Корень n -й степени и его основные свойства
Степень действительного числа а с натуральным показателем п есть произведение п сомножителей, каждый из которых равен а:
а1 = а; а2 =а· а; а n =
Например,
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
5 раз
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
4 раза
Действительное число а называют основанием степени, а натуральное число n - показателем степени.
Непосредственно из определения следуют основные свойства степеней с натуральными показателями: степень положительного числа с любым п е N положительна; степень отрицательного числа с четным показателем положительна, с нечетным - отрицательна.
Например,
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
Действия со степенями производятся по следующим правилам.
1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основание оставить прежним, то есть
Например, p5∙ p3 = p5+3 =p8
2. Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить прежним, то есть
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">
2. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели степеней, оставив основание прежним, то есть
(ап) m = ат·п. Например, (23)2 = 26.
4. Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить, то есть
(а b )п = ап ∙ b п .
Например, (2у3)2 = 4y6.
5. Чтобы взвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель и первый результат разделить на второй, то есть
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">
Отметим, что указанные формулы иногда бывает полезно читать справа налево. В этом случае они становятся правилами. Например, в случае 4, апвп = (ав)п получаем следующее правило: чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, оставив показатель прежним.
Использование этого правила эффективно, например, при вычислении следующего произведения
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=(= 1.
Приведем теперь определение корня.
Корнем n-й степени из действительного числа а называется действительное число х, n-я степень которого равна а.
Очевидно, что в соответствии с основными свойствами степеней с натуральными показателями, из любого положительного числа существует два противоположных значения корня четной степени, например, числа 4 и -4 являются корнями квадратными из 16, так как (-4)2 = 42 = 16, а числа 3 и -3 являются корнями четвертой степени из 81, так как (-3)4 = З4 = 81.
Кроме того, не существует корня четной степени из отрицательного числа, поскольку четная степень любого действительного числа неотрицательна . Что же касается корня нечетной степени, то для любого действительного числа существует только один корень нечетной степени из этого числа. Например, 3 есть корень третьей степени из 27, так как З3 = 27, а -2 есть корень пятой степени из -32, так как (-2)5 = 32.
В связи с существованием двух корней четной степени из положительного числа, введем понятие арифметического корня, чтобы устранить эту двузначность корня.
Неотрицательное значение корня n-й степени из неотрицательного числа называется арифметическим корнем.
Например, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.
Следует помнить, что при решении иррациональных уравнений их корни всегда рассматривают как арифметические.
Отметим основное свойство корня n-й степени.
Величина корня не изменится, если показатели корня и степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то есть
Пример 7. Привести к общему знаменателю и
Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!
Начнем с простенького:
Минуууточку. это, а это значит, что мы можем записать вот так:
Усвоил? Вот тебе следующий:
Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда - вот тебе такие примеры:
А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:
Теперь полностью самостоятельно:
Ответы: Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!
Деление корней
С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.
Напомню, что формула в общем виде выглядит так:
А значит это, что корень из частного равен частному корней.
Ну что, давай разбираться на примерах:
Вот и вся наука. А вот такой пример:
Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.
А что, если попадется такое выражение:
Надо просто применить формулу в обратном направлении:
А вот такой примерчик:
Еще ты можешь встретить такое выражение:
Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!
Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.
Возведение в степень
А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа - это число, квадратный корень которого равен.
Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен, в квадрат, то что получаем?
Ну, конечно, !
Рассмотрим на примерах:
Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!
Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.
Почитай теорию по теме « » и тебе все станет предельно ясно.
Вот, к примеру, такое выражение:
В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:
С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:
Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:
Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:
А вот и ответы:
Внесение под знак корня
Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!
Это совсем легко!
Допустим, у нас записано число
Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка - корень квадратный из!
Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:
Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.
Реши самостоятельно вот этот пример -
Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:
Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному - рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!
Сравнение корней
Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?
Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)
Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!
Например, определи, что больше: или?
Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?
Тогда вперед:
Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!
Т.е. если, значит, .
Отсюда твердо делаем вывод, что. И никто не убедит нас в обратном!
Извлечение корней из больших чисел
До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!
Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:
Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.
Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:
Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:
А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):
Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!
Вот и все, не так все и страшно, правда?
Получилось? Молодец, все верно!
А теперь попробуй вот такой пример решить:
А пример-то - крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.
Ну что, начнем раскладывать на множители? Сразу заметим, что можно поделить число на (вспоминаем признаки делимости):
А теперь, попробуй сам (опять же, без калькулятора!):
Ну что, получилось? Молодец, все верно!
Подведем итоги
- Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен.
. - Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
- Свойства арифметического корня:
- При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.
Как тебе квадратный корень? Все понятно?
Мы постарались объяснить тебе без воды все что нужно знать на экзамене про квадратный корень.
Теперь твоя очередь. Напиши нам сложная это для тебя тема или нет.
Узнал ты что-то новое или все было и так ясно.
Пиши в комментариях и удачи на экзаменах!
Материал этой статьи стоит рассматривать как часть темы преобразование иррациональных выражений . Здесь мы на примерах разберем все тонкости и нюансы (которых немало), возникающие при проведении преобразований на базе свойств корней.
Навигация по странице.
Вспомним свойства корней
Коль скоро мы собрались разбираться с преобразованием выражений с использованием свойств корней, то не помешает вспомнить основные , а еще лучше записать их на бумагу и расположить перед собой.
Сначала изучаются квадратные корни и следующие их свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа):
А позже представление о корне расширяется, вводится определение корня n-ой степени, и рассматриваются такие свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа, m , n , n 1 , n 2 , ..., n k - натуральные числа):
Преобразование выражений с числами под знаками корней
По обыкновению сначала учатся работать с числовыми выражениями, а уже после этого переходят к выражениям с переменными. Так поступим и мы, и сначала разберемся с преобразованием иррациональных выражений, содержащих под знаками корней только числовые выражения, а уже дальше в следующем пункте будем вводить под знаки корней и переменные.
Как это может быть использовано для преобразования выражений? Очень просто: например, иррациональное выражение мы можем заменить выражением или наоборот. То есть, если в составе преобразовываемого выражения содержится выражение, совпадающее по виду с выражением из левой (правой) части любого из перечисленных свойств корней, то его можно заменить соответствующим выражением из правой (левой) части. В этом и состоит преобразование выражений с использованием свойств корней.
Приведем еще несколько примеров.
Упростим выражение 
. Числа 3
, 5
и 7
положительные, поэтому мы можем спокойно применять свойства корней. Здесь можно действовать по-разному. Например, корень на базе свойства можно представить как , а корень с использованием свойства при k=3
- как , при таком подходе решение будет иметь такой вид:
Можно было поступить иначе, заменив на , и дальше на , в этом случае решение выглядело бы так:
Возможны и другие варианты решения, например, такой:
Разберем решение еще одного примера. Преобразуем выражение . Взглянув на список свойств корней, выбираем из него нужные нам свойства для решения примера, понятно, что здесь пригодятся два из них и , которые справедливы для любых a
. Имеем:
Как вариант, сначала можно было преобразовать выражения под знаками корней с использованием 
а уже дальше применять свойства корней
До этого момента мы преобразовывали выражения, которые содержат только квадратные корни. Пришло время поработать с корнями, имеющими другие показатели.
Пример.
Преобразуйте иррациональное выражение 
.
Решение.
По свойству 
первый множитель заданного произведения можно заменить числом −2
:
Идем дальше. Второй множитель в силу свойства можно представить как , а 81
не помешает заменить четверной степенью тройки, так как в остальных множителях под знаками корней фигурирует число 3
:
Корень из дроби целесообразно заменить отношением корней вида , которое можно преобразовать и дальше: 
. Имеем
Полученное выражение после выполнения действий с двойками примет вид , и остается преобразовать произведение корней.
Для преобразования произведений корней их обычно приводят к одному показателю, в качестве которого целесообразно брать показателей всех корней. В нашем случае НОК(12, 6, 12)=12
, и к этому показателю придется приводить лишь корень , так как остальные два корня уже имеют такой показатель. Справиться с этой задачей позволяет равенство , которое применяют справа налево. Так 
. Учитывая этот результат, имеем
Теперь произведение корней можно заменить корнем произведения и выполнить остальные, уже очевидные, преобразования:
Оформим краткий вариант решения:
Ответ:
.
Отдельно подчеркнем, что для применения свойств корней необходимо учитывать ограничения, наложенные на числа под знаками корней (a≥0 и т.п.). Их игнорирование может спровоцировать возникновение неверных результатов. Например, мы знаем, что свойство имеет место для неотрицательных a . На его основе мы спокойно можем перейти, к примеру, от к , так как 8 – положительное число. А вот если взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, например, , и на базе указанного выше свойства заменить его на , то мы фактически заменим −2 на 2 . Действительно, , а . То есть, при отрицательных a равенство может быть и неверным, как могут быть неверными и другие свойства корней без учета оговоренных для них условий.
Но сказанное в предыдущем пункте вовсе не означает, что выражения с отрицательными числами под знаками корней невозможно преобразовывать с использованием свойств корней. Их просто предварительно нужно «подготовить», применив правила действий с числами или воспользовавшись определением корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство , где −a
– отрицательное число (при этом a
– положительное). Например, нельзя сразу заменить на , так как −2
и −3
– отрицательные числа, но позволяет нам от корня перейти к , и уже дальше применять свойство корня из произведения: 
. А в одном из предыдущих примеров переходить от корня к корню восемнадцатой степени нужно было не так 
, а так 
.
Итак, для преобразования выражений с использованием свойств корней, надо
- выбрать подходящее свойство из списка,
- убедиться, что числа под корнем удовлетворяют условиям для выбранного свойства (в противном случае требуется выполнить предварительные преобразования),
- и провести задуманное преобразование.
Преобразование выражений с переменными под знаками корней
Для преобразования иррациональных выражений, содержащих под знаком корня не только числа, но и переменные, свойства корней, перечисленные в первом пункте этой статьи, приходится применять аккуратно. Связано это по большей части с условиями, которым должны удовлетворять числа, участвующие в формулах. Например, опираясь на формулу , выражение можно заменить выражением лишь для таких значений x , которые удовлетворяют условиям x≥0 и x+1≥0 , так как указанная формула задана для a≥0 и b≥0 .
Чем опасно игнорирование этих условий? Ответ на этот вопрос наглядно демонстрирует следующий пример. Допустим, нам нужно вычислить значение выражения при x=−2
. Если сразу подставить вместо переменной x
число −2
, то получим нужное нам значение 
. А теперь представим, что мы, исходя из каких-то соображений, преобразовали заданное выражение к виду , и только после этого решили вычислить значение. Подставляем вместо x
число −2
и приходим к выражению 
, которое не имеет смысла.
Давайте проследим, что происходит с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x
при переходе от выражения к выражению . ОДЗ мы упомянули не случайно, так как это серьезный инструмент контроля допустимости проделанных преобразований, и изменение ОДЗ после преобразования выражения должно как минимум насторожить. Найти ОДЗ для указанных выражений не составляет труда. Для выражения ОДЗ определяется из неравенства x·(x+1)≥0
, его решение дает числовое множество (−∞, −1]∪∪∪}
