Samo ravnalo nije dovoljno, potrebno je znati posebne formule. Jedino što treba da uradimo je da odredimo prečnik ili poluprečnik kruga. U nekim problemima su navedene količine. Ali šta ako nemamo ništa osim crteža? Nema problema. Prečnik i poluprečnik se mogu izračunati pomoću običnog ravnala. Hajdemo sada na osnove.
Formule koje bi svi trebali znati
Prije skoro 4.000 godina, naučnici su otkrili nevjerovatnu vezu: ako se obim kruga podijeli s njegovim prečnikom, rezultat je isti broj, koji je otprilike 3,14. Ova vrijednost je dobila naziv iz ovog slova u Starogrčki Počele su riječi "perimetar" i "opseg". Na osnovu otkrića drevnih naučnika, možete izračunati dužinu bilo kojeg kruga:
gdje P znači dužinu (perimetar) kruga,
D - prečnik, P - broj "Pi".
Obim kruga se može izračunati i kroz njegov poluprečnik (r), koji je jednak polovini dužine prečnika. Evo druge formule koju morate zapamtiti:
Kako saznati prečnik kruga?
To je tetiva koja prolazi kroz centar figure. Istovremeno spaja dvije najudaljenije tačke u krugu. Na osnovu toga možete samostalno nacrtati promjer (radijus) i izmjeriti njegovu dužinu pomoću ravnala.
Metod 1: unesite pravougaonog trougla u krug
Izračunavanje obima kruga biće lako ako pronađemo njegov prečnik. Potrebno je nacrtati krug u kojem će hipotenuza biti jednaka promjeru kruga. Da biste to učinili, morate imati pri ruci ravnalo i kvadrat, inače ništa neće raditi.
Metoda 2: uklopiti bilo koji trougao
Na strani kruga označavamo bilo koje tri tačke, povezujemo ih - dobivamo trokut. Važno je da središte kruga leži u području trokuta; to se može učiniti okom. Crtamo medijane na svakoj strani trokuta, tačka njihovog presjeka poklapa se sa središtem kruga. A kada znamo centar, lako možemo nacrtati prečnik pomoću ravnala.
Ova metoda je vrlo slična prvoj, ali se može koristiti u nedostatku kvadrata ili u slučajevima kada nije moguće crtati na figuri, na primjer na ploči. Morate uzeti list papira sa pravim uglovima. Primjenjujemo list na krug tako da jedan vrh njegovog ugla dodiruje rub kruga. Zatim tačkama označavamo mjesta gdje se stranice papira sijeku sa linijom kruga. Povežite ove točke pomoću olovke i ravnala. Ako nemate ništa pri ruci, samo presavijte papir. Ova linija će biti jednaka dužini prečnika.
Primer zadatka
- Promjer tražimo pomoću kvadrata, ravnala i olovke prema metodi br. 1. Pretpostavimo da je 5 cm.
- Poznavajući promjer, lako ga možemo umetnuti u našu formulu: P = d P = 5 * 3,14 = 15,7 U našem slučaju se pokazalo da je oko 15,7. Sada možete lako objasniti kako izračunati obim kruga.
Mnogi objekti u svijetu oko nas imaju okrugli oblik. To su kotači, okrugli otvori za prozore, cijevi, razno posuđe i još mnogo toga. Izračunaj čemu je jednako obim, možete, znajući njegov prečnik ili poluprečnik.
Postoji nekoliko definicija ove geometrijske figure.
- Ovo je zatvorena kriva koja se sastoji od tačaka koje se nalaze na istoj udaljenosti od date tačke.
- Ovo je kriva koja se sastoji od tačaka A i B, koje su krajevi segmenta, i svih tačaka iz kojih su A i B vidljive pod pravim uglom. U ovom slučaju, segment AB je prečnik.
- Za isti segment AB, ova kriva uključuje sve tačke C tako da je odnos AC/BC konstantan i nije jednak 1.
- Ovo je kriva koja se sastoji od tačaka za koje vrijedi sljedeće: ako dodate kvadrate udaljenosti od jedne tačke do dvije date druge tačke A i B, dobićete konstantan broj veći od 1/2 segmenta koji povezuje A i B. Ova definicija je izvedena iz Pitagorine teoreme.
Bilješka! Postoje i druge definicije. Krug je područje unutar kruga. Obim kruga je njegova dužina. Prema različitim definicijama, krug može, ali i ne mora uključivati samu krivu, koja je njegova granica.
Definicija kruga
Formule
Kako izračunati obim kruga koristeći polumjer? To se radi pomoću jednostavne formule:
gdje je L željena vrijednost,
π je broj pi, približno jednak 3,1413926.
Obično, da biste pronašli traženu vrijednost, dovoljno je koristiti π do druge znamenke, odnosno 3.14, što će osigurati potrebnu tačnost. Na kalkulatorima, posebno inženjerskim, može postojati dugme koje automatski unosi vrijednost broja π.
Oznake
Za pronalaženje prečnika postoji sljedeća formula:
Ako je L već poznat, radijus ili prečnik se lako mogu saznati. Da biste to učinili, L mora biti podijeljen sa 2π ili π, respektivno.
Ako je krug već dat, morate razumjeti kako pronaći obim iz ovih podataka. Površina kruga je S = πR2. Odavde nalazimo poluprečnik: R = √(S/π). Onda
L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).
Izračunavanje površine u terminima L je takođe lako: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)
Da sumiramo, možemo reći da postoje tri osnovne formule:
- kroz poluprečnik – L = 2πR;
- prolazni prečnik – L = πD;
- kroz površinu kruga – L = 2√(Sπ).
Pi
Bez broja π neće biti moguće riješiti problem koji se razmatra. Broj π je prvo pronađen kao omjer obima kruga i njegovog prečnika. To su činili stari Babilonci, Egipćani i Indijci. Pronašli su to prilično precizno - njihovi rezultati su se razlikovali od trenutno poznate vrijednosti π za ne više od 1%. Konstanta je aproksimirana razlomcima kao što su 25/8, 256/81, 339/108.
Nadalje, vrijednost ove konstante je izračunata ne samo sa stanovišta geometrije, već i sa stanovišta matematičke analize kroz sume redova. Oznaku ove konstante grčkim slovom π prvi je upotrijebio William Jones 1706. godine, a postala je popularna nakon Ojlerovog rada.
Sada je poznato da je ova konstanta beskonačna neperiodična decimalni, iracionalan je, odnosno ne može se predstaviti kao omjer dva cijela broja. Koristeći superkompjuterske proračune, 10-trilionti znak konstante otkriven je 2011. godine.
Ovo je zanimljivo! Izmišljena su razna mnemonička pravila za pamćenje prvih nekoliko cifara broja π. Neki vam omogućavaju pohranjivanje u memoriju veliki broj brojevi, na primjer, jedna francuska pjesma će vam pomoći da zapamtite pi do 126. cifre.
Ako vam je potreban opseg, u tome će vam pomoći online kalkulator. Postoji mnogo takvih kalkulatora, samo trebate unijeti polumjer ili prečnik. Neki od njih imaju obje ove opcije, drugi izračunavaju rezultat samo kroz R. Neki kalkulatori mogu izračunati željenu vrijednost s različitom preciznošću, potrebno je odrediti broj decimalnih mjesta. Također možete izračunati površinu kruga pomoću online kalkulatora.
Takve kalkulatore je lako pronaći bilo kojim pretraživačem. Postoje također mobilne aplikacije, što će pomoći u rješavanju problema kako pronaći obim kruga.
Koristan video: obim
Praktična upotreba
Rješavanje ovakvog problema najčešće je potrebno inženjerima i arhitektama, ali u svakodnevnom životu može biti korisno i poznavanje potrebnih formula. Na primjer, potrebno je omotati papirnatu traku oko torte pečene u kalupu prečnika 20 cm. Tada neće biti teško pronaći dužinu ove trake:
L = πD = 3,14 * 20 = 62,8 cm.
Još jedan primjer: trebate izgraditi ogradu oko okruglog bazena na određenoj udaljenosti. Ako je radijus bazena 10 m, a ogradu treba postaviti na udaljenosti od 3 m, tada će R za rezultirajući krug biti 13 m. Tada je njegova dužina:
L = 2πR = 2 * 3,14 * 13 = 81,68 m.
Korisni video: krug - polumjer, promjer, obim
Zaključak
Obim kruga se lako može izračunati jednostavne formule, uključujući prečnik ili radijus. Također možete pronaći željenu količinu kroz površinu kruga. Online kalkulatori ili mobilne aplikacije u koje treba da unesete jednina– prečnik ili poluprečnik.
1. Teže je pronaći obim kroz prečnik, pa pogledajmo prvo ovu opciju.
primjer: Pronađite obim kruga čiji je prečnik 6 cm. Koristimo gornju formulu obima kruga, ali prvo moramo pronaći polumjer. Da bismo to učinili, prečnik od 6 cm podijelimo sa 2 i dobijemo polumjer kružnice 3 cm.
Nakon toga, sve je krajnje jednostavno: pomnožite broj Pi sa 2 i dobijenim polumjerom od 3 cm.
2 * 3,14 * 3 cm = 6,28 * 3 cm = 18,84 cm.
2. Pogledajmo ponovo jednostavnu opciju pronađite obim kruga, poluprečnik je 5 cm
Rješenje: Pomnožite polumjer od 5 cm sa 2 i pomnožite sa 3,14. Nemojte se uznemiriti, jer preuređivanje množitelja ne utiče na rezultat, i formula obima može se koristiti bilo kojim redoslijedom.
5cm * 2 * 3,14 = 10 cm * 3,14 = 31,4 cm - ovo je pronađeni obim za radijus od 5 cm!
Online kalkulator obima
Naš kalkulator obima odmah će izvršiti sve ove jednostavne proračune i napisati rješenje u red i s komentarima. Obim ćemo izračunati za radijus od 3, 5, 6, 8 ili 1 cm, ili je prečnik 4, 10, 15, 20 dm; naš kalkulator ne brine za koju vrijednost radijusa da pronađe obim.
Svi proračuni će biti tačni, testirani od strane specijalista matematičara. Rezultati se mogu koristiti u rješavanju školskih zadataka iz geometrije ili matematike, kao i u radnim proračunima u građevinarstvu ili u popravci i uređenju prostorija, kada su potrebni tačni proračuni po ovoj formuli.
Prvo, shvatimo razliku između kruga i kruga. Da biste vidjeli ovu razliku, dovoljno je razmotriti koje su obje brojke. To su beskonačan broj tačaka na ravni, koje se nalaze na jednakoj udaljenosti od jedne centralne tačke. Ali, ako se krug sastoji i od unutrašnjeg prostora, onda on ne pripada krugu. Ispostavilo se da je krug i kružnica koja ga ograničava (krug(r)) i bezbroj tačaka koje se nalaze unutar kruga.
Za bilo koju tačku L koja leži na kružnici vrijedi jednakost OL=R. (Dužina segmenta OL jednaka je poluprečniku kružnice).
Segment koji spaja dvije tačke na kružnici je njegov akord.
Tetiva koja prolazi direktno kroz centar kružnice je prečnika ovaj krug (D). Prečnik se može izračunati pomoću formule: D=2R
Obim izračunato po formuli: C=2\pi R
Područje kruga: S=\pi R^(2)
Luk kružnice naziva se onaj njegov dio koji se nalazi između njegove dvije tačke. Ove dvije tačke definiraju dva luka kružnice. Akord CD savija dva luka: CMD i CLD. Identične tetive savijaju jednake lukove.
Centralni ugao Ugao koji leži između dva poluprečnika naziva se.
Dužina luka može se pronaći pomoću formule:
- Koristeći stepen mera: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Korištenje radijanske mjere: CD = \alpha R
Prečnik, koji je okomit na tetivu, dijeli tetivu i lukove koje ona skuplja na pola.
Ako se tetive AB i CD kružnice sijeku u tački N, tada su proizvodi segmenata tetiva razdvojenih tačkom N jednaki jedan drugom.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Tangenta na kružnicu
Tangenta na kružnicu Uobičajeno je da se zove prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom.
Ako pravac ima dvije zajedničke tačke, zove se secant.
Ako povučete radijus do tačke tangente, ona će biti okomita na tangentu kružnice.
Nacrtajmo dvije tangente iz ove tačke u našu kružnicu. Ispada da će tangentni segmenti biti jednaki jedan drugom, a središte kruga će se nalaziti na simetrali ugla sa vrhom u ovoj tački.
AC = CB
Sada nacrtajmo tangentu i sekansu na kružnicu iz naše tačke. Dobijamo da će kvadrat dužine tangentnog segmenta biti jednak proizvodu cijelog sekansnog segmenta i njegovog vanjskog dijela.
AC^(2) = CD \cdot BC
Možemo zaključiti: proizvod cijelog segmenta prve sekante i njegovog vanjskog dijela jednak je proizvodu cijelog segmenta druge sekante i njegovog vanjskog dijela.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Uglovi u krugu
Mere stepena centralnog ugla i luka na koji se oslanja su jednake.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Upisani ugao je ugao čiji je vrh na kružnici i čije stranice sadrže tetive.
Možete ga izračunati znajući veličinu luka, jer je jednaka polovini ovog luka.
\ugao AOB = 2 \ugao ADB
Na osnovu prečnika, upisanog ugla, pravog ugla.
\ugao CBD = \ugao CED = \ugao CAD = 90^ (\circ)
Upisani uglovi koji savijaju isti luk su identični.
Upisani uglovi koji počivaju na jednoj tetivi su identični ili je njihov zbir jednak 180^ (\circ) .
\ugao ADB + \ugao AKB = 180^ (\circ)
\ugao ADB = \ugao AEB = \ugao AFB
Na istom krugu su vrhovi trouglova sa identičnim uglovima i datom bazom.
Ugao sa vrhom unutar kruga i koji se nalazi između dvije tetive identičan je polovini zbroja ugaonih vrijednosti lukova kruga koji se nalaze unutar zadanog i vertikalnog kuta.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Ugao s vrhom izvan kruga i smješten između dvije sekante identičan je polovini razlike ugaonih vrijednosti lukova kruga koji se nalaze unutar kuta.
\ugao M = \ugao CBD - \ugao ACB = \frac(1)(2) \lijevo (\cup DmC - \cup AlB \desno)
Upisan krug
Upisan krug je kružnica tangenta na stranice poligona.
U tački u kojoj se sijeku simetrale uglova mnogougla nalazi se njegov centar.
Krug ne može biti upisan u svaki poligon.
Površina poligona s upisanim krugom nalazi se po formuli:
S = pr,
p je poluperimetar poligona,
r je poluprečnik upisane kružnice.
Iz toga slijedi da je polumjer upisane kružnice jednak:
r = \frac(S)(p)
Zbroji dužina suprotnih strana bit će identični ako je krug upisan u konveksni četverokut. I obrnuto: krug se uklapa u konveksni četverokut ako su zbroji dužina suprotnih strana identični.
AB + DC = AD + BC
Moguće je upisati krug u bilo koji od trouglova. Samo jedan jedini. U tački gdje se simetrale sijeku unutrašnji uglovi figure, centar ove upisane kružnice će ležati.
Radijus upisane kružnice izračunava se po formuli:
r = \frac(S)(p) ,
gdje je p = \frac(a + b + c)(2)
Circumcircle
Ako kružnica prolazi kroz svaki vrh poligona, tada se takav krug obično naziva opisano o poligonu.
U tački presjeka simetrala okomitih stranica ove figure bit će centar opisane kružnice.
Radijus se može naći izračunavanjem kao poluprečnik kruga koji je opisan oko trougla definisanog sa bilo koja 3 vrha poligona.
Postoji sljedeći uvjet: krug se može opisati oko četverougla samo ako je zbir njegovih suprotnih uglova jednak 180^( \circ) .
\ugao A + \ugao C = \ugao B + \ugao D = 180^ (\circ)
Oko bilo kojeg trougla možete opisati krug, i to samo jedan. Središte takvog kruga nalazit će se u tački gdje se sijeku okomite simetrale stranica trokuta.
Radijus opisane kružnice može se izračunati pomoću formula:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c su dužine stranica trokuta,
S je površina trokuta.
Ptolomejev teorem
Konačno, razmotrite Ptolomejev teorem.
Ptolomejev teorem kaže da je proizvod dijagonala identičan zbiru proizvoda suprotnih strana cikličkog četverokuta.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Dakle, obim ( C) može se izračunati množenjem konstante π po prečniku ( D), ili množenje π za dvostruki poluprečnik, pošto je prečnik jednak dva radijusa. dakle, formula obima izgledat će ovako:
C = πD = 2πR
Gdje C- obim, π - konstantno, D- prečnik kruga, R- radijus kruga.
Kako je krug granica kruga, obim kruga se može nazvati i dužinom kruga ili obimom kružnice.
Problemi sa obimom
Zadatak 1. Pronađite obim kruga ako je njegov prečnik 5 cm.
Pošto je obim jednak π pomnoženo sa prečnikom, tada će dužina kruga prečnika 5 cm biti jednaka:
C≈ 3,14 5 = 15,7 (cm)
Zadatak 2. Odredite dužinu kruga čiji je polumjer 3,5 m.
Prvo, pronađite prečnik kruga množenjem dužine radijusa sa 2:
D= 3,5 2 = 7 (m)
Sada pronađimo obim množenjem π po prečniku:
C≈ 3,14 7 = 21,98 (m)
Zadatak 3. Nađite poluprečnik kružnice čija je dužina 7,85 m.
Da biste pronašli polumjer kruga na osnovu njegove dužine, trebate podijeliti obim sa 2 π
Područje kruga
Površina kruga jednaka je proizvodu broja π po kvadratnom radijusu. Formula za pronalaženje površine kruga:
S = πr 2
Gdje S je površina kruga, i r- radijus kruga.
Pošto je prečnik kruga jednak dvostrukom poluprečniku, poluprečnik je jednak prečniku podeljenom sa 2:
Problemi koji uključuju površinu kruga
Zadatak 1. Nađite površinu kruga ako je njegov polumjer 2 cm.
Pošto je površina kruga π pomnoženo polumjerom na kvadrat, tada će površina kruga polumjera 2 cm biti jednaka:
S≈ 3,14 2 2 = 3,14 4 = 12,56 (cm 2)
Zadatak 2. Nađite površinu kruga ako je njegov prečnik 7 cm.
Prvo, pronađite poluprečnik kruga tako što ćete njegov prečnik podijeliti sa 2:
7:2=3,5(cm)
Sada izračunajmo površinu kruga koristeći formulu:
S = πr 2 ≈ 3,14 3,5 2 = 3,14 12,25 = 38,465 (cm 2)
Ovaj problem se može riješiti i na drugi način. Umjesto da prvo pronađete polumjer, možete koristiti formulu za pronalaženje površine kruga pomoću prečnika:
| S = π | D 2 | ≈ 3,14 | 7 2 | = 3,14 | 49 | = | 153,86 | = 38,465 (cm 2) |
| 4 | 4 | 4 | 4 |
Zadatak 3. Nađite poluprečnik kruga ako je njegova površina 12,56 m2.
Da biste pronašli polumjer kruga iz njegove površine, morate podijeliti površinu kruga π , a zatim izvući iz dobijenog rezultata Kvadratni korijen:
r = √S : π
dakle radijus će biti jednak:
r≈ √12,56: 3,14 = √4 = 2 (m)
Broj π
Obim predmeta koji nas okružuju može se izmjeriti pomoću mjerne trake ili užeta (navoja), čija se dužina zatim može posebno mjeriti. Ali u nekim slučajevima, mjerenje obima je teško ili praktično nemoguće, na primjer, unutrašnji obim boce ili jednostavno obim kruga nacrtanog na papiru. U takvim slučajevima možete izračunati obim kruga ako znate dužinu njegovog prečnika ili poluprečnika.
Da bismo razumjeli kako se to može učiniti, uzmimo nekoliko okruglih objekata čiji se obim i promjer mogu izmjeriti. Izračunajmo omjer dužine i prečnika i kao rezultat dobijemo sljedeću seriju brojeva:
Iz ovoga možemo zaključiti da je omjer dužine kruga i njegovog prečnika konstantna vrijednost za svaki pojedinačni krug i za sve kružnice u cjelini. Ovaj odnos je označen slovom π .
Koristeći ovo znanje, možete koristiti radijus ili prečnik kruga da pronađete njegovu dužinu. Na primjer, da biste izračunali dužinu kruga polumjera 3 cm, trebate pomnožiti polumjer sa 2 (ovako dobijamo prečnik), a rezultujući prečnik pomnožite sa π . Kao rezultat, korištenjem broja π Saznali smo da je dužina kruga poluprečnika 3 cm 18,84 cm.
