Porovnanie kvadratických rovníc. Kvadratické rovnice

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia stredná škola č.11

Text práce je uverejnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia práca je dostupná v záložke "Pracovné súbory" vo formáte PDF

História kvadratických rovníc

Babylon

Potreba riešiť rovnice nielen prvého, ale aj druhého stupňa v staroveku bola spôsobená potrebou riešiť problémy súvisiace s hľadaním oblastí. pozemkov, s rozvojom astronómie a samotnej matematiky. Kvadratické rovnice vedel vyriešiť okolo roku 2000 pred Kr. e. Babylončania. Pravidlá riešenia týchto rovníc uvedené v babylonských textoch sú v podstate rovnaké ako tie moderné, ale v týchto textoch chýba koncept záporného čísla a všeobecné metódy riešenia kvadratických rovníc.

Staroveké Grécko

Riešenie kvadratických rovníc sa uskutočnilo aj v r Staroveké Grécko takí vedci ako Diophantus, Euclid a Heron. Diophantus Diophantus Alexandrijský je starogrécky matematik, ktorý žil pravdepodobne v 3. storočí nášho letopočtu. Hlavným dielom Diofanta je „Aritmetika“ v 13 knihách. Euklides. Euklides je starogrécky matematik, autor prvého teoretického pojednania o matematike, ktoré sa nám dostalo, Heron. Heron - grécky matematik a inžinier prvý v Grécku v 1. storočí nášho letopočtu. poskytuje čisto algebraický spôsob riešenia kvadratickej rovnice

India

Problémy s kvadratickými rovnicami sa nachádzajú už v astronomickom pojednaní „Aryabhattiam“, ktoré v roku 499 zostavil indický matematik a astronóm Aryabhatta. Ďalší indický vedec, Brahmagupta (7. storočie), načrtol všeobecné pravidlo riešenia kvadratických rovníc zredukované na jeden kanonický tvar: ax2 + bx = c, a> 0. (1) V rovnici (1) môžu byť koeficienty záporné. Brahmaguptove pravidlo je v podstate rovnaké ako naše. Verejné súťaže v riešení zložitých problémov boli v Indii bežné. Jedna zo starých indických kníh o takýchto súťažiach hovorí: „Ako slnko prevyšuje hviezdy svojou žiarou, tak učený človek zatieni svoju slávu na verejných zhromaždeniach predložením a riešením algebraických problémov.“ Problémy boli často prezentované v poetickej forme.

Toto je jeden z problémov slávneho indického matematika 12. storočia. Bhaskari.

"Kŕdeľ šikovných opíc."

A dvanásti pozdĺž viniča, ktorí sa najedli do sýtosti, sa zabávali

Začali skákať, visieť

Ôsma časť z nich umocnila

Koľko tam bolo opíc?

Zabával som sa na čistinke

Povedz mi, v tomto balení?

Bhaskarovo riešenie naznačuje, že autor vedel, že korene kvadratických rovníc sú dvojhodnotové. Bhaskar zapíše rovnicu zodpovedajúcu problému ako x2 - 64x = - 768 a na dokončenie ľavej strany tejto rovnice na štvorec pripočíta 322 na obe strany, čím získa: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Kvadratické rovnice v Európe 17. storočia

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc modelovaných podľa Al-Khorezmiho v Európe boli prvýkrát uvedené v knihe Abacus, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Toto rozsiahle dielo, ktoré odráža vplyv matematiky z krajín islamu aj zo starovekého Grécka, sa vyznačuje úplnosťou a jasnosťou prezentácie. Autor nezávisle vyvinul niektoré nové algebraické príklady riešenie problémov a ako prvý v Európe zaviedol záporné čísla. Jeho kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé problémy z Knihy Abacus boli použité takmer vo všetkých európskych učebniciach 16. - 17. storočia. a čiastočne XVIII. Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice vo všeobecnom tvare je dostupné od Viète, ale Viète rozpoznal iba kladné korene. Talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli boli medzi prvými v 16. storočí. Okrem pozitívnych sa berú do úvahy aj negatívne korene. Až v 17. storočí. Vďaka práci Girarda, Descartesa, Newtona a ďalších vedcov dostáva metóda riešenia kvadratických rovníc modernú podobu.

Definícia kvadratickej rovnice

Rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde a, b, c sú čísla, sa nazýva kvadratická.

Koeficienty kvadratických rovníc

Čísla a, b, c sú koeficienty kvadratickej rovnice a je prvý koeficient (pred x²), a ≠ 0 je druhý koeficient (pred x);

Ktoré z týchto rovníc nie sú kvadratické??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x2-16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Typy kvadratických rovníc

Redukovaná je kvadratická rovnica, v ktorej sa vodiaci koeficient rovná jednej. Takúto rovnicu možno získať vydelením celého výrazu vodiacim koeficientom a:

X 2 + px + q = 0, p = b/a, q = c/a

Kvadratická rovnica sa nazýva úplná, ak sú všetky jej koeficienty nenulové.

Kvadratická rovnica sa nazýva neúplná, v ktorej sa aspoň jeden z koeficientov, okrem vedúceho (buď druhého koeficientu alebo voľného člena), rovná nule.

Metódy riešenia kvadratických rovníc

Metóda I Všeobecný vzorec na výpočet koreňov

Nájsť korene kvadratickej rovnice sekera 2 + b + c = 0 Vo všeobecnosti by ste mali použiť nasledujúci algoritmus:

Vypočítajte hodnotu diskriminantu kvadratickej rovnice: toto je jej výraz D= b 2 - 4ac

Odvodenie vzorca:

Poznámka: Je zrejmé, že vzorec pre odmocninu násobnosti 2 je špeciálnym prípadom všeobecného vzorca, ktorý sa získa dosadením rovnosti D=0 do neho a záveru o absencii reálnych koreňov v D0, a (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

Predložená metóda je univerzálna, ale nie je ani zďaleka jediná. K riešeniu jednej rovnice možno pristupovať rôznymi spôsobmi, pričom preferencie zvyčajne závisia od riešiteľa. Okrem toho sa často na tento účel niektoré metódy ukážu ako oveľa elegantnejšie, jednoduchšie a menej náročné na prácu ako štandardné.

Metóda II. Korene kvadratickej rovnice s párnym koeficientom b III metóda. Riešenie neúplných kvadratických rovníc

IV metóda. Pomocou parciálnych pomerov koeficientov

Existujú špeciálne prípady kvadratických rovníc, v ktorých sú koeficienty vo vzájomnom vzťahu, čo uľahčuje ich riešenie.

Korene kvadratickej rovnice, v ktorej sa súčet vedúceho koeficientu a voľného člena rovná druhému koeficientu

Ak v kvadratickej rovnici sekera 2 + bx + c = 0 súčet prvého koeficientu a voľného termínu sa rovná druhému koeficientu: a+b=c, potom jeho korene sú -1 a číslo opačné k pomeru voľného člena k vedúcemu koeficientu ( -c/a).

Preto pred riešením akejkoľvek kvadratickej rovnice by ste mali skontrolovať možnosť aplikácie tejto vety na ňu: porovnajte súčet vedúceho koeficientu a voľného člena s druhým koeficientom.

Korene kvadratickej rovnice, ktorej súčet všetkých koeficientov je nula

Ak je v kvadratickej rovnici súčet všetkých jej koeficientov nula, potom korene takejto rovnice sú 1 a pomer voľného člena k vedúcemu koeficientu ( c/a).

Preto pred riešením rovnice pomocou štandardných metód by ste mali skontrolovať použiteľnosť tejto vety na ňu: spočítajte všetky koeficienty tejto rovnice a skontrolujte, či sa tento súčet nerovná nule.

V spôsob. Rozdelenie kvadratického trinomu na lineárne faktory

Ak je trojčlenka tvaru (štýl zobrazenia ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) dá sa nejako znázorniť ako súčin lineárnych faktorov (štýl zobrazenia (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), potom môžeme nájsť korene rovnice sekera 2 + bx + c = 0- skutočne budú -m/k a n/l (štýl zobrazenia (kx+m)(lx+n)=0Dlhá šípka doľavadoprava kx+m=0pohár lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, a po vyriešení uvedeného lineárne rovnice, dostaneme vyššie uvedené. Všimnite si, že kvadratická trojčlenka sa nie vždy rozloží na lineárne faktory s reálnymi koeficientmi: je to možné, ak má zodpovedajúca rovnica reálne korene.

Uvažujme o niektorých špeciálnych prípadoch

Použitie vzorca na druhú mocninu súčtu (rozdielu).

Ak má kvadratická trojčlenka tvar (štýl zobrazenia (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , potom pomocou vyššie uvedeného vzorca ho môžeme rozdeliť do lineárnych faktorov a , preto nájdite korene:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Izolácia celej druhej mocniny súčtu (rozdielu)

Vyššie uvedený vzorec sa používa aj pomocou metódy nazývanej „výber celej druhej mocniny súčtu (rozdielu). Vo vzťahu k vyššie uvedenej kvadratickej rovnici s predtým zavedenou notáciou to znamená nasledovné:

Poznámka: ak si si všimol tento vzorec sa zhoduje s tým, čo sa navrhuje v časti „Korene redukovanej kvadratickej rovnice“, ktorú je možné získať zo všeobecného vzorca (1) dosadením rovnosti a=1. Táto skutočnosť nie je len náhoda: pomocou opísanej metódy, aj keď s dodatočným zdôvodnením, možno odvodiť všeobecný vzorec a tiež dokázať vlastnosti diskriminantu.

Metóda VI. Použitie priamej a inverznej Vietovej vety

Vietov priamy teorém (pozri nižšie v rovnomennej časti) a jeho inverzný teorém vám umožňujú riešiť vyššie uvedené kvadratické rovnice ústne bez toho, aby ste sa uchýlili k dosť ťažkopádnym výpočtom pomocou vzorca (1).

Podľa opačnej vety je koreňom rovnice každá dvojica čísel (číslo) (štýl zobrazenia x_(1),x_(2))x 1, x 2, ktorý je riešením nižšie uvedeného systému rovníc.

Vo všeobecnom prípade, teda pre neredukovanú kvadratickú rovnicu ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1* x 2 = c/a

Priama veta vám pomôže nájsť čísla, ktoré spĺňajú tieto rovnice ústne. S jeho pomocou môžete určiť znaky koreňov bez toho, aby ste poznali samotné korene. Ak to chcete urobiť, mali by ste dodržiavať pravidlo:

1) ak je voľný termín záporný, potom korene majú iné znamenie, a najväčší modul koreňov je znamienko opačné k znamienku druhého koeficientu rovnice;

2) ak je voľný člen kladný, potom oba korene majú rovnaké znamienko, a to je znamienko opačné k znamienku druhého koeficientu.

VII spôsob. Spôsob prenosu

Takzvaná „prenosová“ metóda umožňuje zredukovať riešenie neredukovaných a neredukovateľných rovníc do tvaru redukovaných rovníc s celočíselnými koeficientmi ich delením vodiacim koeficientom na riešenie redukovaných rovníc s celočíselnými koeficientmi. Je to nasledovné:

Ďalej sa rovnica rieši ústne spôsobom opísaným vyššie, potom sa vrátia k pôvodnej premennej a nájdu korene rovníc (displaystyle y_(1)=ax_(1)) r 1 =ax 1 A r 2 =ax 2 .(štýl zobrazenia y_(2)=ax_(2))

Geometrický význam

Graf kvadratickej funkcie je parabola. Riešeniami (koreňmi) kvadratickej rovnice sú úsečky priesečníkov paraboly s osou úsečky. Ak parabola opísaná kvadratickou funkciou nepretína os x, rovnica nemá reálne korene. Ak parabola pretína os x v jednom bode (vo vrchole paraboly), rovnica má jeden skutočný koreň (rovnica má tiež dva zhodné korene). Ak parabola pretína os x v dvoch bodoch, rovnica má dva skutočné korene (pozri obrázok vpravo.)

Ak koeficient (štýl zobrazenia a) a kladné, vetvy paraboly smerujú nahor a naopak. Ak koeficient (štýl zobrazenia b) bpozitívne (ak je kladné (štýl zobrazenia a) a, ak je záporný, naopak), potom vrchol paraboly leží v ľavej polrovine a naopak.

Aplikácia kvadratických rovníc v živote

Kvadratická rovnica je široko používaná. Používa sa v mnohých výpočtoch, štruktúrach, športoch a tiež okolo nás.

Uvažujme a uveďme niekoľko príkladov aplikácie kvadratickej rovnice.

Šport. Vysoké skoky: pri rozbehu skokana sa používajú výpočty súvisiace s parabolou, aby sa dosiahol čo najjasnejší dopad na vzletovú tyč a vysoký let.

Podobné výpočty sú potrebné aj pri hádzaní. Dosah letu objektu závisí od kvadratickej rovnice.

Astronómia. Trajektóriu planét možno nájsť pomocou kvadratickej rovnice.

Let lietadlom. Vzlet lietadla je hlavnou zložkou letu. Tu je výpočet pre malý odpor a zrýchlenie vzletu.

Kvadratické rovnice sa využívajú aj v rôznych ekonomických disciplínach, v programoch na spracovanie zvuku, videa, vektorovej a rastrovej grafiky.

Záver

V dôsledku vykonanej práce sa ukázalo, že kvadratické rovnice lákali vedcov už v staroveku, stretli sa s nimi už pri riešení niektorých problémov a snažili sa ich vyriešiť. Berúc do úvahy rôznymi spôsobmi pri riešení kvadratických rovníc som dospel k záveru, že nie všetky sú jednoduché. Podľa mňa najviac najlepšia cesta riešenie kvadratických rovníc je riešenie podľa vzorcov. Vzorce sú ľahko zapamätateľné, táto metóda je univerzálna. Potvrdila sa hypotéza, že rovnice sú široko používané v živote a matematike. Po preštudovaní témy som sa veľa naučil zaujímavosti o kvadratických rovniciach, ich použití, aplikácii, typoch, riešeniach. A rád ich budem študovať aj naďalej. Dúfam, že mi to pomôže urobiť dobre na skúškach.

Zoznam použitej literatúry

Materiály stránky:

Wikipedia

Otvorená lekcia.rf

Príručka elementárnej matematiky Vygodsky M. Ya.

Dúfam, že po preštudovaní tohto článku sa naučíte, ako nájsť korene úplnej kvadratickej rovnice.

Pomocou diskriminantu sa riešia len úplné kvadratické rovnice, na riešenie neúplných kvadratických rovníc sa používajú iné metódy, ktoré nájdete v článku „Riešenie neúplných kvadratických rovníc“.

Ktoré kvadratické rovnice sa nazývajú úplné? Toto rovnice tvaru ax 2 + b x + c = 0, kde koeficienty a, b a c sa nerovnajú nule. Aby sme teda vyriešili úplnú kvadratickú rovnicu, musíme vypočítať diskriminant D.

D = b 2 – 4ac.

Podľa hodnoty diskriminantu zapíšeme odpoveď.

Ak je diskriminant záporné číslo (D< 0),то корней нет.

Ak je diskriminant nula, potom x = (-b)/2a. Ak je diskriminant kladné číslo (D > 0),

potom x 1 = (-b - √D)/2a a x 2 = (-b + √D)/2a.

Napríklad. Vyriešte rovnicu x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

odpoveď: 2.

Vyriešte rovnicu 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odpoveď: žiadne korene.

Vyriešte rovnicu 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 – √81)/(2 2)= (-5 – 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odpoveď: – 3,5; 1.

Predstavme si teda riešenie úplných kvadratických rovníc pomocou diagramu na obrázku 1.

Pomocou týchto vzorcov môžete vyriešiť akúkoľvek úplnú kvadratickú rovnicu. Len si treba dávať pozor rovnica bola napísaná ako polynóm štandardného tvaru

A x 2 + bx + c, inak sa môžete pomýliť. Napríklad pri písaní rovnice x + 3 + 2x 2 = 0 sa môžete mylne rozhodnúť, že

a = 1, b = 3 a c = 2. Potom

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 a potom má rovnica dva korene. A to nie je pravda. (Pozri riešenie príkladu 2 vyššie).

Ak teda rovnica nie je napísaná ako polynóm štandardného tvaru, musí sa najprv úplná kvadratická rovnica napísať ako polynóm štandardného tvaru (prvý by mal byť monomál s najväčším exponentom, tzn. A x 2 , potom s menej – bx a potom voľný člen s.

Pri riešení redukovanej kvadratickej rovnice a kvadratickej rovnice s párnym koeficientom v druhom člene môžete použiť iné vzorce. Zoznámime sa s týmito vzorcami. Ak je v úplnej kvadratickej rovnici koeficient v druhom člene párny (b = 2k), potom môžete rovnicu vyriešiť pomocou vzorcov uvedených v diagrame na obrázku 2.

Úplná kvadratická rovnica sa nazýva redukovaná, ak koeficient pri x 2 sa rovná jednej a rovnica má tvar x 2 + px + q = 0. Takáto rovnica môže byť daná na vyriešenie, alebo môže byť získaná vydelením všetkých koeficientov rovnice koeficientom A, stojaci pri x 2 .

Obrázok 3 ukazuje schému riešenia zmenšeného štvorca
rovníc. Pozrime sa na príklad použitia vzorcov, o ktorých sa hovorí v tomto článku.

Príklad. Vyriešte rovnicu

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Vyriešme túto rovnicu pomocou vzorcov znázornených v diagrame na obrázku 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 – 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odpoveď: –1 – √3; –1 + √3

Môžete si všimnúť, že koeficient x v tejto rovnici párne číslo, teda b = 6 alebo b = 2k, odkiaľ k = 3. Potom skúsme rovnicu vyriešiť pomocou vzorcov uvedených v diagrame na obrázku D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odpoveď: –1 – √3; –1 + √3. Keď si všimneme, že všetky koeficienty v tejto kvadratickej rovnici sú deliteľné 3 a vykonáme delenie, dostaneme redukovanú kvadratickú rovnicu x 2 + 2x – 2 = 0 Vyriešte túto rovnicu pomocou vzorcov pre redukovanú kvadratickú rovnicu
rovnice obrázok 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odpoveď: –1 – √3; –1 + √3.

Ako vidíte, pri riešení tejto rovnice pomocou rôznych vzorcov sme dostali rovnakú odpoveď. Preto po dôkladnom zvládnutí vzorcov znázornených v diagrame na obrázku 1 budete vždy schopní vyriešiť akúkoľvek úplnú kvadratickú rovnicu.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

Kvadratická rovnica - ľahké riešenie! *Ďalej uvádzané ako „KU“. Priatelia, zdalo by sa, že v matematike nemôže byť nič jednoduchšie ako vyriešiť takúto rovnicu. Niečo mi však hovorilo, že veľa ľudí s ním má problémy. Rozhodol som sa zistiť, koľko zobrazení na požiadanie poskytuje Yandex za mesiac. Tu je to, čo sa stalo, pozrite sa:

Čo to znamená? To znamená, že asi 70 000 ľudí mesačne hľadá tieto informácie, čo s tým má spoločné toto leto a čo sa stane medzi školský rok— žiadostí bude dvakrát toľko. To nie je prekvapujúce, pretože chlapci a dievčatá, ktorí už dávno ukončili školu a pripravujú sa na jednotnú štátnu skúšku, tieto informácie hľadajú a školáci sa tiež snažia osviežiť si pamäť.

Napriek tomu, že existuje veľa stránok, ktoré vám poradia, ako vyriešiť túto rovnicu, rozhodol som sa tiež prispieť a materiál zverejniť. Po prvé, chcem, aby návštevníci prichádzali na moju stránku na základe tejto požiadavky. po druhé, v iných článkoch, keď sa objaví téma „KU“, uvediem odkaz na tento článok; po tretie, poviem vám o jeho riešení trochu viac, ako sa zvyčajne uvádza na iných stránkach. Začnime! Obsah článku:

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare:

kde koeficienty a,ba c sú ľubovoľné čísla, pričom a≠0.

IN školský kurz materiál je uvedený v nasledujúcom tvare - rovnice sú konvenčne rozdelené do troch tried:

1. Majú dva korene.

2. *Mať iba jeden koreň.

3. Nemajú korene. Tu je potrebné poznamenať, že nemajú skutočné korene

Ako sa vypočítavajú korene? Len!

Vypočítame diskriminant. Pod týmto „strašným“ slovom sa skrýva veľmi jednoduchý vzorec:

Koreňové vzorce sú nasledovné:

*Tieto vzorce musíte vedieť naspamäť.

Môžete okamžite zapísať a vyriešiť:

Príklad:

1. Ak D > 0, potom má rovnica dva korene.

2. Ak D = 0, potom rovnica má jeden koreň.

3. Ak D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pozrime sa na rovnicu:

V tomto ohľade, keď je diskriminant rovný nule, školský kurz hovorí, že sa získa jeden koreň, tu sa rovná deviatim. Všetko je správne, je to tak, ale...

Táto myšlienka je trochu nesprávna. V skutočnosti existujú dva korene. Áno, áno, nečudujte sa, dostanete dva rovnaké korene a aby som bol matematicky presný, odpoveď by mala písať dva korene:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale je to tak - malá odbočka. V škole si to môžete zapísať a povedať, že existuje jeden koreň.

Teraz ďalší príklad:

Ako vieme, odmocninu zo záporného čísla nemožno vziať, takže riešenia v v tomto prípade Nie

To je celý proces rozhodovania.

Kvadratická funkcia.

To ukazuje, ako vyzerá riešenie geometricky. Toto je mimoriadne dôležité pochopiť (v budúcnosti v jednom z článkov podrobne rozoberieme riešenie kvadratickej nerovnosti).

Toto je funkcia formulára:

kde x a y sú premenné

a, b, c – dané čísla, pričom a ≠ 0

Graf je parabola:

To znamená, že sa ukáže, že riešením kvadratickej rovnice s „y“ rovným nule nájdeme priesečníky paraboly s osou x. Môžu existovať dva z týchto bodov (diskriminant je kladný), jeden (diskriminant je nula) a žiadny (diskriminant je záporný). Podrobnosti o kvadratickej funkcii Môžete zobraziťčlánok Inny Feldmanovej.

Pozrime sa na príklady:

Príklad 1: Riešte 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odpoveď: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ľavú a pravú stranu rovnice bolo možné okamžite vydeliť 2, teda zjednodušiť. Výpočty budú jednoduchšie.

Príklad 2: Rozhodnite sa x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Zistili sme, že x 1 = 11 a x 2 = 11

V odpovedi je dovolené napísať x = 11.

Odpoveď: x = 11

Príklad 3: Rozhodnite sa x 2 – 8 x + 72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je záporný, v reálnych číslach neexistuje riešenie.

Odpoveď: žiadne riešenie

Diskriminant je negatívny. Existuje riešenie!

Tu budeme hovoriť o riešení rovnice v prípade, že sa získa negatívny diskriminant. Vieš niečo o komplexných číslach? Nebudem sa tu rozpisovať o tom, prečo a kde vznikli a aká je ich špecifická úloha a nevyhnutnosť v matematike, to je téma na veľký samostatný článok;

Koncept komplexného čísla.

Trochu teórie.

Komplexné číslo z je číslo tvaru

z = a + bi

kde sú a a b reálne čísla, i je takzvaná pomyselná jednotka.

a+bi – toto je JEDNO ČÍSLO, nie dodatok.

Imaginárna jednotka sa rovná odmocnine mínus jedna:

Teraz zvážte rovnicu:

Získame dva konjugované korene.

Neúplná kvadratická rovnica.

Uvažujme o špeciálnych prípadoch, keď sa koeficient „b“ alebo „c“ rovná nule (alebo sa oba rovnajú nule). Dajú sa jednoducho vyriešiť bez akýchkoľvek diskriminačných problémov.

Prípad 1. Koeficient b = 0.

Rovnica sa stáva:

Poďme sa transformovať:

Príklad:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Prípad 2. Koeficient c = 0.

Rovnica sa stáva:

Poďme transformovať a faktorizovať:

*Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule.

Príklad:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 alebo x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Prípad 3. Koeficienty b = 0 a c = 0.

Tu je jasné, že riešenie rovnice bude vždy x = 0.

Užitočné vlastnosti a vzorce koeficientov.

Existujú vlastnosti, ktoré umožňujú riešiť rovnice s veľkými koeficientmi.

AX 2 + bx+ c=0 platí rovnosť

a + b+ c = 0, To

- ak pre koeficienty rovnice AX 2 + bx+ c=0 platí rovnosť

a+ s =b, To

Tieto vlastnosti pomáhajú pri rozhodovaní určitý typ rovnice

Príklad 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Súčet kurzov je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, čo znamená

Príklad 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Rovnosť platí a+ s =b, Prostriedky

Zákonitosti koeficientov.

1. Ak sa v rovnici ax 2 + bx + c = 0 koeficient „b“ rovná (a 2 +1) a koeficient „c“ sa číselne rovná koeficientu „a“, potom sa jej korene rovnajú

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ak sa v rovnici ax 2 – bx + c = 0 koeficient „b“ rovná (a 2 +1) a koeficient „c“ sa číselne rovná koeficientu „a“, potom sa jej korene rovnajú

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 15x 2 – 226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ak v rov. ax 2 + bx – c = 0 koeficient „b“ sa rovná (a 2 – 1) a koeficient „c“ číselne sa rovná koeficientu „a“, potom sú jeho korene rovnaké

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Ak v rovnici ax 2 – bx – c = 0 je koeficient „b“ rovný (a 2 – 1) a koeficient c sa číselne rovná koeficientu „a“, potom sú jeho korene rovné

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietov teorém.

Vietova veta je pomenovaná po slávnom francúzskom matematikovi Francoisovi Vietovi. Pomocou Vietovej vety môžeme vyjadriť súčet a súčin koreňov ľubovoľnej KU pomocou jej koeficientov.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Celkovo číslo 14 dáva iba 5 a 9. Toto sú korene. S určitou zručnosťou, pomocou prezentovanej vety, môžete okamžite vyriešiť veľa kvadratických rovníc ústne.

Okrem toho Vietova veta. Je to výhodné v tom, že po vyriešení kvadratickej rovnice bežným spôsobom (cez diskriminant) možno výsledné korene skontrolovať. Odporúčam to robiť vždy.

SPÔSOB PREPRAVY

Pri tejto metóde sa koeficient „a“ násobí voľným členom, akoby mu bol „hodený“, preto sa nazýva tzv. "prenosová" metóda. Táto metóda sa používa vtedy, keď sa korene rovnice dajú ľahko nájsť pomocou Vietovej vety a čo je najdôležitejšie, keď je diskriminantom presný štvorec.

Ak A± b+c≠ 0, potom sa použije technika prenosu, napríklad:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Pomocou Vietovej vety v rovnici (2) je ľahké určiť, že x 1 = 10 x 2 = 1

Výsledné korene rovnice je potrebné vydeliť 2 (keďže boli „vyhodené“ z x 2), dostaneme

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Aké je zdôvodnenie? Pozri, čo sa deje.

Diskriminanty rovníc (1) a (2) sú rovnaké:

Ak sa pozriete na korene rovníc, dostanete iba rôznych menovateľov a výsledok závisí presne od koeficientu x 2:

Druhý (upravený) má korene, ktoré sú 2-krát väčšie.

Preto výsledok vydelíme 2.

*Ak trojicu prehodíme, výsledok vydelíme 3 atď.

Odpoveď: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie a jednotná štátna skúška.

Stručne vám poviem o jeho dôležitosti - MUSÍTE BYŤ SCHOPNÝ ROZHODOVAŤ sa rýchlo a bez premýšľania, musíte poznať vzorce koreňov a diskriminantov naspamäť. Mnoho problémov zahrnutých do úloh jednotnej štátnej skúšky sa scvrkáva na riešenie kvadratickej rovnice (vrátane geometrických).

Niečo, čo stojí za zmienku!

1. Forma zápisu rovnice môže byť „implicitná“. Napríklad je možný nasledujúci záznam:

15+ 9x 2 - 45x = 0 alebo 15x+42+9x 2 - 45x=0 alebo 15 -5x+10x 2 = 0.

Musíte ho priviesť štandardný pohľad(aby ste sa pri rozhodovaní nezmiatli).

2. Pamätajte, že x je neznáma veličina a možno ju označiť ľubovoľným iným písmenom - t, q, p, h a ďalšími.

Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič zložité. Schopnosť ich vyriešiť je absolútne nevyhnutná.

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.

Pred štúdiom konkrétnych metód riešenia si všimnite, že všetky kvadratické rovnice možno rozdeliť do troch tried:

1. Nemať korene;
2. Mať presne jeden koreň;
3. Majú dva rôzne korene.

Toto je dôležitý rozdiel medzi kvadratickými rovnicami a lineárnymi rovnicami, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako určiť, koľko koreňov má rovnica? Je na to úžasná vec - diskriminačný.

Diskriminačný

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0, potom je diskriminantom jednoducho číslo D = b 2 − 4ac.

Tento vzorec musíte poznať naspamäť. Odkiaľ pochádza, nie je teraz dôležité. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znamienka diskriminantu môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. menovite:

1. Ak D< 0, корней нет;
2. Ak D = 0, existuje práve jeden koreň;
3. Ak D > 0, budú existovať dva korene.

Upozorňujeme: diskriminant označuje počet koreňov a vôbec nie ich znaky, ako z nejakého dôvodu mnohí ľudia veria. Pozrite si príklady a sami všetko pochopíte:

Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapíšme si koeficienty pre prvú rovnicu a nájdime diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme podobným spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Posledná zostávajúca rovnica je:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nula - koreň bude jedna.

Upozorňujeme, že koeficienty boli zapísané pre každú rovnicu. Áno, je to dlhé, áno, je to únavné, ale nebudete si miešať šance a robiť hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.

Mimochodom, ak na to prídete, po chvíli už nebudete musieť zapisovať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po 50-70 vyriešených rovniciach - vo všeobecnosti nie tak veľa.

Korene kvadratickej rovnice

Teraz prejdime k samotnému riešeniu. Ak je diskriminant D > 0, korene možno nájsť pomocou vzorcov:

Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov - dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

Prvá rovnica:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:

Druhá rovnica:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Poďme ich nájsť

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnať)\]

Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Môže sa použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:

Ako vidíte z príkladov, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a viete počítať, nebudú žiadne problémy. Najčastejšie sa chyby vyskytujú pri dosadzovaní záporných koeficientov do vzorca. Aj tu vám pomôže technika opísaná vyššie: pozrite sa na vzorec doslovne, zapíšte si každý krok - a veľmi skoro sa zbavíte chýb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stáva sa, že kvadratická rovnica sa mierne líši od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Je ľahké si všimnúť, že v týchto rovniciach chýba jeden z výrazov. Takéto kvadratické rovnice sa riešia ešte ľahšie ako štandardné: nevyžadujú si ani výpočet diskriminantu. Predstavme si teda nový koncept:

Rovnicu ax 2 + bx + c = 0 nazývame neúplnou kvadratickou rovnicou, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient premennej x alebo voľného prvku sa rovná nule.

Samozrejme, je možný veľmi ťažký prípad, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b = c = 0. V tomto prípade má rovnica tvar ax 2 = 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jeden koreň: x = 0.

Zoberme si zvyšné prípady. Nech b = 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 + c = 0. Trochu ju transformujme:

Keďže aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel len pre (−c /a) ≥ 0. Záver:

1. Ak je v neúplnej kvadratickej rovnici tvaru ax 2 + c = 0 splnená nerovnosť (−c /a) ≥ 0, budú korene dva. Vzorec je uvedený vyššie;
2. Ak (-c /a)< 0, корней нет.

Ako vidíte, diskriminant nebol potrebný – v neúplných kvadratických rovniciach neexistujú vôbec žiadne zložité výpočty. V skutočnosti si ani netreba pamätať nerovnosť (−c /a) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a pozrieť sa, čo je na druhej strane znamienka rovnosti. Ak existuje kladné číslo, budú existovať dva korene. Ak je negatívny, nebudú tam žiadne korene.

Teraz sa pozrime na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých sa voľný prvok rovná nule. Všetko je tu jednoduché: vždy budú existovať dva korene. Stačí rozložiť polynóm:

Súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nula. Odtiaľ pochádzajú korene. Na záver sa pozrime na niektoré z týchto rovníc:

Úloha. Riešte kvadratické rovnice:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Neexistujú žiadne korene, pretože štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Niektoré úlohy v matematike vyžadujú schopnosť vypočítať hodnotu druhej odmocniny. Medzi takéto problémy patrí riešenie rovníc druhého rádu. V tomto článku predstavíme efektívna metóda výpočty odmocniny a použiť ho pri práci so vzorcami pre korene kvadratickej rovnice.

Čo je druhá odmocnina?

V matematike tento pojem zodpovedá symbolu √. Historické údaje hovoria, že bol prvýkrát použitý okolo prvej polovice 16. storočia v Nemecku (prvá nemecká práca o algebre od Christopha Rudolfa). Vedci sa domnievajú, že špecifikovaný symbol je transformovaný latinské písmeno r (radix znamená v latinčine „koreň“).

Odmocnina ľubovoľného čísla sa rovná hodnote, ktorej druhá mocnina zodpovedá radikálnemu výrazu. V jazyku matematiky bude táto definícia vyzerať takto: √x = y, ak y 2 = x.

Odmocnina kladného čísla (x > 0) je tiež kladné číslo (y > 0), ale ak vezmeme odmocninu zo záporného čísla (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Tu sú dva jednoduché príklady:

√9 = 3, pretože 3 2 = 9; √(-9) = 3i, pretože i2 = -1.

Heronov iteračný vzorec na nájdenie hodnôt odmocnín

Vyššie uvedené príklady sú veľmi jednoduché a výpočet koreňov v nich nie je ťažký. Ťažkosti sa začínajú objavovať pri hľadaní koreňových hodnôt pre akúkoľvek hodnotu, ktorú nemožno reprezentovať ako štvorec prirodzené číslo, napríklad √10, √11, √12, √13, nehovoriac o tom, že v praxi je potrebné nájsť korene pre necelé čísla: napríklad √(12,15), √(8,5) a tak ďalej.

Vo všetkých vyššie uvedených prípadoch by sa mala použiť špeciálna metóda na výpočet druhej odmocniny. V súčasnosti je známych niekoľko takýchto metód: napríklad rozšírenie Taylorovho radu, delenie stĺpcov a niektoré ďalšie. Zo všetkých známych metód je azda najjednoduchšie a najefektívnejšie použitie Heronovho iteračného vzorca, ktorý je známy aj ako babylonská metóda určovania druhých odmocnín (existujú dôkazy, že ju starí Babylončania používali pri svojich praktických výpočtoch).

Nech je potrebné určiť hodnotu √x. Hľadanie vzorca odmocnina má nasledujúci tvar:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), kde lim n->∞ (a n) => x.

Poďme dešifrovať tento matematický zápis. Ak chcete vypočítať √x, mali by ste vziať určité číslo a 0 (môže byť ľubovoľné, ale ak chcete rýchlo získať výsledok, mali by ste ho zvoliť tak, aby (a 0) 2 bolo čo najbližšie k x. Potom ho dosaďte do uvedený vzorec na výpočet druhej odmocniny a získajte nové číslo a 1, ktoré už bude bližšie k požadovanej hodnote. Potom je potrebné do výrazu dosadiť a 1 a získať 2. Tento postup opakujte, kým sa dosiahne požadovaná presnosť.

Príklad použitia Heronovho iteračného vzorca

Algoritmus opísaný vyššie na získanie druhej odmocniny daného čísla môže znieť pre mnohých dosť komplikovane a mätúco, ale v skutočnosti sa všetko ukáže ako oveľa jednoduchšie, pretože tento vzorec sa veľmi rýchlo zbieha (najmä ak je zvolené úspešné číslo a 0) .

Uveďme jednoduchý príklad: musíte vypočítať √11. Vyberme si a 0 = 3, pretože 3 2 = 9, čo je bližšie k 11 ako 4 2 = 16. Dosadením do vzorca dostaneme:

a1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Nemá zmysel pokračovať vo výpočtoch, pretože sme zistili, že 2 a 3 sa začínajú líšiť len na 5. desatinnom mieste. Na výpočet √11 s presnosťou 0,0001 teda stačilo použiť vzorec iba 2 krát.

V dnešnej dobe sa na výpočet koreňov hojne využívajú kalkulačky a počítače, je však užitočné zapamätať si označený vzorec, aby bolo možné manuálne vypočítať ich presnú hodnotu.

Rovnice druhého rádu

Pochopenie toho, čo je druhá odmocnina a schopnosť vypočítať ju, sa využíva pri riešení kvadratických rovníc. Tieto rovnice sa nazývajú rovnosti s jednou neznámou, všeobecná forma ktorý je znázornený na obrázku nižšie.

Tu c, b a a predstavujú nejaké čísla a a sa nesmú rovnať nule a hodnoty c a b môžu byť úplne ľubovoľné, vrátane nuly.

Akékoľvek hodnoty x, ktoré spĺňajú rovnosť uvedenú na obrázku, sa nazývajú jej korene (tento koncept by sa nemal zamieňať s druhou odmocninou √). Keďže uvažovaná rovnica je 2. rádu (x 2), nemôžu pre ňu existovať viac ako dva korene. Pozrime sa ďalej v článku na to, ako tieto korene nájsť.

Nájdenie koreňov kvadratickej rovnice (vzorec)

Táto metóda riešenia posudzovaného typu rovnosti sa nazýva aj univerzálna metóda alebo diskriminačná metóda. Môže byť použitý pre akékoľvek kvadratické rovnice. Vzorec pre diskriminant a korene kvadratickej rovnice je nasledujúci:

Ukazuje, že korene závisia od hodnoty každého z troch koeficientov rovnice. Navyše výpočet x 1 sa líši od výpočtu x 2 iba znamienkom pred druhou odmocninou. Radikálny výraz, ktorý sa rovná b 2 - 4ac, nie je nič iné ako diskriminant príslušnej rovnosti. Diskriminant vo vzorci pre korene kvadratickej rovnice hrá dôležitá úloha, keďže určuje počet a typ riešení. Ak sa teda rovná nule, potom bude existovať iba jedno riešenie, ak je kladné, potom má rovnica dva skutočné korene a nakoniec negatívny diskriminant vedie k dvom komplexným koreňom x 1 a x 2.

Vietova veta alebo niektoré vlastnosti koreňov rovníc druhého rádu

IN koniec XVI storočia, jeden zo zakladateľov modernej algebry, Francúz, študujúci rovnice druhého rádu, dokázal získať vlastnosti jej koreňov. Matematicky sa dajú zapísať takto:

xi + x2 = -b/a a xi*x2 = c/a.

Obe rovnosti môže ľahko získať ktokoľvek, stačí splniť príslušné matematické operácie s koreňmi získanými prostredníctvom vzorca s diskriminantom.

Kombináciu týchto dvoch výrazov možno právom nazvať druhým vzorcom pre korene kvadratickej rovnice, ktorý umožňuje uhádnuť jej riešenia bez použitia diskriminantu. Tu je potrebné poznamenať, že hoci oba výrazy sú vždy platné, je vhodné ich použiť na riešenie rovnice iba vtedy, ak sa dá faktorizovať.

Úlohou upevniť nadobudnuté vedomosti

Poďme vyriešiť matematický problém, v ktorom budeme demonštrovať všetky techniky diskutované v článku. Podmienky problému sú nasledovné: musíte nájsť dve čísla, pre ktoré je súčin -13 a súčet je 4.

Táto podmienka nám okamžite pripomína Vietovu vetu pomocou vzorcov pre súčet odmocnín a ich súčinu, píšeme:

xi + x2 = -b/a = 4;

x 1 * x 2 = c/a = -13.

Ak predpokladáme, že a = 1, potom b = -4 a c = -13. Tieto koeficienty nám umožňujú vytvoriť rovnicu druhého rádu:

x 2 - 4 x - 13 = 0.

Použime vzorec s diskriminantom a získajme nasledujúce korene:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

To znamená, že problém sa zmenšil na nájdenie čísla √68. Všimnite si, že 68 = 4 * 17, potom pomocou vlastnosti druhej odmocniny dostaneme: √68 = 2√17.

Teraz použijeme uvažovaný vzorec druhej odmocniny: a 0 = 4, potom:

a1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Nie je potrebné počítať 3, pretože nájdené hodnoty sa líšia iba o 0,02. Teda √68 = 8,246. Dosadením do vzorca pre x 1,2 dostaneme:

x1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 a x2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Ako vidíme, súčet zistených čísel sa skutočne rovná 4, ale ak nájdeme ich súčin, potom sa bude rovnať -12,999, čo spĺňa podmienky úlohy s presnosťou 0,001.