, так как она применяется в других науках: астрономии, географии, физике и др.
Домашнее задание:
- для учеников получивших «5» и «4»: §6, №128а, 130а, 134а.
- для остальных учеников: §6, №119г, №120г, №121г.
Урок и презентация на тему: "Тригонометрическая функция числового аргумента, определение, тождества"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Определение числового аргумента.
2. Основные формулы.
3. Тригонометрические тождества.
4. Примеры и задачи для самостоятельного решения.
Определение тригонометрической функции числового аргумента
Ребята, мы знаем что такое синус, косинус, тангенс и котангенс.Давайте посмотрим, можно ли через значения одних тригонометрических функций найти значения других тригонометрических функций?
Определим тригонометрическую функцию числового элемента, как: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.
Вспомним основные формулы:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Кстати, как называется эта формула?
$tg(t)=\frac{sin(t)}{cos(t)}$, при $t≠\frac{π}{2}+πk$.
$ctg(t)=\frac{cos(t)}{sin(t)}$, при $t≠πk$.
Давайте выведем новые формулы.
Тригонометрические тождества
Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.Ребята, давайте обе части тождества разделим на $cos^2(t)$.
Получим: $\frac{sin^2(t)}{cos^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{cos^2(t)}=\frac{1}{cos^2(t)}$.
Преобразуем: $(\frac{sin(t)}{cos(t)})^2+1=\frac{1}{cos^2(t)}.$
У нас получается тождество: $tg^2(t)+1=\frac{1}{cos^2(t)}$, при $t≠\frac{π}{2}+πk$.
Теперь разделим обе части тождества на $sin^2(t)$.
Получим: $\frac{sin^2(t)}{sin^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{sin^2(t)}=\frac{1}{sin^2(t)}$.
Преобразуем: $1+(\frac{cos(t)}{sin(t)})^2=\frac{1}{sin^2(t)}.$
У нас получается новое тождество, которое стоит запомнить:
$ctg^2(t)+1=\frac{1}{sin^2(t)}$, при $t≠πk$.
Нам удалось получить две новых формулы. Запомните их.
Эти формулы используются, если по какому-то известному значению тригонометрической функции требуется вычислить значение другой функции.
Решение примеров на тригонометрические функции числового аргумента
Пример 1.$cos(t) =\frac{5}{7}$, найти $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ для всех t.
Решение:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Тогда $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac{5}{7})^2=1-\frac{25}{49}=\frac{49-25}{49}=\frac{24}{49}$.
$sin(t)=±\frac{\sqrt{24}}{7}=±\frac{2\sqrt{6}}{7}$.
$tg(t)=±\sqrt{\frac{1}{cos^2(t)}-1}=±\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{49}}-1}=±\sqrt{\frac{49}{25}-1}=±\sqrt{\frac{24}{25}}=±\frac{\sqrt{24}}{5}$.
$ctg(t)=±\sqrt{\frac{1}{sin^2(t)}-1}=±\sqrt{\frac{1}{\frac{24}{49}}-1}=±\sqrt{\frac{49}{24}-1}=±\sqrt{\frac{25}{24}}=±\frac{5}{\sqrt{24}}$.
Пример 2.
$tg(t) = \frac{5}{12}$, найти $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, при всех $0 Решение: Определение. Тригонометрическими функциями числового аргумента называются одноименные тригонометрические функции угла, равного радианам. Поясним это определение на конкретных примерах. Пример 1. Вычислим значенйе . Здесь под мы понимаем отвлеченное иррациональное число. Согласно определению . Итак, . Пример 2. Вычислим значение . Здесь под 1,5 мы понимаем отвлеченное число. Согласно определению (см. приложение II). Пример 3. Вычислим значение Аналогично предыдущему получаем (см. приложение II). Итак, в дальнейшем под аргументом тригонометрических функций мы будем понимать угол (дугу) или просто число в зависимости от той задачи, которую решаем. А в ряде случаев аргументом может служить величина, имеющая и другую размерность, например время и т. д. Называя аргумент углом (дугой), мы можем подразумевать под ним число, с помощью которого он измерен в радианах.
$tg^2(t)+1=\frac{1}{cos^2(t)}$.
Тогда $\frac{1}{cos^2(t)}=1+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$.
Получаем, что $cos^2(t)=\frac{144}{169}$.
Тогда $cos^2(t)=±\frac{12}{13}$, но $0
Получаем: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac{5}{12}*\frac{12}{13}=\frac{5}{13}$.
$ctg(t)=\frac{1}{tg(t)}=\frac{12}{5}$.Задачи для самостоятельного решения
1. $tg(t) = -\frac{3}{4}$, найти $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, при всех $\frac{π}{2}
4. $cos(t) = \frac{12}{13}$, найти $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ для всех $t$.
В настоящей главе мы введем тригонометрические функции числового аргумента. Многие вопросы математики, механики, физики и других наук приводят к тригонометрическим функциям не только угла (дуги), но и аргументов совершенно различной природы (длина, время, температура и т. д.). До сих пор под аргументом тригонометрической функции понимался угол, измеренный в градусах или радианах. Теперь мы обобщим понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, введя их как функции числового аргумента.