Знаки математических операций. Математический знаки и символы

Балагин Виктор

С открытием математических правил и теорем ученые придумывали новые математические обозначения, знаки. Математические знаки - это условные обозначения, предназначенные для записи математических понятий, предложений и выкладок. В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение. Помимо цифр и букв различных алфавитов (латинского, греческого, еврейского) математический язык используют множество специальных символов, изобретенных за последние несколько столетий.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ.

Работу выполнил

Ученик 7-а класса

ГБОУ СОШ № 574

Балагин Виктор

2012-2013 уч.год

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ.

1. Введение

Слово математика пришло к нам из древнегреческого, где μάθημα означало "учиться", "приобретать знания". И не прав тот, кто говорит: "Мне не нужна математика, я ведь не собираюсь стать математиком". Математика нужна всем. Раскрывая удивительный мир окружающих нас чисел, она учит мыслить яснее и последовательнее, развивает мысль, внимание, воспитывает настойчивость и волю. М.В.Ломоносов говорил: "Математика ум в порядок приводит". Одним словом, математика учит нас учиться приобретать знания.

Математика – это первая наука, которую смог освоить человек. Самой древней деятельностью был счёт. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов с помощью пальцев рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся, до наших времён от каменного века изображает число 35 в виде нарисованных в ряд 35 палочек. Можно сказать, что 1 палочка – это первый математический символ.

Математическая "письменность", которую мы сейчас используем - от обозначений неизвестных буквами x, y, z до знака интеграла - складывалась постепенно. Развитие символики упрощало работу с математическими операциями и способствовало развитию самой математики.

С древнегреческого «символ» (греч. symbolon – признак, примета, пароль, эмблема) – знак, который связан с обозначаемой им предметностью так, что смысл знака и его предмет представлены только самим знаком и раскрываются лишь через его интерпретацию.

С открытием математических правил и теорем ученые придумывали новые математические обозначения, знаки. Математические знаки - это условные обозначения, предназначенные для записи математических понятий, предложений и выкладок. В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение. Помимо цифр и букв различных алфавитов (латинского, греческого, еврейского) математический язык используют множество специальных символов, изобретенных за последние несколько столетий.

2. Знаки сложения, вычитания

История математических обозначений начинается с палеолита. Этим временем датируются камни и кости с насечками, использовавшимися для счета. Наиболее известный пример - кость Ишанго . Знаменитая кость из Ишанго (Конго) датируемая примерно 20 тысяч лет до новой эры, доказывает, что уже в то время человек выполнял достаточно сложные математические операции. Насечки на кости использовались для сложения и наносились группами, символизируя сложения чисел.

В Древнем Египте была уже намного более продвинутая система обозначений. Например, в папирусе Ахмеса в качестве символа сложения используется изображение двух ног, идущих вперед по тексту, а для вычитания - двух ног, идущих назад. Древние греки обозначали сложение записью рядом, но время от времени использовали для этого символ косой черты “/’’ и полуэллиптическую кривую для вычитания.

Символы для арифметических операций сложения (плюс “+’’) и вычитания (минус “-‘’) встречаются настолько часто, что мы почти никогда не задумываемся о том, что они существовали не всегда. Происхождение этих символов неясно. Одна из версий - они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка.

Считается, так же, что наш знак происходит от одной из форм слова “et’’, которое по-латыни значит “и’’. Выражение a + b писалось на латыни так: a et b . Постепенно, из-за частого использования, от знака " et " осталось только " t " , которое, со временем превратилось в " + ". Первым человеком, который, возможно, использовал знак как аббревиатуру для et, был астроном Николь д’Орем (автор книги “The Book of the Sky and the World’’ - “Книги неба и мира’’) в середине четырнадцатого века.

В конце пятнадцатого века французский математик Шике (1484 г.) и итальянский Пачоли (1494 г.) использовали “ ’’ или “ ’’ (обозначая “плюс’’) для сложения и “ ’’ или “ ’’ (обозначая “минус’’) для вычитания.

Обозначения вычитания были более запутанными, так как вместо простого знака “ ” в немецких, швейцарских и голландских книгах иногда использовали символ “÷’’, которым мы сейчас обозначаем деление. В нескольких книгах семнадцатого века (например, у Декарта и Мерсенна) использованы две точки “∙ ∙’’ или три точки “∙ ∙ ∙’’ для обозначения вычитания.

Первое использование современного алгебраического знака “ ” относится к немецкой рукописи по алгебре 1481 г., которая была найдена в библиотеке Дрездена. В латинской рукописи того же времени (также из библиотеки Дрездена), есть оба символа: « » и « - » . Систематическое использование знаков « » и « - » для сложения и вычитания встречается у Иоганна Видмана . Немецкий математик Иоганн Видманн (1462-1498) первым использовал оба знака для пометок присутствия и отсутствия студентов на своих лекциях. Правда, есть сведения, что он "позаимствовал" эти знаки у малоизвестного профессора Лейпцигского университета. В 1489 году он издал в Лейпциге первую печатную книгу (Mercantile Arithmetic - “Коммерческая арифметика’’), в которой присутствовали оба знака и , в труде «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев» (ок. 1490)

Как исторический курьез, стоит отметить, что даже после принятия знака не все использовали этот символ. Видман сам ввел его как греческий крест (знак, который мы используем сегодня), у которого горизонтальная черта иногда немного длиннее вертикальный. Некоторые математики, такие как Рекорд, Харриот и Декарт, использовали такой же знак. Другие (например, Юм, Гюйгенс, и Ферма) использовали латинский крест « † », иногда расположенный горизонтально, с перекладиной на одном конце или на другом. Наконец, некоторые (например, Галлей) использовали более декоративный вид « ».

3.Знак равенства

Знак равенства в математике и других точных науках пишут между двумя идентичными по своему размеру выражениями. Первым употребил знак равенства Диофант. Равенство он обозначил буквой i (от греческого isos – равный). В античной и средневековой математике равенство обозначалось словесно, например, est egale, или использовали аббревиатуру “ae’’ от латинского aequalis - “равны’’. На других языках также использовали первые буквы слова “равный’’, но это не было общепринятым. Знак равенства "=" ввел в 1557 году уэльский врач и математик Роберт Рекорд (Recorde R., 1510-1558). Математическим символом для обозначения равенства служил в некоторых случаях символ II. Рекорд ввел символ “=’’ с двумя одинаковыми горизонтальными параллельными отрезками, гораздо более длинными, чем те, что используются сегодня. Английский математик Роберт Рекорд был первым, кто начал использовать символ "равенство", аргументируя словами: "никакие два предмета не могут быть равны между собой более, чем два параллельных отрезка". Но ещё в XVII веке Рене Декарт использовал аббревиатуру “ae’’. Франсуа Виет знаком равенства обозначал вычитание. Некоторое время распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. Распространение знак получил только после работ Лейбница на рубеже XVII-XVIII веков, то есть более чем через 100 лет после смерти впервые использовавшего его для этого Роберта Рекорда . На его могильной плите нет слов – просто вырезан знак «равно».

Родственные символы для обозначения приблизительного равенства "≈" и тождества "≡" являются совсем молодыми - первый введен в 1885 году Гюнтером, второй - в 1857 году Риманом

4. Знаки умножения и деления

Знак умножения в виде крестика ("х") ввел англиканский священник-математик Уильям Отред в 1631 году . До него для знака умножения использовали букву M, хотя предлагались и другие обозначения: символ прямоугольника (Эригон , ), звёздочка (Иоганн Ран , ).

Позднее Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века ), чтобы не путать его с буквой x ; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век ) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560-1621).

Для обозначения действия деления Отред предпочитал косую черту. Двоеточием деление стал обозначать Лейбниц . До них часто использовали также букву D. Начиная с Фибоначчи , используется также черта дроби, употреблявшаяся ещё в арабских сочинениях. Деление в виде обелюс ("÷") ввел швейцарский математик Иоганн Ран (ок. 1660)

5. Знак процента .

Сотая доля целого, принимаемого за единицу. Само слово «процент» происходит от латинского "pro centum", что означает в переводе "на сто". В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта (1685). В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращённо от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал "%". Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.

6.Знак бесконечности

Нынешний символ бесконечности "∞" ввел в употребление Джон Уоллис в 1655 году. Джон Уоллис издал большой трактат «Арифметика бесконечного» (лат. Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata ), где ввёл придуманный им символ бесконечности . До сих пор так и не известно, почему он остановил свой выбор именно на этом знаке. Одна из наиболее авторитетных гипотез связывает происхождение этого символа с латинской буквой «М», которую римляне использовали для обозначения числа 1000. Символ бесконечности назван "lemniscus" (лат. лента) математиком Бернулли приблизительно сорок лет спустя.

Другая версия говорит о том, что рисунок «восьмерки» передает главное свойство понятия «бесконечность»: движение без конца . По линиям числа 8 можно совершать, как по велотреку, бесконечное движение. Для того, чтобы не путать введенный знак с числом 8, математики решили располагать его горизонтально. Получилось . Такое обозначение cтало стандартным для всей математики, не только алгебры. Почему бесконечность не обозначают нулем? Ответ очевиден: цифру 0 как не поворачивай - она не изменится. Поэтому выбор и пал именно на 8.

Другой вариант - змей, пожирающий свой хвост, который за полторы тысячи лет до нашей эры в Египте символизировал различные процессы, не имеющие начала и конца.

Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности , т.к символ бесконечности был запатентован после изобретения устройства "лента Мебиуса" (названный в честь математика девятнадцатого столетия Мебиуса). Лента Мебиуса - полоса бумаги, которая искривлена и соединена концами, формируя две пространственные поверхности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ бесконечности стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса

7. Знаки угл а и перпендикулярно сти

Символы « угол » и « перпендикулярно » придумал в 1634 году французский математик Пьер Эригон . Символ перпендикулярности у него был перевёрнут, напоминая букву T. Символ угла напоминал значок , современную форму ему придал Уильям Отред ().

8. Знак параллельност и

Символ « параллельности » известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский . Сначала символ был похож на нынешний знак равенства, но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повёрнут вертикально (Отред (1677), Керси (John Kersey ) и др. математики XVII века)

9. Число пи

Общепринятое обозначение числа, равного отношению длины окружности к ее диаметру (3,1415926535...), впервые образовал Уильям Джонс в 1706 году , взяв первую букву греческих слов περιφέρεια - окружность и περίμετρος - периметр , то есть длина окружности. Это сокращение понравилось Эйлеру , труды которого закрепили обозначение окончательно.

10. Синус и косинус

Интересно появление синуса и косинуса.

Sinus с латинского - пазуха, впадина. Но история у такого названия долгая. Далеко в тригонометрии продвинулись индийские математики в районе 5 века. Самого слова "тригонометрия" не было, оно было введено Георгом Клюгелем в 1770 году.) То, что мы сейчас называем синусом, примерно соответствует тому, что индусы называли ардха-джия, в переводе - полутетива (т.е. полухорда). Для краткости называли просто - джия (тетива). Когда арабы переводили работы индусов с санскрита, они не стали переводить "тетиву" на арабский, а просто транскрибировали слово арабскими буквами. Получилась джиба. Но так как в слоговой арабской письменности краткие гласные не обозначаются, то реально остается дж-б, что похоже на другое арабское слово - джайб (впадина, пазуха). Когда Герард Кремонский в 12 веке переводил арабов на латынь, он перевел это слово как sinus, что по-латыни также означает пазуху, углубление.

Косинус появился автоматически, т.к. индусы называли его коти-джия, или сокращено ко-джия. Коти - изогнутый конец лука на санскрите. Современные краткие обозначения и введены Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера .

Обозначения тангенса/котангенса имеют намного более позднее происхождение (английское слово tangent происходит от латинского tangere - касаться). И даже до сих пор нет унифицированного обозначения - в одних странах чаще используется обозначение tan, в других - tg

11. Сокращение «Что и требовалось доказать» (ч.т.д.)

« Quod erat demonstrandum » (квол эрат лэмонстранлум).
Греческая фраза имеет значение «что требовалось доказывать», а латинская - «что нужно было показать». Этой формулой заканчивается каждое математическое рассуждение великого греческого математика Древней Греции Эвклида (III в. до н. э.). В переводе с латинского - что и требовалось доказать. В средневековых научных трактатах эту формулу писали часто в сокращенном виде: QED.

12. Математические обозначения.

13. Заключение

Математическая наука необходима для цивилизованного общества. Математика содержится во всех науках. Математический язык смешивается с языком химии и физики. Но нам он все равно понятен. Можно сказать, что язык математики мы начинаем изучать вместе с родной речью. Так неразрывно вошла математика в нашу жизнь. Благодаря математическим открытиям прошлого, ученые создают новые технологии. Сохранившиеся открытия дают возможность решать сложные математически задачи. И древний математический язык нам понятен, а открытия нам интересны. Благодаря математике Архимед, Платон, Ньютон открыли физические законы. Мы изучаем их в школе. В физике тоже есть символы термины присущие физической науке. Но математический язык не теряется среди физических формул. Наоборот, эти формулы нельзя написать без знания математики. Благодаря истории сохраняются знания и факты для будущих поколений. Дальнейшее изучение математики необходимо для новых открытий. Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Математические символы Работу выполнил ученик 7-а класса школы №574 Балагин Виктор

Символ (греч. symbolon – признак, примета, пароль, эмблема) – знак, который связан с обозначаемой им предметностью так, что смысл знака и его предмет представлены только самим знаком и раскрываются лишь через его интерпретацию. Знаки – это математические условные обозначения, предназначенные для записи математических понятий, предложений и выкладок.

Кость Ишанго Часть папируса Ахмеса

+ − Знаки плюса и минуса. Сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание - буквой m (minus). Выражение a + b писалось на латыни так: a et b .

Обозначения вычитания. ÷ ∙ ∙ или ∙ ∙ ∙ Рене Декарт Марен Мерсенн

Страница из книги Иоганна Видман н а. В 1489 году Иоганн Видман издал в Лейпциге первую печатную книгу (Mercantile Arithmetic - “ Коммерческая арифметика’’), в которой присутствовали оба знака + и -

Обозначения сложения. Христиан Гюйгенс Дэвид Юм Пьер де Ферма Эдмунд (Эдмонд) Галлей

Знак равенства Первым употребил знак равенства Диофант. Равенство он обозначил буквой i (от греческого isos – равный).

Знак равенства Предложил в 1557 году английский математик Роберт Рекорд «Никакие два предмета не могут быть равны между собой более, чем два параллельных отрезка". В континентальной Европе знак равенства был введён Лейбницем

× ∙ Знак умножения Ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия) в виде косого крестика. Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x . Уильям Отред Готфрид Вильгельм Лейбниц

Процент. Матье де ла Порт (1685). Сотая доля целого, принимаемого за единицу. «процент» - "pro centum", что означает - "на сто". «cto» (сокращённо от cento). Н аборщик принял «cto» за дробь и напечатал "%".

Бесконечность. Джон Уоллис Джон Уоллис в 1655 году ввёл придуманный им символ. Змей, пожирающий свой хвост, символизировал различные процессы, не имеющие начала и конца.

Символ бесконечности стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса Лента Мебиуса – полоса бумаги, которая искривлена и соединена концами, формируя две пространственные поверхности. Август Фердинанд Мёбиус

Угол и перпендикуляр. Символы придумал в 1634 году французский математик Пьер Эригон. Символ угла у Эригона напоминал значок. Символ перпендикулярности был перевёрнут, напоминая букву T . Современную форму этим знакам придал Уильям Отред (1657).

Параллельность. Символ использовали Герон Александрийский и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства, но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повёрнут вертикально. Герон Александрийский

Число пи. π ≈ 3,1415926535... Уильям Джонс в 1706 году π εριφέρεια -окружность и π ερίμετρος - периметр, то есть длина окружности. Это сокращение понравилось Эйлеру, труды которого закрепили обозначение окончательно. Уильям Джонс

sin Синус и косинус cos Sinus (с латинского) – пазуха, впадина. коти-джия, или сокращено ко-джия. Коти - изогнутый конец лука Современные краткие обозначения введены Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера. «арха-джива» - у индийцев -«полутетива» Леонард Эйлер Уильям Отред

Что и требовалось доказать (ч.т.д.) « Quod erat demonstrandum » QED. Этой формулой заканчивается каждое математическое рассуждение великого математика Древней Греции Эвклида (III в. до н. э.).

Древний математический язык нам понятен. В физике тоже есть символы термины присущие физической науке. Но математический язык не теряется среди физических формул. Наоборот, эти формулы нельзя написать без знания математики.

Математические знаки

Бесконечность. Дж.Валлис (1655).

Впервые встречается в трактате английского математика Джон Валиса «О конических сечениях».

Основание натуральных логарифмов. Л.Эйлер (1736).

Математическая константа, трансцендентное число. Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614). Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода.

2,71828182845904523…

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b , встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690–1691 годы. Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера . Почему была выбрана именно буква e , точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a , b , c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой.

Отношение длины окружности к диаметру. У.Джонс (1706), Л.Эйлер (1736).

Математическая константа, иррациональное число. Число «пи», старое название – лудольфово число. Как и всякое иррациональное число, π представляется бесконечной непереодической десятичной дробью:

π=3,141592653589793…

Впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский математик Уильям Джонс в книге «Новое введение в математику», а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφερεια – окружность, периферия и περιμετρος – периметр. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность π в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал иррациональность π 2 . Лежандр, и Эйлер предполагали, что π может быть трансцендентным, т.е. не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.

Мнимая единица. Л.Эйлер (1777, в печати – 1794).

Известно, что уравнение х 2 =1 имеет два корня: 1 и –1 . Мнимая единица – это один из двух корней уравнения х 2 =–1 , обозначается латинской буквой i , ещё один корень: –i . Это обозначение предложил Леонард Эйлер, взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius (мнимый). Он же распространил все стандартные функции на комплексную область, т.е. множество чисел, представимых в виде a+ib , где a и b – действительные числа. В широкое употребление термин «комплексное число» ввёл немецкий математик Карл Гаусс в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Единичные векторы. У.Гамильтон (1853).

Единичные векторы часто связывают с координатными осями системы координат (в частности, с осями декартовой системы координат). Единичный вектор, направленный вдоль оси Х , обозначается i , единичный вектор, направленный вдоль оси Y , обозначается j , а единичный вектор, направленный вдоль оси Z , обозначается k . Векторы i , j , k называются ортами, они имеют единичные модули. Термин «орт» ввёл английский математик, инженер Оливер Хевисайд (1892), а обозначения i , j , k – ирландский математик Уильям Гамильтон.

Целая часть числа, антье. К.Гаусс (1808).

Целой частью числа [х] числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Так, =5, [–3,6]=–4. Функцию [х] называют также «антье от х». Символ функции «целая часть» ввёл Карл Гаусс в 1808 году. Некоторые математики предпочитают использовать вместо него обозначение E(x), предложенное в 1798 году Лежандром.

Угол параллельности. Н.И. Лобачевский (1835).

На плоскости Лобачевского – угол между прямой b , проходящей через точку О параллельно прямой a , не содержащей точку О , и перпендикуляром из О на a . α – длина этого перпендикуляра. По мере удаления точки О от прямой a угол параллельности убывает от 90° до 0°. Лобачевский дал формулу для угла параллельности П(α)=2arctg e –α/q , где q - некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского.

Неизвестные или переменные величины. Р. Декарт (1637).

В математике переменная – это величина, характеризующаяся множеством значений, которое она может принимать. При этом может иметься в виду как реальная физическая величина, временно рассматриваемая в отрыве от своего физического контекста, так и некая абстрактная величина, не имеющая никаких аналогов в реальном мире. Понятие переменной возникло в XVII в. первоначально под влиянием запросов естествознания, выдвинувшего на первый план изучение движения, процессов, а не только состояний. Это понятие требовало для своего выражения новых форм. Такими новыми формами и явились буквенная алгебра и аналитическая геометрия Рене Декарта. Впервые прямоугольную систему координат и обозначения х, у ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

Вектор. О.Коши (1853).

С самого начала вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел у Гаусса (1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (от латинского слова vector , несущий ) и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид. Сам знак вектора ввёл в использование французский математик Огюстен Луи Коши в 1853 году.

Сложение, вычитание. Я.Видман (1489).

Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в учебнике Яна (Йоханнеса) Видмана «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев», изданном в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (от латинского plus «больше») или латинским словом et (союз «и»), а вычитание – буквой m (от латинского minus «менее, меньше»). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа вскоре получили общее распространение в Европе - за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения.

Умножение. У.Оутред (1631), Г.Лейбниц (1698).

Знак умножения в виде косого крестика ввёл в 1631 году англичанин Уильям Оутред. До него использовали чаще всего букву M , хотя предлагались и другие обозначения: символ прямоугольника (французский математик Эригон, 1634), звёздочка (швейцарский математик Иоганн Ран, 1659). Позднее Готфрид Вильгельм Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x ; до него такая символика встречалась у немецкого астронома и математика Региомонтана (XV век) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560 –1621).

Деление. И.Ран (1659), Г.Лейбниц (1684).

Уильям Оутред в качестве знака деления использовал косую черту /. Двоеточием деление стал обозначать Готфрид Лейбниц. До них часто использовали также букву D . Начиная с Фибоначчи, используется также горизонтальная черта дроби, употреблявшаяся ещё у Герона, Диофанта и в арабских сочинениях. В Англии и США распространение получил символ ÷ (обелюс), который предложил Иоганн Ран (возможно, при участии Джона Пелла) в 1659 году. Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам (National Committee on Mathematical Requirements ) вывести обелюс из практики (1923) оказалась безрезультатной.

Процент. М. де ла Порт (1685).

Сотая доля целого, принимаемого за единицу. Само слово «процент» происходит от латинского «pro centum», что означает в переводе «на сто». В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращённо от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.

Степени. Р.Декарт (1637), И.Ньютон (1676).

Современная запись показателя степени введена Рене Декартом в его «Геометрии » (1637), правда, только для натуральных степеней с показателями больших 2. Позднее, Исаак Ньютон распространил эту форму записи на отрицательные и дробные показатели (1676), трактовку которых к этому времени уже предложили: фламандский математик и инженер Симон Стевин, английский математик Джон Валлис и французский математик Альбер Жирар.

Корни. К.Рудольф (1525), Р.Декарт (1637), А.Жирар (1629).

Арифметический корень n -й степени из действительного числа а ≥0, – неотрицательное число n -я степень которого равна а . Арифметический корень 2-й степени называется квадратным корнем и может записываться без указания степени: √. Арифметический корень 3-й степени называется кубическим корнем. Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень символом R x (от латинского Radix , корень). Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов, в 1525 году. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова radix . Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня. Кубический корень в XVI веке обозначался следующим образом: R x .u.cu (от лат. Radix universalis cubica ). Привычное нам обозначение корня произвольной степени начал использовать Альбер Жирар (1629). Закрепился этот формат благодаря Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу.

Логарифм, десятичный логарифм, натуральный логарифм. И.Кеплер (1624), Б.Кавальери (1632), А. Принсхейм (1893).

Термин «логарифм» принадлежит шотландскому математику Джону Неперу («Описание удивительной таблицы логарифмов», 1614); он возник из сочетания от греческих слов λογος (слово, отношение) и αριθμος (число). Логарифм у Дж. Непера – вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Современное определение логарифма впервые дано английским математиком Уильямом Гардинером (1742). По определению, логарифм числа b по основанию a (a ≠ 1, a > 0 ) – показатель степени m , в которую следует возвести число a (называемое основанием логарифма), чтобы получить b . Обозначается log a b. Итак, m = log a b, если a m = b.

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Термин «натуральный логарифм» ввели Пьетро Менголи (1659) и Николас Меркатор (1668), хотя лондонский учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов.

До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log , то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания – ниже строки, после символа log . Знак логарифма – результат сокращения слова «логарифм» – встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц логарифмов, например Log – у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log – у Б. Кавальери (1632). Обозначение ln для натурального логарифма ввёл немецкий математик Альфред Прингсхейм (1893).

Синус, косинус, тангенс, котангенс. У.Оутред (сер. XVII века), И.Бернулли (XVIII в.), Л.Эйлер (1748, 1753).

Сокращённые обозначения для синуса и косинуса ввёл Уильям Оутред в середине XVII века. Сокращённые обозначения тангенса и котангенса: tg, ctg введены Иоганном Бернулли в XVIII веке, они получили распространение в Германии и России. В других странах употребляются названия этих функций tan, cot предложенные Альбером Жираром ещё ранее, в начале XVII века. В современную форму теорию тригонометрических функций привёл Леонард Эйлер (1748, 1753), ему же мы обязаны и закреплением настоящей символики. Термин «тригонометрические функции» введён немецким математиком и физиком Георгом Симоном Клюгелем в 1770 году.

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива» . Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар» , обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» . Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб» , что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus , имеющим то же значение. Термин «тангенс» (от лат. tangens – касающийся) был введен датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (1583).

Арксинус. К.Шерфер (1772), Ж.Лагранж (1772).

Обратные тригонометрические функции – математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям. Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк» (от лат. arc – дуга). К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg), арккотангенс (arcctg), арксеканс (arcsec) и арккосеканс (arccosec). Впервые специальные символы для обратных тригонометрических функций использовал Даниил Бернулли (1729, 1736). Манера обозначать обратные тригонометрических функции с помощью приставки arc (от лат. arcus , дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера и закрепилась благодаря французскому математику, астроному и механику Жозефу Луи Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: sin –1 и 1/sin, но они не получили широкого распространения.

Гиперболический синус, гиперболический косинус. В.Риккати (1757).

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил итальянец Винченцо Риккати в 1757 году в работе «Opusculorum», он же предложил их обозначения: sh , ch . Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы. Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено немецким математиком, физиком и философом Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н.И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой обычная тригонометрия заменяется на гиперболическую.

Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе. Гиперболические функции выражаются через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями: sh(x)=0,5(e x –e –x ) , ch(x)=0,5(e x +e –x ). По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс как отношения гиперболических синуса и косинуса, косинуса и синуса, соответственно.

Дифференциал. Г.Лейбниц (1675, в печати 1684).

Главная, линейная часть приращения функции. Если функция y=f(x) одного переменного x имеет при x=x 0 производную, и приращение Δy=f(x 0 +?x)–f(x 0) функции f(x) можно представить в виде Δy=f"(x 0)Δx+R(Δx ) , где член R бесконечно мал по сравнению с Δx . Первый член dy=f"(x 0)Δx в этом разложении и называется дифференциалом функции f(x) в точке x 0 . В работах Готфрида Лейбница, Якоба и Иоганна Бернулли слово «differentia» употреблялось в смысле «приращение», его И. Бернулли обозначал через Δ. Г. Лейбниц (1675, в печати 1684) для «бесконечно малой разности» использовал обозначение d – первую букву слова «differential» , образованого им же от «differentia» .

Неопределённый интеграл. Г.Лейбниц (1675, в печати 1686).

Слово «интеграл» впервые в печати употребил Якоб Бернулли (1690). Возможно, термин образован от латинского integer – целый. По другому предположению, основой послужило латинское слово integro – приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Знак ∫ используется для обозначения интеграла в математике и представляет собой стилизованное изображение первой буквы латинского слова summa – сумма. Впервые он был использован немецким математиком основателем дифференциального и интегрального исчислений Готфридом Лейбницем в конце XVII века. Другой из основателей дифференциального и интегрального исчислений Исаак Ньютон в своих работах не предложил альтернативной символики интеграла, хотя пробовал различные варианты: вертикальную черту над функцией или символ квадрата, который стоит перед функцией или окаймляет её. Неопределённый интеграл для функции y=f(x) - это совокупность всех первообразных данной функции.

Определённый интеграл. Ж.Фурье (1819–1822).

Определённый интеграл функции f(x) с нижним пределом a и верхним пределом b можно определить как разность F(b) – F(a) = a ∫ b f(x)dx , где F(х) – некоторая первообразная функции f(x) . Определённый интеграл a ∫ b f(x)dx численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком функции f(x) . Оформление определённого интеграла в привычном нам виде предложил французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье в начале XIX века.

Производная. Г.Лейбниц (1675), Ж.Лагранж (1770, 1779).

Производная – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции f(x) при изменении аргумента x . Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс – интегрирование. В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Термин «производная» ввёл Жозеф Луи Лагранж в 1797 году, обозначения производной с помощью штриха – он же (1770, 1779), а dy/dx – Готфрид Лейбниц в 1675 году. Манера обозначать производную по времени точкой над буквой идёт от Ньютона (1691). Русский термин «производная функции» впервые употребил русский математик Василий Иванович Висковатов (1779–1812).

Частная производная. А. Лежандр (1786), Ж.Лагранж (1797, 1801).

Для функций многих переменных определяются частные производные – производные по одному из аргументов, вычисленные в предположении, что остальные аргументы постоянны. Обозначения ∂f/∂x , ∂z/∂y ввёл французский математик Адриен Мари Лежандр в 1786 году; f x ‘ , z x ‘ – Жозеф Луи Лагранж (1797, 1801); ∂ 2 z/∂x 2 , ∂ 2 z/∂x∂y – частные производные второго порядка – немецкий математик Карл Густав Якоб Якоби (1837).

Разность, приращение. И.Бернулли (кон. XVII в. – перв. пол. XVIII в.), Л.Эйлер (1755).

Обозначение приращения буквой Δ впервые употребил швейцарский математик Иоганн Бернулли. В общую практику использования символ «дельта» вошёл после работ Леонарда Эйлера в 1755 году.

Сумма. Л.Эйлер (1755).

Сумма – результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Для обозначения суммы n чисел a 1 , a 2 , …, a n применяется греческая буква «сигма» Σ: a 1 + a 2 + … + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i . Знак Σдля суммы ввёл Леонард Эйлер в 1755 году.

Произведение. К.Гаусс (1812).

Произведение – результат умножения. Для обозначения произведения n чисел a 1 , a 2 , …, a n применяется греческая буква «пи» Π: a 1 · a 2 · … · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Например, 1 · 3 · 5 · … · 97 · 99 = ? 50 1 (2i–1). Знак Π для произведения ввёл немецкий математик Карл Гаусс в 1812 году. В русской математической литературе термин «произведение» впервые встречается у Леонтия Филипповича Магницкого в 1703 году.

Факториал. К.Крамп (1808).

Факториал числа n (обозначается n!, произносится «эн факториал») – произведение всех натуральных чисел до n включительно: n! = 1·2·3·…·n. Например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Факториал числа n равен числу перестановок из n элементов. Например, 3! = 6, действительно,

– все шесть и только шесть вариантов перестановок из трёх элементов.

Термин «факториал» ввёл французский математик и политический деятель Луи Франсуа Антуан Арбогаст (1800), обозначение n! – французский математик Кристиан Крамп (1808).

Модуль, абсолютная величина. К.Вейерштрасс (1841).

Модуль, абсолютная величина действительного числа х – неотрицательное число, определяемое следующим образом: |х| = х при х ≥ 0, и |х| = –х при х ≤ 0. Например, |7| = 7, |– 0,23| = –(–0,23) = 0,23. Модуль комплексного числа z = a + ib – действительное число, равное √(a 2 + b 2).

Считают, что термин «модуль» предложил использовать английский математик и философ, ученик Ньютона, Роджер Котс. Готфрид Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл «модулем» и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели французские математики Огюстен Коши и Жан Робер Арган в начале XIX века. В 1903 году австрийский учёный Конрад Лоренц использовал эту же символику для длины вектора.

Норма. Э.Шмидт (1908).

Норма – функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или модуля числа. Знак «нормы» (от латинского слово «norma» – «правило», «образец») ввел немецкий математик Эрхард Шмидт в 1908 году.

Предел. С.Люилье (1786), У.Гамильтон (1853), многие математики (вплоть до нач. ХХ в.)

Предел – одно из основных понятий математического анализа, означающее, что некоторая переменная величина в рассматриваемом процессе ее изменения неограниченно приближается к определенному постоянному значению. Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Исааком Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Бернард Больцано в 1816 году и Огюстен Коши в 1821 году. Символ lim (3 первые буквы от латинского слова limes – граница) появился в 1787 году у швейцарского математика Симона Антуана Жана Люилье, но его использование ещё не напоминало современное. Выражение lim в более привычном для нас оформлении первым использовал ирландский математик Уильям Гамильтон в 1853 году. Близкое к современному обозначение ввёл Вейерштрасс, однако вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков – например, у английского математика Годфрида Харди в 1908 году.

Дзета-функция, дзета-функция Римана. Б.Риман (1857).

Аналитическая функция комплексного переменного s = σ + it, при σ > 1 определяемая абсолютно и равномерно сходящимся рядом Дирихле:

ζ(s) = 1 –s + 2 –s + 3 –s + … .

При σ > 1 справедливо представление в виде произведения Эйлера:

ζ(s) = Π p (1–p –s) –s ,

где произведение берётся по всем простым p. Дзета-функция играет большую роль в теории чисел. Как функция вещественного переменного, дзета-функция была введена в 1737 году (опубликовано в 1744 г.) Л. Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась немецким математиком Л. Дирихле и, особенно успешно, российским математиком и механиком П.Л. Чебышевым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы немецкого математика Георга Фридриха Бернхарда Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного; им же введено название «дзета-функция» и обозначение ζ(s) в 1857 году.

Гамма-функция, Γ-функция Эйлера. А.Лежандр (1814).

Гамма-функция – математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается Γ(z). Г-функция впервые введена Леонардом Эйлером в 1729 году; она определяется формулой:

Γ(z) = lim n→∞ n!·n z /z(z+1)…(z+n).

Через Г-функцию выражается большое число интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Широко используется в аналитической теории чисел. Название «Гамма-функция» и обозначение Γ(z) предложено французским математиком Адриеном Мари Лежандром в 1814 году.

Бета-функция, В-функция, В-функция Эйлера. Ж.Бине (1839).

Функция двух переменных p и q, определяемая при p>0, q>0 равенством:

В(p, q) = 0 ∫ 1 х р–1 (1–х) q–1 dx.

Бета-функцию можно выразить через Γ-функция: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q). Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция, в некотором смысле, является обобщением биномиальных коэффициентов.

С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Эта особенность подмечена итальянским физиком-теоретиком Габриэле Венециано в 1968 году. Это положило начало теории струн.

Название «бета-функция» и обозначение В(p, q) ввёл в 1839 году французский математик, механик и астроном Жак Филипп Мари Бине.

Оператор Лапласа, лапласиан. Р.Мёрфи (1833).

Линейный дифференциальный оператор Δ, который функции φ(х 1 , х 2 , …, х n) от n переменных х 1 , х 2 , …, х n ставит в соответствие функцию:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + … + ∂ 2 φ/∂х n 2 .

В частности для функции φ(х) одного переменного оператор Лапласа совпадает с оператором 2-й производной: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Уравнение Δφ = 0 обычно называют уравнением Лапласа; отсюда и произошли названия «оператор Лапласа» или «лапласиан». Обозначение Δ ввёл английский физик и математик Роберт Мёрфи в 1833 году.

Оператор Гамильтона, набла-оператор, гамильтониан. О.Хевисайд (1892).

Векторный дифференциальный оператор вида

∇ = ∂/∂x · i + ∂/∂y · j + ∂/∂z · k ,

где i , j , и k – координатные орты. Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа, а так же оператор Лапласа.

В 1853 году ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон ввёл этот оператор и придумал для него символ ∇ в виде перевёрнутой греческой буквы Δ (дельта). У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах шотландского математика и физика Питера Гатри Тэйта символ приобрёл современный вид. Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» (слово «дельта», прочитанное наоборот). Позднее английские учёные, в том числе Оливер Хевисайд, стали называть этот символ «набла», по названию буквы ∇ в финикийском алфавите, где она и встречается. Происхождение буквы связано с музыкальным инструментом типа арфы, ναβλα (набла) по-древнегречески означает «арфа». Оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла.

Функция. И.Бернулли (1718), Л.Эйлер (1734).

Математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция – это «закон», » правило» по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений). Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция которая ставит одни числа в соответствие другим. Долгое время математики задавали аргументы без скобок, например, так – φх. Впервые подобное обозначение использовал швейцарский математик Иоганн Бернулли в 1718 году. Скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение. Отголоском тех времён являются употребительные и сейчас записи sin x, lg x и др. Но постепенно использование скобок, f(x), стало общим правилом. И основная заслуга в этом принадлежит Леонарду Эйлеру.

Равенство. Р.Рекорд (1557).

Знак равенства предложил уэльский врач и математик Роберт Рекорд в 1557 году; начертание символа было намного длиннее нынешнего, так как имитировало изображение двух параллельных отрезков. Автор пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. До этого в античной и средневековой математике равенство обозначалось словесно (например est egale ). Рене Декарт в XVII веке при записи стал использовать æ (от лат. aequalis ), а современный знак равенства он использовал чтобы указать, что коэффициент может быть отрицательным. Франсуа Виет знаком равенства обозначал вычитание. Символ Рекорда получил распространение далеко не сразу. Распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что с античных времён такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. В континентальной Европе знак «=» был введён Готфридом Лейбницем только на рубеже XVII–XVIII веков, то есть более чем через 100 лет, после смерти впервые использовавшего его для этого Роберта Рекорда.

Примерно равно, приблизительно равно. А.Гюнтер (1882).

Знак «≈» ввёл в использование как символ отношения «примерно равно» немецкий математик и физик Адам Вильгельм Зигмунд Гюнтер в 1882 году.

Больше, меньше. Т.Гарриот (1631).

Эти два знака ввёл в использование английский астроном, математик, этнограф и переводчик Томас Гарриот в 1631 году, до этого использовали слова «больше» и «меньше».

Сравнимость. К.Гаусс (1801).

Сравнение – соотношение между двумя целыми числами n и m, означающее, что разность n–m этих чисел делится на заданное целое число а, называемое модулем сравнения; пишется: n≡m(mod а) и читается «числа n и m сравнимы по модулю а». Например, 3≡11(mod 4), так как 3–11 делится на 4; числа 3 и 11 сравнимы по модулю 4. Сравнения обладают многими свойствами, аналогичными свойствам равенств. Так, слагаемое, находящееся в одной части сравнения можно перенести с обратным знаком в другую часть, а сравнения с одним и тем же модулем можно складывать, вычитать, умножать, обе части сравнения можно умножать на одно и то же число и др. Например,

3≡9+2(mod 4) и 3–2≡9(mod 4)

– одновременно верные сравнения. А из пары верных сравнений 3≡11(mod 4) и 1≡5(mod 4) следует верность следующих:

3+1≡11+5(mod 4)

3–1≡11–5(mod 4)

3·1≡11·5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3·23≡11·23(mod 4)

В теории чисел рассматриваются методы решения различных сравнений, т.е. методы отыскания целых чисел, удовлетворяющих сравнениям того или иного вида. Cравнения по модулю впервые использовались немецким математиком Карлом Гауссом в его книге «Арифметические исследования» 1801 года. Он же предложил утвердившуюся в математике символику для сравнений.

Тождество. Б.Риман (1857).

Тождество – равенство двух аналитических выражений, справедливое для любых допустимых значений входящих в него букв. Равенство a+b = b+a справедливо при всех числовых значениях a и b, и поэтому является тождеством. Для записи тождеств в некоторых случаях с 1857 года применяется знак «≡» (читается «тождественно равно»), автором которого в таком использовании, является немецкий математик Георг Фридрих Бернхард Риман. Можно записать a+b ≡ b+a.

Перпендикулярность. П.Эригон (1634).

Перпендикулярность – взаимное расположение двух прямых, плоскостей или прямой и плоскости, при котором указанные фигуры составляют прямой угол. Знак ⊥ для обозначения перпендикулярности ввёл в 1634 году французский математик и астроном Пьер Эригон. Понятие перпендикулярности имеет ряд обобщений, но всем им, как правило, сопутствует знак ⊥.

Параллельность. У.Оутред (посмертное издание 1677 года).

Параллельность – отношение между некоторыми геометрическими фигурами; например, прямыми. Определяется по-разному в зависимости от различных геометрий; например, в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского. Знак параллельности известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства (только более протяжённый), но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повёрнут вертикально ||. В таком виде он появился впервые в посмертном издании работ английского математика Уильяма Оутреда в 1677 году.

Пересечение, объединение. Дж.Пеано (1888).

Пересечение множеств – это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Объединение множеств – множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Пересечением и объединением называются и операции над множествами, ставящие в соответствие некоторым множествам новые по указанным выше правилам. Обозначаются ∩ и ∪, соответственно. Например, если

А={♠ ♣ } и В={♣ ♦},

Содержится, содержит. Э.Шрёдер (1890).

Если А и В – два множества и в А нет элементов, не принадлежащих В, то говорят что А содержится в В. Пишут А⊂В или В⊃А (В содержит А). Например,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦}

{♠ ♣ ♦}⊃{ ♦}⊃{♦}

Символы «содержится» и «содержит» появились в 1890 году у немецкого математика логика Эрнста Шрёдера.

Принадлежность. Дж.Пеано (1895).

Если а – элемент множества А, то пишут а∈А и читают «а принадлежит А». Если а не является элементом множества А, пишут а∉А и читают «а не принадлежит А». Вначале отношения «содержится» и «принадлежит» («является элементом») не различали, но со временем эти понятия потребовали разграничения. Знак принадлежности ∈ впервые стал использовать итальянский математик Джузеппе Пеано в 1895 году. Символ ∈ происходит от первой буквы греческого слова εστι – быть.

Квантор всеобщности, квантор существования. Г.Генцен (1935), Ч.Пирс (1885).

Квантор – общее название для логических операций, указывающих область истинности какого-либо предиката (математического высказывания). Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 году, в книге немецкого логика, математика и философа Фридриха Людвига Готлоба Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения ∃ для квантора существования (читается «существует», «найдётся»), предложенное американским философом, логиком и математиком Чарльзом Пирсом в 1885 году, и ∀ для квантора всеобщности (читается «любой», «каждый», «всякий»), образованное немецким математиком и логиком Герхардом Карлом Эрихом Генценом в 1935 году по аналогии с символом квантора существования (перевёрнутые первые буквы английских слов Existence (существование) и Any (любой)). Например, запись

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x–x 0 |<δ) (|f(x)–A|<ε)

читается так: «для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющих неравенству |x–x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)–A|<ε».

Пустое множество. Н.Бурбаки (1939).

Множество, не содержащее ни одного элемента. Знак пустого множества был введён в книгах Николя Бурбаки в 1939 году. Бурбаки – коллективный псевдоним группы французских математиков, созданной в 1935 году. Одним из участников группы Бурбаки был Андре Вейль – автор символа Ø.

Что и требовалось доказать. Д.Кнут (1978).

В математике под доказательством понимается последовательность рассуждений, построеных на определённых правилах, показывающая, что верно некоторое утверждение. Со времён эпохи Возрождения окончание доказательства обозначалось математиками сокращением «Q.E.D.», от латинского выражения «Quod Erat Demonstrandum» – «Что и требовалось доказать». При создании системы компьютерной вёрстки ΤΕΧ в 1978 году американский профессор информатики Дональд Эдвин Кнут использовал символ: заполненный квадрат, так называемый «символ Халмоша», по имени американского математика венгерского происхождения Пола Ричарда Халмоша. Сегодня завершение доказательства как правило обозначают Символом Халмоша. В качестве альтернативы используют и другие знаки: пустой квадрат, правый треугольник, // (две косых черты), а также русскую аббревиатуру «ч.т.д.».

Когда люди долгое время взаимодействуют в рамках определенной сферы деятельности, они начинают искать способ оптимизировать процесс коммуникации. Система математических знаков и символов представляет собой искусственный язык, который был разработан, чтобы уменьшить объем графически передаваемой информации и при этом полностью сохранить заложенный в сообщение смысл.

Любой язык требует изучения, и язык математики в этом плане - не исключение. Чтобы понимать значение формул, уравнений и графиков, требуется заранее владеть определенной информацией, разбираться в терминах, системе обозначений и т. д. При отсутствии такого знания текст будет восприниматься как написанный на незнакомом иностранном языке.

В соответствии с запросами общества графические символы для более простых математических операций (например, обозначение сложения и вычитания) были выработаны раньше, чем для сложных понятий наподобие интеграла или дифференциала. Чем сложнее понятие, тем более сложным знаком оно обычно обозначается.

Модели образования графических обозначений

На ранних этапах развития цивилизации люди связывали простейшие математические операции с привычными для них понятиями на основе ассоциаций. Например, в Древнем Египте сложение и вычитание обозначались рисунком идущих ног: направленные по направлению чтения строки они обозначали «плюс», а в обратную сторону - «минус».

Цифры, пожалуй, во всех культурах изначально обозначались соответствующим количеством черточек. Позже для записи стали использоваться условные обозначения - это экономило время, а также место на материальных носителях. Часто в качестве символов использовались буквы: такая стратегия получила распространение в греческом, латинском и многих других языках мира.

История возникновения математических символов и знаков знает два наиболее продуктивных способа образования графических элементов.

Преобразование словесного представления

Изначально любое математическое понятие выражается некоторым словом или словосочетанием и не имеет собственного графического представления (помимо лексического). Однако выполнение расчетов и написание формул словами - процедура длительная и занимающая неоправданно много места на материальном носителе.

Распространенный способ создания математических символов - трансформация лексического представления понятия в графический элемент. Иначе говоря, слово, обозначающее понятие, с течением времени сокращается или преобразуется каким-либо другим способом.

Например, основной гипотезой происхождения знака «плюс» является его сокращение от латинского et , аналогом которого в русском языке является союз «и». Постепенно в скорописи первая буква перестала писаться, а t сократилась до креста.

Другой пример - знак «икс», обозначающий неизвестное, который изначально представлял собой сокращение от арабского слова «нечто». Сходным образом произошли знаки для обозначения квадратного корня, процента, интеграла, логарифма и др. В таблице математических символов и знаков можно встретить более десятка графических элементов, появившихся таким образом.

Назначение произвольного символа

Второй распространенный вариант образования математических знаков и символов - назначение символа произвольным образом. В этом случае слово и графическое обозначение между собой не связаны - знак обычно утверждается в результате рекомендации одного из членов научного сообщества.

Например, знаки умножения, деления, равенства были предложены математиками Уильямом Отредом, Иоганном Раном и Робертом Рекордом. В некоторых случаях несколько математических знаков могли быть введены в науку одним ученым. В частности, Готфрид Вильгельм Лейбниц предложил целый ряд символов, в том числе интеграла, дифференциала, производной.

Простейшие операции

Такие знаки, как «плюс» и «минус», а также символы, обозначающие умножение и деление, знает каждый школьник, несмотря на то, что для последних двух упомянутых операций существует несколько возможных графических знаков.

Можно с уверенностью говорить, что складывать и вычитать люди умели ещё за много тысячелетий до нашей эры, а вот стандартизованные математические знаки и символы, обозначающие данные действия и известные нам сегодня, появились лишь к XIV-XV столетию.

Впрочем, несмотря на установление определенной договоренности в научном сообществе, умножение и в наше время может изображаться тремя различными знаками (диагональный крестик, точка, звёздочка), а деление - двумя (горизонтальная черта с точками сверху и снизу или наклонная черта).

Латинские буквы

На протяжении многих столетий научное сообщество использовало для обмена информацией исключительно латынь, и многие математические термины и знаки обнаруживают свои истоки именно в этом языке. В некоторых случаях графические элементы стали результатом сокращения слов, реже - их намеренного или случайного преобразования (например, вследствие описки).

Обозначение процента («%»), вероятнее всего, происходит от ошибочного написания сокращения cto (cento, т. е. «сотая доля»). Сходным образом произошёл знак «плюс», история которого описана выше.

Гораздо большее было образовано путём намеренного сокращения слова, хотя это не всегда очевидно. Далеко не каждый человек узнает в знаке квадратного корня букву R , т. е. первый знак в слове Radix («корень»). Символ интеграла также представляет собой первую букву слова Summa, однако интуитивно она похожа на прописную f без горизонтальной черты. К слову, в первой публикации издатели совершили именно такую ошибку, напечатав f вместо данного символа.

Греческие буквы

В качестве графических обозначений для различных понятий используются не только латинские, но и В таблице математических символов можно найти целый ряд примеров такого наименования.

Число Пи, представляющее собой отношение длины окружности к её диаметру, произошло от первой буквы греческого слова, обозначающего окружность. Существует ещё несколько менее известных иррациональных чисел, обозначаемых буквами греческого алфавита.

Крайне распространенным знаком в математике является «дельта», отражающая величину изменения значения переменных. Ещё одним употребительным знаком является «сигма», выполняющая функцию знака суммы.

Более того, практически все греческие буквы так или иначе используются в математике. Однако данные математические знаки и символы и их значение знают только люди, занимающиеся наукой профессионально. В быту и повседневной жизни эти знания человеку не требуются.

Знаки логики

Как ни странно, многие интуитивно понятные символы были придуманы совсем недавно.

В частности, горизонтальная стрелка, заменяющая слово «следовательно», была предложена лишь в 1922 года Кванторы существования и всеобщности, т. е. знаки, читающиеся как: «существует…» и «для любого…», были введены в 1897 и 1935 году соответственно.

Символы из области теории множеств были придуманы в 1888-1889 гг. А перечеркнутый круг, который сегодня известен любому учащемуся средней школы как знак пустого множества, появился в 1939 году.

Таким образом, знаки для столь непростых понятий, как интеграл или логарифм, были придуманы на столетия раньше, чем некоторые интуитивно понятные символы, легко воспринимаемые и усваиваемые даже без предварительной подготовки.

Математические символы на английском

Ввиду того, что значительная часть понятий была описана в научных трудах на латыни, ряд названий математических знаков и символов на английском и русском языке одинаковы. Например: Plus («плюс»), Integral («интеграл»), Delta function («дельта-функция»), Perpendicular («перпендикулярный»), Parallel («параллельный»), Null («нуль»).

Часть понятий в двух языках называются различным образом: так, деление - это Division, умножение - Multiplication. В редких случаях английское название для математического знака получает некоторое распространение в русском языке: например, косая черта в последние годы нередко именуется «слешем» (англ. Slash).

Таблица символов

Самый простой и удобный способ ознакомиться с перечнем математических знаков - посмотреть специальную таблицу, в которой содержатся знаки операций, символы математической логики, теории множеств, геометрии, комбинаторики, математического анализа, линейной алгебры. В данной таблице представлены основные математические знаки на английском языке.

Математические знаки в текстовом редакторе

При выполнении различного рода работ зачастую требуется использовать формулы, где употребляются знаки, отсутствующие на клавиатуре компьютера.

Как и графические элементы из практически любой области знаний, математические знаки и символы в «Ворде» можно найти во вкладке «Вставка». В версиях программы 2003 или 2007 года существует опция «Вставка символа»: при нажатии на кнопку в правой части панели пользователь увидит таблицу, в которой представлены все необходимые математические знаки, греческие строчные и прописные буквы, различные виды скобок и многое другое.

В версиях программы, вышедших после 2010 года, разработана более удобная опция. При нажатии на кнопку «Формула» происходит переход в конструктор формул, где предусмотрено использование дробей, занесения данных под корень, смена регистра (для обозначения степеней или порядковых номеров переменных). Здесь же могут быть найдены все знаки из таблицы, представленной выше.

Стоит ли учить математические символы

Система математических обозначений представляет собой искусственный язык, который лишь упрощает процесс записи, но не может принести понимание предмета стороннему наблюдателю. Таким образом, запоминание знаков без изучения терминов, правил, логических связей между понятиями не приведет к овладению данной областью знаний.

Человеческий мозг легко усваивает знаки, буквы и сокращения - математические обозначения запоминаются сами при изучении предмета. Понимание смысла каждого конкретного действия создает настолько прочные что знаки, обозначающие термины, а зачастую и формулы, связанные с ними, остаются в памяти на многие годы и даже десятилетия.

В заключение

Поскольку любой язык, в том числе искусственный, является открытым к изменениям и дополнениям, число математических знаков и символов непременно будет расти с течением времени. Не исключено, что какие-то элементы будут заменены или скорректированы, а другие - стандартизованы в единственно возможном виде, что актуально, например, для знаков умножения или деления.

Умение пользоваться математическими символами на уровне полного школьного курса является в современном мире практически необходимым. В условиях бурного развития информационных технологий и науки, повсеместной алгоритмизации и автоматизации владение математическим аппаратом следует воспринимать как данность, а освоение математических символов - как неотъемлемую его часть.

Поскольку расчеты используются и в гуманитарной сфере, и в экономике, и в естественных науках, и, разумеется, в области техники и высоких технологий, понимание математических понятий и знание символов станет полезным для любого специалиста.

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык , составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:

группа I - обозначения геометрических фигур и отношений между ними;

группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.

Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

Группа I

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается - Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

А, В, С, D, ... , L, М, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

а, b, с, d, ... , l, m, n, ...

Линии уровня обозначаются: h - горизонталь; f- фронталь.

Для прямых используются также следующие обозначения:

(АВ) - прямая, проходящая через точки А а В;

[АВ) - луч с началом в точке А;

[АВ] - отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α(а || b) - плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;

β(d 1 d 2 gα) - поверхность β определяется направляющими d 1 и d 2 , образующей g и плоскостью параллелизма α.

5. Углы обозначаются:

∠ABC - угол с вершиной в точке В, а также ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:

Величина угла АВС;

Величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками - ||.

Например:

|АВ| - расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

|Аа| - расстояние от точки А до линии a;

|Аα| - расстояшие от точки А до поверхности α;

|аb| - расстояние между линиями а и b;

|αβ| расстояние между поверхностями α и β.

8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π 1 и π 2 , где π 1 - горизонтальная плоскость проекций;

π 2 -фрюнтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π 3 , π 4 и т. д.

9. Оси проекций обозначаются: х, у, z, где х - ось абсцисс; у - ось ординат; z - ось аппликат.

Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:

А", В", С", D", ... , L", М", N", горизонтальные проекции точек; А", В", С", D", ... , L", М", N", ... фронтальные проекции точек; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - горизонтальные проекции линий; а" ,b" , с" , d" , ... , l" , m" , n" , ... фронтальные проекции линий; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... горизонтальные проекции поверхностей; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... фронтальные проекции поверхностей.

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса 0α , подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.

Так: h 0α - горизонтальный след плоскости (поверхности) α;

f 0α - фронтальный след плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.

Например: H a - горизонтальный след прямой (линии) а;

F a - фронтальный след прямой (линии) a.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами 1,2,3,..., n:

А 1 , А 2 , А 3 ,...,А n ;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

Ф 1 , Ф 2 , Ф 3 ,...,Ф n и т. д.

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом 0:

A 0 , B 0 , С 0 , D 0 , ...

Аксонометрические проекции

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0:

А 0 , В 0 , С 0 , D 0 , ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса 1:

А 1 0 , В 1 0 , С 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.