1. Definícia rovnobežníka.

Ak pretneme dvojicu rovnobežných priamok s ďalšou dvojicou rovnobežných priamok, dostaneme štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné v pároch.

V štvoruholníkoch ABDC a EFNM (obr. 224) ВD || AC a AB || CD;

EF || MN a EM || FN.

Štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné, sa nazýva rovnobežník.

2. Vlastnosti rovnobežníka.

Veta. Uhlopriečka rovnobežníka ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky.

Nech existuje rovnobežník ABDC (obr. 225), v ktorom AB || CD a AC || ВD.

Musíte dokázať, že uhlopriečka ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky.

Nakreslíme uhlopriečku CB v rovnobežníku ABDC. Dokážme, že \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.

Strana SV je spoločná pre tieto trojuholníky; ∠ABC = ∠BCD, ako vnútorné priečne uhly s rovnobežkami AB a CD a sečnicou CB; ∠ACB = ∠СВD, tiež ako vnútorné priečne uhly s paralelnými AC a BD a sečnovým CB.

Preto \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.

Rovnakým spôsobom sa dá dokázať, že uhlopriečka AD rozdelí rovnobežník na dva rovnaké trojuholníky ACD a ABD.

Dôsledky:

1 . Opačné uhly rovnobežníka sú si navzájom rovné.

∠A = ∠D, to vyplýva z rovnosti trojuholníkov CAB a CDB.

Podobne ∠C = ∠B.

2. Opačné strany rovnobežníka sú si navzájom rovné.

AB = CD a AC = BD, pretože sú to strany rovnakých trojuholníkov a ležia oproti rovnakým uhlom.

Veta 2. Uhlopriečky rovnobežníka sú rozdelené na polovicu v bode ich priesečníka.

Nech BC a AD sú uhlopriečky rovnobežníka ABC (obr. 226). Dokážme, že AO = OD a CO = OB.

Ak to chcete urobiť, porovnajte pár opačne umiestnených trojuholníkov, napríklad \(\Delta\)AOB a \(\Delta\)СOD.

V týchto trojuholníkoch AB = CD, ako protiľahlé strany rovnobežníka;

∠1 = ∠2, ako vnútorné uhly ležiace priečne s rovnobežkami AB a CD a sečnicou AD;

∠3 = ∠4 z rovnakého dôvodu, pretože AB || CD a SV sú ich sekány.

Z toho vyplýva, že \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СOD. A v rovnakých trojuholníkoch ležia rovnaké strany oproti rovnakým uhlom. Preto AO = OD a CO = OB.

Veta 3. Súčet uhlov susediacich s jednou stranou rovnobežníka sa rovná 180°.

Do rovnobežníka ABCD nakreslíme uhlopriečku AC a dostaneme dva trojuholníky ABC a ADC.

Trojuholníky sú rovnaké, pretože ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (uhly kríženia pre rovnobežné čiary) a strana AC je spoločná.
Z rovnosti \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC vyplýva, že AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Súčet uhlov susediacich s jednou stranou, napríklad uhlov A a D, sa rovná 180° ako jednostranné uhly pre rovnobežné čiary.

Zhrnutie lekcie.

Algebra 8. ročník

Učiteľ Sysoy A.K.

Škola 1828

Téma lekcie: „Paralelogram a jeho vlastnosti“

Typ lekcie: kombinovaná

Ciele lekcie:

1) Zabezpečiť asimiláciu nového konceptu - rovnobežníka a jeho vlastností

2) Pokračovať v rozvíjaní zručností a schopností riešiť geometrické problémy;

3) Rozvoj kultúry matematickej reči

Plán lekcie:

1. Organizačný moment

(Snímka 1)

Snímka zobrazuje vyhlásenie Lewisa Carrolla. Žiaci sú informovaní o cieli vyučovacej hodiny. Kontroluje sa pripravenosť žiakov na vyučovaciu hodinu.

2. Aktualizácia vedomostí

(Snímka 2)

Na tabuli sú úlohy na ústnu prácu. Učiteľ vyzve žiakov, aby sa nad týmito problémami zamysleli a zdvihli ruky k tým, ktorí rozumejú, ako problém vyriešiť. Po vyriešení dvoch úloh je k tabuli zavolaný študent na dôkaz vety o súčte uhlov, ktorý samostatne zhotovuje na výkrese ďalšie konštrukcie a vetu dokazuje ústne.

Študenti používajú vzorec pre súčet uhlov mnohouholníka:

3. Hlavná časť

(Snímka 3)

Definícia rovnobežníka na doske. Učiteľ hovorí o novej postave a sformuluje definíciu, pričom pomocou kresby urobí potrebné vysvetlenia. Potom na kockovanej časti prezentácie pomocou značky a pravítka ukazuje, ako nakresliť rovnobežník (možných je niekoľko prípadov)

(Snímka 4)

Učiteľ sformuluje prvú vlastnosť rovnobežníka. Vyzýva študentov, aby z kresby povedali, čo je dané a čo treba dokázať. Potom sa zadaná úloha objaví na tabuli. Žiaci hádajú (možno s pomocou učiteľa), že požadované rovnosti treba dokázať pomocou rovnosti trojuholníkov, ktoré možno získať nakreslením uhlopriečky (na tabuli sa objaví uhlopriečka). Ďalej žiaci hádajú, prečo sú trojuholníky rovnaké, a pomenujú znamenie, že trojuholníky sa rovnajú (objaví sa zodpovedajúci tvar). Slovne oznamujú skutočnosti, ktoré sú potrebné na to, aby sa trojuholníky zrovnali (ako ich pomenujú, objaví sa zodpovedajúca vizualizácia). Ďalej študenti formulujú vlastnosť zhodných trojuholníkov, ktorá sa objaví ako bod 3 dôkazu, a potom samostatne ústne dokončia dôkaz vety.

(Snímka 5)

Učiteľ formuluje druhú vlastnosť rovnobežníka. Na doske sa objaví nákres rovnobežníka. Učiteľ navrhuje použiť obrázok, aby povedal, čo je dané a čo treba dokázať. Potom, čo študenti správne nahlásia, čo je dané a čo treba dokázať, objaví sa podmienka vety. Študenti hádajú, že rovnosť častí uhlopriečok sa dá dokázať pomocou rovnosti trojuholníkovAOB A C.O.D.. Pomocou predchádzajúcej vlastnosti rovnobežníka sa dá uhádnuť, že strany sú rovnakéAB A CD. Potom pochopia, že musia nájsť rovnaké uhly a pomocou vlastností rovnobežných čiar dokázať rovnosť uhlov susediacich s rovnakými stranami. Tieto fázy sú vizualizované na snímke. Pravdivosť vety vyplýva z rovnosti trojuholníkov – žiaci ju povedia a na snímke sa objaví zodpovedajúca vizualizácia.

(Snímka 6)

Učiteľ sformuluje tretiu vlastnosť rovnobežníka. V závislosti od času zostávajúceho do konca vyučovacej hodiny môže učiteľ dať žiakom možnosť samostatne preukázať túto vlastnosť, alebo sa obmedziť na jej formuláciu a samotné dokazovanie ponechať na žiakoch ako domáce úlohy. Dôkaz môže byť založený na súčte uhlov vpísaného mnohouholníka, ktorý sa opakoval na začiatku hodiny, alebo na súčte vnútorných jednostranných uhlov dvoch rovnobežných čiar.AD A B.C., a sekanta, napríkladAB.

4. Upevnenie materiálu

V tejto fáze študenti používajú predtým naučené vety na riešenie problémov. Študenti si samostatne vyberajú nápady na riešenie problému. Pretože možné možnosti Dizajnu je veľa a všetko závisí od toho, ako budú študenti hľadať riešenie problému, chýba vizualizácia riešenia problémov a študenti samostatne zostavujú každú fázu riešenia na samostatnú tabuľu s zapísanie riešenia do zošita.

(Snímka 7)

Zobrazí sa stav úlohy. Učiteľ navrhuje formulovať „Dané“ podľa stavu. Keď študenti správne zapíšu krátke vyjadrenie podmienky, na tabuli sa objaví „Given“. Proces riešenia problému môže vyzerať takto:

Nakreslíme výšku BH (vizualizovanú)

Trojuholník AHB je pravouhlý trojuholník. Uhol A sa rovná uhlu C a rovná sa 30 0 (podľa vlastnosti opačných uhlov v rovnobežníku). 2BH =AB (vlastnosťou nohy ležiacej oproti uhlu 30 0 v pravouhlom trojuholníku). Takže AB = 13 cm.

AB = CD, BC = AD (podľa vlastnosti protiľahlých strán v rovnobežníku) Takže AB = CD = 13 cm. Keďže obvod rovnobežníka je 50 cm, potom BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 cm.

odpoveď: AB = CD = 13 cm, BC = AD = 12 cm.

(Snímka 8)

Zobrazí sa stav úlohy. Učiteľ navrhuje formulovať „Dané“ podľa stavu. Potom sa na obrazovke objaví „Given“. Pomocou červených čiar sa zvýrazní štvoruholník, o ktorom musíte dokázať, že ide o rovnobežník. Proces riešenia problému môže vyzerať takto:

Pretože BK a MD sú kolmé na jednu priamku, potom sú priamky BK a MD rovnobežné.

Prostredníctvom susedných uhlov možno ukázať, že súčet vnútorných jednostranných uhlov na priamkach BM a KD a sečnice MD sa rovná 180 0. Preto sú tieto čiary rovnobežné.

Keďže štvoruholník BMDK má opačné strany rovnobežné v pároch, potom je tento štvoruholník rovnobežník.

5. Koniec vyučovacej hodiny. Správanie výsledkov.

(Snímka 8)

Na snímke sa objavia otázky nová téma, na ktoré žiaci reagujú.

Rovnako ako v euklidovskej geometrii sú bod a priamka hlavnými prvkami teórie rovín, aj rovnobežník je jedným z kľúčových útvarov konvexných štvoruholníkov. Z nej, ako vlákna z lopty, prúdia pojmy „obdĺžnik“, „štvorec“, „kosoštvorec“ a iné geometrické veličiny.

Definícia rovnobežníka

konvexný štvoruholník, pozostávajúci z úsečiek, z ktorých každý pár je rovnobežný, je v geometrii známy ako rovnobežník.

Ako vyzerá klasický rovnobežník, znázorňuje štvoruholník ABCD. Strany sa nazývajú základne (AB, BC, CD a AD), kolmica vedená z ktoréhokoľvek vrcholu na stranu protiľahlú tomuto vrcholu sa nazýva výška (BE a BF), čiary AC a BD sa nazývajú uhlopriečky.

Pozor!Štvorec, kosoštvorec a obdĺžnik sú špeciálne prípady rovnobežníka.

Strany a uhly: znaky vzťahu

Kľúčové vlastnosti podľa celkovo,vopred určené samotným označením, sú dokázané teorémou. Tieto vlastnosti sú nasledovné:

Protiľahlé strany sú v pároch identické.
Uhly oproti sebe sú v pároch rovnaké.

Dôkaz: Uvažujme ∆ABC a ∆ADC, ktoré sa získajú delením štvoruholníka ABCD priamkou AC. ∠BCA=∠CAD a ∠BAC=∠ACD, pretože AC je pre nich spoločný (vertikálne uhly pre BC||AD a AB||CD, v tomto poradí). Z toho vyplýva: ∆ABC = ∆ADC (druhé znamienko rovnosti trojuholníkov).

Segmenty AB a BC v ∆ABC zodpovedajú v pároch čiaram CD a AD v ∆ADC, čo znamená, že sú totožné: AB = CD, BC = AD. ∠B teda zodpovedá ∠D a sú rovnaké. Keďže ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ktoré sú tiež párovo identické, potom ∠A = ∠C. Nehnuteľnosť bola preukázaná.

Charakteristika uhlopriečok postavy

Hlavná vlastnosť týchto čiar rovnobežníka: priesečník ich rozdeľuje na polovicu.

Dôkaz: Nech je to priesečník uhlopriečok AC a BD na obrázku ABCD. Tvoria dva úmerné trojuholníky – ∆ABE a ∆CDE.

AB=CD, pretože sú protiklady. Podľa čiar a sekánov ∠ABE = ∠CDE a ∠BAE = ∠DCE.

Podľa druhého kritéria rovnosti ∆ABE = ∆CDE. To znamená, že prvky ∆ABE a ∆CDE: AE = CE, BE = DE a zároveň sú pomernými časťami AC a BD. Nehnuteľnosť bola preukázaná.

Vlastnosti susedných rohov

U priľahlé strany súčet uhlov je 180°, pretože ležia na rovnakej strane rovnobežných čiar a priečnych. Pre štvoruholník ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Vlastnosti osi:

, spustené na jednu stranu, sú kolmé;
protiľahlé vrcholy majú rovnobežné osi;
trojuholník získaný nakreslením osi bude rovnoramenný.

Určenie charakteristických znakov rovnobežníka pomocou vety

Charakteristika tohto obrázku vyplýva z jeho hlavnej vety, ktorá hovorí nasledovné: štvoruholník sa považuje za rovnobežník v prípade, že sa jej uhlopriečky pretínajú a tento bod ich rozdeľuje na rovnaké segmenty.

Dôkaz: nech sa priamky AC a BD štvoruholníka ABCD pretínajú v t.j. Pretože ∠AED = ∠BEC a AE+CE=AC BE+DE=BD, potom ∆AED = ∆BEC (podľa prvého kritéria rovnosti trojuholníkov). To znamená, že ∠EAD = ∠ECB. Sú to tiež vnútorné priečne uhly sečnice AC pre čiary AD a BC. Teda podľa definície paralelizmu - AD || B.C. Odvodená je aj podobná vlastnosť línií BC a CD. Veta bola dokázaná.

Výpočet plochy postavy

Oblasť tohto obrázku nájsť niekoľkými metódami jeden z najjednoduchších: vynásobenie výšky a základne, do ktorej je nakreslený.

Dôkaz: nakreslite kolmice BE a CF z vrcholov B a C. ∆ABE a ∆DCF sú rovnaké, pretože AB = CD a BE = CF. ABCD sa veľkosťou rovná obdĺžniku EBCF, pretože pozostáva z príslušných čísel: S ABE a S EBCD, ako aj S DCF a S EBCD. Z toho vyplýva, že oblasť tohto geometrický obrazec sa nachádza rovnakým spôsobom ako obdĺžnik:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Na určenie všeobecného vzorca pre oblasť rovnobežníka označme výšku ako hb a strana - b. Respektíve:

Iné spôsoby, ako nájsť oblasť

Výpočty plôch cez strany rovnobežníka a uhla, ktorý tvoria, je druhou známou metódou.

Spr-ma - plocha;

a a b sú jeho strany

α je uhol medzi segmentmi a a b.

Táto metóda je prakticky založená na prvej, ale v prípade, že nie je známa. vždy odreže pravouhlý trojuholník, ktorého parametre sú trigonometrické identity, teda . Transformáciou vzťahu dostaneme . V rovnici prvej metódy nahradíme výšku týmto súčinom a získame dôkaz o platnosti tohto vzorca.

Cez uhlopriečky rovnobežníka a uhla, ktoré vytvárajú, keď sa pretínajú, môžete nájsť aj oblasť.

Dôkaz: AC a BD sa pretínajú a vytvárajú štyri trojuholníky: ABE, BEC, CDE a AED. Ich súčet sa rovná ploche tohto štvoruholníka.

Plochu každého z týchto ∆ možno nájsť výrazom , kde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Od , potom sa vo výpočtoch používa jediný význam sínus To je . Pretože AE+CE=AC= d 1 a BE+DE=BD= d 2, vzorec plochy sa zníži na:

Aplikácia vo vektorovej algebre

Vlastnosti jednotlivých častí tohto štvoruholníka našli uplatnenie vo vektorovej algebre, a to sčítanie dvoch vektorov. Pravidlo rovnobežníka hovorí, že ak sú dané vektoryAniesú kolineárne, potom sa ich súčet bude rovnať uhlopriečke tohto obrazca, ktorého základne zodpovedajú týmto vektorom.

Dôkaz: z ľubovoľne zvoleného začiatku - t.j. - konštruovať vektory a . Ďalej zostrojíme rovnobežník OASV, kde segmenty OA a OB sú strany. OS teda leží na vektore alebo súčte.

Vzorce na výpočet parametrov rovnobežníka

Identity sa poskytujú za nasledujúcich podmienok:

a a b, α - strany a uhol medzi nimi;
d 1 a d 2, γ - uhlopriečky a v bode ich priesečníka;
ha a h b - výšky znížené na strany a a b;

Parameter	Vzorec
Hľadanie strán
pozdĺž uhlopriečok a kosínus uhla medzi nimi
pozdĺž uhlopriečok a strán
cez výšku a opačný vrchol
Nájdenie dĺžky uhlopriečok
po stranách a veľkosť vrcholu medzi nimi

Stredná úroveň

Rovnobežník, obdĺžnik, kosoštvorec, štvorec (2019)

1. Rovnobežník

Zložené slovo "paralelogram"? A za tým sa skrýva veľmi jednoduchá postava.

To znamená, že sme vzali dve paralelné čiary:

Prekrížené ďalšími dvoma:

A vo vnútri je rovnobežník!

Aké vlastnosti má rovnobežník?

Vlastnosti rovnobežníka.

To znamená, čo môžete použiť, ak je problému daný rovnobežník?

Na túto otázku odpovedá nasledujúca veta:

Nakreslíme všetko podrobne.

Čo to znamená prvý bod vety? A faktom je, že ak MÁTE rovnobežník, tak určite budete

Druhý bod znamená, že ak existuje rovnobežník, potom opäť určite:

No a nakoniec, tretí bod znamená, že ak MÁTE rovnobežník, potom určite:

Vidíte, aký je tam bohatý výber? Čo použiť pri probléme? Skúste sa sústrediť na otázku úlohy, alebo jednoducho vyskúšajte všetko jeden po druhom – poslúži nejaký „kľúč“.

Teraz si položme ďalšiu otázku: ako môžeme rozpoznať rovnobežník „pohľadom“? Čo sa musí stať so štvoruholníkom, aby sme mali právo dať mu „názov“ rovnobežníka?

Na túto otázku odpovedá niekoľko znakov rovnobežníka.

Znaky rovnobežníka.

Pozor! Začnime.

Paralelogram.

Poznámka: ak ste vo svojom probléme našli aspoň jeden znak, určite máte rovnobežník a môžete použiť všetky vlastnosti rovnobežníka.

2. Obdĺžnik

Myslím, že to pre vás vôbec nebude novinka

Prvá otázka: je obdĺžnik rovnobežník?

Samozrejme, že je! Veď má – pamätáte, naše znamenie 3?

A odtiaľto, samozrejme, vyplýva, že v obdĺžniku, ako v každom rovnobežníku, sú uhlopriečky rozdelené na polovicu priesečníkom.

Obdĺžnik má ale aj jednu výraznú vlastnosť.

Vlastnosť obdĺžnika

Prečo je táto vlastnosť charakteristická? Pretože žiadny iný rovnobežník nemá rovnaké uhlopriečky. Sformulujme to jasnejšie.

Poznámka: aby sa štvoruholník stal obdĺžnikom, musí sa najprv stať rovnobežníkom a potom ukázať rovnosť uhlopriečok.

3. Diamant

A opäť otázka: je kosoštvorec rovnobežník alebo nie?

S plným právom - rovnobežník, pretože má a (pamätajte na našu vlastnosť 2).

A opäť, keďže kosoštvorec je rovnobežník, potom musí mať všetky vlastnosti rovnobežníka. To znamená, že v kosoštvorci sú opačné uhly rovnaké, protiľahlé strany sú rovnobežné a uhlopriečky sa pretínajú v priesečníku.

Vlastnosti kosoštvorca

Pozrite sa na obrázok:

Rovnako ako v prípade obdĺžnika sú tieto vlastnosti charakteristické, to znamená, že pre každú z týchto vlastností môžeme usúdiť, že nejde len o rovnobežník, ale o kosoštvorec.

Známky diamantu

A opäť dávajte pozor: nesmie existovať iba štvoruholník, ktorého uhlopriečky sú kolmé, ale rovnobežník. Uistite sa, že:

Nie, samozrejme, hoci jeho uhlopriečky sú kolmé a uhlopriečka je osou uhlov a. Ale... uhlopriečky nie sú rozdelené na polovicu priesečníkom, teda - NIE rovnobežník, a teda NIE kosoštvorec.

To znamená, že štvorec je obdĺžnik a kosoštvorec zároveň. Uvidíme, čo sa stane.

Je jasné prečo? - kosoštvorec je osou uhla A, ktorá sa rovná. To znamená, že sa delí (a tiež) do dvoch uhlov pozdĺž.

No, je to celkom jasné: uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké; Uhlopriečky kosoštvorca sú kolmé a vo všeobecnosti je rovnobežník uhlopriečok rozdelený na polovicu priesečníkom.

STREDNÁ ÚROVEŇ

Vlastnosti štvoruholníkov. Paralelogram

Vlastnosti rovnobežníka

Pozor! slová " vlastnosti rovnobežníka„To znamená, že ak je vo vašej úlohe Existuje rovnobežník, potom je možné použiť všetky nasledujúce.

Veta o vlastnostiach rovnobežníka.

V akomkoľvek rovnobežníku:

Poďme pochopiť, prečo je to všetko pravda, inými slovami DOKÁŽEME teorém.

Prečo je teda 1) pravda?

Ak ide o rovnobežník, potom:

ležať ako krížom krážom
ležať ako kríže.

To znamená (podľa kritéria II: a - všeobecné.)

No to je ono, to je ono! - dokázané.

Ale mimochodom! Dokázali sme aj 2)!

prečo? Ale (pozrite sa na obrázok), teda práve preto.

Zostávajú len 3).

Aby ste to urobili, musíte ešte nakresliť druhú uhlopriečku.

A teraz to vidíme - podľa charakteristiky II (uhly a strana „medzi nimi“).

Vlastnosti overené! Prejdime k znameniam.

Znaky rovnobežníka

Pripomeňme, že znak rovnobežníka odpovedá na otázku „ako viete, že obrazec je rovnobežník?

V ikonách je to takto:

prečo? Bolo by pekné pochopiť prečo - to stačí. Ale pozri:

No, prišli sme na to, prečo je znak 1 pravdivý.

No je to ešte jednoduchšie! Opäť nakreslíme uhlopriečku.

Čo znamená:

A Je to tiež jednoduché. Ale...iné!

Znamená, . Páni! Ale aj - vnútorná jednostranná so sekantom!

Preto skutočnosť, ktorá to znamená.

A ak sa pozriete z druhej strany, potom - vnútorný jednostranný so sekantom! A preto.

Vidíte, aké je to skvelé?!

A opäť jednoduché:

Presne to isté a.

Poznámka: ak si našiel prinajmenšom jeden znak rovnobežníka vo vašom probléme, potom máte presne tak rovnobežník a môžete použiť všetci vlastnosti rovnobežníka.

Pre úplnú prehľadnosť si pozrite diagram:

Vlastnosti štvoruholníkov. Obdĺžnik.

Vlastnosti obdĺžnika:

Bod 1) je celkom zrejmý - koniec koncov, znak 3 () je jednoducho splnený

A bod 2) - veľmi dôležité. Tak to dokážme

To znamená na dvoch stranách (a - všeobecne).

No, keďže trojuholníky sú rovnaké, potom sú rovnaké aj ich prepony.

Dokázal to!

A predstavte si, že rovnosť uhlopriečok je charakteristickou vlastnosťou obdĺžnika medzi všetkými rovnobežníkmi. To znamená, že toto tvrdenie je pravdivé^

Poďme pochopiť prečo?

To znamená (čo znamená uhly rovnobežníka). Ale ešte raz si pripomeňme, že ide o rovnobežník, a preto.

Znamená, . No, samozrejme, z toho vyplýva, že každý z nich! Veď musia dať celkom!

Tak dokázali, že ak rovnobežník zrazu (!) sa uhlopriečky ukážu ako rovnaké, potom toto presne obdĺžnik.

Ale! Venujte pozornosť! Ide o rovnobežníky! Nie hocijakýštvoruholník s rovnakými uhlopriečkami je obdĺžnik a iba rovnobežník!

Vlastnosti štvoruholníkov. Rhombus

A opäť otázka: je kosoštvorec rovnobežník alebo nie?

S úplným právom - rovnobežník, pretože má (Pamätajte si našu vlastnosť 2).

A opäť, keďže kosoštvorec je rovnobežník, musí mať všetky vlastnosti rovnobežníka. To znamená, že v kosoštvorci sú opačné uhly rovnaké, protiľahlé strany sú rovnobežné a uhlopriečky sa pretínajú v priesečníku.

Existujú však aj špeciálne vlastnosti. Poďme to sformulovať.

Vlastnosti kosoštvorca

prečo? Keďže kosoštvorec je rovnobežník, jeho uhlopriečky sú rozdelené na polovicu.

prečo? Áno, práve preto!

Inými slovami, uhlopriečky sa ukázali ako osy rohov kosoštvorca.

Ako v prípade obdĺžnika, tieto vlastnosti sú výrazný, každý z nich je tiež znakom kosoštvorca.

Známky diamantu.

prečo je to tak? A pozri,

To znamená oboje Tieto trojuholníky sú rovnoramenné.

Aby bol štvoruholník kosoštvorcom, musí sa najprv „stať“ rovnobežníkom a potom vykazovať prvok 1 alebo prvok 2.

Vlastnosti štvoruholníkov. Štvorcový

To znamená, že štvorec je zároveň obdĺžnik a kosoštvorec. Uvidíme, čo sa stane.

Je jasné prečo? Štvorec - kosoštvorec - je osou uhla, ktorý sa rovná. To znamená, že sa delí (a tiež) do dvoch uhlov pozdĺž.

No, je to celkom jasné: uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké; Uhlopriečky kosoštvorca sú kolmé a vo všeobecnosti je rovnobežník uhlopriečok rozdelený na polovicu priesečníkom.

prečo? No, aplikujme Pytagorovu vetu na...

SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE

Vlastnosti rovnobežníka:

Opačné strany sú rovnaké: , .
Opačné uhly sú rovnaké: , .
Súčet uhlov na jednej strane je: , .
Uhlopriečky sú rozdelené na polovicu priesečníkom: .

Vlastnosti obdĺžnika:

Uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké: .
Obdĺžnik je rovnobežník (pre obdĺžnik sú splnené všetky vlastnosti rovnobežníka).

Vlastnosti kosoštvorca:

Uhlopriečky kosoštvorca sú kolmé: .
Uhlopriečky kosoštvorca sú osy jeho uhlov: ; ; ; .
Kosoštvorec je rovnobežník (pre kosoštvorec sú splnené všetky vlastnosti rovnobežníka).

Vlastnosti štvorca:

Štvorec je kosoštvorec a zároveň obdĺžnik, preto sú pre štvorec splnené všetky vlastnosti obdĺžnika a kosoštvorca. A tiež.

Stredná úroveň

Rovnobežník, obdĺžnik, kosoštvorec, štvorec (2019)