Kolika je dijagonala četverougla? Četvorougla sva pravila

I opet pitanje: da li je romb paralelogram ili nije?

Sa punim desnim - paralelogram, jer ima i (zapamtite našu osobinu 2).

I opet, pošto je romb paralelogram, onda mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da su u rombu suprotni uglovi jednaki, suprotne strane paralelne, a dijagonale se u tački presjeka popolavljaju.

Svojstva romba

Pogledaj sliku:

Kao iu slučaju pravokutnika, ova svojstva su distinktivna, odnosno za svako od ovih svojstava možemo zaključiti da ovo nije samo paralelogram, već romb.

Znakovi dijamanta

I opet, obratite pažnju: ne mora postojati samo četvorougao čije su dijagonale okomite, već i paralelogram. Budi siguran:

Ne, naravno, iako su njegove dijagonale okomite, a dijagonala je simetrala uglova i. Ali... tačkom preseka dijagonale nisu podeljene na pola, dakle - NIJE paralelogram, a samim tim ni romb.

To jest, kvadrat je istovremeno pravougaonik i romb. Da vidimo šta se dešava.

Je li jasno zašto? - romb je simetrala ugla A, koja je jednaka. To znači da se dijeli (i također) na dva ugla duž.

Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravougaonika su jednake; Dijagonale romba su okomite, i općenito, paralelogram dijagonala je podijeljen na pola točkom presjeka.

PROSJEČNI NIVO

Svojstva četvorougla. Paralelogram

Svojstva paralelograma

Pažnja! riječi " svojstva paralelograma"znači da ako je u vašem zadatku Tu je paralelogram, onda se može koristiti sve od sljedećeg.

Teorema o svojstvima paralelograma.

U bilo kom paralelogramu:

Hajde da shvatimo zašto je to sve istina, drugim rečima MI ĆEMO DOKAZATI teorema.

Pa zašto je 1) istina?

Ako je paralelogram, onda:

• ležeći unakrst
• ležeći kao krstovi.

To znači (prema kriteriju II: i - općenito.)

Pa, to je to, to je to! - dokazano.

Ali usput! Dokazali smo i 2)!

Zašto? Ali (pogledajte sliku), to jest, upravo zato.

Još samo 3).

Da biste to učinili, još uvijek morate nacrtati drugu dijagonalu.

I sada to vidimo - prema II karakteristici (uglovi i stranica "između").

Provjerena svojstva! Pređimo na znakove.

Znakovi paralelograma

Podsjetimo da znak paralelograma odgovara na pitanje "kako znaš da je figura paralelogram?"

U ikonama je ovako:

Zašto? Bilo bi lijepo razumjeti zašto - dosta je. ali pogledaj:

Pa, shvatili smo zašto je znak 1 tačan.

Pa, još je lakše! Povucimo ponovo dijagonalu.

Što znači:

I Takođe je lako. Ali...drugačije!

Znači,. Vau! Ali isto tako - unutrašnje jednostrano sa sekantom!

Dakle činjenica da to znači.

A ako pogledate s druge strane, onda - unutrašnje jednostrano sa sekantom! I zbog toga.

Vidite li kako je super?!

I opet jednostavno:

Potpuno na isti način.

Obrati pažnju: ako ste našli najmanje jedan znak paralelograma u vašem problemu, onda imate upravo paralelogram i možete koristiti svima svojstva paralelograma.

Za potpunu jasnoću pogledajte dijagram:

Svojstva četvorougla. Pravougaonik.

Svojstva pravougaonika:

Tačka 1) je sasvim očigledna - na kraju krajeva, znak 3 () je jednostavno ispunjen

I tačka 2) - veoma važno. Dakle, dokažimo to

To znači sa dvije strane (i - općenito).

Pa, pošto su trouglovi jednaki, onda su i njihove hipotenuze jednake.

Dokazao to!

I zamislite, jednakost dijagonala je karakteristično svojstvo pravokutnika među svim paralelogramima. To jest, ova izjava je tačna^

Hajde da razumemo zašto?

To znači (što znači uglove paralelograma). Ali podsjetimo još jednom da je to paralelogram, i stoga.

Znači,. Pa, naravno, proizilazi da svaki od njih! Na kraju krajeva, moraju dati sveukupno!

Tako su dokazali da ako paralelogram odjednom (!) dijagonale su jednake, onda ovo tačno pravougaonik.

Ali! Obrati pažnju! Ovo je otprilike paralelograma! Ne bilo kočetvorougao sa jednakim dijagonalama je pravougaonik, i samo paralelogram!

Svojstva četvorougla. Rhombus

I opet pitanje: da li je romb paralelogram ili nije?

Sa punim desnim - paralelogram, jer ima (Zapamtite našu osobinu 2).

I opet, pošto je romb paralelogram, on mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da su u rombu suprotni uglovi jednaki, suprotne strane paralelne, a dijagonale se u tački presjeka popolavljaju.

Ali postoje i posebna svojstva. Hajde da to formulišemo.

Svojstva romba

Zašto? Pa, pošto je romb paralelogram, onda su njegove dijagonale podijeljene na pola.

Zašto? Da, zato!

Drugim riječima, ispostavilo se da su dijagonale simetrale uglova romba.

Kao iu slučaju pravougaonika, ova svojstva su prepoznatljiv, svaki od njih je i znak romba.

Znakovi dijamanta.

Zašto je ovo? i vidi,

To znači oboje Ovi trouglovi su jednakokraki.

Da bi bio romb, četvorougao prvo mora da „postane” paralelogram, a zatim da pokaže osobinu 1 ili osobinu 2.

Svojstva četvorougla. Square

To jest, kvadrat je istovremeno pravougaonik i romb. Da vidimo šta se dešava.

Je li jasno zašto? Kvadrat - romb - je simetrala ugla koji je jednak. To znači da se dijeli (i također) na dva ugla duž.

Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravougaonika su jednake; Dijagonale romba su okomite, i općenito, paralelogram dijagonala je podijeljen na pola točkom presjeka.

Zašto? Pa, hajde da samo primenimo Pitagorinu teoremu na...

SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Svojstva paralelograma:

1. Suprotne strane su jednake: , .
2. Suprotni uglovi su jednaki: , .
3. Uglovi na jednoj strani su: , .
4. Dijagonale su podijeljene na pola točkom presjeka: .

Svojstva pravougaonika:

1. Dijagonale pravougaonika su jednake: .
2. Pravougaonik je paralelogram (za pravougaonik su ispunjena sva svojstva paralelograma).

Svojstva romba:

1. Dijagonale romba su okomite: .
2. Dijagonale romba su simetrale njegovih uglova: ; ; ; .
3. Romb je paralelogram (za romb su ispunjena sva svojstva paralelograma).

Svojstva kvadrata:

Kvadrat je istovremeno i romb i pravougaonik, stoga su za kvadrat ispunjena sva svojstva pravokutnika i romba. I.

Danas ćemo pogledati geometrijska figura- četvorougao. Već iz naziva ove figure postaje jasno da ova figura ima četiri ugla. Ali u nastavku ćemo razmotriti preostale karakteristike i svojstva ove slike.

Šta je četvorougao

Četvorougao je mnogougao koji se sastoji od četiri tačke (vrhova) i četiri segmenta (stranice) koji povezuju ove tačke u paru. Površina četverokuta jednaka je polovini umnoška njegovih dijagonala i kuta između njih.

Četvorougao je mnogokut sa četiri vrha, od kojih tri ne leže na pravoj liniji.

Vrste četvorouglova

• Četvorougao čije su suprotne strane paralelne u parovima naziva se paralelogram.
• Četvorougao kod kojeg su dvije suprotne strane paralelne, a druge dvije nisu, naziva se trapez.
• Četvorougao sa svim pravim uglovima je pravougaonik.
• Četvorougao čiji su sve strane jednake je romb.
• Četvorougao u kojem su sve stranice jednake i svi uglovi pravi naziva se kvadrat.

Četvorougao može biti:

Samopresecanje

Nekonveksan

Konveksna

Samopresecajući četvorougao je četverougao u kojem bilo koja od njegovih stranica ima presječnu točku (plavo na slici).

Nekonveksni četverougao je četverougao u kojem je jedan od unutrašnji uglovi više od 180 stepeni (označeno narandžastom bojom na slici).

Zbir uglova svaki četvorougao koji se ne siječe uvijek je jednak 360 stepeni.

Posebne vrste četvorouglova

Četvorouglovi mogu imati dodatna svojstva, formirajući se posebne vrste geometrijski oblici:

• Paralelogram
• Pravougaonik
• Square
• Trapez
• Deltoid
• Kontraparalelogram

Četverokut i krug

Četvorougao opisan oko kružnice (krug upisan u četvorougao).

Glavno svojstvo opisanog četvorougla:

Četvorokut se može opisati oko kruga ako i samo ako su zbroji dužina suprotnih strana jednaki.

Četvorougao upisan u krug (krug opisan oko četvorougla)

Glavno svojstvo upisanog četvorougla:

Četvorougao se može upisati u krug ako i samo ako je zbir suprotnih uglova jednak 180 stepeni.

Svojstva dužina stranica četvorougla

Modul razlike između bilo koje dvije stranice četverougla ne prelazi zbir svoje druge dvije strane.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Bitan. Nejednakost vrijedi za bilo koju kombinaciju stranica četverougla. Slika je data isključivo radi lakše percepcije.

U bilo kojem četvorouglu zbir dužina njegove tri strane nije manji od dužine četvrte stranice.

Bitan. Prilikom rješavanja zadataka u okviru školskog programa možete koristiti strogu nejednakost (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Tema lekcije

• Definicija četverougla.

Ciljevi lekcije

• Edukativno – ponavljanje, generalizacija i provjera znanja na temu: „Četvorougao“; razvoj osnovnih vještina.
• Razvojni – razvijati pažnju učenika, upornost, upornost, logičko mišljenje, matematički govor.
• Edukativni - kroz nastavu njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, međusobnog pomaganja i samostalnosti.

Ciljevi lekcije

• Razviti vještine konstruiranja četverougla pomoću ravnala i trokuta za crtanje.
• Testirajte učenikove vještine rješavanja problema.

Plan lekcije

1. Istorijska referenca. Neeuklidska geometrija.
2. Quadrangle.
3. Vrste četvorouglova.

Neeuklidska geometrija

Neeuklidska geometrija, geometrija slična geometriji Euclid po tome što definira kretanje figura, ali se razlikuje od euklidske geometrije po tome što je jedan od njenih pet postulata (drugi ili peti) zamijenjen njegovom negacijom. Negacija jednog od euklidskih postulata (1825) bila je značajan događaj u istoriji misli, jer je poslužila kao prvi korak ka teorija relativnosti.

Euklidov drugi postulat to kaže bilo koji pravi segment se može produžiti beskonačno. Euklid je očito vjerovao da ovaj postulat sadrži i tvrdnju da prava linija ima beskonačnu dužinu. kako god u "eliptičnoj" geometriji, svaka prava linija je konačna i, poput kruga, zatvorena.

Peti postulat kaže da ako prava siječe dvije date prave na takav način da dva unutrašnja ugla na jednoj njenoj strani daju manje od dva prava ugla, tada će se ove dvije prave, ako se produže beskonačno, sijeći na strani gdje je zbir ovih uglova manji je od zbira dve prave. Ali u „hiperboličnoj“ geometriji može postojati prava CB (vidi sliku), okomita u tački C na datu pravu r i koja siječe drugu pravu s pod oštrim uglom u tački B, ali, ipak, beskonačne prave r i s će nikada se ne ukrštaju.

Iz ovih revidiranih postulata slijedi da je zbir uglova trougla, jednak 180° u euklidskoj geometriji, veći od 180° u eliptičnoj geometriji i manji od 180° u hiperboličnoj geometriji.

Quadrangle

Sa četiri ugla i četiri strane. Četvorougao formira zatvorena izlomljena linija koja se sastoji od četiri karike i onog dijela ravni koji se nalazi unutar izlomljene linije.

Oznaku četverokuta čine slova koja se nalaze na njegovim vrhovima i imenuju ih po redu. Na primjer, kažu ili pišu: četverougao A B C D :

U četvorouglu A B C D bodova A, B, C I D- Ovo vrhove četvorougla, segmenti AB, B.C., CD I D.A. - strane.

Zovu se vrhovi koji pripadaju jednoj strani susjedni, vrhovi koji nisu susjedni se pozivaju suprotno:

U četvorouglu A B C D vrhovi A I B, B I C, C I D, D I A- susjedni i vrhovi A I C, B I D- suprotno. Uglovi koji leže na susjednim vrhovima nazivaju se i susjedni, a na suprotnim vrhovima - suprotni.

Stranice četverougla također se mogu podijeliti u parovima na susjedne i suprotne: stranice koje imaju zajednički vrh nazivaju se susjedni(ili susjedni), stranice koje nemaju zajedničke vrhove - suprotno:

Zabave AB I B.C., B.C. I CD, CD I D.A., D.A. I AB- susjedne i bočne AB I DC, AD I B.C.- suprotno.

Ako su suprotni vrhovi povezani segmentom, tada će se takav segment pozvati dijagonala četvorougla. Uzimajući u obzir da četverokut ima samo dva para suprotnih vrhova, tada mogu postojati samo dvije dijagonale:

Segmenti A.C. I BD- dijagonale.

Razmotrimo glavne vrste konveksnih četverokuta:

• Trapez- četverougao u kojem je jedan par suprotnih strana paralelan jedna s drugom, a drugi par nije paralelan.
  • Jednakokraki trapez- trapez čije su stranice jednake.
  • Pravougaoni trapez- trapez u kojem je jedan od uglova pravi.
• Paralelogram- četverougao u kojem su oba para suprotnih stranica međusobno paralelna.
  • Pravougaonik- paralelogram u kojem su svi uglovi jednaki.
  • Rhombus- paralelogram sa svim stranama jednakim.
  • Square- paralelogram sa jednakim stranicama i uglovima. I pravougaonik i romb mogu biti kvadrat.

Svojstva uglova konveksnih četvorouglova

Svi konveksni četvorouglovi imaju sledeća dva svojstva pod svojim uglovima:

1. Svaki unutrašnji ugao manji od 180°.
2. Zbir unutrašnjih uglova je 360°.

IN školski program na časovima geometrije morate se baviti raznim vrstama četverokuta: rombovi, paralelogrami, pravokutnici, trapezi, kvadrati. Prvi oblici za proučavanje su pravougaonik i kvadrat.

Dakle, šta je pravougaonik? Definicija za 2. razred srednje škole će izgledati ovako: ovo je četvorougao sa sva četiri prava ugla. Lako je zamisliti kako izgleda pravougaonik: to je figura sa 4 prava ugla i stranicama paralelnim jedna s drugom u parovima.

U kontaktu sa

Kako da razumemo, kada rešavamo drugi geometrijski problem, o kojem četvorouglu imamo posla? Postoje tri glavna znaka, po čemu se nepogrešivo može utvrditi da je riječ o pravokutniku. nazovimo ih:

• figura je četverougao čija su tri ugla jednaka 90°;
• predstavljeni četvorougao je paralelogram sa jednakim dijagonalama;
• paralelogram koji ima barem jedan pravi ugao.

Zanimljivo je znati: šta je konveksno, njegove karakteristike i simptomi.

Pošto je pravougaonik paralelogram (tj. četvorougao sa parovima paralelnih suprotnih strana), tada će za njega biti ispunjene sve njegove osobine i karakteristike.

Formule za izračunavanje dužina stranica

U pravougaoniku suprotne strane su jednake i međusobno paralelne. Duža strana se obično naziva dužinom (označena sa a), kraća strana naziva se širinom (označena sa b). U pravougaoniku na slici, dužine su stranice AB i CD, a širine AC i B. D. One su također okomite na osnovice (tj. to su visine).

Da biste pronašli strane, možete koristiti formule u nastavku. Prihvatili su simboli: a - dužina pravougaonika, b - njegova širina, d - dijagonala (segment koji povezuje vrhove dvaju ugla koji leže jedan nasuprot drugom), S - površina figure, P - perimetar, α - ugao između dijagonale i dužine, β - oštar ugao, koju formiraju obje dijagonale. Metode za pronalaženje dužina stranica:

• Koristeći dijagonale i poznata stranka: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
• Na osnovu površine figure i jedne od njenih strana: a = S / b, b = S / a.
• Koristeći perimetar i poznatu stranu: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Kroz dijagonalu i ugao između nje i dužine: a = d sinα, b = d cosα.
• Kroz dijagonalu i ugao β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Perimetar i površina

Obim četvorougla se naziva zbir dužina svih njegovih stranica. Za izračunavanje perimetra mogu se koristiti sljedeće formule:

• Kroz obje strane: P = 2 (a + b).
• Kroz površinu i jednu od stranica: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

Područje je prostor omeđen perimetrom. Tri glavna načina za izračunavanje površine:

• Kroz dužine obe strane: S = a*b.
• Koristeći perimetar i bilo koju poznatu stranu: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• Dijagonalno i ugao β: S = 0,5 d² sinβ.

Zadaci u školskom kursu matematike često zahtijevaju dobro poznavanje svojstva dijagonala pravougaonika. Navodimo glavne:

1. Dijagonale su jedna drugoj jednake i podijeljene su na dva jednaka segmenta u tački njihovog sjecišta.
2. Dijagonala je definirana kao korijen zbira obje strane na kvadrat (slijedi iz Pitagorine teoreme).
3. Dijagonala dijeli pravougaonik na dva pravougaona trougla.
4. Točka presjeka se poklapa sa središtem opisane kružnice, a same dijagonale poklapaju se s njegovim promjerom.

Za izračunavanje dužine dijagonale koriste se sljedeće formule:

• Koristeći dužinu i širinu figure: d = √(a² + b²).
• Koristeći poluprečnik kružnice opisane oko četvorougla: d = 2 R.

Definicija i svojstva kvadrata

Kvadrat je poseban slučaj romba, paralelograma ili pravokutnika. Njegova razlika od ovih figura je u tome što su svi njegovi uglovi pravi i sve četiri strane jednake. Kvadrat je pravilan četvorougao.

Četvorokut se naziva kvadrat u sljedećim slučajevima:

1. Ako je to pravougaonik čija su dužina a i širina b jednake.
2. Ako je romb sa jednake dužine dijagonale i sa četiri prava ugla.

Svojstva kvadrata uključuju sva prethodno razmatrana svojstva vezana za pravougaonik, kao i sljedeće:

1. Dijagonale su okomite jedna na drugu (osobina romba).
2. Tačka presjeka se poklapa sa središtem upisane kružnice.
3. Obje dijagonale dijele četverougao na četiri jednaka pravokutna i jednakokračna trougla.

Evo najčešće korištenih formula za proračuni perimetra, površine i kvadratnih elemenata:

• Dijagonala d = a √2.
• Perimetar P = 4 a.
• Površina S = a².
• Poluprečnik opisane kružnice je polovina dijagonale: R = 0,5 a √2.
• Poluprečnik upisane kružnice je definisan kao polovina dužine stranice: r = a / 2.

Primjeri pitanja i zadataka

Pogledajmo neka pitanja na koja možete naići dok studirate matematiku u školi i riješimo nekoliko jednostavnih problema.

Problem 1. Kako će se promijeniti površina pravokutnika ako se dužina njegovih stranica utrostruči?

Rješenje : Označimo površinu originalne figure kao S0, a površinu četverokuta sa trostrukom dužinom stranica kao S1. Koristeći formulu o kojoj smo ranije govorili, dobijamo: S0 = ab. Sada povećajmo dužinu i širinu za 3 puta i napišimo: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Upoređujući S0 i S1, postaje očigledno da je druga oblast 9 puta veća od prve.

Pitanje 1. Da li je četvorougao sa pravim uglovima kvadrat?

Rješenje : Iz definicije proizilazi da je lik s pravim uglovima kvadrat samo ako su dužine svih njegovih stranica jednake. U drugim slučajevima, figura je pravougaonik.

Problem 2. Dijagonale pravougaonika čine ugao od 60 stepeni. Širina pravougaonika je 8. Izračunajte kolika je dijagonala.

Rješenje: Podsjetimo da su dijagonale podijeljene na pola točkom presjeka. Tako se bavimo jednakokraki trougao sa vršnim uglom od 60°. Pošto je trougao jednakokrak, uglovi u osnovi će takođe biti isti. Jednostavnim proračunima nalazimo da je svaki od njih jednak 60°. Iz toga slijedi da je trokut jednakostraničan. Širina koju poznajemo je osnova trougla, dakle polovina dijagonale je također jednaka 8, a dužina cijele dijagonale je dvostruko veća i jednaka je 16.

Pitanje 2. Da li pravougaonik ima sve stranice jednake ili ne?

Rješenje : Dovoljno je zapamtiti da sve strane moraju biti jednake za kvadrat, što je poseban slučaj pravokutnika. U svim ostalim slučajevima dovoljan uslov je prisustvo najmanje 3 prava ugla. Jednakost stranaka nije obavezna karakteristika.

Problem 3. Površina kvadrata je poznata i jednaka je 289. Nađite poluprečnike upisane i opisane kružnice.

Rješenje : Koristeći formule za kvadrat, izvršit ćemo sljedeće proračune:

• Odredimo čemu su jednaki osnovni elementi kvadrata: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Izračunajmo poluprečnik kružnice opisane oko četvorougla: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Nađimo radijus upisane kružnice: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.