Логарифмические неравенства
На предыдущих уроках мы с вами познакомились с логарифмическими уравнениями и теперь знаем, что это такое и как их решать. А сегодняшний урок будет посвящен изучению логарифмических неравенств. Что же это за такие неравенства и в чем разница между решением логарифмического уравнения и неравенства?
Логарифмические неравенства - это неравенства, которые имеют переменную, стоящую под знаком логарифма или в его основании.
Или же, можно еще сказать, что логарифмическое неравенство – это такое неравенство, в котором его неизвестная величина, как и в логарифмическом уравнении, будет стоять под знаком логарифма.
Простейшие логарифмические неравенства имеют такой вид:
где f(x) и g(x) являются некоторыми выражениями, которые зависят от x.
Давайте это рассмотрим на таком примере: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Решение логарифмических неравенств
Перед решением логарифмических неравенств, стоит отметить, что они при решении имеют сходство с показательными неравенствами, а именно:
Во-первых, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, нам также необходимо сравнить основание логарифма с единицей;
Во-вторых, решая логарифмическое неравенство, используя замену переменных, нам необходимо решать неравенства относительно замены до того момента, пока мы не получим простейшее неравенство.
Но это мы с вами рассмотрели сходные моменты решения логарифмических неравенств. А сейчас обратим внимание на довольно таки существенное отличие. Нам с вами известно, что логарифмическая функция обладает ограниченной областью определения, поэтому переходя от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, нужно брать в расчет область допустимых значений (ОДЗ).
То есть, следует учитывать, что решая логарифмическое уравнение мы с вами, можем сначала находить корни уравнения, а потом делать проверку этого решения. А вот решить логарифмическое неравенство так не получится, поскольку переходя от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо будет записывать ОДЗ неравенства.
Вдобавок стоит запомнить, что теория неравенств состоит из действительных чисел, которыми являются положительные и отрицательные числа, а также и число 0.
Например, когда число «а» является положительным, то необходимо использовать такую запись: a >0. В этом случае, как сумма, так и произведение таких этих чисел также будут положительными.
Основным принципом решения неравенства является его замена на более простое неравенство, но главное, чтобы оно было равносильно данному. Дальше, также мы получили неравенство и снова его заменили на то, которое имеет более простой вид и т.д.
Решая неравенства с переменной нужно находить все его решения. Если два неравенства имеют одну переменную х, то такие неравенства равносильны, при условии, что их решения совпадают.
Выполняя задания на решение логарифмических неравенств, необходимо запомнить, что когда a > 1, то логарифмическая функция возрастает, а когда 0 < a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Способы решения логарифмических неравенств
Сейчас рассмотрим некоторые способы, которые имеют место при решении логарифмических неравенств. Для лучшего понимания и усвоения, попытаемся в них разобраться на конкретных примерах.
Нам с вами известно, что простейшее логарифмическое неравенство имеет такой вид:
В этом неравенстве V – является одним из таких знаков неравенства, как: <,>, ≤ или ≥.
Когда основание данного логарифма больше единицы (a>1), осуществляя переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, то в этом варианте знак неравенства сохраняется, и неравенство будет иметь такой вид:
что равносильно такой вот системе:
В случае же, когда основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0 Это равносильно данной системе: Посмотрим еще примеры решения простейших логарифмических неравенств, приведенных на картинке ниже: Задание.
Давайте попробуем решить такое вот неравенство: Решение области допустимых значений. Теперь попробуем умножить его правую часть на: Смотрим, что у нас получится: Теперь, давайте с вами перейдем к преобразованию подлогарифмических выражений. В связи с тем, что основание логарифма 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; А из этого следует, что интервал, который мы получили, целиком и полностью принадлежит ОДЗ и является решением такого неравенства. Вот какой ответ у нас получился: А теперь давайте попробуем проанализировать, что нам необходимо для успешного решения логарифмических неравенств? Во-первых, сосредоточить все свое внимание и постараться не допускать ошибок при выполнении преобразований, которые даны в этом неравенстве. Также, следует запомнить, что при решении таких неравенств нужно не допускать расширений и сужений ОДЗ неравенства, которые могут привести к потере или приобретению посторонних решений. Во-вторых, при решении логарифмических неравенств необходимо научиться мыслить логически и понимать разницу между такими понятиями, как система неравенств и совокупность неравенств, чтобы вы без проблем смогли осуществлять отбор решений неравенства, при этом руководствуясь его ОДЗ. В-третьих, для успешного решения таких неравенств каждый из вас должен отлично знать все свойства элементарных функций и четко понимать их смысл. К таким функциям относятся не только логарифмические, но и рациональные, степенные, тригонометрические и т.д., одним словом, все те, которые вы изучали на протяжении школьного обучения алгебры. Как видите, изучив тему о логарифмических неравенствах, в решении этих неравенств нет ничего сложного при условии, если вы будете внимательны и настойчивы в достижении поставленных целей. Чтобы в решении неравенств не возникало никаких проблем, нужно как можно больше тренироваться, решая различные задания и при этом запоминать основные способы решения таких неравенств и их систем. При неудачных решениях логарифмических неравенств, следует внимательно проанализировать свои ошибки, чтобы в будущем не возвращаться к ним снова. Для лучшего усвоения темы и закрепления пройденного материала, решите следующие неравенства: Цели урока: Дидактические:
Развивающие:
развивать память, внимание, логическое мышление, навыки
сравнения, уметь обобщать и делать выводы Воспитательные:
воспитывать аккуратность, ответственность за
выполняемое задание, взаимопомощь. Методы обучения:
словесный,
наглядный,
практический,
частично-поисковый,
самоуправления,
контроля. Формы организации познавательной деятельности учащихся:
фронтальный,
индивидуальный,
работа в парах. Оборудование:
набор тестовых заданий, опорный конспект, чистые
листы для решений. Тип урока:
изучение нового материала. Ход урока 1. Организационный момент.
Объявляются тема и цели урока, схема
проведения урока: каждому ученику выдается оценочный лист, который ученик
заполняет в течении урока; для каждой пары учеников – печатные материалы с
заданиями, выполнять задания нужно в парах; чистые листы для решений; опорные
листы: определение логарифма; график логарифмической функции, ее свойства;
свойства логарифмов; алгоритм решения логарифмических неравенств. Все решения после самооценки сдаются учителю. Оценочный лист учащегося 2. Актуализация знаний.
Указания учителя. Вспомните определение логарифма, график логарифмической
функции и ее свойства. Для этого прочитайте текст на с.88–90, 98–101 учебника
“Алгебра и начала анализа 10–11” под редакцией Ш.А Алимова, Ю.М Колягина и др. Ученикам раздаются листы, на которых записаны: определение логарифма;
изображен график логарифмической функции, ее свойства; свойства логарифмов;
алгоритм решения логарифмических неравенств, пример решения логарифмического
неравенства, сводящегося к квадратному. 3. Изучение нового материала.
Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической
функции. Алгоритм решения логарифмических неравенств: А) Найти область определения неравенства (подлогарифмическое выражение больше
нуля). Учебный элемент № 1. Цель: закрепить решение простейших логарифмических неравенств Форма организации познавательной деятельности учащихся: индивидуальная
работа. Задания для самостоятельной работы на 10 минут. Для каждого неравенства
имеются несколько вариантов ответов, нужно выбрать верный и проверить по ключу. Учебный элемент № 2. Цель: закрепить решение логарифмических неравенств, применяя свойства
логарифмов. Указания учителя. Вспомните основные свойства логарифмов. Для этого
прочитайте текст учебника на с.92, 103–104. Задания для самостоятельной работы на 10 минут. КЛЮЧ: 2113, максимальное кол-во баллов – 8 б. Учебный элемент № 3. Цель: изучить решение логарифмических неравенств методом сведения к
квадратному. Указания учителя: метод сведения неравенства к квадратному состоит в том,
что нужно преобразовать неравенство к такому виду, чтобы некоторую
логарифмическую функцию обозначить новой переменной, получив при этом квадратное
неравенство относительно этой переменной. Применим метод интервалов. Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам придется
самостоятельно выбрать метод решения логарифмических уравнений, используя все
свои знания и возможности. Учебный элемент № 4. Цель: закрепить решение логарифмических неравенств, выбрав самостоятельно
рациональный способ решения. Задания для самостоятельной работы на 10 минут Учебный элемент № 5. Указания учителя. Молодцы! Вы освоили решение уравнений второго уровня
сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и
умений в более сложных и нестандартных ситуациях. Задания для самостоятельного решения: Указания учителя. Замечательно, если вы справились со всем заданием.
Молодцы! Оценка за весь урок зависит от числа набранных баллов по всем учебным
элементам: Оценочные лисы сдать учителю. 5. Домашнее задание: если вы набрали не более 15 б – выполните работу над
ошибками (решения можно взять у учителя), если вы набрали более 15 б – выполните
творческое задание по теме “Логарифмические неравенства”. Вам кажется, что до ЕГЭ еще есть время, и вы успеете подготовиться? Быть может, это и так. Но в любом случае, чем раньше школьник начинает подготовку, тем успешнее он сдает экзамены. Сегодня мы решили посвятить статью логарифмическим неравенствам. Это одно из заданий, а значит, возможность получить дополнительный балл. Вы уже знаете, что такое логарифм(log)? Мы очень надеемся, что да. Но даже если у вас нет ответа на этот вопрос, это не проблема. Понять, что такое логарифм очень просто. Почему именно 4? В такую степень нужно возвести число 3, чтобы получилось 81. Когда вы поняли принцип, можно приступать и к более сложным вычислениям. Неравенства вы проходили еще несколько лет назад. И с тех пор они постоянно встречаются вам в математике. Если у вас проблемы с решением неравенств, ознакомьтесь с соответствующим разделом. Самое простое логарифмическое неравенство. Простейшие логарифмические неравенства не ограничиваются этим примером, есть еще три, только с другими знаками. Зачем это нужно? Чтобы полнее понять, как решать неравенство с логарифмами. Теперь приведем более применимый пример, все еще достаточно простой, сложные логарифмические неравенства оставим на потом. Как это решить? Все начинается с ОДЗ. О нем стоит знать больше, если хочется всегда легко решать любое неравенство. Аббревиатура расшифровывается как область допустимых значений. В заданиях для ЕГЭ нередко всплывает данная формулировка. ОДЗ пригодится вам не только в случае логарифмических неравенств. Посмотрите еще раз на вышеприведенный пример. Мы будем рассматривать ОДЗ, исходя из него, чтобы вы поняли принцип, и решение логарифмических неравенств не вызывало вопросов. Из определения логарифма следует что, 2х+4 должно быть больше нуля. В нашем случае это означает следующее. Это число по определению должно быть положительным. Решите неравенство, представленное выше. Это можно сделать даже устно, здесь явно, что X не может быть меньше 2. Решение неравенства и будет определением области допустимых значений. Отбрасываем из обеих частей неравенства сами логарифмы. Что в результате у нас остается? Простое неравенство. Решить его несложно. X должен быть больше -0,5. Теперь совмещаем два полученных значения в систему. Таким образом, Это и будет область допустимых значений для рассматриваемого логарифмического неравенства. Зачем вообще нужно ОДЗ? Это возможность отсеять неверные и невозможные ответы. Если ответ не входит в область допустимых значений, значит, ответ попросту не имеет смысла. Это стоит запомнить надолго, так как в ЕГЭ часто встречается необходимость поиска ОДЗ, и касается она не только логарифмических неравенств. Решение состоит из нескольких этапов. Во-первых, необходимо найти область допустимых значений. В ОДЗ будет два значения, это мы рассмотрели выше. Далее нужно решить само неравенство. Методы решения бывают следующими: В зависимости от ситуации стоит применять один из вышеперечисленных методов. Перейдем непосредственно к решению. Раскроем наиболее популярный метод, который подходит для решения заданий ЕГЭ практически во всех случаях. Далее мы рассмотрим метод декомпозиции. Он может помочь, если попалось особенно «заковыристое» неравенство. Итак, алгоритм решения логарифмического неравенства. Примеры решения
: Мы не зря взяли именно такое неравенство! Обратите внимание на основание. Запомните: если оно больше единицы, знак остается прежним при нахождении области допустимых значений; в противном случае нужно изменить знак неравенства. В результате мы получаем неравенство: Теперь приводим левую часть к виду уравнения, равному нулю. Вместо знака «меньше» ставим «равно», решаем уравнение. Таким образом, мы найдем ОДЗ. Надеемся, что с решением такого простого уравнения у вас не будет проблем. Ответы -4 и -2. Это еще не все. Нужно отобразить эти точки на графике, расставить «+» и «-». Что нужно для этого сделать? Подставить в выражение числа из интервалов. Где значения положительны, там ставим «+». Ответ
: х не может быть больше -4 и меньше -2. Мы нашли область допустимых значений только для левой части, теперь нужно найти область допустимых значений правой части. Это не в пример легче. Ответ: -2. Пересекаем обе полученные области. И только теперь начинаем решать само неравенство. Упростим его, насколько возможно, чтобы решать было легче. Снова применяем метод интервалов в решении. Опустим выкладки, с ним уже и так все понятно по предыдущему примеру. Ответ. Но этот метод подходит, если логарифмическое неравенство имеет одинаковые основания. Решение логарифмических уравнений и неравенств с разными основаниями предполагает изначальное приведение к одному основанию. Далее применяйте вышеописанный метод. Но есть и более сложный случай. Рассмотрим один из самых сложных видов логарифмических неравенств. Как решать неравенства с такими характеристиками? Да, и такие могут встретиться в ЕГЭ. Решение неравенств нижеследующим способом тоже полезно скажется на вашем образовательном процессе. Разберемся в вопросе подробным образом. Отбросим теорию, перейдем сразу к практике. Чтобы решать логарифмические неравенства, достаточно однажды ознакомиться с примером. Чтобы решить логарифмическое неравенство представленного вида, необходимо привести правую часть к логарифму с тем же основанием. Принцип напоминает равносильные переходы. В итоге неравенство будет выглядеть следующим образом. Собственно, остается создать систему неравенств без логарифмов. Используя метод рационализации, переходим к равносильной системе неравенств. Вы поймете и само правило, когда подставите соответствующие значения и проследите их изменения. В системе будут следующие неравенства. Воспользовавшись методом рационализации при решении неравенств нужно помнить следующее: из основания необходимо вычесть единицу, х по определению логарифма из обеих частей неравенства вычитается (правое из левого), два выражения перемножаются и выставляются под исходным знаком по отношению к нулю. Дальнейшее решение осуществляется методом интервалов, здесь все просто. Вам важно понять отличия в методах решения, тогда все начнет легко получаться. В логарифмических неравенствах много нюансов. Простейшие из них решать достаточно легко. Как сделать так, чтобы решать каждое из них без проблем? Все ответы вы уже получили в этой статье. Теперь впереди вас ждет длительная практика. Постоянно практикуйтесь в решении самых разных задач в рамках экзамена и сможете получить наивысший балл. Успехов вам в вашем непростом деле! Определение логарифма
проще всего записать математически: Определение логарифма можно записать и другим способом: Обратите внимание на ограничения которые накладываются на основание логарифма (a
) и на подлогарифмическое выражение (x
). В дальнейшем эти условия превратятся в важные ограничения для ОДЗ, которые нужно будет учитывать при решении любого уравнения с логарифмами. Итак, теперь кроме стандартных условий приводящих к ограничениям на ОДЗ (положительность выражений под корнями четных степеней, не равенство знаменателя нолю и т.д.) нужно учитывать еще и следующие условия: Обратите внимание, что ни основание логарифма, ни подлогарифмическое выражение не могут быть равными нолю. Обратите также внимание и на то, что само значение логарифма может принимать все возможные значения, т.е. логарифм может быть положительным, отрицательным и равным нолю. У логарифмов есть очень много различных свойств, которые следуют из свойств степеней и определения логарифма. Перечислим их. Итак, свойства логарифмов: Логарифм произведения: Логарифм дроби: Вынесение степени за знак логарифма: Обратите особо пристальное внимание на те из последних перечисленных свойств, в которых появляется знак модуля после вынесения степени. Не забывайте, что при вынесении четной степени за знак логарифма, под логарифмом или в основании нужно оставить знак модуля.
Другие полезные свойства логарифмов: Последнее свойство очень часто применяется в сложных логарифмических уравнениях и неравенствах. Его нужно помнить также хорошо, как и все остальные, хотя о нём часто забывают. Самые простые логарифмические уравнения имеют вид: А их решение задаётся формулой, которая напрямую следует из определения логарифма: Другие простейшие логарифмические уравнения, это такие, которые с помощью алгебраических преобразований и приведённых выше формул и свойств логарифмов можно свести к виду: Решение таких уравнений с учетом ОДЗ выглядит следующим образом: Некоторые другие логарифмические уравнения с переменной в основании
могут быть сведены к виду: В таких логарифмических уравнениях общий вид решения также напрямую следует из определения логарифма. Только в этом случае имеются дополнительные ограничения для ОДЗ, которые нужно учесть. В итоге, для решения логарифмического уравнения с переменной в основании нужно решать следующую систему: При решении более сложных логарифмических уравнений, которые нельзя свести к одному из представленных выше уравнений, также активно применяется метод замены переменных
. Как обычно, применяя этот метод нужно помнить, что после введения замены уравнение должно упроститься и больше не содержать старой неизвестной. Также нужно не забывать выполнять обратную замену переменных. Иногда при решении логарифмических уравнений приходится также использовать графический метод
. Данный метод состоит в том, чтобы как можно более точно построить на одной координатной плоскости графики функций, которые стоят в левой и правой частях уравнения, а затем найти координаты точек их пересечения по чертежу. Полученные таким образом корни обязательно нужно проверить подстановкой в первоначальное уравнение. При решении логарифмических уравнений часто также бывает полезен метод группировки
. При использовании этого метода главное помнить, что: для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, необходимо, чтобы хотя бы один их них равнялся нолю, а остальные существовали
. Когда множителями являются логарифмы или скобки с логарифмами, а не просто скобки с переменными как в рациональных уравнениях, то может возникнуть много ошибок. Так как у логарифмов есть много ограничений на ту область, где они существуют. При решении систем логарифмических уравнений
чаще всего приходится использовать либо метод подстановки, либо метод замены переменных. Если есть такая возможность, то при решении систем логарифмических уравнений нужно стремиться к тому, чтобы каждое из уравнений системы по-отдельности привести к такому виду, при котором можно будет осуществить переход от логарифмического уравнения к рациональному. Простейшие логарифмические неравенства решаются примерно также как и аналогичные уравнения. Сначала, с помощью алгебраических преобразований и свойств логарифмов, их нужно постараться привести к такому виду, где у логарифмов в левой и правой части неравенства будут одинаковые основания, т.е. получить неравенство вида: После чего нужно перейти к рациональному неравенству, учитывая, что этот переход должен быть выполнен следующим образом: если основание логарифма больше единицы, то знак неравенства менять не нужно, а если основание логарифма меньше единицы, то нужно поменять знак неравенства на противоположный
(это значит поменять "меньше" на "больше" или наоборот). При этом знаки минус на плюс, в обход ранее изученных правил нигде менять не нужно. Запишем математически то, что получим в результате выполнения такого перехода. В случае если основание больше единицы получим: В случае если основание логарифма меньше единицы поменяем знак неравенства и получим следующую систему: Как видим при решении логарифмических неравенств как обычно учитывается также и ОДЗ (это третье условие в системах выше). Причем в этом случае есть возможность не требовать положительности обоих подлогарифмических выражений, а достаточно потребовать положительности только меньшего из них. При решении логарифмических неравенств с переменной в основании
логарифма необходимо самостоятельно рассматривать оба варианта (когда основание меньше единицы, и больше единицы) и объединять решения этих случаев в совокупность. При этом нужно не забывать и про ОДЗ, т.е. про то, что и основание и все подлогарифмические выражение должны быть положительными. Таким образом, при решении неравенства вида: Получим следующую совокупность систем: Более сложные логарифмические неравенства могут также решаться с помощью замены переменных. Некоторые другие логарифмические неравенства (как и логарифмические уравнения) для решения требуют проведения процедуры логарифмирования обоих частей неравенства или уравнения по одинаковому основанию. Так вот при проведении такой процедуры с логарифмическим неравенствами имеется тонкость. Обратите внимание, что при логарифмировании по основанию большему единицы, знак неравенства не изменяется, а если основание меньше единицы, то знак неравенства изменяется на противоположный. Если логарифмическое неравенство не может быть сведено к рациональному или решено с помощью замены, то в этом случае нужно применять обобщенный метод интервалов
, который состоит в следующем: Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия: Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны. Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
Решение примеров
3x > 24;
х > 8.
Что необходимо для решения логарифмических неравенств?
Домашнее задание
Б) Представить (если возможно) левую и правую части неравенства в виде
логарифмов по одному и тому же основанию.
В) Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция: если
t>1, то возрастающая; если 0
Г) Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических выражений),
учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится,
если она убывает.
КЛЮЧ: 13321, максимальное кол-во баллов – 6 б.
Теперь, когда мы познакомились с понятиями по отдельности, перейдем к их рассмотрению в общем.
Что такое ОДЗ? ОДЗ для логарифмических неравенств
Теперь перейдем к решению простейшего логарифмического неравенства.
Алгоритм решения логарифмического неравенства
Логарифмические неравенства с переменным основанием
Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
Нашли ошибку?
