Rootn-tý stupeň a jeho základné vlastnosti
stupňa skutočné číslo A s prirodzeným indikátorom n existuje dielo n faktory, z ktorých každý je rovnaký A:
a1 = a; a2 = a·a; A n =
napr.
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
5 krát
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
4 krát
Skutočné číslo A volal základ diplomu, A prirodzené číslo n- exponent.
Základné vlastnosti mocnín s prirodzenými exponentmi vyplývajú priamo z definície: mocnina kladného čísla s ľubovoľným n e N pozitívny; Mocnina záporného čísla s párnym exponentom je kladná, s nepárnym exponentom je záporná.
napr.
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
Akcie so stupňami sa vykonávajú takto: pravidlá.
1. Znásobiť sily s z rovnakých dôvodov, stačí pridať exponenty a základ nechať rovnaký, tzn
Napríklad p5∙ p3 = p5+3 =p8
2. Na rozdelenie mocnín s rovnakými základmi stačí odpočítať exponent deliteľa od indexu dividendy a základ nechať rovnaký, tj.
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">
2. Na zvýšenie stupňa na mocninu stačí vynásobiť exponenty, pričom základ ponecháme rovnaký, tzn
(ap)m = at·p. Napríklad (23)2 = 26.
4. Na zvýšenie výkonu produktu stačí zvýšiť každý faktor na túto silu a znásobiť výsledky, tj.
(A b)p= ap∙bn.
napr. (2u3)2= 4 roky6.
5. Na umocnenie zlomku na mocninu stačí umocniť čitateľa a menovateľa oddelene na túto mocninu a vydeliť prvý výsledok druhým, tj.
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">
Všimnite si, že niekedy je užitočné čítať tieto vzorce sprava doľava. V tomto prípade sa stanú pravidlami. Napríklad v prípade 4. apvp= (av)p dostaneme ďalšie pravidlo: do Na vynásobenie mocnín s rovnakými exponentmi stačí vynásobiť základy, pričom exponent zostane rovnaký.
Použitie tohto pravidla je účinné napríklad pri výpočte nasledujúceho produktu
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.
Uveďme teraz definíciu koreňa.
Root n-tý stupeň z reálneho čísla A zavolal na skutočné číslo X, ktorého n-tá mocnina sa rovná A.
Je zrejmé, že v súlade so základnými vlastnosťami mocnín s prirodzenými exponentmi z akéhokoľvek kladného čísla existujú dve opačné hodnoty odmocniny párnej mocniny, napríklad čísla 4 a -4 sú druhé odmocniny 16, pretože ( -4)2 = 42 = 16 a čísla 3 a -3 sú štvrtými koreňmi čísla 81, pretože (-3)4 = 34 = 81.
Okrem toho neexistuje párny koreň záporného čísla, pretože párna mocnina akéhokoľvek reálneho čísla je nezáporná. Čo sa týka nepárneho koreňa, pre každé reálne číslo existuje iba jeden nepárny koreň z tohto čísla. Napríklad 3 je tretia odmocnina z 27, pretože 33 = 27, a -2 je piata odmocnina z -32, pretože (-2)5 = 32.
Kvôli existencii dvoch párnych koreňov kladného čísla zavádzame pojem aritmetického koreňa, aby sme eliminovali túto nejednoznačnosť koreňa.
Nezáporná hodnota n-tý koreň nazýva sa mocniny nezáporného čísla aritmetický koreň.
Napríklad https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.
Malo by sa pamätať na to, že pri riešení iracionálnych rovníc sa ich korene vždy považujú za aritmetické.
Všimnime si hlavnú vlastnosť n-tej odmocniny.
Veľkosť koreňa sa nezmení, ak sa ukazovatele koreňa a stupeň radikálneho vyjadrenia vynásobia alebo vydelia rovnakým prirodzeným číslom, tj.
Príklad 7. Zredukujte na spoločného menovateľa a
Materiál v tomto článku by sa mal považovať za súčasť témy transformácia iracionálnych výrazov. Tu použijeme príklady na analýzu všetkých jemností a nuancií (ktorých je veľa), ktoré vznikajú pri vykonávaní transformácií na základe vlastností koreňov.
Navigácia na stránke.
Pripomeňme si vlastnosti koreňov
Keďže sa chystáme zaoberať sa transformáciou výrazov pomocou vlastností koreňov, nebude na škodu si tie hlavné zapamätať, alebo ešte lepšie napísať na papier a položiť pred seba.
Najprv sa študujú odmocniny a ich nasledujúce vlastnosti (a, b, a 1, a 2, ..., a k sú reálne čísla):
A neskôr sa myšlienka koreňa rozšíri, zavedie sa definícia koreňa n-tého stupňa a zvážia sa nasledujúce vlastnosti (a, b, a 1, a 2, ..., a k sú reálne čísla, m, n, n 1, n 2, ... , n k - prirodzené čísla):
Konverzia výrazov s číslami pod radikálnymi znakmi
Ako to už býva, najskôr sa naučia pracovať s číselnými výrazmi a až potom prejdú na výrazy s premennými. Urobíme to isté a najprv sa budeme zaoberať transformáciou iracionálnych výrazov obsahujúcich len číselné výrazy, a potom v ďalšom odseku predstavíme premenné pod znamienkami koreňov.
Ako sa to dá použiť na transformáciu výrazov? Je to veľmi jednoduché: napríklad iracionálny výraz môžeme nahradiť výrazom alebo naopak. To znamená, že ak konvertovaný výraz obsahuje výraz, ktorý sa vzhľadom zhoduje s výrazom z ľavej (pravej) časti ktorejkoľvek z uvedených vlastností koreňov, potom ho možno nahradiť zodpovedajúcim výrazom z pravej (ľavej) časti. Ide o transformáciu výrazov pomocou vlastností koreňov.
Uveďme ešte niekoľko príkladov.
Zjednodušme výraz 
. Čísla 3, 5 a 7 sú kladné, takže môžeme pokojne aplikovať vlastnosti korienkov. Tu môžete konať rôznymi spôsobmi. Napríklad koreň založený na vlastnosti môže byť reprezentovaný ako a koreň používajúci vlastnosť s k=3 - as, s týmto prístupom bude riešenie vyzerať takto: 
Dalo by sa to urobiť inak nahradením za a potom za , v takom prípade by riešenie vyzeralo takto: 
Možné sú aj iné riešenia, napr.
Pozrime sa na riešenie na inom príklade. Transformujme výraz. Pri pohľade na zoznam vlastností koreňov z neho vyberieme vlastnosti, ktoré potrebujeme na vyriešenie príkladu, je jasné, že tu sú užitočné dve z nich a , ktoré sú platné pre ľubovoľné a . Máme: 
Alternatívne je možné najprv transformovať radikálové výrazy pomocou 
a potom aplikujte vlastnosti koreňov
Až do tohto bodu sme konvertovali výrazy, ktoré obsahujú iba druhé odmocniny. Je čas pracovať s koreňmi, ktoré majú rôzne ukazovatele.
Príklad.
Premeňte iracionálny výraz 
.
Riešenie.
Podľa majetku 
prvý faktor daného produktu možno nahradiť číslom −2: 
Poďme ďalej. Na základe vlastnosti môže byť druhý faktor reprezentovaný ako , a nebolo by na škodu nahradiť 81 štvornásobnou mocninou troch, pretože v ostatných faktoroch sa číslo 3 objavuje pod znamienkami koreňov: 
Odporúča sa nahradiť koreň zlomku pomerom koreňov tvaru , ktorý je možné ďalej transformovať: 
. máme
Po vykonaní operácií s dvojkami bude mať výsledný výraz tvar , a zostáva už len transformovať súčin koreňov.
Na transformáciu produktov koreňov sa zvyčajne redukujú na jeden indikátor, pre ktorý je vhodné vziať ukazovatele všetkých koreňov. V našom prípade LCM(12, 6, 12) = 12 a na tento indikátor bude potrebné zredukovať iba koreň, pretože ďalšie dva korene už takýto indikátor majú. Rovnosť, ktorá sa uplatňuje sprava doľava, nám umožňuje zvládnuť túto úlohu. Takže . Ak vezmeme do úvahy tento výsledok, máme 
Teraz môže byť produkt koreňov nahradený koreňom produktu a vykonať zostávajúce, už zrejmé, transformácie: 
Napíšeme krátku verziu riešenia: 
odpoveď:
.
Samostatne zdôrazňujeme, že na uplatnenie vlastností koreňov je potrebné vziať do úvahy obmedzenia kladené na čísla pod znamienkami koreňov (a≥0 atď.). Ich ignorovanie môže spôsobiť nesprávne výsledky. Napríklad vieme, že vlastnosť platí pre nezáporné a . Na základe neho sa môžeme jednoducho presunúť napríklad z do, keďže 8 je kladné číslo. Ale ak napríklad zo záporného čísla vezmeme zmysluplnú odmocninu a na základe vlastnosti uvedenej vyššie ho nahradíme , potom v skutočnosti nahradíme −2 2. Naozaj, ach. To znamená, že pre zápor a môže byť rovnosť nesprávna, rovnako ako iné vlastnosti koreňov môžu byť nesprávne bez zohľadnenia podmienok, ktoré sú pre ne špecifikované.
Ale to, čo bolo povedané v predchádzajúcom odseku, vôbec neznamená, že výrazy so zápornými číslami pod znamienkami koreňov nemožno transformovať pomocou vlastností koreňov. Len ich treba najskôr „pripraviť“ aplikovaním pravidiel pre prácu s číslami alebo použitím definície nepárnej odmocniny záporného čísla, ktorá zodpovedá rovnosti , kde −a je záporné číslo (zatiaľ čo a je kladné). Napríklad nemôže byť okamžite nahradená , pretože −2 a −3 sú záporné čísla, ale umožňuje nám to prejsť z koreňa na , a potom ďalej aplikovať vlastnosť koreňa súčinu: 
. A v jednom z predchádzajúcich príkladov bolo potrebné prejsť z koreňa na koreň osemnásteho stupňa nie takto, ale takto 
.
Takže na transformáciu výrazov pomocou vlastností koreňov potrebujete
- vybrať vhodná nehnuteľnosť zo zoznamu,
- uistite sa, že čísla pod koreňom spĺňajú podmienky pre vybranú vlastnosť (inak musíte vykonať predbežné transformácie),
- a vykonať zamýšľanú transformáciu.
Konverzia výrazov s premennými pod radikálnymi znakmi
Na transformáciu iracionálnych výrazov obsahujúcich nielen čísla, ale aj premenné pod znamienkom koreňa je potrebné starostlivo aplikovať vlastnosti koreňov uvedené v prvom odseku tohto článku. Väčšinou je to kvôli podmienkam, ktoré musia spĺňať čísla zahrnuté vo vzorcoch. Napríklad na základe vzorca možno výraz nahradiť výrazom iba pre tie hodnoty x, ktoré spĺňajú podmienky x≥0 a x+1≥0, pretože špecifikovaný vzorec je špecifikovaný pre a≥0 a b ≥0.
Aké sú nebezpečenstvá ignorovania týchto podmienok? Odpoveď na túto otázku jasne ukazuje ďalší príklad. Povedzme, že potrebujeme vypočítať hodnotu výrazu pri x=−2. Ak namiesto premennej x hneď dosadíme číslo −2, dostaneme hodnotu, ktorú potrebujeme 
. Teraz si predstavme, že sme na základe niektorých úvah previedli daný výraz do tvaru a až potom sme sa rozhodli vypočítať hodnotu. Za x dosadíme číslo −2 a dospejeme k výrazu 
, čo nedáva zmysel.
Pozrime sa, čo sa stane s rozsahom povolených hodnôt (APV) premennej x pri prechode od výrazu k výrazu. Nie náhodou sme spomenuli ODZ, keďže ide o seriózny nástroj na sledovanie prípustnosti vykonaných transformácií a zmena ODZ po transformácii výrazu by mala prinajmenšom vzbudiť červené vlajky. Nájsť ODZ pre tieto výrazy nie je ťažké. Pre vyjadrenie ODZ je určené z nerovnosti x·(x+1)≥0, jeho riešenie dáva číslo nastavené (−∞, −1]∪∪∪
Na čísla vpravo alebo vľavo sa nevzťahujú žiadne ďalšie obmedzenia: ak existujú koreňové faktory, potom existuje aj produkt.
Príklady. Pozrime sa na štyri príklady s číslami naraz:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(zarovnať)\]
Ako vidíte, hlavným zmyslom tohto pravidla je zjednodušiť iracionálne výrazy. A ak by sme v prvom príklade sami extrahovali korene 25 a 4 bez akýchkoľvek nových pravidiel, potom sa veci zhoršia: $\sqrt(32)$ a $\sqrt(2)$ nie sú považované samy osebe, ale ich súčin sa ukáže ako dokonalý štvorec, takže jeho odmocnina sa rovná racionálnemu číslu.
Zvlášť by som chcel vyzdvihnúť posledný riadok. Tam sú oba radikálne výrazy zlomky. Vďaka produktu sa ruší veľa faktorov a celý výraz sa mení na adekvátny počet.
Samozrejme, veci nebudú vždy také krásne. Niekedy bude pod koreňmi úplný neporiadok - nie je jasné, čo s ním robiť a ako ho po premnožení premeniť. O niečo neskôr, keď začnete študovať iracionálne rovnice a nerovnice, budú existovať všetky druhy premenných a funkcií. A pisatelia problémov veľmi často počítajú s tým, že objavíte nejaké rušiace podmienky alebo faktory, po ktorých sa problém mnohonásobne zjednoduší.
Navyše nie je vôbec potrebné množiť presne dva korene. Môžete vynásobiť tri, štyri alebo dokonca desať naraz! Toto pravidlo nezmení. Pozrite sa:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(zarovnať)\]
A opäť malá poznámka k druhému príkladu. Ako vidíte, v treťom faktore pod koreňom je desatinný zlomok - v procese výpočtov ho nahradíme bežným, po ktorom sa všetko ľahko zníži. Takže: Vrelo odporúčam zbaviť sa desatinných zlomkov v akomkoľvek iracionálne výrazy(t.j. obsahujúci aspoň jeden radikálový symbol). To vám v budúcnosti ušetrí veľa času a nervov.
Ale toto bola lyrická odbočka. Uvažujme teraz o všeobecnejšom prípade – keď koreňový exponent obsahuje ľubovoľné číslo $n$, a nie iba „klasickú“ dvojku.
Prípad ľubovoľného ukazovateľa
Takže sme zoradili odmocniny. Čo robiť s kubickými? Alebo dokonca s koreňmi ľubovoľného stupňa $n$? Áno, všetko je po starom. Pravidlo zostáva rovnaké:
Na vynásobenie dvoch koreňov stupňa $n$ stačí vynásobiť ich radikálne výrazy a potom zapísať výsledok pod jeden radikál.
Vo všeobecnosti nie je nič zložité. Okrem toho, že množstvo výpočtov môže byť väčšie. Pozrime sa na pár príkladov:
Príklady. Vypočítajte produkty:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3)) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(zarovnať)\]
A opäť pozor na druhý výraz. Namnožíme kubické korene, zbavíme sa desiatkový a výsledkom je súčin čísel 625 a 25 v menovateli veľké množstvo- Osobne neviem presne vypočítať, čomu sa to rovná.
Takže sme jednoducho izolovali presnú kocku v čitateli a menovateli a potom sme použili jednu z kľúčových vlastností (alebo, ak chcete, definíciu) $n$-tého koreňa:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\vpravo|. \\ \end(zarovnať)\]
Takéto „machinácie“ vám môžu ušetriť veľa času na skúške resp skúšobná práca, tak si zapamätaj:
Neponáhľajte sa násobiť čísla pomocou radikálnych výrazov. Najprv skontrolujte: čo ak je tam „zašifrovaný“ presný stupeň akéhokoľvek výrazu?
Napriek samozrejmosti tejto poznámky musím priznať, že väčšina nepripravených študentov nevidí presné stupne na nule. Namiesto toho všetko priamo znásobia a potom sa čudujú: prečo dostali také brutálne čísla? :)
To všetko sú však detské reči v porovnaní s tým, čo budeme študovať teraz.
Násobenie koreňov s rôznymi exponentmi
Dobre, teraz môžeme vynásobiť korene s rovnakými indikátormi. Čo ak sú ukazovatele odlišné? Povedzme, ako vynásobiť obyčajný $\sqrt(2)$ nejakým svinstvom ako $\sqrt(23)$? Je to vôbec možné urobiť?
Áno, samozrejme, môžete. Všetko sa robí podľa tohto vzorca:
Pravidlo pre množenie koreňov. Na vynásobenie $\sqrt[n](a)$ $\sqrt[p](b)$ stačí vykonať nasledujúcu transformáciu:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Tento vzorec však funguje iba vtedy, ak radikálne výrazy nie sú negatívne. Toto je veľmi dôležitá poznámka, ku ktorej sa vrátime o niečo neskôr.
Zatiaľ sa pozrime na pár príkladov:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(zarovnať)\]
Ako vidíte, nič zložité. Teraz poďme zistiť, odkiaľ sa vzala požiadavka na nezápornosť a čo sa stane, ak ju porušíme :)
Násobenie koreňov je jednoduché Prečo musia byť radikálne prejavy nezáporné?
Samozrejme, môžete byť ako učitelia v škole a citovať učebnicu s inteligentným vzhľadom:
Požiadavka nezápornosti je spojená s rôznymi definíciami koreňov párnych a nepárnych stupňov (podľa toho sú aj ich domény definície odlišné).
No, už je to jasnejšie? Osobne, keď som v 8. ročníku čítal tento nezmysel, pochopil som asi toto: “Požiadavka nezápornosti je spojená s *#&^@(*#@^#)~%” - skrátka som v tom čase nerozumiem ničomu. :)
Takže teraz všetko vysvetlím normálnym spôsobom.
Po prvé, poďme zistiť, odkiaľ pochádza vzorec násobenia vyššie. Aby som to urobil, dovoľte mi pripomenúť vám jednu dôležitú vlastnosť koreňa:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Inými slovami, radikálny výraz môžeme pokojne zvýšiť na akúkoľvek prirodzenú mocninu $k$ – v tomto prípade bude musieť byť exponent odmocniny vynásobený rovnakou mocninou. Preto môžeme ľahko zredukovať akékoľvek korene na spoločný exponent a potom ich vynásobiť. Odtiaľ pochádza vzorec násobenia:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Je tu však jeden problém, ktorý výrazne obmedzuje používanie všetkých týchto vzorcov. Zvážte toto číslo:
Podľa práve uvedeného vzorca môžeme pridať ľubovoľný stupeň. Skúsme pridať $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Mínus sme odstránili práve preto, že štvorec vypáli mínus (ako každý iný párny stupeň). Teraz vykonajte opačnú transformáciu: „znížte“ dva v exponente a mocnine. Koniec koncov, každá rovnosť sa dá čítať zľava doprava aj sprava doľava:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\šípka doprava \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(zarovnať)\]
Ale potom sa ukáže, že je to nejaký svinstvo:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
To sa nemôže stať, pretože $\sqrt(-5) \lt 0$ a $\sqrt(5) \gt 0$. To znamená, že pre párne mocniny a záporné čísla už náš vzorec nefunguje. Potom máme dve možnosti:
- Naraziť do steny a povedať, že matematika je hlúpa veda, kde „existujú nejaké pravidlá, ale tie sú nepresné“;
- Zaveďte ďalšie obmedzenia, pri ktorých bude vzorec fungovať na 100 %.
V prvej možnosti budeme musieť neustále zachytávať „nefungujúce“ prípady - je to ťažké, časovo náročné a vo všeobecnosti fuj. Preto matematici uprednostnili druhú možnosť :).
Ale nebojte sa! V praxi toto obmedzenie nijako neovplyvňuje výpočty, pretože všetky opísané problémy sa týkajú iba koreňov nepárneho stupňa a dajú sa z nich vyčítať mínusy.
Preto sformulujme ešte jedno pravidlo, ktoré sa všeobecne vzťahuje na všetky akcie s koreňmi:
Pred násobením koreňov sa uistite, že radikálne výrazy nie sú záporné.
Príklad. V čísle $\sqrt(-5)$ môžete odstrániť mínus pod znamienkom koreňa - potom bude všetko normálne:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Cítiš ten rozdiel? Ak necháte pod koreňom mínus, potom keď sa radikálny výraz odmocní, zmizne a začne sa svinstvo. A ak najprv vytiahnete mínus, potom môžete štvorec/odstraňovať, kým nebudete v tvári modrý - číslo zostane záporné :)
Teda najsprávnejšie a naj spoľahlivým spôsobom násobenie koreňov je nasledovné:
- Odstráňte všetky negatíva z radikálov. Mínusy existujú iba v koreňoch nepárnej násobnosti - môžu byť umiestnené pred koreňom a v prípade potreby zmenšené (napríklad ak sú tieto mínusy dve).
- Vykonajte násobenie podľa pravidiel uvedených vyššie v dnešnej lekcii. Ak sú ukazovatele koreňov rovnaké, radikálne výrazy jednoducho vynásobíme. A ak sú odlišné, použijeme zlý vzorec \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3. Užite si výsledok a dobré známky. :)
dobre? Zacvičíme si?
Príklad 1: Zjednodušte výraz:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]
Toto je najjednoduchšia možnosť: korene sú rovnaké a nepárne, jediným problémom je, že druhý faktor je negatívny. Toto mínus odstránime z obrázku, po ktorom sa všetko ľahko vypočíta.
Príklad 2: Zjednodušte výraz:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( zarovnať)\]
Mnohí by tu boli zmätení tým, čo sa stalo na konci iracionálne číslo. Áno, stáva sa: nedokázali sme sa úplne zbaviť koreňa, ale aspoň sme výrazne zjednodušili výraz.
Príklad 3: Zjednodušte výraz:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \vpravo))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
Chcel by som upriamiť vašu pozornosť na túto úlohu. Sú tu dva body:
- Odmocninou nie je konkrétne číslo alebo mocnina, ale premenná $a$. Na prvý pohľad je to trochu nezvyčajné, no v skutočnosti sa pri riešení matematických úloh najčastejšie musíte potýkať s premennými.
- Nakoniec sa nám podarilo „znížiť“ radikálny ukazovateľ a mieru v radikálnom vyjadrení. To sa stáva pomerne často. A to znamená, že bolo možné výrazne zjednodušiť výpočty, ak ste nepoužili základný vzorec.
Môžete napríklad urobiť toto:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(zarovnať)\]
V skutočnosti boli všetky transformácie vykonané iba s druhým radikálom. A ak podrobne neopíšete všetky medzikroky, nakoniec sa množstvo výpočtov výrazne zníži.
V skutočnosti sme sa už stretli s podobnou úlohou vyššie, keď sme riešili príklad $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Teraz sa to dá napísať oveľa jednoduchšie:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]
No, vyriešili sme násobenie koreňov. Teraz zvážme opačnú operáciu: čo robiť, keď je pod koreňom produkt?
Znova som sa pozrel na znamenie... A poďme!
Začnime niečím jednoduchým:
Len minútu. toto, čo znamená, že to môžeme napísať takto:
rozumieš? Tu je ďalší pre vás:
Nie sú korene výsledných čísel presne extrahované? Žiadny problém – tu je niekoľko príkladov:
Čo ak nie sú dvaja, ale viac násobiteľov? To isté! Vzorec na násobenie koreňov funguje s ľubovoľným počtom faktorov:
Teraz úplne sami:
Odpovede: Výborne! Súhlasím, všetko je veľmi jednoduché, hlavnou vecou je poznať tabuľku násobenia!
Rozdelenie koreňov
Vytriedili sme násobenie koreňov, teraz prejdime k vlastnosti delenia.
Pripomínam, že vzorec v celkový pohľad vyzerá takto:
Čo znamená, že koreň podielu sa rovná podielu koreňov.
Nuž, pozrime sa na niekoľko príkladov:
To je celá veda. Tu je príklad:
Všetko nie je také hladké ako v prvom príklade, ale ako vidíte, nie je nič zložité.
Čo ak narazíte na tento výraz:
Stačí použiť vzorec v opačnom smere:
A tu je príklad:
Môžete sa stretnúť aj s týmto výrazom:
Všetko je rovnaké, len si tu musíte pamätať, ako preložiť zlomky (ak si nepamätáte, pozrite sa na tému a vráťte sa!). pamätáš? Teraz sa poďme rozhodnúť!
Som si istý, že ste sa so všetkým vyrovnali, teraz sa pokúsme pozdvihnúť korene na stupne.
Umocňovanie
Čo sa stane ak druhá odmocninaštvorec? Je to jednoduché, zapamätajte si význam druhej odmocniny čísla – ide o číslo, ktorého druhá odmocnina sa rovná.
Ak teda odmocníme číslo, ktorého druhá odmocnina je rovnaká, čo dostaneme?
No, samozrejme!
Pozrime sa na príklady:
Je to jednoduché, však? Čo ak je koreň v inom stupni? To je v poriadku!
Postupujte podľa rovnakej logiky a zapamätajte si vlastnosti a možné akcie so stupňami.
Prečítajte si teóriu na tému „“ a všetko vám bude veľmi jasné.
Napríklad tu je výraz:
V tomto príklade je stupeň párny, ale čo ak je nepárny? Opäť použite vlastnosti mocnin a všetko zohľadnite:
Zdá sa, že všetko je jasné, ale ako extrahovať odmocninu čísla na mocninu? Tu je napríklad toto:
Celkom jednoduché, však? Čo ak je stupeň väčší ako dva? Postupujeme podľa rovnakej logiky pomocou vlastností stupňov:
No, je všetko jasné? Potom vyriešte príklady sami:
A tu sú odpovede:
Zadanie pod znakom koreňa
Čo sme sa nenaučili robiť s koreňmi! Ostáva už len precvičiť si zadávanie čísla pod znakom koreňa!
Je to naozaj jednoduché!
Povedzme, že máme zapísané číslo
Čo s tým môžeme robiť? No, samozrejme, skryte tri pod odmocninou, pamätajte na to, že trojka je druhá odmocnina z!
Prečo to potrebujeme? Áno, len pre rozšírenie našich možností pri riešení príkladov:
Ako sa vám páči táto vlastnosť koreňov? Zjednodušuje to život? Pre mňa je to presne tak! Iba Musíme si uvedomiť, že pod znamienko druhej odmocniny môžeme zadať iba kladné čísla.
Vyriešte tento príklad sami -
Zvládli ste to? Pozrime sa, čo by ste mali dostať:
Výborne! Podarilo sa vám zadať číslo pod koreňovým znakom! Prejdime k niečomu rovnako dôležitému – pozrime sa, ako porovnávať čísla obsahujúce odmocninu!
Porovnanie koreňov
Prečo sa musíme naučiť porovnávať čísla, ktoré obsahujú druhú odmocninu?
Veľmi jednoduché. Často vo veľkých a dlhých výrazoch, s ktorými sa stretávame pri skúške, dostávame iracionálnu odpoveď (pamätáte si, čo to je? Už sme o tom dnes hovorili!)
Prijaté odpovede potrebujeme umiestniť na súradnicovú čiaru, napríklad, aby sme určili, ktorý interval je vhodný na riešenie rovnice. A tu nastáva problém: na skúške nie je kalkulačka a ako si bez nej viete predstaviť, ktoré číslo je väčšie a ktoré menšie? To je všetko!
Určte napríklad, čo je väčšie: alebo?
Nedá sa to povedať hneď. Využime teda vlastnosť rozobratého zadania čísla pod znak koreňa?
Potom pokračujte:
No jasné, čo väčšie číslo pod znakom koreňa, tým väčší je samotný koreň!
Tie. ak teda,.
Z toho pevne usudzujeme. A nikto nás nepresvedčí o opaku!
Extrahovanie koreňov z veľkého množstva
Predtým sme zadali násobiteľ pod znakom koreňa, ale ako ho odstrániť? Musíte to len vypočítať a extrahovať to, čo ste extrahovali!
Bolo možné ísť inou cestou a rozšíriť sa o ďalšie faktory:
Nie je to zlé, však? Ktorýkoľvek z týchto prístupov je správny, rozhodnite sa, ako chcete.
Faktoring je veľmi užitočný pri riešení takýchto neštandardných problémov, ako je tento:
Nebojme sa, ale konajme! Rozložme každý faktor pod koreňom na samostatné faktory:
Teraz to skúste sami (bez kalkulačky! Nebude to na skúške):
Je toto koniec? Nezastavme sa na polceste!
To je všetko, nie je to také strašidelné, však?
Podarilo sa to? Výborne, je to tak!
Teraz skúste tento príklad:
Ale príklad je ťažký oriešok, takže nemôžete okamžite prísť na to, ako k nemu pristupovať. Ale, samozrejme, zvládneme to.
No, začnime faktoring? Okamžite si všimnime, že číslo môžete deliť (zapamätajte si znaky deliteľnosti):
Teraz to skúste sami (opäť bez kalkulačky!):
No podarilo sa? Výborne, je to tak!
Poďme si to zhrnúť
- Druhá odmocnina (aritmetická odmocnina) nezáporného čísla je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná.
. - Ak jednoducho vezmeme druhú odmocninu niečoho, vždy dostaneme jeden nezáporný výsledok.
- Vlastnosti aritmetického koreňa:
- Pri porovnávaní odmocniny je potrebné pamätať na to, že čím väčšie číslo pod znamienkom koreňa, tým väčší je samotný koreň.
Ako je to s druhou odmocninou? Je všetko jasné?
Snažili sme sa vám bez okolkov vysvetliť všetko, čo potrebujete vedieť na skúške o druhej odmocnine.
Teraz ste na rade vy. Napíšte nám, či je pre vás táto téma náročná alebo nie.
Naučili ste sa niečo nové alebo už bolo všetko jasné?
Napíšte do komentárov a veľa šťastia pri skúškach!
