Чему равен десятичный логарифм 1. Десятичный логарифм: как вычислить

ОТДЕЛЕНИЕ XIII.

ЛОГАРИФМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ.

§ 2. Дecятичныe логарифмы.

Десятичyый логарифм числа 1 есть 0. Десятичные логарифмы положительных степеней 10-ти, т. e. чисел 10, 100, 1000,.... суть, положительные числа 1, 2, 3,...., так что вообщe логарифм числа, обозначенного единицей с нулями, равен числу нулей. Десятичные логарифмы отрицательных степeнeй 10-ти, т.-e. дробей 0,1, 0,01, 0,001,.... суть отрицательныя числа -1,-2, -3....., так что вообщe логарифм десятичной дроби с числитeлeм единицeй равен отрицательному числу нулeй знаменателя.

Логарифмы всех остальных соизмеримых чисел несоизмеримы. Такиe логарифмы вычисляются приближeнно, обыкновенно с точностью до одной стотысячной, и потому выражаются пятизначными десятичными дробями; напр., lg 3 = 0,47712.

При изложении тeории десятичных логарифмов все числа прeдполагаются составленными по дeсятичной системе их eдиниц и долей, а все логарифмы выражаются чрeз дeсятичную дробь, содержащую 0 целых, с целым прибавком или убавком. Дробная часть логарифма называeтся eго мантиссой , а целый прибавок или убавок-его характеристикой. Логарифмы чисeл, больших eдиницы, всегда положитeльны и потому имеють и положитeльную характеристику; логарифмы чисел, меньших eдиницы, всeгда отрицатeльны, но их прeдставляют так, что мантисса их оказываeтся положительной, а одна характeристика отрицательна: напр., lg 500=0,69897+2 или короче 2,69897, а lg 0,05 =0,69897-2, что для краткости обозначают в виде 2 ,69897, ставя характеристику на место целых чисeл, но со знаком - над ней. Таким образом, логарифм числа, большего единицы, прeдставляет арифметическую сумму положитeльного целого и положительной дроби, а логарифм числа, мeньшего единицы, алгeбраичeскую сумму отрицатeльного целого с положитeльной дробью.

Всякий отрицательный логарифм можно привести к указанной искусствeнной форме. Напр., имеем lg 3 / 5 = lg 3 - lg 5= 0,47712-0,69897=-0,22185. Чтобы прeобразовать этот истинный логарифм в искусственную форму, прибавим к нeму 1 и после алгебраичeского сложeния укажем для поправки вычитаниe eдиницы.

Получим lg 3 / 5 = lg 0,6 =(1-0,22185)-1=0,77815-1. При этом окажется, что мантисса 0,77815 есть та самая, которая соответствуeт числителю 6 данного числа, представленного по дeсятичной системе в форме дроби 0,6.

IIра указанном представлении десятичных логарифмов их мантиссы и характеристики обладают важными свойствами в связи с обозначениeм по десятичной систeме соответствующих им чисел. Для разъяснeния этих свойств заметим следующеe. Примeм за основной вид числа некотороe произвольноe число, содержащeеся между 1 и 10, и, выражая eго по десятичной систeме, представим в виде а,b,c,d,e, f ...., где а есть одна из значащих цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а десятичные знаки, b,c,d,e, f ....... суть какие угодно цифры, между которыми могут быть и нули. Вследствиe того, что взятоe число содeржится мeжду 1 п 10, логарифм его содержится между 0 и 1 и потому этот логарифм состоит из одной мантиссы без характеристики или с характеристикой 0. Обозначим этот логарифм в форме 0 ,α β γ δ ε ...., где α, β ,γ ,δ, ε суть некоторые цифры. Помножим теперь данное число с одной стороны на числа 10, 100, 1000,.... и с другой стороны на числа 0,1, 0,01, 0,001,... и применим теоремы о логарифмах произведения и частного. Тогда получим ряд чисел больших единицы и ряд чисел меньших единицы с их логарифмами:

lg а ,bcde f ....= 0 ,α β γ δ ε ....

lg аb,cde f ....= 1 ,α β γ δ ε .... lg 0,аbcde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....

lg аbc,de f ....= 2 ,α β γ δ ε .... lg 0,0аbcde f ....= 2 ,α β γ δ ε ....

lg аbcd,e f ....= 3 ,α β γ δ ε .... lg 0,00аbcde f ....= 3 ,α β γ δ ε ....

При рассматривании этих равенств обнаружаваются следующие свойства мантиссы и характеристики:

Свойство мантиссы. Мантисса зависит от расположения и вида зиачащих цифр числа, но совсем не зависит от места запятой в обозначении этого числа. Мантиссы логарифмов чисел, имеющих десятичное отношение, т.-е. таких, кратное отношение которых равно какой бы то ни было положительной или отрицательной степени десяти, одинаковы.

Свойство характеристики. Характеристика зависит от разряда наивысших единиц или десятичных долей числа, но совсем не зависит от вида цифр в обозначении этого числа.

Если назовем числа а ,bcde f ...., аb,cde f ...., аbc,de f .... числами положительных разрядов- первого, второго, третьего и т.д., разряд числа 0,аbcde f .... будем считать нулевым, а разряды чисел 0,0аbcde f ...., 0,00аbcde f ...., 0,000аbcde f .... выразим отрицательными числами минус одна, минус два, минус три и т. д., то можно будет сказать вообще, что характерастика логарифма всякого десятичного числа на единицу меньше числа, указывающего разряд

101. Зная, что lg 2 =0,30103, найти логарифмы чисел 20,2000, 0,2 и 0,00002.

101. Зная, что lg 3=0,47712, найти логарифмы чисел 300, 3000, 0,03 и 0,0003.

102. Зная, что lg 5=0,69897, найти логарифмы чисел 2,5, 500, 0,25 и 0,005.

102. Зная, что lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 0,7, 4,9, 0,049 и 0,0007.

103. Зная lg 3=0,47712 и lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 210, 0,021, 3 / 7 , 7 / 9 и 3 / 49 .

103. Зная lg 2=0,30103 и lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 140, 0,14, 2 / 7 , 7 / 8 и 2 / 49 .

104. Зная lg 3=0,47712 и lg 5=О,69897, найти логарифмы чисел 1,5, 3 / 5 , 0,12, 5 / 9 и 0,36.

104. Зная lg 5=0,69897 и lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 3,5, 5 / 7 , 0,28, 5 / 49 и 1,96.

Десятичные логарифмы чисел, выраженных не более, как четырьмя цифрами, подыскиваются прямо по таблицам, причем из таблиц находится мантисса искомого логарифма, а характеристика ставится, сообразуясь с разрядом данного числа.

Еели же число содержит более четырех цифр, то подыскивание логарифма сопровождается дополнительным вычислением. Правило такое: чтобы найти логарифм числа, содержащего более четырех цифр, нужно подыскать в таблицах число, обозначенное четырьмя первыми цифрами, и выписать соответствующую этим четырем цифрам мантиссу; затем умножить табличную разность мантисс на число, составленное из отброшенных цифр, в произведении откинуть справа столько цифр, сколько их было откинуто в данном числе, и результат придать к последним цифрам подысканной мантпсеы; характеристику же поставить, сообразуясь с разрядом данного числа.

Когда ищется число по данному логарифму и логарифм этот содержится в таблицах, то цифры искомого числа находятся прямо из таблиц, а разряд числа определяется сообразно с характеристикой данного логарифма.

Если же данный логарифм не содержится в таблицах, то подыскивание числа сопровождается дополнительным вычислением. Правило такое: чтобы найти число, соответствующее данному логарифму, мантисса которого не содержится в таблицах, нужно подыскать ближайшую меньшую мантиссу и выписать соответствующие ей цифры числа; потом умножить разность между данной мантиссой и подысканной на 10 и разделить произведение на табличную разность; полученную цифру частного приписать справа к выписанным цифрам числа, отчего и получится искомая совокупность цифр; разряд же числа нужно определить сообразно характериетике данного логарифма.

105. Найти логарифмы чисел 8, 141, 954, 420, 640, 1235, 3907, 3010, 18,43, 2,05, 900,1, 0,73, 0,0028, 0,1008, 0,00005.

105. Найти логариекй чисел 15,154, 837, 510, 5002,1309-, 8900, 8,315, 790,7, 0,09, 0,6745, 0,000745, 0,04257, 0,00071.

106. Найти логарифмы чисел 2174,6, 1445,7, 2169,5, 8437,2, 46,472, 6,2853, 0,7893В, 0,054294, 631,074, 2,79556, 0,747428, 0,00237158.

106. Найти логарифмы чисел 2578,4, 1323,6, 8170,5, 6245,3, 437,65, 87,268, 0,059372, 0,84938, 62,5475, 131,037, 0,593946, 0,00234261.

107. Найти числа, соответствующие логарифмам 3,16227 , 3,59207, 2,93318, 0,41078, 1,60065, 2,756.86, 3,23528, 1,79692. 4,87800 5,14613.

107. Найти числа, соответствующие логарифмам 3,07372, 3,69205, 1,64904, 2,16107, 0,70364, 1 ,31952, 4 ,30814, 3 ,00087, 2 ,69949, 6 ,57978.

108. Найти число, соответствующия логарифмам 3,57686, 3,16340, 2,40359, 1,09817, 4,49823, 2 ,83882, 1 ,50060, 3 ,30056, 1 ,17112, 4 ,25100.

108. Найти числа, соответствующие логарифмам 3,33720, 3,09875, 0,70093, 4,04640, 2,94004, 1 ,41509, 2 ,32649, 4 ,14631, 3 ,01290, 5 ,39003.

Положительные логарифмы чисел, больших единицы, суть арифметические суммы их характеристики и мантиссы. Поэтому действия с ними производятся по обыкновенным арифметическим правилам.

Отрацательные логарифмы чисел, меньших единицы, суть алгебраические суммы отрицательной характеристики и положительной мантиссы. Поэтому действия с ними производятся по алгебраическим правилам, которые дополняются особыми указаниями, относящимися к приведению отрицательных логарифмов в их нормальную форму. Нормальная форма отрицательнаго логарифма та, в которой характеристика есть отрицательное целое количество, а мантисса положительная правильная дробь.

Для преобразования истинного отрацательного логарифма в его нормальную искусственную форму, нужно увеличить абсолютную величину его целого слагаемого на единицу и сделать результат отрицательной характеристикой; затем дополнить все цифры дробного слагаемого до 9, а последнюю из них до 10 и сделать результат положительной мантиссой. Напр., -2,57928 = 3 ,42072.

Для преобразования нормальной искусственной формы логарифма в его истинное отрицательное значение, нужно уменьшить на единицу отрицательную характеристику и сделать результат целым слагаемым отрицательной суммы; затем дополнить все цифры мантиссы до 9, а последнюю из них до 10 и сделать результат дробным слагаемым той же отрицательной суммы. Напр.: 4 ,57406= -3,42594.

109. Преобразовать в искусственную форму логарифмы-2,69537, -4, 21283, -0,54225, -1,68307, -3,53820, -5,89990.

109. Преобразовать в искусственную форму логарифмы-3,21729, -1,73273, -5,42936, -0,51395, -2,43780, -4,22990.

110. Найти истинные значения логарифмов 1 ,33278, 3 ,52793, 2 ,95426, 4 ,32725, 1 ,39420, 5 ,67990.

110. Найти иетинные значения логарифмов 2 ,45438, 1 ,73977, 3 ,91243, 5 ,12912, 2 ,83770, 4 ,28990.

Правила алгебраических действий с отрицательными логарифмами выражаются так:

Чтобы приложить отрицательный логарифм в его искусственной форме, нужно приложить мантиссу и вычесть абсолютную величину характеристики. Если от сложения мантисс выделится целое положительное число, то нужно отнести его к характеристике результата, сделав в ней соответствующую поправку. Напр.,

3,89573 + 2 ,78452 = 1 1 ,68025 = 2,68025

1 ,54978 + 2 ,94963=3 1 ,49941=2 ,49941.

Чтобы вычесть отрицательный логарифм в его искусственной форме, нужно вычесть мантиссу и приложить абсолютную величину характеристики. Если вычитаемая мантисса есть большая, то нужно сделать поправку в характеристике уменьшаемого так, чтобы отделить к уменьшаемой мантиссе положительную единицу. Напр.,

2,53798-3 ,84582=1 1 ,53798-3 ,84582 = 4,69216,

2 ,22689-1 ,64853=3 1 ,22689-1 ,64853=2 ,57836.

Чтобы умножить отрицательный логарифм на положительное целое число, нужно умножить отдельно его характеристику и мантиссу. Если при умножении мантиссы выделится целое положительное чясло, то нужно отнести его к характерастике результата, сделав в ней соответствующую поправку. Напр.,

2 ,53729 5=10 2 ,68645=8 ,68645.

При умножении отрицательнаго логарифма на отрицательное количество нужно заменять множимое его истинным значением.

Чтобы разделить отрицательный логарифм на положительное целое число, нужно разделить отдельно его характерастику и мантиссу. Если характеристика дeлимого нe дeлится нацeло на дeлитeль, то нужно сдeлать в ней поправку так, чтобы отнести к мантиссe нeсколько положительных единиц, а характеристику сдeлать кратной дeлителя. Напр.,

3 ,79432: 5=5 2 ,79432: 5=1 ,55886.

При дeлении отрицательного логарифма на отрицатeльноe количество, нужно замeнять дeлимоe его истинным значением.

Выполнить при помощп логарифмичeских таблиц нижепоказанные вычисления и провeрить в простeйших случаях рeзультаты обыкновенными способами дeйствий:

174. Определить обем конуса, образующая которого 0,9134 фута, а радиус основания 0,04278 фута.

175. Вычислить 15-й член кратной прогреесии, первый член которой 2 3 / 5 , а знаменатель 1,75.

175. Вычислить первый член кратной прогрессии, 11-й член которой равен 649,5, а знаменатель 1,58.

176. Определить число множителей а , а 3 , а 5 р . Подыскать такое а , при котором произведееие 10-ти множителей равно 100.

176. Определить чйедо множителей. а 2 , а 6 , а 10 ,.... так, чтобы их произведение равнялось данному числу р . Подыскать такое а , при котором произведение 5-ти множителей равно 10.

177. Знаменатель кратной прогрессии равен 1,075, сумма 10-ти ее членов 2017,8. Найти первый член.

177. Знаменатель кратной прогрессии 1,029, сумма 20-ти ее членов 8743,7. Найти двадцатый член.

178 . Выразить число членов кратной прогрессии по данным первому члену а , последнему и и знаменателю q , а затем, выбрав произвольно числовыe значения a и u , подобрать q так, чтобы п

178. Выразить чbсло члеyов кратной прогрессии по данным первому члену а , последнему и и знаменателю q и и q , подобрать а так, чтобы п было какое-нибудь целое число.

179. Определить число множителей так, чтобы их произведение было равно р . Каково должно быть р для того, чтобы при а =0,5 и b =0,9 число множителей было 10.

179. Определить число множителей так, чтобы их произведение было равдо р . Каково должно быть р для того чтобы при а =0,2 и b =2 число множителей было 10.

180. Выразить число членов кратной прогрессии по данным первому члену а , последеему и и произведению всех членов р , а затем, выбрав произвольно числовые значения а и р , подобрать и и вслед за ним знаменатель q так, чтобы и было какое-нибудь целое число.

160. Выразить число членов кратной прогрессии по данным первому члену а , последнему и и произведению всех членов р , а затем, выбрав произвольно числовые значения и и р , подобрать а и вслед за ним знаменатель q так, чтобы п было какое-нибудь целое число.

Решить нижеследующие уравнения, где можно - без помощи таблиц, а где нельзя-с таблицами:

Который очень прост в использовании, не требует в его интерфейсе и запускать -либо дополнительные программы. Все что от вас требуется - перейти на сайт Google и ввести соответствующий запрос в единственное поле на этой странице. Например, для вычисления десятичного логарифма для 900 введите в поле поискового запроса lg 900 и сразу (даже без нажатия кнопки) получите 2.95424251.

Используйте калькулятор, если нет доступа к поисковой системе. Это может быть и программный калькулятор из стандартного набора ОС Windows. Самый простой способ запустить его - нажать сочетание клавиш WIN +R, ввести команду calc и щелкнуть кнопку «OK». Другой способ - раскрыть меню на кнопке «Пуск» и выбрать в нем пункт «Все программы». Затем надо открыть раздел «Стандартные» и перейти в подраздел «Служебные», чтобы щелкнуть там ссылку «Калькулятор». При использовании ОС Windows 7 можно нажать клавишу WIN и ввести в поле поиска «Калькулятор», а затем щелкнуть соответствующую ссылку в результатах поиска.

Переключите интерфейс калькулятора в расширенный режим, так как в открываемом по умолчанию базовом варианте нужная вам операция не предусмотрена. Для этого раскройте в меню программы раздел «Вид» и выберите пункт « » либо «инженерный» - в зависимости от того, которая версия операционной системы установлена в вашем компьютере.

В настоящее время скидками никого не удивишь. Продавцы понимают, что скидки не являются средством повышения дохода. Наибольшую эффективность имеет не 1-2 скидки на конкретный товар, а система скидок, которая должна быть проста и понятна сотрудникам фирмы и ее покупателям.

Инструкция

Вы, наверное, заметили, что в настоящее время наиболее распространенной является , растущая при увеличении объемов продукции. В данном случае продавец разрабатывает шкалу процентов скидок, которая увеличивается при росте объемов покупок за определенный период. Например, вы купили чайник и кофеварку и получили скидку 5 %. Если в этом месяце вы купите еще и утюг, то получите скидку 8 % на все приобретенные товары. При этом полученная прибыль компании при цене со скидкой и возросшим объемом продаж должна быть не меньше, чем ожидаемая прибыль при цене без скидки и прежнем уровне продаж.

Рассчитать шкалу скидок несложно. Сначала определите объем продаж, с которого начинается предоставление скидки. В качестве нижнего предела можно взять . Затем рассчитайте ожидаемый объем прибыли, который вы хотели бы получить на продаваемый товар. Ее верхний предел будет органичен покупательной способностью товара и его конкурентными свойствами. Максимальную скидку можно рассчитать следующим образом: (прибыль – (прибыль х минимальный объем продаж / ожидаемый объем) / цена единицы продукции.

Еще одной довольно распространенной скидкой является скидка по контракту. Это может быть скидка по , при покупке определенных видов товара, а также при расчете в той или иной валюте. Иногда скидки такого плана предоставляются при покупке товара и заказе для доставки. Например, вы покупаете продукцию фирмы, заказываете транспорт в этой же компании и получаете скидку 5 % на приобретенный товар.

Величина предпраздничных и сезонных скидок определяется, исходя из стоимости товара на складе и вероятностью продажи товара по установленной цене. Обычно к таким скидкам прибегают розничные продавцы, например, при продаже одежды из коллекций прошлого сезона. Подобными скидками пользуются супермаркеты для того, чтобы разгрузить работу магазина в вечерние часы и выходные дни. В данном случае размер скидки определяется размером упущенной выгоды при неудовлетворении покупательского спроса в часы пик.

Источники:

• как рассчитать процент скидки в 2019

Вычисление логарифмов может понадобиться для нахождения значений по формулам, содержащим в качестве неизвестных переменных показатели степеней. Два вида логарифмов, в отличие от всех остальных, имеют собственные названия и обозначения - это логарифмы по основаниям 10 и число e (иррациональная константа). Рассмотрим несколько простых способов вычисления логарифма по основанию 10 - «десятичного» логарифма.

Инструкция

Используйте для вычислений , встроенный в операционную систему Windows. Для его запуска нажмите клавишу win, выберите пункт «Выполнить» в главном меню системы, введите calc и нажмите OK. В стандартном интерфейсе этой программы нет функции вычисления алгоритмов, поэтому раскройте в ее меню раздел «Вид» (или нажмите сочетание клавиш alt + «и») и выберите строку «научный» или «инженерный».

Инструкция

Запишите заданное логарифмическое выражение. Если в выражении используется логарифм 10, то его запись укорачивается и выглядит так: lg b - это десятичный логарифм. Если же логарифм имеет в виде основания число е, то записывают выражение: ln b – натуральный логарифм. Подразумевается, что результатом любого является степень, в которую надо возвести число основания, чтобы получилось число b.

При нахождении от суммы двух функций, необходимо просто их по очереди продифференцировать, а результаты сложить: (u+v)" = u"+v";

При нахождении производной от произведения двух функций, необходимо производную от первой функции умножить на вторую и прибавить производную второй функции, умноженную на первую функцию: (u*v)" = u"*v+v"*u;

Для того, чтобы найти производную от частного двух функций необходимо, из произведения производной делимого, умноженной на функцию делителя, вычесть произведение производной делителя, умноженной на функцию делимого, и все это разделить на функцию делителя возведенную в квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Если дана сложная функция, то необходимо перемножить производную от внутренней функции и производную от внешней. Пусть y=u(v(x)), тогда y"(x)=y"(u)*v"(x).

Используя полученные выше , можно продифференцировать практически любую функцию. Итак, рассмотрим несколько примеров:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2*x));
Также встречаются задачи на вычисление производной в точке. Пусть задана функция y=e^(x^2+6x+5), нужно найти значение функции в точке х=1.
1) Найдите производную функции: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Вычислите значение функции в заданной точке y"(1)=8*e^0=8

Видео по теме

Полезный совет

Выучите таблицу элементарных производных. Это заметно сэкономит время.

Источники:

• производная константы

Итак, чем же отличается иррациональное уравнение от рационального? Если неизвестная переменная находиться под знаком квадратного корня, то уравнение считается иррациональным.

Инструкция

Основной метод решения таких уравнений - метод возведения обоих частей уравнения в квадрат. Впрочем. это естественно, первым делом необходимо избавиться от знака . Технически этот метод не сложен, но иногда это может привести к неприятностям. Например, уравнение v(2х-5)=v(4х-7). Возведя обе его стороны в квадрат, вы получите 2х-5=4х-7. Такое уравнение решить не составит труда; х=1. Но число 1 не будет являться данного уравнения . Почему? Подставьте единицу в уравнение вместо значения х.И в правой и в левой части будут содержаться выражения, не имеющие смысла, то есть . Такое значение не допустимо для квадратного корня. Поэтому 1 - посторонний корень, и следовательно данное уравнение не имеет корней.

Итак, иррациональное уравнение решается с помощью метода возведения в квадрат обоих его частей. И решив уравнение, необходимо обязательно , чтобы отсечь посторонние корни. Для этого подставьте найденные корни в оригинальное уравнение.

Рассмотрите еще один .
2х+vх-3=0
Конечно же, это уравнение можно решить по той же , что и предыдущее. Перенести составные уравнения , не имеющие квадратного корня, в правую часть и далее использовать метод возведения в квадрат. решить полученное рациональное уравнение и корни. Но и другой , более изящный. Введите новую переменную; vх=y. Соответственно, вы получите уравнение вида 2y2+y-3=0. То есть обычное квадратное уравнение. Найдите его корни; y1=1 и y2=-3/2. Далее решите два уравнения vх=1; vх=-3/2. Второе уравнение корней не имеет, из первого находим, что х=1. Не забудьте, о необходимости проверки корней.

Решать тождества достаточно просто. Для этого требуется совершать тождественные преобразования, пока поставленная цель не будет достигнута. Таким образом, при помощи простейших арифметических действий поставленная задача будет решена.

Вам понадобится

• - бумага;
• - ручка.

Инструкция

Простейший таких преобразований – алгебраические сокращенного умножения (такие как квадрат суммы (разности), разность квадратов, сумма (разность) , куб суммы (разности)). Кроме того существует множество и тригонометрических формул, которые по своей сути теми же тождествами.

Действительно, квадрат суммы двух слагаемых равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе и плюс квадрат второго, то есть (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Упростите обеих

Общие принципы решения

Метод замены переменных

Решение интегралов второго рода

Подстановка пределов интегрирования

Степень отдельно взятого числа называется математическим термином, придуманным несколько столетий назад. В геометрии и алгебре встречается два варианта - десятичные и натуральные логарифмы. Они рассчитываются разными формулами, при этом уравнения, отличающиеся написанием, всегда равны друг другу. Это тождество характеризует свойства, которые относятся к полезному потенциалу функции.

Особенности и важные признаки

На данный момент различают десять известных математических качеств. Самыми распространенными и востребованными из них являются:

• Подкоренной log, разделенный на величину корня, всегда такой же, как и десятичный логарифм √.
• Произведение log всегда равно сумме производителя.
• Lg = величине степени, перемноженной на число, которое в нее возводится.
• Если от log делимого отнять делитель, получится lg частного.

Кроме того, есть уравнение, основанное на главном тождестве (считается ключевым), переход к обновленному основанию и несколько второстепенных формул.

Вычисление десятичного логарифма - довольно специфическая задача, поэтому к интегрированию свойств в решение необходимо подходить осторожно и регулярно проверять свои действия и последовательность. Нельзя забывать и о таблицах, с которыми нужно постоянно сверяться, и руководствоваться только найденными там данными.

Разновидности математического термина

Главные отличия математического числа «спрятаны» в основании (a). Если оно имеет показатель 10, то это десятичный log. В обратном случае «a» преобразуется в «у» и обладает трансцендентными и иррациональными признаками. Также стоит отметить, что натуральная величина рассчитывается специальным уравнением, где доказательством становится теория, изучаемая за пределами школьной программы старших классов.

Логарифмы десятичного типа получили широкое применение при вычислении сложных формул. Составлены целые таблицы, облегчающие расчеты и наглядно показывающие процесс решения задачи. При этом перед непосредственным переходом к делу нужно возвести log в К тому же в каждом магазине школьных принадлежностей можно найти специальную линейку с нанесенной шкалой, помогающей решить уравнение любой сложности.

Десятичный логарифм числа называется Бригговым, или цифрой Эйлера, в честь исследователя, который первым опубликовал величину и обнаружил противопоставление двух определений.

Два вида формулы

Все типы и разновидности задач на вычисление ответа, имеющие в условии термин log, обладают отдельным названием и строгим математическим устройством. Показательное уравнение является практически точной копией логарифмических расчетов, если смотреть со стороны правильности решения. Просто первый вариант включает в себя специализированное число, помогающее быстрее разобраться в условии, а второй заменяет log на обыкновенную степень. При этом вычисления с применением последней формулы должны включать в себя переменное значение.

Разница и терминология

Оба главных показателя обладают собственными особенностями, отличающими числа друг от друга:

• Десятичный логарифм. Важная деталь числа - обязательное наличие основания. Стандартный вариант величины равен 10. Маркируется последовательностью - log x или lg x.
• Натуральный. Если его основанием является знак «e», представляющий собой константу, идентичную строго рассчитанному уравнению, где n стремительно движется к бесконечности, то приблизительный размер числа в цифровом эквиваленте составляет 2.72. Официальная маркировка, принятая как в школьных, так и в более сложных профессиональных формулах, - ln x.
• Разные. Кроме основных логарифмов встречаются шестнадцатиричные и двоичные виды (основание 16 и 2 соответственно). Есть еще сложнейший вариант с базовым показателем 64, подпадающий под систематизированное управление адаптивного типа, с геометрической точностью производящее расчет итогового результата.

Терминология включает в себя следующие величины, входящие в алгебраическую задачу:

• значение;
• аргумент;
• основание.

Вычисление log числа

Есть три способа быстро и в устной форме сделать все необходимые расчеты по нахождению интересующего результата с обязательным правильным итогом решения. Изначально приближаем десятичный логарифм к своему порядку (научная запись числа в степени). Каждую положительную величину можно задать уравнением, где она будет равен мантиссе (цифра от 1 до 9), перемноженной на десятку в n-й степени. Такой вариант подсчета создан на основе двух математических фактов:

• произведение и сумма log всегда имеют одинаковый показатель;
• логарифм, взятый из числа от одного до десяти, не может превышать величину в 1 пункт.

1. Если ошибка в вычислении все-таки происходит, то она никогда не бывает меньше одного в сторону вычитания.
2. Точность повышается, если учесть, что lg с основанием три имеет итоговый результат - пять десятых от единицы. Поэтому любое математическое значение больше 3 автоматически добавляет к ответу один пункт.
3. Практически идеальная точность достигается, если под рукой есть специализированная таблица, которую можно легко применять в своих оценочных действиях. С ее помощью можно выяснить, чему равен десятичный логарифм до десятых процентов от оригинального числа.

История вещественного log

Шестнадцатый век остро испытывал потребности в более сложных исчислениях, чем было известно науке того времени. Особенно это касалось деления и умножения многозначных цифр с большой последовательностью, в том числе дробей.

В конце второй половины эпохи сразу несколько умов пришли к выводу о сложении чисел с помощью таблицы, которая сопоставляла две и геометрическую. При этом все базовые расчеты должны были упираться в последнюю величину. Таким же образом ученые интегрировали и вычитание.

Первое упоминание об lg состоялось в 1614 году. Это сделал любитель-математик по фамилии Непер. Стоит отметить, что, несмотря на огромную популяризацию полученных результатов, в формуле была сделана ошибка из-за незнаний некоторых определений, появившихся позже. Она начиналась с шестого знака показателя. Наиболее близки к пониманию логарифма были братья Бернулли, а дебютное узаконивание произошло в восемнадцатом столетии Эйлером. Он же и распространил функцию в область образования.

История комплексного log

Дебютные попытки интегрировать lg в широкие массы делали на заре 18-го века Бернулли и Лейбниц. Но целостных теоретических выкладок они так и не сумели составить. По этому поводу велась целая дискуссия, но точного определения числу не присваивали. Позже диалог возобновился, но уже между Эйлером и Даламбером.

Последний был в принципе согласен со множеством фактов, предлагаемых основателем величины, но считал, что положительный и отрицательный показатели должны быть равны. В середине столетия формула была продемонстрирована в качестве окончательного варианта. Кроме того, Эйлером была опубликована производная десятичного логарифма и составлены первые графики.

Таблицы

Свойства числа указывают на то, что многозначные цифры можно не перемножать, а найти их log и сложить посредством специализированных таблиц.

Особенно ценным этот показатель стал для астрономов, которые вынуждены работать с большим набором последовательностей. В советское время десятичный логарифм искали в сборнике Брадиса, выпущенного в 1921 году. Позже, в 1971 году, появилось издание Веги.

Нередко берут цифру десять. Логарифмы чисел по основанию десять именуют десятичными . При проведении вычислений с десятичным логарифмом общепринято оперировать знаком lg , а не log ; при этом число десять, определяющие основание, не указывают. Так, заменяем log 10 105 на упрощенное lg105 ; а log 10 2 на lg2 .

Для десятичных логарифмов типичны те же особенности, которые есть у логарифмов при основании, большем единицы. А именно, десятичные логарифмы характеризуются исключительно для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а чисел, меньших единицы, отрицательны; из двух не отрицательных чисел большему эквивалентен и больший десятичный логарифм и т. д. Дополнительно, десятичные логарифмы имеют отличительные черты и своеобразные признаки, которыми и поясняется, зачем в качестве основания логарифмов комфортно предпочитать именно цифру десять.

Перед тем как разобрать эти свойства, ознакомимся с нижеследующими формулировками.

Целая часть десятичного логарифма числа а именуется характеристикой , а дробная — мантиссой этого логарифма.

Характеристика десятичного логарифма числа а указывается как , а мантисса как {lg а }.

Возьмем, скажем, lg 2 ≈ 0,3010.Соответственно = 0, {lg 2} ≈ 0,3010.

Подобно и для lg 543,1 ≈2,7349. Соответственно, = 2, {lg 543,1}≈ 0,7349.

Достаточно повсеместно употребляется вычисление десятичных логарифмов положительных чисел по таблицам.

Характерные признаки десятичных логарифмов.

Первый признак десятичного логарифма. целого не отрицательного числа, представленного единицей со следующими нулями, есть целое положительное число, равное численности нулей в записи выбранного числа.

Возьмем, lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Обобщенно, если

То а = 10 n , из чего получаем

lg a = lg 10 n = n lg 10 = п .

Второй признак. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби , показанный единицей с предыдущими нулями, равен - п , где п - численность нулей в представлении этого числа, учитывая и нуль целых.

Рассмотрим, lg 0,001 = - 3, lg 0,000001 =-6.

Обобщенно, если

,

То a = 10 -n и получается

lga= lg 10 n =-n lg 10 =-п

Третий признак. Характеристика десятичного логарифма не отрицательного числа, большего единицы, равна численности цифр в целой части этого числа исключая одну.

Разберем данный признак 1) Характеристика логарифма lg 75,631 приравнена к 1.

И правда, 10 < 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10 < lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Отсюда следует,

lg 75,631 = 1 +б,

Смещение запятой в десятичной дроби вправо или влево равнозначно операции перемножения этой дроби на степень числа десять с целым показателем п (положительным или отрицательным). И следовательно, при смещении запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не меняется.

Так, {lg 0,0053} = {lg 0,53} = {lg 0,0000053}.