Exponenciálne rovnice s rôznymi bázami. Riešenie exponenciálnych mocninových rovníc, algoritmov a príkladov

Belgorodská štátna univerzita

ODDELENIE algebra, teória čísel a geometria

Pracovná téma: Exponenciálne mocninné rovnice a nerovnice.

Absolventská prácaštudent fyzikálno-matematickej fakulty

Vedecký poradca:

______________________________

Recenzent: _________________________________

________________________

Belgorod. 2006

Úvod.

"...radosť vidieť a pochopiť..."

A. Einstein.

V tejto práci som sa snažil sprostredkovať svoje skúsenosti učiteľa matematiky, sprostredkovať aspoň do istej miery svoj postoj k jej vyučovaniu – ľudskému snaženiu, v ktorom sa prekvapivo prelínajú matematické vedy, pedagogika, didaktika, psychológia, ba aj filozofia.

Mal som možnosť pracovať s deťmi a absolventmi, s deťmi stojacimi pri stĺpoch intelektuálny rozvoj: tí, ktorí boli registrovaní u psychiatra a ktorí sa skutočne zaujímali o matematiku

Mal som možnosť riešiť mnohé metodické problémy. Pokúsim sa porozprávať o tých, ktoré sa mi podarilo vyriešiť. Ale ešte viac zlyhalo a aj v tých, ktoré sa zdajú byť vyriešené, vyvstávajú nové otázky.

Ale ešte dôležitejšie ako samotná skúsenosť sú učiteľove úvahy a pochybnosti: prečo je to práve takto, táto skúsenosť?

A leto je teraz iné a vývoj vzdelávania sa stal zaujímavejším. „Pod Jupitermi“ dnes nie je hľadaním mýtického optimálneho systému výučby „všetkých a všetkého“, ale samotného dieťaťa. Ale potom - z nutnosti - učiteľ.

IN školský kurz algebra a začiatok analýzy, ročníky 10 - 11, pri absolvovaní jednotnej štátnej skúšky z predmetu stredná škola a na prijímacích skúškach na vysoké školy sú rovnice a nerovnice obsahujúce neznámu v základe a exponenty - to sú exponenciálne rovnice a nerovnice.

V škole sa im venuje málo pozornosti, v učebniciach prakticky neexistujú žiadne úlohy na túto tému. Zvládnuť metodiku ich riešenia sa mi však zdá veľmi užitočné: zvyšuje duševné a tvorivé schopnosti žiakov a otvárajú sa pred nami úplne nové obzory. Pri riešení úloh žiaci získavajú prvé zručnosti výskumná práca, ich matematická kultúra je obohatená, ich schopnosti logické myslenie. U školákov sa rozvíjajú také osobnostné vlastnosti, ako je rozhodnosť, stanovovanie cieľov a samostatnosť, ktoré sa im budú hodiť v neskoršom živote. A tiež dochádza k opakovaniu, rozširovaniu a hlbokej asimilácii vzdelávacieho materiálu.

Začal som pracovať na tejto téme pre svoju diplomovú prácu písaním mojej ročníkovej práce. Počas toho, ako som do hĺbky študoval a analyzoval matematickú literatúru na túto tému, som identifikoval najvhodnejšiu metódu riešenia exponenciálnych rovníc a nerovníc.

Spočíva v tom, že okrem všeobecne akceptovaného prístupu pri riešení exponenciálnych rovníc (základ sa berie väčší ako 0) a pri riešení rovnakých nerovníc (základ sa berie väčší ako 1 alebo väčší ako 0, ale menší ako 1) , zohľadňujú sa aj prípady, keď sú základy záporné, rovné 0 a 1.

Analýza písomných skúšok študentov ukazuje, že nedostatočné pokrytie otázky záporná hodnota argument exponenciálnej funkcie v školských učebniciach im spôsobuje množstvo ťažkostí a vedie k chybám. A tiež majú problémy v štádiu systematizácie získaných výsledkov, kde sa v dôsledku prechodu na rovnicu - dôsledok alebo nerovnosť - dôsledok môžu objaviť cudzie korene. Na odstránenie chýb používame test s pôvodnou rovnicou alebo nerovnicou a algoritmus na riešenie exponenciálnych rovníc, prípadne plán na riešenie exponenciálnych nerovníc.

Na to, aby študenti úspešne zvládli záverečné a prijímacie skúšky, je podľa mňa potrebné venovať väčšiu pozornosť riešeniu exponenciálnych rovníc a nerovníc na vyučovacích hodinách, prípadne doplnkovo ​​na výberových predmetoch a krúžkoch.

Teda predmet , moja diplomovej práce je definovaná takto: „Rovnice a nerovnosti exponenciálnej moci“.

Ciele tejto práce sú:

1. Analyzujte literatúru na túto tému.

2. Uveďte úplný rozbor riešenia exponenciálnych rovníc a nerovníc.

3. Uveďte dostatočný počet príkladov rôznych typov na túto tému.

4. Overte si na triednych, výberových a klubových hodinách, ako budú vnímané navrhované metódy riešenia exponenciálnych rovníc a nerovníc. Poskytnite vhodné odporúčania na štúdium tejto témy.

Predmet Naším výskumom je vyvinúť metodológiu riešenia exponenciálnych rovníc a nerovníc.

Účel a predmet štúdie si vyžadoval riešenie nasledujúcich problémov:

1. Preštudujte si literatúru na tému: „Rovnice a nerovnice exponenciálnej mocniny“.

2. Ovládať techniky riešenia exponenciálnych rovníc a nerovníc.

3. Vyberte školiaci materiál a vytvorte systém cvičení na rôznych úrovniach na tému: „Riešenie exponenciálnych rovníc a nerovníc“.

Počas výskumu diplomovej práce bolo viac ako 20 prác venovaných využitiu rôzne metódy riešenie exponenciálnych rovníc a nerovníc. Odtiaľto sa dostaneme.

Plán diplomovej práce:

Úvod.

Kapitola I. Analýza literatúry k výskumnej téme.

Kapitola II. Funkcie a ich vlastnosti používané pri riešení exponenciálnych rovníc a nerovníc.

II.1. Mocninná funkcia a jej vlastnosti.

II.2. Exponenciálna funkcia a jej vlastnosti.

Kapitola III. Riešenie exponenciálnych mocninových rovníc, algoritmus a príklady.

Kapitola IV. Riešenie exponenciálnych nerovností, plán riešenia a príklady.

Kapitola V. Skúsenosti s vedením vyučovania so školákmi na túto tému.

1.Tréningový materiál.

2.Úlohy na samostatné riešenie.

Záver. Závery a ponuky.

Zoznam použitej literatúry.

Kapitola I analyzuje literatúru

V tejto lekcii sa pozrieme na riešenie zložitejších exponenciálnych rovníc, pripomenieme si základné teoretické princípy týkajúce sa exponenciálna funkcia.

1. Definícia a vlastnosti exponenciálnej funkcie, metódy riešenia najjednoduchších exponenciálnych rovníc

Pripomeňme si definíciu a základné vlastnosti exponenciálnej funkcie. Na týchto vlastnostiach je založené riešenie všetkých exponenciálnych rovníc a nerovníc.

Exponenciálna funkcia je funkciou tvaru , kde základ je stupeň a x je nezávislá premenná, argument; y je závislá premenná, funkcia.

Ryža. 1. Graf exponenciálnej funkcie

Graf ukazuje rastúce a klesajúce exponenty, ktoré ilustrujú exponenciálnu funkciu so základňou väčšou ako jedna a menšou ako jedna, ale väčšou ako nula.

Obe krivky prechádzajú bodom (0;1)

Vlastnosti exponenciálnej funkcie:

Doména: ;

Rozsah hodnôt: ;

Funkcia je monotónna, rastie s, klesá s.

Monotónna funkcia preberá každú z jej hodnôt s jednou hodnotou argumentu.

Keď sa argument zvýši z mínus na plus nekonečno, funkcia sa zvýši z nuly vrátane na plus nekonečno. Naopak, keď sa argument zvýši z mínus do plus nekonečna, funkcia sa zníži z nekonečna na nulu, nie vrátane.

2. Riešenie štandardných exponenciálnych rovníc

Pripomeňme si, ako riešiť najjednoduchšie exponenciálne rovnice. Ich riešenie je založené na monotónnosti exponenciálnej funkcie. Takmer všetky zložité exponenciálne rovnice možno redukovať na takéto rovnice.

Rovnosť exponentov pri na rovnakom základe vďaka vlastnosti exponenciálnej funkcie, a to jej monotónnosti.

Spôsob riešenia:

Vyrovnajte základy stupňov;

Vyrovnajte exponenty.

Prejdime k zložitejším exponenciálnym rovniciam, naším cieľom je zredukovať každú z nich na najjednoduchšie.

Zbavme sa koreňa na ľavej strane a privedieme stupne na rovnakú základňu:

Aby sa zložitá exponenciálna rovnica zredukovala na najjednoduchšiu, často sa používa substitúcia premenných.

Použime vlastnosť sily:

Predstavujeme náhradu. Nech je to potom

Vynásobme výslednú rovnicu dvoma a presuňte všetky členy na ľavú stranu:

Prvý koreň nevyhovuje rozsahu hodnôt y, preto ho zahodíme. Dostaneme:

Znížime stupne na rovnaký ukazovateľ:

Predstavme si náhradu:

Nech je to potom . Pri takejto náhrade je zrejmé, že y nadobúda striktne kladné hodnoty. Dostaneme:

Vieme, ako riešiť takéto kvadratické rovnice, odpoveď si môžeme zapísať:

Aby ste sa uistili, že korene sú nájdené správne, môžete skontrolovať pomocou Vietovej vety, t. j. nájsť súčet koreňov a ich súčin a porovnať ich so zodpovedajúcimi koeficientmi rovnice.

Dostaneme:

3. Metodika riešenia homogénnych exponenciálnych rovníc druhého stupňa

Preštudujme si nasledovné dôležitý typ exponenciálne rovnice:

Rovnice tohto typu sa nazývajú homogénne druhého stupňa vzhľadom na funkcie f a g. Na jeho ľavej strane je štvorcová trojčlenka vzhľadom na f s parametrom g alebo štvorcová trojčlenka vzhľadom na g s parametrom f.

Spôsob riešenia:

Táto rovnica môže byť vyriešená ako kvadratická rovnica, ale je jednoduchšie to urobiť inak. Je potrebné zvážiť dva prípady:

V prvom prípade dostaneme

V druhom prípade máme právo deliť najvyšším stupňom a získať:

Je potrebné zaviesť zmenu premenných, získame kvadratickú rovnicu pre y:

Všimnime si, že funkcie f a g môžu byť ľubovoľné, ale nás zaujíma prípad, keď ide o exponenciálne funkcie.

4. Príklady riešenia homogénnych rovníc

Presuňme všetky výrazy na ľavú stranu rovnice:

Keďže exponenciálne funkcie nadobúdajú striktne kladné hodnoty, máme právo okamžite rozdeliť rovnicu číslom , bez toho, aby sme brali do úvahy prípad, keď:

Dostaneme:

Predstavme si náhradu: (podľa vlastností exponenciálnej funkcie)

Dostali sme kvadratickú rovnicu:

Korene určujeme pomocou Vietovej vety:

Prvý koreň nespĺňa rozsah hodnôt y, zahodíme ho, dostaneme:

Využime vlastnosti stupňov a zredukujme všetky stupne na jednoduché základy:

Je ľahké si všimnúť funkcie f a g:

Keďže exponenciálne funkcie nadobúdajú striktne kladné hodnoty, máme právo rovnicu okamžite deliť , bez toho, aby sme brali do úvahy prípad, keď .

Riešenie exponenciálnych rovníc. Príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo sa stalo exponenciálna rovnica? Toto je rovnica, v ktorej sú neznáme (x) a výrazy s nimi ukazovatele niektoré stupne. A len tam! To je dôležité.

Tak tu si príklady exponenciálnych rovníc:

3 x 2 x = 8 x + 3

Poznámka! V základoch stupňov (nižšie) - iba čísla. IN ukazovatele stupne (vyššie) - široká škála výrazov s X. Ak sa zrazu v rovnici objaví X niekde inde ako indikátor, napríklad:

toto už bude rovnica zmiešaného typu. Takéto rovnice nemajú jasné pravidlá na ich riešenie. Zatiaľ ich nebudeme zvažovať. Tu sa budeme zaoberať riešenie exponenciálnych rovníc vo svojej najčistejšej forme.

V skutočnosti ani čisté exponenciálne rovnice nie sú vždy vyriešené jasne. Existujú však určité typy exponenciálnych rovníc, ktoré sa dajú a mali by vyriešiť. Toto sú typy, ktoré zvážime.

Riešenie jednoduchých exponenciálnych rovníc.

Najprv poďme vyriešiť niečo úplne základné. Napríklad:

Aj bez akýchkoľvek teórií je jednoduchým výberom jasné, že x = 2. Nič viac, však!? Žiadna iná hodnota X nefunguje. Teraz sa pozrime na riešenie tejto zložitej exponenciálnej rovnice:

čo sme urobili? Vlastne sme to len vyhodili rovnaké dôvody(trojky). Úplne vyhodený. A dobrá správa je, že sme trafili klinec po hlavičke!

V skutočnosti, ak v exponenciálnej rovnici existujú ľavé a pravé rovnakýčísla v ľubovoľných mocninách, tieto čísla možno odstrániť a exponenty vyrovnať. Matematika umožňuje. Zostáva vyriešiť oveľa jednoduchšiu rovnicu. Skvelé, však?)

Pamätajme však pevne: Základy môžete odstrániť iba vtedy, keď sú čísla základne vľavo a vpravo v nádhernej izolácii! Bez akýchkoľvek susedov a koeficientov. Povedzme v rovniciach:

2 x +2 x+1 = 2 3, príp

dvojky sa nedajú odstrániť!

No to najdôležitejšie sme zvládli. Ako prejsť od zlých exponenciálnych výrazov k jednoduchším rovniciam.

"To sú časy!" - ty hovoríš. "Kto by dal také primitívne lekcie o testoch a skúškach?"

musim suhlasit. Nikto to nedá. Teraz však viete, kam sa zamerať pri riešení zložitých príkladov. Je potrebné uviesť do formulára, kde je vľavo aj vpravo rovnaké základné číslo. Potom bude všetko jednoduchšie. V skutočnosti je to klasika matematiky. Zoberieme pôvodný príklad a transformujeme ho na požadovaný nás myseľ. Podľa pravidiel matematiky, samozrejme.

Pozrime sa na príklady, ktoré si vyžadujú ďalšie úsilie na ich redukciu na najjednoduchšie. Zavolajme im jednoduché exponenciálne rovnice.

Riešenie jednoduchých exponenciálnych rovníc. Príklady.

Pri riešení exponenciálnych rovníc sú hlavné pravidlá akcie s titulmi. Bez znalosti týchto akcií nebude nič fungovať.

K činom s titulmi treba pridať osobný postreh a vynaliezavosť. Potrebujeme rovnaké základné čísla? V príklade ich teda hľadáme v explicitnej alebo zašifrovanej forme.

Pozrime sa, ako sa to robí v praxi?

Uveďme si príklad:

2 2x - 8x+1 = 0

Prvý pozorný pohľad je na dôvodov. Oni... Sú iní! Dva a osem. Ale je príliš skoro na to, aby sme sa nechali odradiť. Je načase si to pripomenúť

Dva a osem sú príbuzní v stupni.) Je celkom možné napísať:

8 x + 1 = (2 3) x + 1

Ak si spomenieme na vzorec z operácií so stupňami:

(a n) m = a nm,

toto ide super:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Pôvodný príklad začal vyzerať takto:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Prenášame 2 3 (x+1) doprava (nikto nezrušil základné operácie matematiky!), dostaneme:

2 2x = 2 3(x+1)

To je prakticky všetko. Odstránenie základov:

Vyriešime toto monštrum a dostaneme

Toto je správna odpoveď.

V tomto príklade nám pomohlo poznať sily dvoch. my identifikované v osmičke je zašifrovaná dvojka. Táto technika (šifrovanie spoločných dôvodov pod rôzne čísla) je veľmi populárna technika v exponenciálnych rovniciach! Áno, a tiež v logaritmoch. Musíte byť schopní rozpoznať mocniny iných čísel v číslach. To je mimoriadne dôležité pre riešenie exponenciálnych rovníc.

Faktom je, že zvýšiť akékoľvek číslo na akúkoľvek moc nie je problém. Vynásobte, dokonca aj na papieri, a je to. Napríklad, ktokoľvek môže zvýšiť 3 na piatu mocninu. 243 vyjde, ak poznáte tabuľku násobenia.) Ale v exponenciálnych rovniciach oveľa častejšie nie je potrebné zvyšovať na mocninu, ale naopak... Zistite, aké číslo do akej miery sa skrýva za číslom 243, alebo povedzme 343... Tu vám nepomôže žiadna kalkulačka.

Treba vedieť mocniny niektorých čísel zrakom, nie... Poďme si zacvičiť?

Určte, aké mocniny a aké čísla sú čísla:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpovede (samozrejme v neporiadku!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť zvláštnu skutočnosť. Odpovedí je podstatne viac ako úloh! No, stáva sa... Napríklad 2 6, 4 3, 8 2 - to je všetko 64.

Predpokladajme, že ste si všimli informácie o znalosti čísel.) Pripomínam tiež, že na riešenie exponenciálnych rovníc používame všetky zásoba matematických vedomostí. Vrátane tých z juniorskej a strednej triedy. Nešiel si rovno na strednú školu, však?)

Napríklad pri riešení exponenciálnych rovníc často pomáha vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek (ahoj 7. ročník!). Pozrime sa na príklad:

3 2x+4 -119x = 210

A opäť, prvý pohľad smeruje k základom! Základy stupňov sú rôzne... Tri a deväť. A chceme, aby boli rovnaké. No, v tomto prípade je túžba úplne splnená!) Pretože:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Použitie rovnakých pravidiel na zaobchádzanie s titulmi:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

To je skvelé, môžete si to zapísať:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Z rovnakých dôvodov sme uviedli príklad. Takže, čo bude ďalej!? Nemôžeš vyhodiť trojky... Slepá ulička?

Vôbec nie. Pamätajte na najuniverzálnejšie a najsilnejšie rozhodovacie pravidlo každý matematické úlohy:

Ak neviete, čo potrebujete, urobte, čo môžete!

Pozri, všetko bude fungovať).

Čo je v tejto exponenciálnej rovnici Môcť robiť? Áno, na ľavej strane si to žiada vytiahnuť zo zátvoriek! Celkový multiplikátor 3 2x tomu jasne napovedá. Skúsme a potom uvidíme:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Príklad je stále lepší a lepší!

Pamätáme si, že na odstránenie dôvodov potrebujeme čistý stupeň bez akýchkoľvek koeficientov. Trápi nás číslo 70. Takže obe strany rovnice vydelíme 70, dostaneme:

Ojoj! Všetko sa zlepšilo!

Toto je konečná odpoveď.

Stáva sa však, že sa dosiahne rolovanie na rovnakom základe, ale ich eliminácia nie je možná. To sa deje v iných typoch exponenciálnych rovníc. Osvojme si tento typ.

Nahradenie premennej pri riešení exponenciálnych rovníc. Príklady.

Poďme vyriešiť rovnicu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Najprv - ako obvykle. Prejdime k jednej základni. Na dvojku.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dostaneme rovnicu:

2 2x - 3 2x +2 = 0

A tu visíme. Predchádzajúce techniky nebudú fungovať, bez ohľadu na to, ako sa na to pozeráte. Budeme musieť z nášho arzenálu vytiahnuť ďalšiu účinnú a univerzálnu metódu. Volá sa variabilná náhrada.

Podstata metódy je prekvapivo jednoduchá. Namiesto jednej zložitej ikony (v našom prípade - 2 x) napíšeme inú, jednoduchšiu (napríklad - t). Takáto zdanlivo nezmyselná náhrada vedie k úžasným výsledkom!) Všetko sa stáva jasným a zrozumiteľným!

Tak nech

Potom 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2

V našej rovnici nahradíme všetky mocniny x za t:

No, svitá ti to?) Kvadratické rovnice už si zabudol? Riešením cez diskriminant dostaneme:

Hlavná vec je nezastaviť sa, ako sa to stáva... Toto ešte nie je odpoveď, potrebujeme x, nie t. Vráťme sa k X, t.j. robíme spätnú výmenu. Najprv pre t 1:

teda

Našiel sa jeden koreň. Hľadáme druhého z t 2:

Hm... 2 x vľavo, 1 vpravo... Problém? Vôbec nie! Stačí si zapamätať (z operácií s mocnosťami áno...), že jednotka je akýkoľvekčíslo na nulovú mocninu. Akýkoľvek. Čokoľvek je potrebné, nainštalujeme. Potrebujeme dvojku. znamená:

To je teraz všetko. Máme 2 korene:

Toto je odpoveď.

O riešenie exponenciálnych rovníc na konci niekedy skončíte s nejakým trápnym výrazom. Typ:

Od siedmej do druhej jednoduchý stupeň nefunguje. Nie sú príbuzní... Ako môžeme byť? Niekto môže byť zmätený... Ale ten, kto si na tejto stránke prečítal tému „Čo je to logaritmus?“ , len sa striedmo usmievaj a píš pevnou rukouúplne správna odpoveď:

Takáto odpoveď nemôže byť v úlohách „B“ na jednotnej štátnej skúške. Vyžaduje sa tam konkrétne číslo. Ale v úlohách „C“ je to jednoduché.

Táto lekcia poskytuje príklady riešenia najbežnejších exponenciálnych rovníc. Zdôraznime hlavné body.

Praktické rady:

1. V prvom rade sa pozrieme na dôvodov stupňa. Zaujímalo by nás, či je možné ich vyrobiť identické. Skúsme to urobiť aktívnym používaním akcie s titulmi. Nezabudnite, že aj čísla bez x sa dajú previesť na mocniny!

2. Snažíme sa uviesť exponenciálnu rovnicu do tvaru, keď je vľavo a vpravo rovnakýčísla v akejkoľvek mocnine. Používame akcie s titulmi A faktorizácia.Čo sa dá spočítať na čísla, to spočítame.

3. Ak druhý tip nefunguje, skúste použiť variabilnú náhradu. Výsledkom môže byť rovnica, ktorá sa dá ľahko vyriešiť. Najčastejšie - štvorcový. Alebo zlomkové, ktoré sa tiež zmenší na štvorec.

4. Na úspešné vyriešenie exponenciálnych rovníc potrebujete poznať mocniny niektorých čísel zrakom.

Ako obvykle, na konci lekcie ste vyzvaní, aby ste sa trochu rozhodli.) Sami. Od jednoduchých po zložité.

Riešte exponenciálne rovnice:

Ťažšie:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Nájdite produkt koreňov:

2 3 + 2 x = 9

Stalo?

Dobre teda najkomplikovanejší príklad(rozhodnuté však v duchu...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Čo je zaujímavejšie? Potom je tu pre vás zlý príklad. Celkom lákavé pre zvýšenú náročnosť. Dovoľte mi naznačiť, že v tomto príklade vás zachráni vynaliezavosť a najuniverzálnejšie pravidlo na riešenie všetkých matematických problémov.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Jednoduchší príklad pre relaxáciu):

9 2 x - 4 3 x = 0

A na dezert. Nájdite súčet koreňov rovnice:

x 3 x - 9 x + 7 3 x - 63 = 0

Áno áno! Toto je rovnica zmiešaného typu! Čo sme v tejto lekcii nezohľadnili. Načo ich zvažovať, treba ich vyriešiť!) Táto lekcia úplne stačí na vyriešenie rovnice. No, potrebujete vynaliezavosť... A nech vám pomôže siedma trieda (toto je nápoveda!).

Odpovede (v neporiadku, oddelené bodkočiarkou):

1; 2; 3; 4; neexistujú žiadne riešenia; 2; -2; -5; 4; 0.

Je všetko úspešné? Skvelé.

Je tu problém? Žiaden problém! Špeciálna sekcia 555 rieši všetky tieto exponenciálne rovnice s podrobnými vysvetleniami. Čo, prečo a prečo. A samozrejme sú tu ďalšie cenné informácie o práci so všetkými druhmi exponenciálnych rovníc. Nielen tieto.)

Posledná zábavná otázka na zváženie. V tejto lekcii sme pracovali s exponenciálnymi rovnicami. Prečo som tu nepovedal ani slovo o ODZ? V rovniciach je to mimochodom veľmi dôležitá vec...

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Exponenciálne rovnice sú tie, v ktorých je neznáma obsiahnutá v exponente. Najjednoduchšia exponenciálna rovnica má tvar: a x = a b, kde a> 0, a 1, x je neznáma.

Hlavné vlastnosti mocnín, ktorými sa transformujú exponenciálne rovnice: a>0, b>0.

Pri riešení exponenciálnych rovníc sa využívajú aj tieto vlastnosti exponenciálnej funkcie: y = a x, a > 0, a1:

Na vyjadrenie čísla ako mocniny použite základ logaritmická identita: b =, a > 0, a1, b > 0.

Problémy a testy na tému "Exponenciálne rovnice"

• Exponenciálne rovnice

  Lekcie: 4 Zadania: 21 Testy: 1

• Exponenciálne rovnice - Dôležité témy pre opakovanie Jednotnej štátnej skúšky z matematiky

  Úlohy: 14

• Systémy exponenciálnych a logaritmických rovníc - Exponenciálne a logaritmické funkcie 11. stupeň

  Lekcie: 1 Zadania: 15 Testy: 1

• §2.1. Riešenie exponenciálnych rovníc

  Lekcie: 1 Úlohy: 27

• §7 Exponenciálne a logaritmické rovnice a nerovnice - Časť 5. Exponenciálne a logaritmické funkcie, stupeň 10

  Lekcie: 1 Úlohy: 17

Ak chcete úspešne vyriešiť exponenciálne rovnice, musíte poznať základné vlastnosti mocnin, vlastnosti exponenciálnej funkcie a základnú logaritmickú identitu.

Pri riešení exponenciálnych rovníc sa používajú dve hlavné metódy:

1. prechod z rovnice a f(x) = a g(x) na rovnicu f(x) = g(x);
2. zavedenie nových liniek.

Príklady.

1. Rovnice zredukované na najjednoduchšie. Riešia sa redukciou oboch strán rovnice na mocninu s rovnakým základom.

3 x = 9 x – 2 .

Riešenie:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

odpoveď: 4.

2. Rovnice vyriešené odstránením spoločného činiteľa zo zátvoriek.

Riešenie:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

odpoveď: 3.

3. Rovnice riešené pomocou zmeny premennej.

Riešenie:

2 2x + 2x – 12 = 0
Označujeme 2 x = y.
y2 + y – 12 = 0
yi = -4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Rovnica nemá riešenia, pretože 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log23; x = log 2 3.

odpoveď: denník 2 3.

4. Rovnice obsahujúce mocniny s dvoma rôznymi (na seba neredukovateľnými) bázami.

3 × 2 x + 1 – 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

odpoveď: 2.

5. Rovnice, ktoré sú homogénne vzhľadom na a x a b x.

Všeobecná forma: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x.

Riešenie:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Označme (3/2) x = y.
y 2 – 2,5 r + 1 = 0,
yi = 2; y2 = ½.

odpoveď: poleno 3/2 2; - denník 3/2 2.

Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Človek používal rovnice v staroveku a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. Mocninné alebo exponenciálne rovnice sú rovnice, v ktorých sú premenné v mocninách a základom je číslo. Napríklad:

Riešenie exponenciálnej rovnice pozostáva z 2 pomerne jednoduchých krokov:

1. Musíte skontrolovať, či sú základy rovnice vpravo a vľavo rovnaké. Ak dôvody nie sú rovnaké, hľadáme možnosti riešenia tohto príkladu.

2. Keď sa základy stanú rovnakými, zrovnáme stupne a vyriešime výslednú novú rovnicu.

Predpokladajme, že dostaneme exponenciálnu rovnicu nasledujúceho tvaru:

Riešenie tejto rovnice stojí za to začať analýzou základu. Základy sú rôzne - 2 a 4, ale na vyriešenie potrebujeme, aby boli rovnaké, preto transformujeme 4 pomocou nasledujúceho vzorca -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

K pôvodnej rovnici pridáme:

Vyberme to zo zátvoriek \

Vyjadrime \

Keďže stupne sú rovnaké, zahodíme ich:

Odpoveď: \

Kde môžem vyriešiť exponenciálnu rovnicu pomocou online riešiteľa?

Rovnicu môžete vyriešiť na našej webovej stránke https://site. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnice akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Všetko, čo musíte urobiť, je jednoducho zadať svoje údaje do riešiteľa. Na našej stránke si môžete pozrieť aj video návod a naučiť sa riešiť rovnicu. A ak máte stále otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridajte sa do našej skupiny, vždy vám radi pomôžeme.