Logaritmické nerovnosti možnosť 2. Komplexné logaritmické nerovnosti

Úvod

Logaritmy boli vynájdené na urýchlenie a zjednodušenie výpočtov. Myšlienka logaritmu, to znamená myšlienka vyjadrenia čísel ako mocniny rovnakej základne, patrí Michailovi Stiefelovi. Ale v dobe Stiefela nebola matematika taká rozvinutá a myšlienka logaritmu nebola rozvinutá. Logaritmy boli neskôr vynájdené súčasne a nezávisle od seba škótskym vedcom Johnom Napierom (1550-1617) a Švajčiarom Jobstom Burgim (1552-1632), ktorý ako prvý publikoval prácu v roku 1614. pod názvom „Popis úžasnej tabuľky logaritmov“ bola Napierova teória logaritmov uvedená v pomerne úplnom zväzku, metóda výpočtu logaritmov bola najjednoduchšia, a preto boli Napierove zásluhy vo vynáleze logaritmov väčšie ako zásluhy Bürgiho. Burgi pracoval na tabuľkách v rovnakom čase ako Napier, no dlho ich tajil a zverejnil ich až v roku 1620. Napier zvládol myšlienku logaritmu okolo roku 1594. hoci tabuľky boli zverejnené o 20 rokov neskôr. Najprv nazval svoje logaritmy „umelé čísla“ a až potom navrhol nazvať tieto „umelé čísla“ jedným slovom „logaritmus“, čo v preklade z gréčtiny znamená „korelované čísla“, prevzaté jedno z aritmetického postupu a druhé z geometrický postup špeciálne vybraný na to. Prvé tabuľky v ruštine boli publikované v roku 1703. za účasti úžasného učiteľa 18. storočia. L. F. Magnitského. Vo vývoji teórie logaritmov veľký význam mal diela petrohradského akademika Leonharda Eulera. Ako prvý považoval logaritmy za prevrátenú mocninu, zaviedol pojmy „základ logaritmu“ a „mantisa“ zostavil tabuľky logaritmov so základom 10. Desatinné tabuľky sú pre praktické použitie vhodnejšie, ich teória je. jednoduchšie ako logaritmy Napier. Preto desiatkové logaritmy niekedy nazývané brigy. Pojem „charakterizácia“ zaviedol Briggs.

V tých vzdialených časoch, keď mudrci prvýkrát začali uvažovať o rovnosti obsahujúcich neznáme množstvá, pravdepodobne neexistovali žiadne mince ani peňaženky. Ale boli tam hromady, ako aj hrnce a košíky, ktoré boli ako stvorené na úlohu odkladacích skrýš, do ktorých sa zmestil neznámy počet predmetov. V starovekých matematických úlohách Mezopotámie, Indie, Číny, Grécka neznáme veličiny vyjadrovali počet pávov v záhrade, počet býkov v stáde a súhrn vecí, ktoré sa brali do úvahy pri delení majetku. Pisári, úradníci a kňazi zasvätení do tajných vedomostí, dobre vyškolení vo vede účtovníctva, sa s takýmito úlohami celkom úspešne vyrovnali.

Zdroje, ktoré sa k nám dostali, naznačujú, že starovekí vedci mali nejaké všeobecné techniky na riešenie problémov s neznámymi množstvami. Avšak ani jeden papyrus alebo hlinená tabuľka neobsahuje popis týchto techník. Autori len občas doplnili svoje numerické výpočty skromnými komentármi ako: „Pozri sa!“, „Urob toto!“, „Našli ste toho pravého.“ V tomto zmysle je výnimkou „Aritmetika“ gréckeho matematika Diophantusa z Alexandrie (III. storočie) - zbierka úloh na zostavovanie rovníc so systematickou prezentáciou ich riešení.

Prvým manuálom na riešenie problémov, ktorý sa stal všeobecne známym, však bola práca bagdadského vedca z 9. storočia. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Slovo "al-jabr" z arabského názvu tohto pojednania - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Kniha obnovy a opozície") - sa časom zmenilo na známe slovo "algebra" a al- Poslúžilo samotné Khwarizmiho dielo Štartovací bod vo vývoji vedy o riešení rovníc.

Logaritmické rovnice a nerovnice

1. Logaritmické rovnice

Rovnica obsahujúca neznámu pod znamienkom logaritmu alebo na jej základe sa nazýva logaritmická rovnica.

Najjednoduchšia logaritmická rovnica je rovnica tvaru

log a X = b . (1)

Vyhlásenie 1. Ak a > 0, a≠ 1, rovnica (1) pre akúkoľvek reálnu hodnotu b má unikátne riešenie X = a b .

Príklad 1. Riešte rovnice:

a) denník 2 X= 3, b) log 3 X= -1, c)

Riešenie. Pomocou výroku 1 dostaneme a) X= 2 3 alebo X= 8; b) X= 3 -1 alebo X= 1/3; c)

alebo X = 1.

Ukážeme si základné vlastnosti logaritmu.

P1. Základná logaritmická identita:

Kde a > 0, a≠ 1 a b > 0.

P2. Logaritmus súčinu kladných faktorov sa rovná súčtu logaritmov týchto faktorov:

log a N 1 · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentujte. Ak N 1 · N 2 > 0, potom vlastnosť P2 nadobudne tvar

log a N 1 · N 2 = log a |N 1 | + denník a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Logaritmus podielu dvoch kladných čísel sa rovná rozdielu medzi logaritmami dividendy a deliteľa

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentujte. Ak

, (čo je ekvivalentné N 1 N 2 > 0), potom má vlastnosť P3 tvar

(a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Logaritmus mocniny kladného čísla sa rovná súčinu exponentu a logaritmu tohto čísla:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Komentujte. Ak k - párne číslo (k = 2s), To

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Vzorec pre prechod na inú základňu:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

najmä ak N = b, dostaneme

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Použitím vlastností P4 a P5 je ľahké získať nasledujúce vlastnosti

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

a ak v (5) c- párne číslo ( c = 2n), vyskytuje

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Uveďme hlavné vlastnosti logaritmickej funkcie f (X) = log a X :

1. Definičný obor logaritmickej funkcie je množina kladných čísel.

2. Rozsah hodnôt logaritmickej funkcie je množina reálne čísla.

3. Kedy a> 1 logaritmická funkcia sa striktne zvyšuje (0< X 1 < X 2log a X 1 < loga X 2) a na 0< a < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log a X 1 > denník a X 2).

4.log a 1 = 0 a log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Ak a> 1, potom je logaritmická funkcia záporná X(0;1) a kladné pri X(1;+∞), a ak je 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) a záporné pri X (1;+∞).

6. Ak a> 1, potom je logaritmická funkcia konvexná smerom nahor a ak a(0;1) - konvexné smerom nadol.

Nasledujúce tvrdenia (pozri napríklad) sa používajú pri riešení logaritmických rovníc.

Myslíte si, že do Jednotnej štátnej skúšky je ešte čas a stihnete sa pripraviť? Možno je to tak. Ale v každom prípade, čím skôr študent začne s prípravou, tým úspešnejšie zloží skúšky. Dnes sme sa rozhodli venovať článok logaritmickým nerovnostiam. Toto je jedna z úloh, ktorá znamená možnosť získať kredit navyše.

Už viete, čo je logaritmus? Naozaj dúfame. Ale aj keď na túto otázku nemáte odpoveď, nie je to problém. Pochopenie toho, čo je logaritmus, je veľmi jednoduché.

Prečo 4? Ak chcete získať 81, musíte zvýšiť číslo 3 na túto mocninu. Keď pochopíte princíp, môžete pristúpiť k zložitejším výpočtom.

Pred pár rokmi ste prešli nerovnosťami. A odvtedy sa s nimi neustále stretávate v matematike. Ak máte problémy s riešením nerovností, pozrite si príslušnú sekciu.
Teraz, keď sme sa zoznámili s pojmami jednotlivo, prejdime k ich všeobecnému zváženiu.

Najjednoduchšia logaritmická nerovnosť.

Najjednoduchšie logaritmické nerovnosti nie sú obmedzené na tento príklad, existujú tri ďalšie, len s rôznymi znamienkami. Prečo je to potrebné? Aby sme lepšie pochopili, ako riešiť nerovnosti pomocou logaritmov. Teraz uveďme použiteľnejší príklad, stále celkom jednoduchý, zložité logaritmické nerovnosti si necháme na neskôr.

Ako to vyriešiť? Všetko to začína ODZ. Stojí za to vedieť o tom viac, ak chcete vždy ľahko vyriešiť akúkoľvek nerovnosť.

čo je ODZ? ODZ pre logaritmické nerovnosti

Skratka znamená rozsah prijateľných hodnôt. Táto formulácia sa často objavuje v úlohách jednotnej štátnej skúšky. ODZ sa vám bude hodiť nielen v prípade logaritmických nerovností.

Pozrite sa znova na vyššie uvedený príklad. Na základe toho zvážime ODZ, aby ste pochopili princíp a riešenie logaritmických nerovností nevyvoláva otázky. Z definície logaritmu vyplýva, že 2x+4 musí byť väčšie ako nula. V našom prípade to znamená nasledovné.

Toto číslo musí byť podľa definície kladné. Vyriešte vyššie uvedenú nerovnosť. Dá sa to urobiť aj ústne, tu je jasné, že X nemôže byť menšie ako 2. Riešením nerovnosti bude definovanie rozsahu prijateľných hodnôt.
Teraz prejdime k riešeniu najjednoduchšej logaritmickej nerovnosti.

Samotné logaritmy z oboch strán nerovnosti zahodíme. Čo nám to zanecháva? Jednoduchá nerovnosť.

Nie je ťažké to vyriešiť. X musí byť väčšie ako -0,5. Teraz skombinujeme dve získané hodnoty do systému. teda

Toto bude rozsah prijateľných hodnôt pre uvažovanú logaritmickú nerovnosť.

Prečo vôbec potrebujeme ODZ? Toto je príležitosť vyradiť nesprávne a nemožné odpovede. Ak odpoveď nie je v rozmedzí prijateľných hodnôt, potom odpoveď jednoducho nedáva zmysel. Toto stojí za to pamätať na dlhú dobu, pretože v jednotnej štátnej skúške je často potrebné hľadať ODZ, a to nielen logaritmických nerovností.

Algoritmus na riešenie logaritmickej nerovnosti

Riešenie pozostáva z niekoľkých etáp. Najprv musíte nájsť rozsah prijateľných hodnôt. V ODZ budú dva významy, ako sme diskutovali vyššie. Ďalej musíte vyriešiť samotnú nerovnosť. Metódy riešenia sú nasledovné:

metóda náhrady multiplikátora;
rozklad;
racionalizačná metóda.

V závislosti od situácie sa oplatí použiť jednu z vyššie uvedených metód. Prejdime priamo k riešeniu. Prezradíme najobľúbenejšiu metódu, ktorá je vhodná na riešenie úloh Jednotnej štátnej skúšky takmer vo všetkých prípadoch. Ďalej sa pozrieme na metódu rozkladu. Môže vám pomôcť, ak narazíte na obzvlášť zákernú nerovnosť. Takže algoritmus na riešenie logaritmickej nerovnosti.

Príklady riešení :

Nie nadarmo sme zobrali presne túto nerovnosť! Venujte pozornosť základni. Pamätajte: ak je väčšie ako jedna, znamienko zostáva rovnaké pri hľadaní rozsahu prijateľných hodnôt; v opačnom prípade musíte zmeniť znamienko nerovnosti.

V dôsledku toho dostaneme nerovnosť:

Teraz zredukujeme ľavú stranu do tvaru rovnice rovnej nule. Namiesto znamienka „menej ako“ dáme „rovná sa“ a rovnicu vyriešime. Nájdeme teda ODZ. Dúfame, že s riešením tohto jednoduchá rovnica nebudete mať žiadne problémy. Odpovede sú -4 a -2. To nie je všetko. Tieto body musíte zobraziť na grafe umiestnením „+“ a „-“. Čo je pre to potrebné urobiť? Do výrazu dosaďte čísla z intervalov. Ak sú hodnoty kladné, dáme tam „+“.

Odpoveď: x nemôže byť väčšie ako -4 a menšie ako -2.

Našli sme rozsah prijateľných hodnôt iba pre ľavú stranu, teraz musíme nájsť rozsah prijateľných hodnôt pre pravú stranu. Toto je oveľa jednoduchšie. odpoveď: -2. Pretíname obe výsledné oblasti.

A až teraz sa začíname zaoberať samotnou nerovnosťou.

Zjednodušme si to čo najviac, aby sa to ľahšie riešilo.

Pri riešení opäť používame intervalovú metódu. Preskočme výpočty; všetko je jasné z predchádzajúceho príkladu. Odpoveď.

Táto metóda je však vhodná, ak má logaritmická nerovnosť rovnaké základy.

Riešenie logaritmických rovníc a nerovníc s z rôznych dôvodov predpokladá počiatočnú redukciu na jeden základ. Ďalej použite metódu opísanú vyššie. Existuje však komplikovanejší prípad. Uvažujme o jednom z najviac komplexné druhy logaritmické nerovnosti.

Logaritmické nerovnosti s premenlivou základňou

Ako vyriešiť nerovnosti s takýmito charakteristikami? Áno, a takýchto ľudí možno nájsť v Jednotnej štátnej skúške. Riešenie nerovností nasledujúcim spôsobom priaznivo ovplyvní aj váš vzdelávací proces. Pozrime sa na problematiku podrobne. Zahoďme teóriu a prejdime rovno k praxi. Na vyriešenie logaritmických nerovností sa stačí zoznámiť s príkladom raz.

Na vyriešenie logaritmickej nerovnosti prezentovaného tvaru je potrebné zredukovať pravú stranu na logaritmus s rovnakým základom. Princíp pripomína ekvivalentné prechody. V dôsledku toho bude nerovnosť vyzerať takto.

V skutočnosti zostáva len vytvoriť systém nerovností bez logaritmov. Pomocou racionalizačnej metódy prejdeme k ekvivalentnému systému nerovností. Samotnému pravidlu porozumiete, keď nahradíte príslušné hodnoty a budete sledovať ich zmeny. Systém bude mať nasledujúce nerovnosti.

Pri používaní racionalizačnej metódy pri riešení nerovností si musíte zapamätať nasledovné: jeden musí byť odčítaný od základne, x sa podľa definície logaritmu odčíta od oboch strán nerovnosti (sprava zľava), dva výrazy sa násobia a nastavte pod pôvodným znamienkom vo vzťahu k nule.

Ďalšie riešenie sa vykonáva pomocou intervalovej metódy, tu je všetko jednoduché. Je dôležité, aby ste pochopili rozdiely v metódach riešenia, potom všetko začne ľahko fungovať.

IN logaritmické nerovnosti veľa nuancií. Najjednoduchšie z nich sa dajú celkom ľahko vyriešiť. Ako môžete vyriešiť každý z nich bez problémov? Všetky odpovede ste už dostali v tomto článku. Teraz máte pred sebou dlhú prax. Neustále trénujte riešenie rôznych problémov na skúške a budete môcť získať najvyššie skóre. Veľa šťastia vo vašej náročnej úlohe!

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Logaritmické nerovnosti

V predchádzajúcich lekciách sme sa zoznámili s logaritmickými rovnicami a teraz vieme, čo sú a ako ich riešiť. Dnešná lekcia bude venovaná štúdiu logaritmických nerovností. Aké sú tieto nerovnosti a aký je rozdiel medzi riešením logaritmickej rovnice a nerovnicou?

Logaritmické nerovnosti sú nerovnosti, ktoré majú premennú vystupujúcu pod logaritmickým znamienkom alebo na jeho základni.

Alebo môžeme tiež povedať, že logaritmická nerovnosť je nerovnosť, v ktorej sa jej neznáma hodnota, ako v logaritmickej rovnici, objaví pod znamienkom logaritmu.

Najjednoduchšie logaritmické nerovnosti majú nasledujúci tvar:

kde f(x) a g(x) sú nejaké výrazy, ktoré závisia od x.

Pozrime sa na to pomocou tohto príkladu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Riešenie logaritmických nerovností

Pred riešením logaritmických nerovností stojí za zmienku, že po vyriešení sú podobné exponenciálnym nerovnostiam, konkrétne:

Po prvé, keď prechádzame od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znamienkom, musíme tiež porovnať základ logaritmu s jedným;

Po druhé, pri riešení logaritmickej nerovnosti pomocou zmeny premenných musíme riešiť nerovnosti vzhľadom na zmenu, kým nedostaneme najjednoduchšiu nerovnosť.

Ale vy a ja sme zvažovali podobné aspekty riešenia logaritmických nerovností. Teraz sa pozrime na pomerne významný rozdiel. Vy a ja vieme, že logaritmická funkcia má obmedzenú oblasť definície, preto pri prechode od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znakom musíme vziať do úvahy rozsah povolených hodnôt (ADV).

To znamená, že by sa malo vziať do úvahy, že pri riešení logaritmickej rovnice môžeme vy a ja najprv nájsť korene rovnice a potom toto riešenie skontrolovať. Riešenie logaritmickej nerovnosti však nebude fungovať týmto spôsobom, pretože pri prechode od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znamienkom bude potrebné zapísať ODZ nerovnosti.

Okrem toho je potrebné pripomenúť, že teória nerovností pozostáva z reálnych čísel, čo sú kladné a záporné čísla, ako aj číslo 0.

Napríklad, keď je číslo „a“ kladné, musíte použiť nasledujúci zápis: a >0. V tomto prípade bude súčet aj súčin týchto čísel kladné.

Hlavným princípom riešenia nerovnosti je nahradiť ju jednoduchšou nerovnicou, ale hlavné je, že je ekvivalentná danej. Ďalej sme tiež získali nerovnosť a opäť sme ju nahradili nerovnosťou, ktorá má jednoduchší tvar atď.

Pri riešení nerovností s premennou je potrebné nájsť všetky jej riešenia. Ak majú dve nerovnosti rovnakú premennú x, potom sú takéto nerovnosti ekvivalentné za predpokladu, že sa ich riešenia zhodujú.

Pri vykonávaní úloh na riešenie logaritmických nerovností si musíte pamätať, že keď a > 1, potom sa logaritmická funkcia zvýši a keď 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metódy riešenia logaritmických nerovností

Teraz sa pozrime na niektoré metódy, ktoré sa používajú pri riešení logaritmických nerovností. Pre lepšie pochopenie a asimiláciu sa ich pokúsime pochopiť na konkrétnych príkladoch.

Všetci vieme, že najjednoduchšia logaritmická nerovnosť má nasledujúci tvar:

V tejto nerovnosti je V – jedným z nasledujúcich znakov nerovnosti:<,>, ≤ alebo ≥.

Keď je základ daného logaritmu väčší ako jedna (a>1), pri prechode z logaritmov na výrazy pod znamienkom logaritmu sa v tejto verzii znamienko nerovnosti zachová a nerovnosť bude mať nasledujúci tvar:

ktorý je ekvivalentný tomuto systému:

V prípade, že základ logaritmu je väčší ako nula a menší ako jedna (0

Toto je ekvivalentné tomuto systému:

Pozrime sa na ďalšie príklady riešenia najjednoduchších logaritmických nerovností znázornených na obrázku nižšie:

Príklady riešenia

Cvičenie. Skúsme vyriešiť túto nerovnosť:

Riešenie rozsahu prijateľných hodnôt.

Teraz skúsme vynásobiť jeho pravú stranu:

Pozrime sa, čo môžeme vymyslieť:

Teraz prejdime ku konverzii sublogaritmických výrazov. Vzhľadom k tomu, že základ logaritmu je 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

A z toho vyplýva, že interval, ktorý sme získali úplne patrí do ODZ a je riešením takejto nerovnosti.

Tu je odpoveď, ktorú sme dostali:

Čo je potrebné na riešenie logaritmických nerovností?

Teraz sa pokúsme analyzovať, čo potrebujeme na úspešné vyriešenie logaritmických nerovností?

Najprv sústreďte všetku svoju pozornosť a snažte sa nerobiť chyby pri vykonávaní transformácií, ktoré sú dané v tejto nerovnosti. Treba tiež pamätať na to, že pri riešení takýchto nerovností je potrebné vyhnúť sa rozširovaniu a zmršťovaniu nerovností, čo môže viesť k strate alebo získaniu cudzích riešení.

Po druhé, pri riešení logaritmických nerovností sa musíte naučiť myslieť logicky a pochopiť rozdiel medzi pojmami, ako je systém nerovností a množina nerovností, aby ste mohli ľahko vyberať riešenia nerovnosti, pričom sa riadite jej DL.

Po tretie, na úspešné vyriešenie takýchto nerovností musí každý z vás dokonale poznať všetky vlastnosti elementárne funkcie a jasne pochopiť ich význam. Medzi takéto funkcie patria nielen logaritmické, ale aj racionálne, mocenské, trigonometrické atď., jedným slovom, všetky tie, ktoré ste študovali. školstvo algebra.

Ako vidíte, po preštudovaní témy logaritmických nerovností nie je pri riešení týchto nerovností nič ťažké, za predpokladu, že ste opatrní a vytrvalí pri dosahovaní svojich cieľov. Aby ste sa vyhli akýmkoľvek problémom pri riešení nerovností, musíte sa čo najviac precvičiť, riešiť rôzne úlohy a zároveň si zapamätať základné metódy riešenia takýchto nerovností a ich sústavy. Ak sa vám nepodarí vyriešiť logaritmické nerovnosti, mali by ste svoje chyby dôkladne analyzovať, aby ste sa k nim v budúcnosti nevrátili.

Domáca úloha

Ak chcete lepšie porozumieť téme a konsolidovať preberaný materiál, vyriešte nasledujúce nerovnosti: