Vidiecka stredná škola Kopyevskaya

10 spôsobov riešenia kvadratických rovníc

Vedúci: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

učiteľ matematiky

obec Kopevo, 2007

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

1.2 Ako zostavil a vyriešil Diophantus kvadratické rovnice

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

1.4 Kvadratické rovnice od al-Khorezmiho

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII storočia

1.6 O Vietovej vete

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Záver

Literatúra

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

Potreba riešiť rovnice nielen prvého, ale aj druhého stupňa v staroveku bola spôsobená potrebou riešiť problémy súvisiace s hľadaním oblastí. pozemkov a so zemnými prácami vojenského charakteru, ako aj s rozvojom astronómie a samotnej matematiky. Kvadratické rovnice sa dali vyriešiť okolo roku 2000 pred Kristom. e. Babylončania.

Pomocou modernej algebraickej notácie môžeme povedať, že v ich klinopisných textoch sú okrem neúplných napríklad aj úplné kvadratické rovnice:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravidlo na riešenie týchto rovníc uvedené v babylonských textoch sa v podstate zhoduje s tým moderným, ale nie je známe, ako Babylončania k tomuto pravidlu dospeli. Takmer všetky doteraz nájdené klinopisné texty poskytujú len problémy s riešeniami načrtnutými vo forme receptov, bez uvedenia spôsobu, akým boli nájdené.

Napriek tomu vysoký stupeň vývoj algebry v Babylone, v klinových textoch chýba koncept záporného čísla a všeobecné metódy riešenia kvadratických rovníc.

1.2 Ako Diophantus skladal a riešil kvadratické rovnice.

Diophantusova aritmetika neobsahuje systematickú prezentáciu algebry, ale obsahuje systematický rad problémov sprevádzaných vysvetleniami a riešených zostavovaním rovníc rôzneho stupňa.

Pri skladaní rovníc Diophantus šikovne vyberá neznáme, aby zjednodušil riešenie.

Tu je napríklad jedna z jeho úloh.

Problém 11.„Nájdite dve čísla s vedomím, že ich súčet je 20 a ich súčin je 96“

Diophantus zdôvodňuje nasledovne: z podmienok úlohy vyplýva, že požadované čísla sa nerovnajú, keďže ak by sa rovnali, ich súčin by sa nerovnal 96, ale 100. Jedno z nich teda bude viac ako polovicu ich sumy, t.j. 10 + x, druhý je menej, t.j. 10-te roky. Rozdiel medzi nimi 2x .

Preto rovnica:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 – 4 = 0 (1)

Odtiaľ x = 2. Jedno z požadovaných čísel sa rovná 12 , iné 8 . Riešenie x = -2 lebo Diophantus neexistuje, keďže grécka matematika poznala len kladné čísla.

Ak tento problém vyriešime výberom jedného z požadovaných čísel ako neznámeho, prídeme k riešeniu rovnice

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)

Je zrejmé, že výberom polovičného rozdielu požadovaných čísel ako neznámeho Diophantus zjednodušuje riešenie; podarí sa mu problém zredukovať na riešenie neúplnej kvadratickej rovnice (1).

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

Problémy s kvadratickými rovnicami sa nachádzajú už v astronomickom pojednaní „Aryabhattiam“, ktoré v roku 499 zostavil indický matematik a astronóm Aryabhatta. Ďalší indický vedec, Brahmagupta (7. storočie), načrtol všeobecné pravidlo riešenia kvadratických rovníc zredukované na jednu kanonickú formu:

ach 2 + b x = c, a > 0. (1)

V rovnici (1) sú koeficienty okrem A, môže byť aj negatívny. Brahmaguptove pravidlo je v podstate rovnaké ako naše.

V starovekej Indii boli verejné súťaže v riešení zložitých problémov bežné. Jedna zo starých indických kníh o takýchto súťažiach hovorí: „Ako slnko zatieňuje hviezdy svojou žiarou, učený človek zatieniť slávu iných v populárnych zostavách navrhovaním a riešením algebraických problémov.“ Problémy boli často prezentované v poetickej forme.

Toto je jeden z problémov slávneho indického matematika 12. storočia. Bhaskari.

Problém 13.

"Kŕdeľ šikovných opíc a dvanásť pozdĺž viníc...

Úrady sa po jedle bavili. Začali skákať, vešať sa...

Sú ich na námestí, ôsma časť Koľko tam bolo opíc?

Zabával som sa na čistinke. Povedz mi, v tomto balení?

Bhaskarovo riešenie naznačuje, že vedel, že korene kvadratických rovníc sú dvojhodnotové (obr. 3).

Rovnica zodpovedajúca problému 13 je:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara pod rúškom píše:

x 2 - 64x = -768

a na dokončenie ľavej strany tejto rovnice na štvorec sa pripočíta k obom stranám 32 2 , potom dostanete:

x 2 – 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratické rovnice v al - Khorezmi

V algebraickom pojednaní al-Khorezmiho je uvedená klasifikácia lineárnych a kvadratických rovníc. Autor počíta 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. ax 2 + c = b X.

2) „Štvorce sa rovnajú číslam“, t.j. ax 2 = c.

3) „Korene sa rovnajú číslu“, t.j. ah = s.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú odmocninám“, t.j. ax 2 + c = b X.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslam“, t.j. ach 2 + bx = s.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j. bx + c = ax2.

Pre al-Khorezmiho, ktorý sa vyhýbal používaniu záporných čísel, sú členy každej z týchto rovníc sčítaním a nie odčítaním. V tomto prípade sa zjavne neberú do úvahy rovnice, ktoré nemajú kladné riešenia. Autor uvádza metódy riešenia týchto rovníc pomocou techník al-jabr a al-muqabala. Jeho rozhodnutia sa, samozrejme, úplne nezhodujú s našimi. Nehovoriac o tom, že je to čisto rétorické, treba si napríklad uvedomiť, že pri riešení neúplnej kvadratickej rovnice prvého typu

al-Khorezmi, ako všetci matematici pred 17. storočím, neberie do úvahy nulové riešenie, zrejme preto, že v konkrétnych praktických problémoch na ňom nezáleží. Pri riešení úplných kvadratických rovníc al-Khorezmi stanovuje pravidlá ich riešenia pomocou konkrétnych numerických príkladov a potom geometrických dôkazov.

Problém 14.„Štvorec a číslo 21 sa rovnajú 10 odmocninám. Nájdite koreň" (implikuje koreň rovnice x 2 + 21 = 10x).

Autorovo riešenie znie asi takto: rozdeľte počet koreňov na polovicu, dostanete 5, vynásobte 5 samým sebou, odčítajte 21 od súčinu, zostane 4. Zoberte odmocninu zo 4, dostanete 2. Odčítajte 2 od 5 , dostanete 3, toto bude požadovaný koreň. Alebo pridajte 2 k 5, čo dáva 7, to je tiež koreň.

Traktát al-Khorezmiho je prvou knihou, ktorá sa k nám dostala a ktorá systematicky stanovuje klasifikáciu kvadratických rovníc a dáva vzorce na ich riešenie.

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII bb

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc podľa línií al-Khwarizmiho v Európe boli prvýkrát uvedené v knihe Abacus, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Toto objemné dielo, ktoré odráža vplyv matematiky, tak islamských krajín, ako aj Staroveké Grécko, sa vyznačuje úplnosťou a jasnosťou prezentácie. Autor nezávisle vyvinul niektoré nové algebraické príklady riešenie problémov a ako prvý v Európe zaviedol záporné čísla. Jeho kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé problémy z Knihy Abacus boli použité takmer vo všetkých európskych učebniciach 16. – 17. storočia. a čiastočne XVIII.

Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jedinú kanonickú formu:

x 2 + bx = c,

pre všetky možné kombinácie znakov koeficientov b , s sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice vo všeobecnom tvare je k dispozícii od Viète, ale Viète rozpoznal iba kladné korene. Talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli boli medzi prvými v 16. storočí. Okrem pozitívnych sa berú do úvahy aj negatívne korene. Až v 17. storočí. Vďaka práci Girarda, Descartesa, Newtona a ďalších vedcov dostáva metóda riešenia kvadratických rovníc modernú podobu.

1.6 O Vietovej vete

Veta vyjadrujúca vzťah medzi koeficientmi kvadratickej rovnice a jej koreňmi, pomenovaná podľa Vieta, sformuloval prvýkrát v roku 1591 takto: „Ak B + D, vynásobeny A - A 2 , rovná sa BD, To A rovná sa IN a rovní D ».

Aby sme porozumeli Viete, mali by sme si to pamätať A, ako každé samohláskové písmeno, znamenalo neznáme (naše X), samohlásky IN, D- koeficienty pre neznáme. V jazyku modernej algebry vyššie uvedená formulácia Vieta znamená: ak existuje

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Vyjadrením vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc všeobecnými vzorcami napísanými pomocou symbolov Viète zaviedol jednotnosť v metódach riešenia rovníc. K symbolike Vietu však má ešte ďaleko moderný vzhľad. Nepoznal záporné čísla a preto pri riešení rovníc uvažoval len o prípadoch, keď všetky odmocniny boli kladné.

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Kvadratické rovnice sú základom, na ktorom spočíva majestátna budova algebry. Nájdeme kvadratické rovnice široké uplatnenie pri riešení goniometrických, exponenciálnych, logaritmických, iracionálnych a transcendentálnych rovníc a nerovníc. Všetci vieme, ako riešiť kvadratické rovnice od školy (8. ročník) až po maturitu.

Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič zložité. Schopnosť ich vyriešiť je absolútne nevyhnutná.

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.

Pred štúdiom konkrétnych metód riešenia si všimnite, že všetky kvadratické rovnice možno rozdeliť do troch tried:

1. Nemajú korene;
2. Mať presne jeden koreň;
3. Majú dva rôzne korene.

Toto je dôležitý rozdiel medzi kvadratickými rovnicami a lineárnymi rovnicami, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako určiť, koľko koreňov má rovnica? Je na to úžasná vec - diskriminačný.

Diskriminačný

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0, potom je diskriminantom jednoducho číslo D = b 2 − 4ac.

Tento vzorec musíte vedieť naspamäť. Odkiaľ pochádza, nie je teraz dôležité. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znamienka diskriminantu môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. menovite:

1. Ak D< 0, корней нет;
2. Ak D = 0, existuje práve jeden koreň;
3. Ak D > 0, budú existovať dva korene.

Upozorňujeme: diskriminant označuje počet koreňov a vôbec nie ich znaky, ako z nejakého dôvodu mnohí ľudia veria. Pozrite si príklady a sami všetko pochopíte:

Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapíšme si koeficienty pre prvú rovnicu a nájdime diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme podobným spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Posledná zostávajúca rovnica je:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nula - koreň bude jedna.

Upozorňujeme, že koeficienty boli zapísané pre každú rovnicu. Áno, je to dlhé, áno, je to únavné, ale nebudete si miešať šance a robiť hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.

Mimochodom, ak na to prídete, po chvíli už nebudete musieť zapisovať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po 50-70 vyriešených rovniciach - vo všeobecnosti nie tak veľa.

Korene kvadratickej rovnice

Teraz prejdime k samotnému riešeniu. Ak je diskriminant D > 0, korene možno nájsť pomocou vzorcov:

Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov - dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

Prvá rovnica:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:

Druhá rovnica:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Poďme ich nájsť

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnať)\]

Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Môže sa použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:

Ako vidíte z príkladov, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a viete počítať, nebudú žiadne problémy. Najčastejšie sa chyby vyskytujú pri dosadzovaní záporných koeficientov do vzorca. Aj tu vám pomôže technika opísaná vyššie: pozrite sa na vzorec doslovne, zapíšte si každý krok - a veľmi skoro sa zbavíte chýb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stáva sa, že kvadratická rovnica sa mierne líši od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Je ľahké si všimnúť, že v týchto rovniciach chýba jeden z výrazov. Takéto kvadratické rovnice sa riešia ešte ľahšie ako štandardné: nevyžadujú si ani výpočet diskriminantu. Predstavme si teda nový koncept:

Rovnicu ax 2 + bx + c = 0 nazývame neúplnou kvadratickou rovnicou, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient premennej x alebo voľného prvku sa rovná nule.

Samozrejme, je možný veľmi ťažký prípad, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b = c = 0. V tomto prípade má rovnica tvar ax 2 = 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jeden koreň: x = 0.

Zoberme si zvyšné prípady. Nech b = 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 + c = 0. Trochu ju transformujme:

Od aritmetiky Odmocnina existuje len od nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel len pre (−c /a) ≥ 0. Záver:

1. Ak je v neúplnej kvadratickej rovnici tvaru ax 2 + c = 0 splnená nerovnosť (−c /a) ≥ 0, budú korene dva. Vzorec je uvedený vyššie;
2. Ak (-c /a)< 0, корней нет.

Ako vidíte, diskriminant nebol potrebný – v neúplných kvadratických rovniciach neexistujú vôbec žiadne zložité výpočty. V skutočnosti si ani netreba pamätať nerovnosť (−c /a) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a pozrieť sa, čo je na druhej strane znamienka rovnosti. Ak existuje kladné číslo, budú existovať dva korene. Ak je negatívny, nebudú tam žiadne korene.

Teraz sa pozrime na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých sa voľný prvok rovná nule. Všetko je tu jednoduché: vždy budú existovať dva korene. Stačí rozložiť polynóm:

Súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nula. Odtiaľ pochádzajú korene. Na záver sa pozrime na niektoré z týchto rovníc:

Úloha. Riešte kvadratické rovnice:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Neexistujú žiadne korene, pretože štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Vzorce pre korene kvadratickej rovnice. Zvažujú sa prípady skutočných, viacnásobných a zložitých koreňov. Rozdelenie kvadratického trinomu. Geometrická interpretácia. Príklady určovania koreňov a faktoringu.

Základné vzorce

Zvážte kvadratickú rovnicu:
(1) .
Korene kvadratickej rovnice(1) sa určujú podľa vzorcov:
; .
Tieto vzorce je možné kombinovať takto:
.
Keď sú známe korene kvadratickej rovnice, potom polynóm druhého stupňa môže byť reprezentovaný ako produkt faktorov (faktorovaný):
.

Ďalej predpokladáme, že - reálne čísla.
Uvažujme diskriminant kvadratickej rovnice:
.
Ak je diskriminant kladný, potom kvadratická rovnica (1) má dva rôzne reálne korene:
; .
Potom má faktorizácia kvadratického trinomu tvar:
.
Ak je diskriminant rovný nule, potom kvadratická rovnica (1) má dva viacnásobné (rovnaké) skutočné korene:
.
Faktorizácia:
.
Ak je diskriminant záporný, potom kvadratická rovnica (1) má dva komplexne konjugované korene:
;
.
Tu je pomyselná jednotka, ;
a sú skutočnými a imaginárnymi časťami koreňov:
; .
Potom

.

Grafická interpretácia

Ak staviate graf funkcie
,
čo je parabola, potom priesečníky grafu s osou budú koreňmi rovnice
.
V bode , graf pretína os x (os) v dvoch bodoch.
Keď sa graf dotkne osi x v jednom bode.
Keď , graf nepretína os x.

Nižšie sú uvedené príklady takýchto grafov.

Užitočné vzorce súvisiace s kvadratickými rovnicami

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Vykonávame transformácie a aplikujeme vzorce (f.1) a (f.3):




,
Kde
; .

Takže sme dostali vzorec pre polynóm druhého stupňa v tvare:
.
To ukazuje, že rovnica

vykonaná o
A .
To je a sú koreňmi kvadratickej rovnice
.

Príklady určenia koreňov kvadratickej rovnice

Príklad 1

(1.1) .

Riešenie

.
V porovnaní s našou rovnicou (1.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdeme diskriminačné:
.
Keďže diskriminant je kladný, rovnica má dva skutočné korene:
;
;
.

Z toho dostaneme rozklad kvadratického trinomu:

.

Graf funkcie y = 2 x 2 + 7 x + 3 pretína os x v dvoch bodoch.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Pretína os x (os) v dvoch bodoch:
A .
Tieto body sú koreňmi pôvodnej rovnice (1.1).

Odpoveď

;
;
.

Príklad 2

Nájdite korene kvadratickej rovnice:
(2.1) .

Riešenie

Napíšme kvadratickú rovnicu vo všeobecnom tvare:
.
V porovnaní s pôvodnou rovnicou (2.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdeme diskriminačné:
.
Keďže diskriminant je nula, rovnica má dva viacnásobné (rovnaké) korene:
;
.

Potom má faktorizácia trojčlenky tvar:
.

Graf funkcie y = x 2 - 4 x + 4 sa v jednom bode dotýka osi x.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Dotýka sa osi x (osi) v jednom bode:
.
Tento bod je koreňom pôvodnej rovnice (2.1). Keďže tento koreň je počítaný dvakrát:
,
potom sa takýto koreň zvyčajne nazýva násobok. To znamená, že veria, že existujú dva rovnaké korene:
.

Odpoveď

;
.

Príklad 3

Nájdite korene kvadratickej rovnice:
(3.1) .

Riešenie

Napíšme kvadratickú rovnicu vo všeobecnom tvare:
(1) .
Prepíšme pôvodnú rovnicu (3.1):
.
V porovnaní s (1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdeme diskriminačné:
.
Diskriminant je negatívny, . Preto neexistujú žiadne skutočné korene.

Môžete nájsť zložité korene:
;
;
.

Potom


.

Graf funkcie nepretína os x. Neexistujú žiadne skutočné korene.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Nepretína os x (os). Preto neexistujú žiadne skutočné korene.

Odpoveď

Neexistujú žiadne skutočné korene. Komplexné korene:
;
;
.

Niektoré úlohy v matematike vyžadujú schopnosť vypočítať hodnotu druhej odmocniny. Medzi takéto problémy patrí riešenie rovníc druhého rádu. V tomto článku predstavíme efektívna metóda výpočty odmocniny a použiť ho pri práci so vzorcami pre korene kvadratickej rovnice.

Čo je druhá odmocnina?

V matematike tento pojem zodpovedá symbolu √. Historické údaje hovoria, že bol prvýkrát použitý okolo prvej polovice 16. storočia v Nemecku (prvá nemecká práca o algebre od Christopha Rudolfa). Vedci sa domnievajú, že špecifikovaný symbol je transformovaný latinské písmeno r (radix znamená v latinčine „koreň“).

Odmocnina ľubovoľného čísla sa rovná hodnote, ktorej druhá mocnina zodpovedá radikálnemu výrazu. V jazyku matematiky bude táto definícia vyzerať takto: √x = y, ak y 2 = x.

Odmocnina kladného čísla (x > 0) je tiež kladné číslo (y > 0), ale ak vezmeme odmocninu zo záporného čísla (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Tu sú dva jednoduché príklady:

√9 = 3, pretože 3 2 = 9; √(-9) = 3i, pretože i2 = -1.

Heronov iteračný vzorec na nájdenie hodnôt odmocnín

Vyššie uvedené príklady sú veľmi jednoduché a výpočet koreňov v nich nie je ťažký. Ťažkosti sa začínajú objavovať pri hľadaní koreňových hodnôt pre akúkoľvek hodnotu, ktorú nemožno reprezentovať ako štvorec prirodzené číslo, napríklad √10, √11, √12, √13, nehovoriac o tom, že v praxi je potrebné nájsť korene pre necelé čísla: napríklad √(12,15), √(8,5) a tak ďalej.

Vo všetkých vyššie uvedených prípadoch by sa mala použiť špeciálna metóda na výpočet druhej odmocniny. V súčasnosti je známych niekoľko takýchto metód: napríklad rozšírenie Taylorovho radu, delenie stĺpcov a niektoré ďalšie. Zo všetkých známych metód je azda najjednoduchšie a najefektívnejšie použitie Heronovho iteračného vzorca, ktorý je známy aj ako babylonská metóda určovania druhých odmocnín (existujú dôkazy, že ju starí Babylončania používali pri svojich praktických výpočtoch).

Nech je potrebné určiť hodnotu √x. Vzorec na nájdenie druhej odmocniny je nasledujúci:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), kde lim n->∞ (a n) => x.

Poďme dešifrovať tento matematický zápis. Ak chcete vypočítať √x, mali by ste vziať určité číslo a 0 (môže byť ľubovoľné, ale aby ste rýchlo získali výsledok, mali by ste ho zvoliť tak, aby (a 0) 2 bolo čo najbližšie k x. Potom ho dosaďte do uvedený vzorec na výpočet druhej odmocniny a získajte nové číslo a 1, ktoré už bude bližšie k požadovanej hodnote. Potom je potrebné do výrazu dosadiť a 1 a získať 2. Tento postup opakujte, kým sa dosiahne požadovaná presnosť.

Príklad použitia Heronovho iteračného vzorca

Algoritmus opísaný vyššie na získanie druhej odmocniny daného čísla môže znieť pre mnohých dosť komplikovane a mätúco, ale v skutočnosti sa všetko ukáže ako oveľa jednoduchšie, pretože tento vzorec sa veľmi rýchlo zbieha (najmä ak je zvolené úspešné číslo a 0) .

Uveďme jednoduchý príklad: musíte vypočítať √11. Vyberme si a 0 = 3, pretože 3 2 = 9, čo je bližšie k 11 ako 4 2 = 16. Dosadením do vzorca dostaneme:

a1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Nemá zmysel pokračovať vo výpočtoch, pretože sme zistili, že 2 a 3 sa začínajú líšiť len na 5. desatinnom mieste. Na výpočet √11 s presnosťou 0,0001 teda stačilo použiť vzorec iba 2-krát.

V dnešnej dobe sa na výpočet koreňov hojne využívajú kalkulačky a počítače, je však užitočné zapamätať si označený vzorec, aby bolo možné manuálne vypočítať ich presnú hodnotu.

Rovnice druhého rádu

Pochopenie toho, čo je druhá odmocnina a schopnosť vypočítať ju, sa využíva pri riešení kvadratických rovníc. Tieto rovnice sa nazývajú rovnosti s jednou neznámou, všeobecná forma ktorý je znázornený na obrázku nižšie.

Tu c, b a a predstavujú nejaké čísla a a sa nesmie rovnať nule a hodnoty c a b môžu byť úplne ľubovoľné, vrátane nuly.

Akékoľvek hodnoty x, ktoré spĺňajú rovnosť uvedenú na obrázku, sa nazývajú jej korene (tento koncept by sa nemal zamieňať s druhou odmocninou √). Keďže uvažovaná rovnica je 2. rádu (x 2), nemôžu pre ňu existovať viac ako dva korene. Pozrime sa ďalej v článku na to, ako tieto korene nájsť.

Nájdenie koreňov kvadratickej rovnice (vzorec)

Táto metóda riešenia posudzovaného typu rovnosti sa nazýva aj univerzálna metóda alebo diskriminačná metóda. Môže byť použitý pre akékoľvek kvadratické rovnice. Vzorec pre diskriminant a korene kvadratickej rovnice je nasledujúci:

Ukazuje, že korene závisia od hodnoty každého z troch koeficientov rovnice. Navyše výpočet x 1 sa líši od výpočtu x 2 iba znamienkom pred druhou odmocninou. Radikálny výraz, ktorý sa rovná b 2 - 4ac, nie je nič iné ako diskriminant príslušnej rovnosti. Diskriminant vo vzorci pre korene kvadratickej rovnice hrá dôležitá úloha, keďže určuje počet a typ riešení. Ak sa teda rovná nule, bude existovať iba jedno riešenie, ak je kladné, potom má rovnica dva skutočné korene a nakoniec, negatívny diskriminant vedie k dvom komplexným koreňom x 1 a x 2 .

Vietov teorém alebo niektoré vlastnosti koreňov rovníc druhého rádu

IN koniec XVI storočia, jeden zo zakladateľov modernej algebry, Francúz, študujúci rovnice druhého rádu, dokázal získať vlastnosti jej koreňov. Matematicky sa dajú zapísať takto:

xi + x2 = -b/a a xi*x2 = c/a.

Obe rovnosti môže ľahko získať ktokoľvek, stačí splniť príslušné matematické operácie s koreňmi získanými prostredníctvom vzorca s diskriminantom.

Kombináciu týchto dvoch výrazov možno právom nazvať druhým vzorcom pre korene kvadratickej rovnice, ktorý umožňuje uhádnuť jej riešenia bez použitia diskriminantu. Tu je potrebné poznamenať, že hoci oba výrazy sú vždy platné, je vhodné ich použiť na riešenie rovnice iba vtedy, ak sa dá faktorizovať.

Úlohou upevniť nadobudnuté vedomosti

Poďme vyriešiť matematický problém, v ktorom budeme demonštrovať všetky techniky diskutované v článku. Podmienky problému sú nasledovné: musíte nájsť dve čísla, pre ktoré je súčin -13 a súčet je 4.

Táto podmienka nám okamžite pripomína Vietovu vetu pomocou vzorcov pre súčet odmocnín a ich súčinu, píšeme:

xi + x2 = -b/a = 4;

x 1 * x 2 = c/a = -13.

Ak predpokladáme, že a = 1, potom b = -4 a c = -13. Tieto koeficienty nám umožňujú vytvoriť rovnicu druhého rádu:

x 2 - 4 x - 13 = 0.

Použime vzorec s diskriminantom a získajme nasledujúce korene:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

To znamená, že problém sa zmenšil na nájdenie čísla √68. Všimnite si, že 68 = 4 * 17, potom pomocou vlastnosti druhej odmocniny dostaneme: √68 = 2√17.

Teraz použijeme uvažovaný vzorec druhej odmocniny: a 0 = 4, potom:

a1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Nie je potrebné počítať 3, pretože nájdené hodnoty sa líšia iba o 0,02. Teda √68 = 8,246. Dosadením do vzorca pre x 1,2 dostaneme:

x1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 a x2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Ako vidíme, súčet zistených čísel sa skutočne rovná 4, ale ak nájdeme ich súčin, potom sa bude rovnať -12,999, čo spĺňa podmienky úlohy s presnosťou 0,001.

Kvadratické rovnice. Diskriminačný. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Typy kvadratických rovníc

Čo je to kvadratická rovnica? Ako to vyzerá? Z hľadiska kvadratická rovnica kľúčové slovo je "námestie". To znamená, že v rovnici Nevyhnutne tam musí byť x na druhú. Okrem toho rovnica môže (ale nemusí!) obsahovať len X (na prvú mocninu) a len číslo (voľný člen). A nemali by tam byť žiadne X do stupňa dva.

Z matematického hľadiska je kvadratická rovnica rovnicou v tvare:

Tu a, b a c- nejaké čísla. b a c- úplne akékoľvek, ale A– čokoľvek iné ako nula. Napríklad:

Tu A =1; b = 3; c = -4

Tu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu A =-3; b = 6; c = -18

No chápeš...

V týchto kvadratických rovniciach vľavo je Plný setčlenov. X na druhú s koeficientom A, x na prvú mocninu s koeficientom b A voľný člen s.

Takéto kvadratické rovnice sa nazývajú plný.

A keď b= 0, čo získame? Máme X zmizne na prvý stupeň. To sa stane, keď sa vynásobí nulou.) Ukáže sa napríklad:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2+4x=0

A tak ďalej. A ak oba koeficienty b A c sa rovnajú nule, potom je to ešte jednoduchšie:

2x 2 = 0,

-0,3 x 2 = 0

Takéto rovnice, kde niečo chýba, sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice.Čo je celkom logické.) Upozorňujeme, že x na druhú je prítomné vo všetkých rovniciach.

Mimochodom, prečo A nemôže sa rovnať nule? A namiesto toho nahrádzate A nula.) Naša X na druhú zmizne! Rovnica sa stane lineárnou. A riešenie je úplne iné...

To sú všetky hlavné typy kvadratických rovníc. Úplné a neúplné.

Riešenie kvadratických rovníc.

Riešenie úplných kvadratických rovníc.

Kvadratické rovnice sa dajú ľahko vyriešiť. Podľa vzorcov a jasných, jednoduchých pravidiel. V prvej fáze je potrebné zredukovať danú rovnicu na štandardný pohľad, t.j. do formulára:

Ak je rovnica už uvedená v tejto forme, nemusíte robiť prvú fázu.) Hlavná vec je správne určiť všetky koeficienty, A, b A c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminačný. Ale viac o ňom nižšie. Ako vidíte, na nájdenie X používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c Počítame podľa tohto vzorca. Poďme nahradiť s vlastnými znakmi! Napríklad v rovnici:

A =1; b = 3; c= -4. Tu si to zapíšeme:

Príklad je takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo, myslíte si, že nie je možné urobiť chybu? No áno, ako...

Najčastejšími chybami je zámena s hodnotami znamienka a, b a c. Alebo skôr nie svojimi znakmi (kde sa zmiasť?), ale substitúciou záporné hodnoty do vzorca na výpočet koreňov. Tu pomáha podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtami, urob to!

Predpokladajme, že musíme vyriešiť nasledujúci príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku a počtu chýb bude trvať asi 30 sekúnd sa prudko zníži. Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké písať tak opatrne. Ale to sa len zdá. Pokúsiť sa. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo zapisovať. Vyjde to samo od seba. Najmä ak používate praktické techniky, ktoré sú popísané nižšie. Tento zlý príklad s kopou mínusov sa dá vyriešiť jednoducho a bez chýb!

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Spoznali ste to?) Áno! Toto neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Môžu byť tiež vyriešené pomocou všeobecného vzorca. Len treba správne pochopiť, čomu sa tu rovnajú. a, b a c.

Už ste na to prišli? V prvom príklade a = 1; b = -4; A c? Vôbec to tam nie je! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto toho do vzorca nahraďte nulu c, a uspejeme. To isté s druhým príkladom. Len my tu nemáme nulu s, A b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akýchkoľvek vzorcov. Zoberme si prvú neúplnú rovnicu. Čo môžete robiť na ľavej strane? Môžete vyňať X zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z toho? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule práve vtedy, ak sa niektorý z faktorov rovná nule! neveríš mi? Dobre, potom vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? to je všetko...
Preto môžeme s istotou napísať: x 1 = 0, x 2 = 4.

Všetky. Toto budú korene našej rovnice. Obe sú vhodné. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako použitie všeobecného vzorca. Dovoľte mi poznamenať, ktoré X bude prvé a ktoré druhé - absolútne ľahostajné. Je vhodné písať v poradí, x 1- čo je menšie a x 2- to, čo je väčšie.

Aj druhá rovnica sa dá vyriešiť jednoducho. Presuňte 9 na pravú stranu. Dostaneme:

Zostáva len extrahovať koreň z 9 a je to. Ukáže sa:

Tiež dva korene . x 1 = -3, x 2 = 3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď umiestnením X zo zátvoriek, alebo jednoduchý prenosčísla vpravo a potom extrahovanie koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto techniky. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať odmocninu X, čo je akosi nezrozumiteľné a v druhom prípade nie je čo vyťahovať zo zátvoriek...

Diskriminačný. Diskriminačný vzorec.

Čarovné slovo diskriminačný ! Málokedy toto slovo nepočul stredoškolák! Fráza „riešime prostredníctvom diskriminátora“ vzbudzuje dôveru a istotu. Pretože od diskriminujúceho netreba očakávať triky! Je jednoduchý a bezproblémový na používanie.) Pripomínam najvšeobecnejší vzorec na riešenie akýkoľvek kvadratické rovnice:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminant. Typicky je diskriminant označený písmenom D. Diskriminačný vzorec:

D = b2-4ac

A čo je na tomto výraze také pozoruhodné? Prečo si zaslúžilo špeciálne pomenovanie? Čo čo znamená diskriminant? Po všetkom -b, alebo 2a v tomto vzorci to konkrétne nenazývajú nijako... Písmená a písmená.

Tu je vec. Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca je to možné len tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z nej možno extrahovať koreň. Či je koreň extrahovaný dobre alebo zle, je iná otázka. Dôležité je to, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nula. Potom budete mať jedno riešenie. Keďže pripočítaním alebo odčítaním nuly v čitateli sa nič nemení. Presne povedané, toto nie je jeden koreň, ale dve rovnaké. Ale v zjednodušenej verzii je zvykom hovoriť jedno riešenie.

3. Diskriminant je negatívny. Druhá odmocnina zo záporného čísla sa nedá vziať. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Úprimne povedané, kedy jednoduché riešenie kvadratických rovníc, nie je pojem diskriminant zvlášť potrebný. Hodnoty koeficientov dosadíme do vzorca a počítame. Všetko sa tam deje samo, dva korene, jeden a žiadny. Pri riešení zložitejších úloh však bez znalostí význam a vzorec diskriminantu nedostatočné. Najmä v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú akrobaciou pre štátnu skúšku a jednotnú štátnu skúšku!)

takže, ako riešiť kvadratické rovnice cez rozlišovač, ktorý si si spomenul. Alebo ste sa naučili, čo tiež nie je zlé.) Viete správne určiť a, b a c. Vieš ako? pozorne nahradiť ich do koreňového vzorca a pozorne spočítať výsledok. pochopil si to kľúčové slovo Tu - pozorne?

Teraz si všimnite praktické techniky, ktoré výrazne znižujú počet chýb. Tie isté, ktoré sú spôsobené nepozornosťou... Pre ktoré sa to neskôr stáva bolestivé a urážlivé...

Prvé stretnutie . Nebuďte leniví pred riešením kvadratickej rovnice a priveďte ju do štandardného tvaru. Čo to znamená?
Povedzme, že po všetkých transformáciách dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať koreňový vzorec! Takmer určite si pomiešate šance a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv X na druhú, potom bez štvorca, potom voľný výraz. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred X na druhú vás môže poriadne rozčúliť. Je ľahké zabudnúť... Zbavte sa mínusov. Ako? Áno, ako je uvedené v predchádzajúcej téme! Musíme vynásobiť celú rovnicu -1. Dostaneme:

Ale teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a dokončiť riešenie príkladu. Rozhodnite sa sami. Teraz by ste mali mať korene 2 a -1.

Recepcia ako druhá. Skontrolujte korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, všetko ti vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorý sme použili na zapisovanie koreňového vzorca. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, kontrola koreňov je jednoduchá. Stačí ich namnožiť. Výsledkom by mal byť voľný člen, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! Voľný člen s tvojím znamením . Ak to nevyjde, znamená to, že to už niekde pokazili. Hľadajte chybu.

Ak to funguje, musíte pridať korene. Posledná a posledná kontrola. Koeficient by mal byť b s opak známy. V našom prípade -1+2 = +1. A koeficient b, ktorý je pred X, sa rovná -1. Takže, všetko je správne!
Je škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čisté, s koeficientom a = 1. Ale overte si aspoň takéto rovnice! Všetky menej chýb bude.

Tretia recepcia . Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom podľa popisu v lekcii "Ako riešiť rovnice? Transformácie identity." Pri práci so zlomkami sa z nejakého dôvodu neustále vkrádajú chyby...

Mimochodom, sľúbil som, že zlý príklad zjednoduším s kopou mínusov. Prosím! Tu je.

Aby sme sa nenechali zmiasť mínusmi, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Riešenie je radosť!

Poďme si teda zhrnúť tému.

Praktické rady:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru a zostavíme ju Správny.

2. Ak je pred druhou mocninou X záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným koeficientom.

4. Ak je x na druhú čistú, jej koeficient je rovný jednej, riešenie možno ľahko overiť pomocou Vietovej vety. Urob to!

Teraz sa môžeme rozhodnúť.)

Riešte rovnice:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4 x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Odpovede (v neporiadku):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x2 = -0,5

x - ľubovoľné číslo

x 1 = -3
x 2 = 3

žiadne riešenia

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Sedí všetko? Skvelé! Kvadratické rovnice vás nebolí. Prvé tri fungovali, ale zvyšok nie? Potom problém nie je s kvadratickými rovnicami. Problém je v identických transformáciách rovníc. Pozrite si odkaz, je to užitočné.

Celkom to nejde? Alebo to vôbec nejde? Potom vám pomôže oddiel 555. Všetky tieto príklady sú tam rozpísané. Zobrazené Hlavná chyby v riešení. Samozrejme, hovoríme aj o použití identických transformácií pri riešení rôznych rovníc. Veľmi pomáha!

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.