Limita ohraničenej monotónnej postupnosti čísel. Weierstrassova veta o limite monotónnej postupnosti

Definícia: keby všetci n є N, vyhovujúce X n є N, potom to hovoria

formulár číselné podsekvencia.

- členov sekvencie

- všeobecný členom sekvencie

Zavedená definícia znamená, že každá postupnosť čísel musí byť nekonečná, ale neznamená, že všetky členy musia byť odlišné čísla.

Zvažuje sa postupnosť čísel daný, ak je určený zákon, podľa ktorého možno nájsť ktorýkoľvek člen postupnosti.

Členovia alebo sekvenčné prvky (1) očíslované všetkými prirodzenými číslami vo vzostupnom poradí. Pre n+1 > n-1 nasleduje člen (predchádza) člen, bez ohľadu na to, či je samotné číslo väčšie, menšie alebo dokonca rovné.

Definícia: Premenná x, ktorá nadobúda určitú postupnosť (1) hodnoty, my - po Meray (Ch. Meray) - zavoláme možnosť.

IN školský kurz Matematici dokážu nájsť premenné presne tohto typu, napríklad varianty.

Napríklad sekvencia ako

(aritmetický) alebo typ

(geometrická progresia)

Variabilný termín jednej alebo druhej progresie je možnosť.

V súvislosti s určovaním dĺžky kružnice sa zvyčajne uvažuje o obvode pravidelného mnohouholníka vpísaného do kruhu, získaného zo šesťuholníka postupným zdvojnásobovaním počtu strán. Táto možnosť má teda nasledujúcu postupnosť hodnôt:

Spomeňme aj desiatkovú aproximáciu (nevýhodou) so zvyšujúcou sa presnosťou. Vyžaduje si postupnosť hodnôt:

a tiež ponúka možnosť.

Premenná x, ktorá prechádza sekvenciou (1), sa často označuje ako, identifikuje ju s premenným („spoločným“) členom tejto postupnosti.

Niekedy je možnosť x n špecifikovaná priamym uvedením výrazu pre x n ; takže v prípade aritmetických resp geometrický postup máme x n =a+(n-1) d alebo x n = aq n-1. Pomocou tohto výrazu môžete okamžite vypočítať ľubovoľnú hodnotu variantu na základe jej daného čísla bez toho, aby ste museli počítať predchádzajúce hodnoty.

Pre obvod pravidelného vpísaného mnohouholníka je takéto všeobecné vyjadrenie možné len vtedy, ak sa zavedie číslo p; vo všeobecnosti je obvod p m pravidelného vpísaného m-uholníka daný vzorcom

Definícia 1: O postupnosti čísel (x n) sa hovorí, že je ohraničená nad (dole), ak také číslo existuje M (T), že pre ktorýkoľvek prvok tejto postupnosti existuje nerovnosť a volá sa číslo M (m). top (nižšie) hrana.

Definícia 2: Číselný rad (x n) sa nazýva ohraničený, ak je ohraničený nad aj pod, t.j. existujú M, m, také, že pre ľubovoľné

Označme A = max (|M|, |m|), potom je zrejmé, že číselná postupnosť bude ohraničená, ak pre ľubovoľnú platí rovnosť |x n |? A posledná nerovnosť je podmienkou ohraničenosti číselná postupnosť.

Definícia 3: volá sa číselná postupnosť nekonečne veľký postupnosť, ak pre ľubovoľné A>0, môžete zadať číslo N také, že pre všetky n>N platí ||>A.

Definícia 4: volá sa číselná postupnosť (b n). nekonečne malý postupnosť, ak pre ľubovoľné dané e > 0, môžete zadať číslo N(e) tak, že pre ľubovoľné n > N(e) nerovnosť | b n |< е.

Definícia 5: volá sa číselná postupnosť (x n). konvergentné, ak existuje číslo a také, že postupnosť (x n - a) je nekonečne malá postupnosť. Zároveň a- limit originálny číselné sekvencie.

Z tejto definície vyplýva, že všetky infinitezimálne postupnosti sú konvergentné a limita týchto postupností je 0.

Vzhľadom na to, že pojem konvergentnej postupnosti je spojený s pojmom infinitezimálna postupnosť, definícia konvergentnej postupnosti môže byť uvedená v inej forme:

Definícia 6: volá sa číselná postupnosť (x n). konvergentné k číslu a, ak pre ľubovoľne malé existuje taká, že pre všetky n > N je nerovnosť

a je limita postupnosti

Pretože je ekvivalentné, a to znamená príslušnosť k intervalu x n є (a - e; a+ e) alebo, ktorá je rovnaká, patrí do e - okolie bodu a. Potom môžeme uviesť inú definíciu konvergentnej postupnosti čísel.

Definícia 7: volá sa číselná postupnosť (x n). konvergentné, ak existuje bod a taký, že v akomkoľvek dostatočne malom e-okolí tohto bodu sú nejaké prvky tejto postupnosti, počnúc od nejakého čísla N.

Poznámka: podľa definícií (5) a (6), ak a je limita postupnosti (x n), potom x n - a je prvkom nekonečne malej postupnosti, t.j. x n - a = b n, kde b n je prvok nekonečne malej postupnosti. V dôsledku toho x n = a + b n a potom máme právo tvrdiť, že ak číselná postupnosť (x n) konverguje, potom môže byť vždy reprezentovaná ako súčet jej limity a prvku nekonečne malej postupnosti.

Platí aj opačné tvrdenie: ak ľubovoľný prvok postupnosti (x n) možno reprezentovať ako súčet konštantného čísla a prvku nekonečne malej postupnosti, potom je táto konštanta limit daný sekvencie.

Definícia 8. Postupnosť nie zvyšuje (nie klesá), ak pre.

Definícia 9. Postupnosť zvyšuje (zníženie), ak pre.

Definícia 10. Striktne rastúca alebo striktne klesajúca postupnosť sa nazýva monotónna postupnosť.

Je uvedený dôkaz Weierstrassovej vety o limite monotónnej postupnosti. Uvažujú sa prípady ohraničených a neohraničených postupností. Uvažuje sa o príklade, v ktorom je potrebné pomocou Weierstrassovej vety dokázať konvergenciu postupnosti a nájsť jej limitu.

Pozri tiež: Limity monotónnych funkcií

Akákoľvek monotónna ohraničená sekvencia (xn) má konečnú hranicu rovnajúcu sa presnej hornej hranici, sup(xn) pre neklesajúcu a presnú dolnú hranicu, inf(xn) pre nezvyšujúcu sa sekvenciu.
Akákoľvek monotónna neohraničená postupnosť má nekonečnú hranicu rovnajúcu sa plus nekonečnu pre neklesajúcu postupnosť a mínus nekonečno pre nerastúcu postupnosť.

Dôkaz

1) neklesajúca ohraničená postupnosť.

(1.1) .

Keďže postupnosť je ohraničená, má konečnú hornú hranicu
.
Znamená to, že:

• pre všetky n,
  (1.2) ;
• pre každé kladné číslo existuje číslo závislé od ε, takže
  (1.3) .

.
Tu sme tiež použili (1.3). V kombinácii s (1.2) nájdeme:
na .
Odvtedy
,
alebo
na .
Prvá časť vety bola dokázaná.

2) Nech je teraz poradie nerastúca ohraničená postupnosť:
(2.1) pre všetky n.

Keďže postupnosť je ohraničená, má konečnú dolnú hranicu
.
To znamená nasledovné:

• pre všetky n platia nasledujúce nerovnosti:
  (2.2) ;
• pre každé kladné číslo existuje číslo v závislosti od ε, pre ktoré
  (2.3) .

.
Tu sme tiež použili (2.3). Ak vezmeme do úvahy (2.2), zistíme:
na .
Odvtedy
,
alebo
na .
To znamená, že číslo je limitom postupnosti.
Druhá časť vety je dokázaná.

Teraz zvážte neobmedzené postupnosti.
3) Nech je postupnosť taká neobmedzená neklesajúca postupnosť.

Keďže postupnosť je neklesajúca, pre všetky n platia nasledujúce nerovnosti:
(3.1) .

Keďže postupnosť je neklesajúca a neohraničená, na pravej strane je neohraničená. Potom pre ľubovoľné číslo M existuje číslo v závislosti od M, pre ktoré
(3.2) .

Keďže postupnosť je neklesajúca, potom keď máme:
.
Tu sme tiež použili (3.2).

.
To znamená, že limit postupnosti je plus nekonečno:
.
Tretia časť vety je dokázaná.

4) Nakoniec zvážte prípad, kedy neohraničená nerastúca postupnosť.

Podobne ako v predchádzajúcom, pretože postupnosť sa nezvyšuje
(4.1) pre všetky n.

Keďže postupnosť je nerastúca a neohraničená, na ľavej strane je neohraničená. Potom pre ľubovoľné číslo M existuje číslo v závislosti od M, pre ktoré
(4.2) .

Keďže postupnosť sa nezvyšuje, potom keď máme:
.

Takže pre každé číslo M existuje také prirodzené číslo v závislosti od M tak, že pre všetky čísla platia nasledujúce nerovnosti:
.
To znamená, že limit postupnosti je mínus nekonečno:
.
Veta bola dokázaná.

Príklad riešenia problému

Všetky príklady Pomocou Weierstrassovej vety dokážte konvergenciu postupnosti:
, , . . . , , . . .
Potom nájdite jeho hranicu.

Predstavme si postupnosť vo forme opakujúcich sa vzorcov:
,
.

Dokážme, že daná postupnosť je ohraničená vyššie hodnotou
(P1) .
Dôkaz sa vykonáva metódou matematickej indukcie.
.
Nechaj .
.
Potom

Nerovnosť (A1) je dokázaná.
;
Dokážme, že postupnosť rastie monotónne. .
(P2)
.
Od , potom sú menovateľ zlomku a prvý činiteľ v čitateli kladné. Vzhľadom na obmedzenie členov postupnosti nerovnosťou (A1) je pozitívny aj druhý faktor. Preto

To znamená, že postupnosť sa prísne zvyšuje.

Keďže postupnosť je rastúca a ohraničená vyššie, je to ohraničená postupnosť. Preto má podľa Weierstrassovej vety limitu.
.
Poďme nájsť túto hranicu. Označme to:
.
Využime to
.
Aplikujme to na (A2) pomocou aritmetických vlastností limitov konvergentných postupností: