Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 - х . Разность между ними 2х .

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2 + b х = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара пишет под видом:

х 2 - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A - A 2 , равно BD , то A равно В и равноD ».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + b )х - х 2 = ab ,

х 2 - (а + b )х + а b = 0,

х 1 = а, х 2 = b .

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2. Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Формулы корней квадратного уравнения. Рассмотрены случаи действительных, кратных и комплексных корней. Разложение на множители квадратного трехчлена. Геометрическая интерпретация. Примеры определения корней и разложения на множители.

Основные формулы

Рассмотрим квадратное уравнение:
(1) .
Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:
; .
Эти формулы можно объединить так:
.
Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):
.

Далее считаем, что - действительные числа.
Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения :
.
Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:
; .
Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:
.
Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:
.
Разложение на множители:
.
Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
;
.
Здесь - мнимая единица, ;
и - действительная и мнимая части корней:
; .
Тогда

.

Графическая интерпретация

Если построить график функции
,
который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения
.
При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках.
При , график касается оси абсцисс в одной точке.
При , график не пересекает ось абсцисс.

Ниже приводятся примеры таких графиков.

Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):




,
где
; .

Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:
.
Отсюда видно, что уравнение

выполняется при
и .
То есть и являются корнями квадратного уравнения
.

Примеры определения корней квадратного уравнения

Пример 1

(1.1) .

Решение

.
Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня:
;
;
.

Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:

.

График функции y = 2 x 2 + 7 x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках:
и .
Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).

Ответ

;
;
.

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:
(2.1) .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:
;
.

Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:
.

График функции y = x 2 - 4 x + 4 касается оси абсцисс в одной точке.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке:
.
Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:
,
то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:
.

Ответ

;
.

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения:
(3.1) .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
(1) .
Перепишем исходное уравнение (3.1):
.
Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.

Можно найти комплексные корни:
;
;
.

Тогда


.

График функции не пересекает ось абсцисс. Действительных корней нет.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.

Ответ

Действительных корней нет. Корни комплексные:
;
;
.

Некоторые задачи в математике требуют умения вычислять значение корня квадратного. К таким задачам относится решение уравнений второго порядка. В данной статье приведем эффективный метод вычисления квадратных корней и используем его при работе с формулами корней квадратного уравнения.

Что такое квадратный корень?

В математике этому понятию соответствует символ √. Исторические данные говорят, что он начал использоваться впервые приблизительно в первой половине XVI века в Германии (первый немецкий труд по алгебре Кристофа Рудольфа). Ученые полагают, что указанный символ является трансформированной латинской буквой r (radix означает "корень" на латыни).

Корень из какого-либо числа равен такому значению, квадрат которого соответствует подкоренному выражению. На языке математики это определение будет выглядеть так: √x = y, если y 2 = x.

Корень из положительного числа (x > 0) является также числом положительным (y > 0), однако если берут корень из отрицательного числа (x < 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Приведем два простых примера:

√9 = 3, поскольку 3 2 = 9; √(-9) = 3i, поскольку i 2 = -1.

Итерационная формула Герона для нахождения значений корней квадратных

Приведенные выше примеры являются очень простыми, и вычисление корней в них не представляет никакого труда. Сложности начинают появляться уже при нахождении значений корня для любого значения, которое не может быть представлено в виде квадрата натурального числа, например √10, √11, √12, √13, не говоря уже о том, что на практике необходимо находить корни для нецелых чисел: например √(12,15), √(8,5) и так далее.

Во всех вышеназванных случаях следует применять специальный метод вычисления корня квадратного. В настоящее время таких методов известно несколько: например разложение в ряд Тейлора, деление столбиком и некоторые другие. Из всех известных методов, пожалуй, наиболее простым и эффективным является использование итерационной формулы Герона, которая также известна как вавилонский способ определения квадратных корней (существуют свидетельства, что древние вавилоняне применяли ее в своих практических вычислениях).

Пусть необходимо определить значение √x. Формула нахождения квадратного корня имеет следующий вид:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), где lim n->∞ (a n) => x.

Расшифруем эту математическую запись. Для вычисления √x следует взять некоторое число a 0 (оно может быть произвольным, однако для быстрого получения результата следует выбирать его таким, чтобы (a 0) 2 было максимально близко к x. Затем подставить его в указанную формулу вычисления квадратного корня и получить новое число a 1 , которое уже будет ближе к искомому значению. После этого необходимо уже a 1 подставить в выражение и получить a 2 . Эту процедуру следует повторять до получения необходимой точности.

Пример применения итерационной формулы Герона

Описанный выше алгоритм получения корня квадратного из некоторого заданного числа для многих может звучать достаточно сложно и запутанно, на деле же оказывается все гораздо проще, поскольку эта формула сходится очень быстро (особенно если выбрано удачное число a 0).

Приведем простой пример: необходимо вычислить √11. Выберем a 0 = 3, так как 3 2 = 9, что ближе к 11, чем 4 2 = 16. Подставляя в формулу, получим:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Дальше нет смысла продолжать вычисления, поскольку мы получили, что a 2 и a 3 начинают отличаться лишь в 5-м знаке после запятой. Таким образом, достаточно было применить всего 2 раза формулу, чтобы вычислить √11 с точностью до 0,0001.

В настоящее время широко используются калькуляторы и компьютеры для вычисления корней, тем не менее отмеченную формулу полезно запомнить, чтобы иметь возможность вручную вычислять их точное значение.

Уравнения второго порядка

Понимание того, что такое корень квадратный, и умение его вычислять используется при решении квадратных уравнений. Этими уравнениями называют равенства с одной неизвестной, общий вид которых приведен на рисунке ниже.

Здесь c, b и a представляют собой некоторые числа, причем a не должно равняться нулю, а значения c и b могут быть совершенно произвольными, в том числе и равными нулю.

Любые значения икса, удовлетворяющие указанному на рисунке равенству, называются его корнями (следует не путать это понятие с квадратным корнем √). Поскольку рассматриваемое уравнение имеет 2-й порядок (x 2), то корней для него не может быть больше, чем два числа. Рассмотрим далее в статье, как находить эти корни.

Нахождения корней квадратного уравнения (формула)

Этот способ решения рассматриваемого типа равенств также называется универсальным, или методом через дискриминант. Его можно применять для любых квадратных уравнений. Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения имеет следующий вид:

Из нее видно, что корни зависят от значения каждого из трех коэффициентов уравнения. Более того, вычисление x 1 отличается от расчета x 2 только знаком перед корнем квадратным. Подкоренное выражение, которое равно b 2 - 4ac, является не чем иным, как дискриминантом рассматриваемого равенства. Дискриминант в формуле корней квадратного уравнения играет важную роль, поскольку он определяет число и тип решений. Так, если он равен нулю, то решение будет всего одно, если он положительный, то уравнение обладает двумя действительными корнями, наконец, отрицательный дискриминант приводит к двум комплексным корням x 1 и x 2 .

Теорема Виета или некоторые свойства корней уравнений второго порядка

В конце XVI века один из основоположников современной алгебры француз изучая уравнения второго порядка, смог получить свойства его корней. Математически их можно записать так:

x 1 + x 2 = -b / a и x 1 * x 2 = c / a.

Оба равенства легко может получить каждый, для этого необходимо лишь выполнить соответствующие математические операции с корнями, полученными через формулу с дискриминантом.

Совокупность этих двух выражений можно по праву назвать второй формулой корней квадратного уравнения, которая предоставляет возможность угадывать его решения, не используя при этом дискриминант. Здесь следует оговориться, что хотя оба выражения справедливы всегда, применять их для решения уравнения удобно только в том случае, если оно может быть разложено на множители.

Задача на закрепление полученных знаний

Решим математическую задачу, в которой продемонстрируем все приемы, обсуждаемые в статье. Условия задачи следующие: необходимо найти два числа, для которых произведение равно -13, а сумма составляет 4.

Это условие сразу напоминает о теореме Виета, применяя формулы суммы квадратных корней и их произведения, записываем:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Если предположить, что a = 1, тогда b = -4 и c = -13. Эти коэффициенты позволяют составить уравнение второго порядка:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Воспользуемся формулой с дискриминантом, получим следующие корни:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

То есть задача свелась к нахождению числа √68. Заметим, что 68 = 4 * 17, тогда, используя свойство квадратного корня, получим: √68 = 2√17.

Теперь воспользуемся рассмотренной формулой квадратного корня: a 0 = 4, тогда:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

В вычислении a 3 нет необходимости, поскольку найденные значения отличаются всего на 0,02. Таким образом, √68 = 8,246. Подставляя его в формулу для x 1,2 , получим:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 и x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Как видим, сумма найденных чисел действительно равна 4, если же найти их произведение, то оно будет равно -12,999, что удовлетворяет условию задачи с точностью до 0,001.

Квадратные уравнения. Дискриминант. Решение, примеры.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение ключевым словом является "квадратное". Оно означает, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение - это уравнение вида:

Здесь a, b и с – какие-то числа. b и c – совсем любые, а а – любое, кроме нуля. Например:

Здесь а =1; b = 3; c = -4

Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2

Здесь а =-3; b = 6; c = -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b = 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени. От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b и c равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями. Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе...

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде - первый этап делать не нужно.) Главное - правильно определить все коэффициенты, а , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант . Но о нём - ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с . Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, в уравнении:

а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте !

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a = -6; b = -5; c = -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения .

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с .

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0 ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с , а b !

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать: х 1 = 0 , х 2 = 4 .

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым - абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1 - то, что меньше, а х 2 - то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня. х 1 = -3 , х 2 = 3 .

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Волшебное слово дискриминант ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D . Формула дискриминанта:

D = b 2 - 4ac

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта? Ведь -b, или 2a в этой формуле специально никак не называют... Буквы и буквы.

Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых . Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта не обойтись. Особенно - в уравнениях с параметрами. Такие уравнения - высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с . Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1 , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

Если получилось - надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, - избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке "Как решать уравнения? Тождественные преобразования". При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно .

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Теперь можно и порешать.)

Решить уравнения:

8х 2 - 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 - 4x + 4 = 0

(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 = 2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

х - любое число

х 1 = -3
х 2 = 3

решений нет

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения - не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные - нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.