Úlohy týkajúce sa konštrukcie častí kocky pomocou roviny sú spravidla jednoduchšie ako napríklad úlohy týkajúce sa častí pyramídy.
Môžeme nakresliť priamku cez dva body, ak ležia v rovnakej rovine. Pri konštrukcii rezov kocky je možná iná možnosť konštrukcie stopy roviny rezu. Keďže tretia rovina pretína dve rovnobežné roviny pozdĺž rovnobežných línií, ak už bola na jednej z plôch vytvorená priama čiara a v druhej je bod, cez ktorý rez prechádza, potom môžeme nakresliť čiaru rovnobežnú s touto bod cez tento bod.
Poďme sa pozrieť na konkrétne príklady ako zostrojiť rezy kocky pomocou roviny.
1) Zostrojte rez kocky rovinou prechádzajúcou bodmi A, C a M.
Úlohy tohto typu sú najjednoduchšie zo všetkých problémov na zostavenie častí kocky. Keďže body A a C ležia v rovnakej rovine (ABC), môžeme cez ne nakresliť priamku. Jeho stopa je segment AC. Je neviditeľný, preto zobrazujeme AC s ťahom. Podobne spojíme body M a C, ktoré ležia v rovnakej rovine (CDD1) a body A a M, ktoré ležia v rovnakej rovine (ADD1). Trojuholník ACM je požadovaná sekcia.
2) Zostrojte rez kocky rovinou prechádzajúcou bodmi M, N, P.
Tu len body M a N ležia v rovnakej rovine (ADD1), takže cez ne nakreslíme priamku a získame stopu MN (neviditeľnú). Pretože protiľahlé strany kocky ležia v rovnobežných rovinách, rovina rezu pretína rovnobežné roviny (ADD1) a (BCC1) pozdĺž rovnobežných línií. Jednu z paralelných línií sme už skonštruovali - toto je MN.
Cez bod P vedieme priamku rovnobežnú s MN. Pretína hranu BB1 v bode S. PS je stopa roviny rezu v čele (BCC1).
Vedieme priamku cez body M a S ležiace v rovnakej rovine (ABB1). Dostali sme stopu MS (viditeľnú).
Roviny (ABB1) a (CDD1) sú rovnobežné. V rovine (ABB1) už existuje priamka MS, takže cez bod N v rovine (CDD1) vedieme priamku rovnobežnú s MS. Táto priamka pretína hranu D1C1 v bode L. Jej stopa je NL (neviditeľná). Body P a L ležia v rovnakej rovine (A1B1C1), preto cez ne vedieme priamku.
Pentagon MNLPS je požadovaná sekcia.
3) Zostrojte rez kocky rovinou prechádzajúcou bodmi M, N, P.
Body M a N ležia v rovnakej rovine (ВСС1), takže cez ne možno nakresliť priamku. Získame stopu MN (viditeľnú). Rovina (BCC1) je rovnobežná s rovinou (ADD1), preto cez bod P ležiaci v (ADD1) nakreslíme priamku rovnobežnú s MN. Pretína hranu AD v bode E. Získali sme stopu PE (neviditeľnú).
Už neexistujú body ležiace v rovnakej rovine, ani priamka a body v rovnobežných rovinách. Preto musíme pokračovať v jednej z existujúcich línií, aby sme získali ďalší bod.
Ak pokračujeme v priamke MN, tak keďže leží v rovine (BCC1), musíme hľadať priesečník MN s jednou z priamok tejto roviny. Už existujú priesečníky s CC1 a B1C1 - to sú M a N. Zostávajú priame čiary BC a BB1. Pokračujme BC a MN, kým sa nepretnú v bode K. Bod K leží na priamke BC, čo znamená, že patrí do roviny (ABC), takže cez neho a bod E, ktorý leží v tejto rovine, môžeme nakresliť priamku. Pretína hranu CD v bode H. EH je jej stopa (neviditeľná). Keďže H a N ležia v rovnakej rovine (CDD1), môže sa cez ne viesť priamka. Získame HN (neviditeľnú) stopu.
Roviny (ABC) a (A1B1C1) sú rovnobežné. V jednej z nich je priamka EH, v druhej bod M. Cez M môžeme viesť priamku rovnobežnú s EH. Získame stopu MF (viditeľnú). Nakreslite priamku cez body M a F.
Šesťuholník MNHEPF je požadovaná sekcia.
Ak by sme pokračovali po priamke MN, kým sa nepretne s ďalšou priamou rovinou (BCC1), BB1, dostaneme bod G patriaci rovine (ABB1). To znamená, že cez G a P môžeme nakresliť priamku, ktorej stopa je PF. Ďalej nakreslíme priame čiary cez body ležiace v rovnobežných rovinách a dospejeme k rovnakému výsledku.
Práca s rovným PE dáva rovnaký úsek MNHEPF.
4) Zostrojte rez kocky rovinou prechádzajúcou bodom M, N, P.
Tu môžeme nakresliť priamku cez body M a N ležiace v rovnakej rovine (A1B1C1). Jej stopa je MN (viditeľná). Neexistujú žiadne ďalšie body ležiace v rovnakej rovine alebo v rovnobežných rovinách.
Pokračujme po priamke MN. Leží v rovine (A1B1C1), takže sa môže pretínať len s jednou z priamok tejto roviny. Už existujú priesečníky s A1D1 a C1D1 - N a M. Ďalšie dve priamky tejto roviny - A1B1 a B1C1. Priesečník A1B1 a MN je S. Keďže leží na priamke A1B1, patrí do roviny (ABB1), čo znamená, že cez ňu možno viesť priamku a bod P, ktorý leží v tej istej rovine. Priamka PS pretína hranu AA1 v bode E. PE je jej stopa (viditeľná). Cez body N a E ležiace v rovnakej rovine (ADD1) môžete nakresliť priamku, ktorej stopa je NE (neviditeľná). V rovine (ADD1) je priamka NE, v rovine rovnobežnej s ňou (BCC1) bod P. Cez bod P môžeme viesť priamku PL rovnobežnú s NE. Pretína hranu CC1 v bode L. PL je stopa tejto priamky (viditeľná). Body M a L ležia v rovnakej rovine (CDD1), čo znamená, že cez ne možno viesť priamku. Jej stopa je ML (neviditeľná). Pentagon MLPEN je požadovaný úsek.
Po priamke NM bolo možné pokračovať v oboch smeroch a hľadať jej priesečníky nielen s priamkou A1B1, ale aj s priamkou B1C1, ktorá tiež leží v rovine (A1B1C1). V tomto prípade cez bod P nakreslíme dve čiary naraz: jednu v rovine (ABB1) cez body P a S a druhú v rovine (BCC1) cez body P a R. Potom zostáva spojiť body ležiace v rovnakej rovine: M c L, E - s N.
Inštrukcie
Spôsob výpočtu plochy prierezu závisí aj od údajov, ktoré sú už v probléme k dispozícii. Okrem toho je riešenie určené tým, čo leží na základni hranola. Ak potrebujete nájsť diagonálny rez hranol, nájdite dĺžku uhlopriečky, ktorá sa rovná odmocnine súčtu (základňa strán). Napríklad, ak sú základne 3 cm a 4 cm, dĺžka uhlopriečky sa rovná odmocnine (4x4 + 3x3) = 5 cm Nájdite plochu prierezu uhlopriečky pomocou vzorca: vynásobte uhlopriečku z základňu podľa výšky.
Ak je základňa hranola trojuholník, na výpočet plochy prierezu hranola použite vzorec: 1/2 základne trojuholníka vynásobená výškou.
Existujú nasledujúce typy hranolov - pravidelné a rovné. Ak potrebujete nájsť sekciu správny hranol, potrebujete poznať dĺžku len jednej zo strán mnohouholníka, pretože na základni je štvorec so všetkými rovnakými stranami. Nájdite uhlopriečku štvorca, ktorá sa rovná súčinu jeho strany a odmocniny z dvoch. Potom vynásobením uhlopriečky získate plochu prierezu pravidelného hranola.
Hranol má svoj vlastný. Plocha bočného povrchu ľubovoľného hranola sa teda vypočíta podľa vzorca, kde je obvod kolmej časti a dĺžka bočnej hrany. V tomto prípade je kolmá časť kolmá na všetky bočné hrany hranola a jej uhly sú lineárne uhly dihedrálnych uhlov na zodpovedajúcich bočných hranách. Kolmá časť je tiež kolmá na všetky bočné plochy.
Zdroje:
- diagonálny rez hranola
Axiálny je úsek, ktorý prechádza osou geometrického telesa vytvoreného rotáciou určitého geometrický obrazec. Valec sa získa otáčaním obdĺžnika okolo jednej z jeho strán a to určuje mnohé z jeho vlastností. Tvoriace čiary tohto geometrického telesa sú rovnobežné a navzájom rovnaké, čo je veľmi dôležité pre určenie parametrov jeho osového rezu vrátane uhlopriečky.
Budete potrebovať
- - valec so špecifikovanými parametrami;
- - papier;
- - ceruzka;
- - pravítko;
- - kompas;
- - Pytagorova veta;
- - sínusové a kosínusové vety.
Inštrukcie
Zostrojte valec podľa daných podmienok. Aby ste to mohli nakresliť, musíte poznať výšku. V probléme na uhlopriečkach však môžu byť špecifikované iné podmienky - napríklad uhol medzi uhlopriečkou a tvoriacou čiarou alebo priemer základne. V tomto prípade pri vytváraní výkresu použite veľkosť, ktorá je vám daná. Zvyšok si vezmite náhodne a uveďte, čo presne je vám dané. Označte priesečníky osi a základne ako O a O."
Nakreslite axiálny rez. Je to obdĺžnik, ktorého dve strany sú priemery základne a ďalšie dve sú tvoriace čiary. Keďže aj generátory sú kolmé na základne, sú to aj výšky daného geometrického telesa. Výsledný obdĺžnik označte ABCD. Nakreslite uhlopriečky AC a BD. Pamätajte na uhlopriečky obdĺžnika. Sú si navzájom rovné a v priesečníku sú rozdelené na polovicu.
Zvážte trojuholník ADC. Je obdĺžniková, pretože tvoriaca čiara CD je kolmá na základňu. Jeden predstavuje priemer základne, druhý - . Uhlopriečka je . Pamätajte si, ako sa vypočíta dĺžka prepony akéhokoľvek obdĺžnika. Rovná sa druhej odmocnine súčtu štvorcov nôh. Teda v v tomto prípade d=√4r2+h2, kde d je uhlopriečka, r je polomer základne a h je výška valca.
Ak v probléme nie je uvedená výška valca, ale je uvedený uhol uhlopriečky axiálneho rezu so základňou alebo tvoriacou čiarou, použite vetu sínusov alebo kosínusov. Pamätajte, že údaje sú trigonometrické. Toto je pomer nohy oproti alebo susediacej s daným uhlom k prepone, ktorú musíte nájsť. Povedzme, že ste dostali výšku a uhol CAD medzi uhlopriečkou a priemerom základne. V tomto prípade použite sínusový zákon, pretože uhol CAD je oproti tvoriacej priamke. Nájdite preponu d pomocou vzorca d=h/sinCAD. Ak dostanete polomer a rovnaký uhol, použite kosínusovú vetu. V tomto prípade d=2r/cos CAD.
Rovnakým princípom postupujte v prípadoch, keď je zadaný uhol ACD medzi uhlopriečkou a tvoriacou čiarou. V tomto prípade sa používa sínusová veta, keď je daný polomer, a kosínusová veta, keď je známa výška.
Video k téme
Zlatý rez je pomer, ktorý sa od staroveku považuje za najdokonalejší a najharmonickejší. Tvorí základ mnohých starovekých stavieb, od sôch po chrámy, a v prírode je veľmi rozšírený. Tento podiel je zároveň vyjadrený prekvapivo elegantnými matematickými konštrukciami.
Inštrukcie
Ak sa dĺžka celého segmentu berie ako 1 a dĺžka väčšej časti ako x, potom bude požadovaný podiel vyjadrený rovnicou:
(1 - x)/x = x/1.
Vynásobením oboch strán podielu x a prenesením členov dostaneme kvadratickú rovnicu:
x^2 + x - 1 = 0.
Rovnica má dve skutočné korene, z ktorých nás prirodzene zaujíma len ten pozitívny. Rovná sa (√5 - 1)/2, čo sa približne rovná 0,618. Toto číslo vyjadruje prierez. Najčastejšie sa označuje písmenom φ.
Číslo φ má množstvo pozoruhodných matematických vlastností. Napríklad aj z pôvodnej rovnice je jasné, že 1/φ = φ + 1. Skutočne, 1/(0,618) = 1,618.
Ďalším spôsobom, ako vypočítať zlatý rez, je použiť nekonečný zlomok. Počnúc ľubovoľným x, môžete postupne zostaviť zlomok:
X
1/(x + 1)
1/(1/(x+1) + 1)
1/(1/(1/(x+1) + 1) +1)
Na uľahčenie výpočtov môže byť tento zlomok reprezentovaný ako iteračný, v ktorom na výpočet ďalšieho kroku musíte k výsledku predchádzajúceho kroku pridať jednotku a vydeliť ju výsledným číslom. Inými slovami:
x0 = x
x(n + 1) = 1/(xn + 1).
Tento proces konverguje a jeho limit je φ + 1.
Ak nahradíme výpočet recipročnej hodnoty extrakciou druhej odmocniny, to znamená, že vykonáme iteračnú slučku:
x0 = x
x(n + 1) = √(xn + 1),
potom výsledok zostane nezmenený: bez ohľadu na pôvodne zvolené x iterácie konvergujú k hodnote φ + 1.
Geometricky možno zlatý rez zostrojiť pomocou pravidelného päťuholníka. Ak v ňom nakreslíte dve pretínajúce sa uhlopriečky, potom každá z nich rozdelí druhú striktne v zlatom pomere. Toto pozorovanie podľa legendy patrí Pytagorasovi, ktorý bol nájdeným vzorom taký šokovaný, že ho považoval za správny päťcípa hviezda(pentagram) posvätný božský symbol.
Dôvody, prečo sa zlatý rez javí ako najharmonickejší, nie sú známe. Opakovane sa však potvrdilo, že subjekty, ktoré mali za úlohu najkrajšie rozdeliť segment na dve nerovnaké časti, to urobili v pomeroch veľmi blízkych zlatému rezu.
Otázka sa týka analytickej geometrie. Rieši sa pomocou rovníc priestorových priamok a rovín, pojmu kocka a jej geometrické vlastnosti, ako aj pomocou vektorovej algebry. Môžu byť potrebné metódy na opravu systémov lineárne rovnice.
Inštrukcie
Vyberte podmienky problému tak, aby boli vyčerpávajúce, ale nie nadbytočné. Rovina rezu α by mala byť špecifikovaná všeobecná rovnica tvaru Ax+By+Cz+D=0, čo je v najlepšom súlade s jeho ľubovoľným výberom. Na definovanie kocky stačia súradnice ľubovoľných troch jej vrcholov. Vezmime si napríklad body M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3) podľa obrázku 1. Tento obrázok znázorňuje prierez kocky. Pretína dve bočné rebrá a tri základné rebrá.
Rozhodnite sa o pláne ďalšej práce. Musíme hľadať súradnice bodov Q, L, N, W, R, kde sa rez pretína s príslušnými hranami kocky. Aby ste to dosiahli, budete musieť nájsť rovnice priamok obsahujúcich tieto hrany a hľadať priesečníky hrán s rovinou α. Potom bude nasledovať rozdelenie QLNWR na trojuholníky (pozri obr. 2) a výpočet plochy každého z nich pomocou vlastností vektorového súčinu. Technika je zakaždým rovnaká. Preto sa môžeme obmedziť na body Q a L a oblasť trojuholníka ∆QLN.
Nájdite smerový vektor h priamky obsahujúcej hranu M1M5 (a bod Q) ako vektorový súčin M1M2=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) a M2M3=(x3-x2, y3-y2, z3- z2), h=(ml, n1, p1)=. Výsledný vektor je vodítkom pre všetky ostatné bočné hrany. Nájdite dĺžku hrany kocky ako napríklad ρ=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2). Ak je veľkosť vektora h |h|≠ρ, potom ju nahraďte zodpovedajúcim kolineárnym vektorom s=(m, n, p)=(h/|h|)ρ. Teraz parametricky zapíšte rovnicu priamky obsahujúcej M1M5 (pozri obr. 3). Po dosadení príslušných výrazov do rovnice roviny rezu dostanete A(x1+mt)+B(y1+nt)+C(z1+pt)+D=0. Určte t, dosaďte ho do rovníc pre M1M5 a zapíšte súradnice bodu Q(qx, qy, qz) (obr. 3).
Je zrejmé, že bod M5 má súradnice M5(x1+m, y1+n, z1+p). Smerový vektor pre priamku obsahujúcu hranu M5M8 sa zhoduje s M2M3=(x3-x2, y3-y2,z3-z2). Potom zopakujte predchádzajúce argumenty L(lx, ly, lz) (pozri obr. 4). Všetko ďalšie pre N(nx, ny, nz) je kópiou tohto kroku.
