Tablica za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe

Koncept rješenja trigonometrijske jednačine.

Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, pretvorite je u jednu ili više osnovnih trigonometrijskih jednačina. Rješavanje trigonometrijske jednadžbe na kraju se svodi na rješavanje četiri osnovne trigonometrijske jednačine.

Rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi.

Postoje 4 vrste osnovnih trigonometrijskih jednadžbi:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi uključuje razmatranje različitih "x" pozicija na jedinični krug, i korištenjem tablice konverzije (ili kalkulatora).
Primjer 1. sin x = 0,866. Pomoću tabele konverzije (ili kalkulatora) dobićete odgovor: x = π/3. Jedinični krug daje drugi odgovor: 2π/3. Zapamtite: sve trigonometrijske funkcije su periodične, odnosno njihove vrijednosti se ponavljaju. Na primjer, periodičnost sin x i cos x je 2πn, a periodičnost tg x i ctg x je πn. Stoga je odgovor napisan ovako:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Primjer 2. cos x = -1/2. Pomoću tabele konverzije (ili kalkulatora) dobićete odgovor: x = 2π/3. Jedinični krug daje drugi odgovor: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Primjer 3. tg (x - π/4) = 0.
Odgovor: x = π/4 + πn.
Primjer 4. ctg 2x = 1,732.
Odgovor: x = π/12 + πn.

Transformacije koje se koriste u rješavanju trigonometrijskih jednačina.

Za transformaciju trigonometrijskih jednadžbi koriste se algebarske transformacije (faktorizacija, redukcija homogenih članova itd.) i trigonometrijski identiteti.
Primjer 5: Koristeći trigonometrijske identitete, jednačina sin x + sin 2x + sin 3x = 0 se pretvara u jednačinu 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Dakle, sljedeće osnovne trigonometrijske jednačine treba riješiti: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Pronalaženje uglova koristeći poznate vrijednosti funkcije.
- Prije nego naučite rješavati trigonometrijske jednadžbe, morate naučiti kako pronaći uglove koristeći poznate vrijednosti funkcije. To se može učiniti pomoću tablice konverzije ili kalkulatora.
- Primjer: cos x = 0,732. Kalkulator će dati odgovor x = 42,95 stepeni. Jedinični krug će dati dodatne uglove, čiji je kosinus također 0,732.
Ostavite rješenje na jediničnom krugu.
- Možete nacrtati rješenja trigonometrijske jednadžbe na jediničnom krugu. Rješenja trigonometrijske jednadžbe na jediničnom krugu su vrhovi pravilnog poligona.
- Primjer: Rješenja x = π/3 + πn/2 na jediničnom krugu predstavljaju vrhove kvadrata.
- Primjer: Rješenja x = π/4 + πn/3 na jediničnom krugu predstavljaju vrhove pravilnog šestougla.
Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina.
- Ako data trigonometrijska jednadžba sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju, riješite je kao osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Ako data jednadžba uključuje dvije ili više trigonometrijskih funkcija, tada postoje 2 metode za rješavanje takve jednadžbe (u zavisnosti od mogućnosti njene transformacije).
  - Metoda 1.
- Transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: f(x)*g(x)*h(x) = 0, gdje su f(x), g(x), h(x) osnovne trigonometrijske jednačine.
- Primjer 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Rješenje. Koristeći formulu dvostrukog ugla sin 2x = 2*sin x*cos x, zamijenite sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednačine: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
- Primjer 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednačine: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
- Primjer 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0 .
  - Metoda 2.
- Pretvorite datu trigonometrijsku jednačinu u jednadžbu koja sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju. Zatim zamijenite ovu trigonometrijsku funkciju nekom nepoznatom, na primjer, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, itd.).
- Primjer 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Rješenje. U ovoj jednačini zamijenite (cos^2 x) sa (1 - sin^2 x) (prema identitetu). Transformirana jednačina je:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamijenite sin x sa t. Sada je jednačina: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ovo je kvadratna jednačina, koji ima dva korijena: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi korijen t2 ne zadovoljava raspon funkcije (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Primjer 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Rješenje. Zamijenite tg x sa t. Prepišite originalnu jednačinu na sljedeći način: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Sada pronađite t, a zatim pronađite x za t = tan x.

Zahtijeva poznavanje osnovnih formula trigonometrije - zbira kvadrata sinusa i kosinusa, izraza tangente kroz sinus i kosinus i dr. Za one koji su ih zaboravili ili ih ne znaju, preporučujemo da pročitaju članak "".
Dakle, znamo osnovne trigonometrijske formule, vrijeme je da ih iskoristimo u praksi. Rješavanje trigonometrijskih jednačina s pravim pristupom, to je prilično uzbudljiva aktivnost, poput, na primjer, rješavanja Rubikove kocke.

Na osnovu samog naziva jasno je da je trigonometrijska jednačina jednačina u kojoj je nepoznata pod znakom trigonometrijske funkcije.
Postoje takozvane najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Evo kako izgledaju: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Hajde da razmotrimo kako riješiti takve trigonometrijske jednadžbe, radi jasnoće ćemo koristiti već poznati trigonometrijski krug.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

krevetac x = a

Svaka trigonometrijska jednadžba se rješava u dvije faze: svodimo jednačinu na njen najjednostavniji oblik, a zatim je rješavamo kao jednostavnu trigonometrijsku jednadžbu.
Postoji 7 glavnih metoda pomoću kojih se rješavaju trigonometrijske jednačine.

Zamjena varijable i metoda zamjene

Riješite jednačinu 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Koristeći formule redukcije dobijamo:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Zamijenite cos(x + /6) sa y da pojednostavite i dobijete uobičajenu kvadratnu jednačinu:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Korijeni su y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sada idemo obrnutim redoslijedom

Zamjenjujemo pronađene vrijednosti y i dobijamo dvije opcije odgovora:

Rješavanje trigonometrijskih jednačina kroz faktorizaciju

Kako riješiti jednačinu sin x + cos x = 1?

Pomaknimo sve ulijevo tako da 0 ostane na desnoj strani:

sin x + cos x – 1 = 0

Upotrijebimo gore navedene identitete da pojednostavimo jednačinu:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Rastavimo na faktore:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Dobijamo dvije jednačine

Redukcija na homogenu jednačinu

Jednačina je homogena u odnosu na sinus i kosinus ako su svi njeni članovi relativni na sinus i kosinus istog stepena istog ugla. Da biste riješili homogenu jednačinu, postupite na sljedeći način:

a) prebaci sve svoje članove na lijevu stranu;

b) izvaditi sve zajedničke faktore iz zagrada;

c) izjednačiti sve faktore i zagrade sa 0;

d) u zagradi se dobija homogena jednačina nižeg stepena, koja se opet deli na sinus ili kosinus višeg stepena;

e) riješiti rezultirajuću jednačinu za tg.

Riješite jednačinu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Upotrijebimo formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 i riješimo se otvorene dvije na desnoj strani:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Podijelite sa cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Zamijenite tan x sa y i dobijete kvadratnu jednačinu:

y 2 + 4y +3 = 0, čiji su korijeni y 1 =1, y 2 = 3

Odavde nalazimo dva rješenja originalne jednadžbe:

x 2 = arktan 3 + k

Rješavanje jednadžbi kroz prijelaz na poluugao

Riješite jednačinu 3sin x – 5cos x = 7

Idemo na x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Pomerimo sve ulevo:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Podijelite sa cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Uvođenje pomoćnog ugla

Za razmatranje, uzmimo jednačinu oblika: a sin x + b cos x = c,

gdje su a, b, c neki proizvoljni koeficijenti, a x je nepoznanica.

Podijelimo obje strane jednačine sa:

Sada koeficijenti jednačine prema trigonometrijske formule imaju svojstva sin i cos, i to: njihov modul nije veći od 1 i zbir kvadrata = 1. Označimo ih kao cos i sin, gdje je - to je takozvani pomoćni ugao. Tada će jednačina poprimiti oblik:

cos * sin x + sin * cos x = C

ili sin(x + ) = C

Rješenje ove najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe je

x = (-1) k * arcsin C - + k, gdje je

Treba napomenuti da su oznake cos i sin međusobno zamjenjive.

Riješite jednačinu sin 3x – cos 3x = 1

Koeficijenti u ovoj jednačini su:

a = , b = -1, pa podijelite obje strane sa = 2

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Lekcija kompleksna primena znanje.

Ciljevi lekcije.

Razmislite razne metode rješavanje trigonometrijskih jednačina.
Razvijanje kreativnih sposobnosti učenika rješavanjem jednačina.
Podsticanje učenika na samokontrolu, međusobnu kontrolu i samoanalizu svojih obrazovnih aktivnosti.

Oprema: platno, projektor, referentni materijal.

Tokom nastave

Uvodni razgovor.

Glavna metoda za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi je njihovo svođenje na njihov najjednostavniji oblik. U ovom slučaju koriste se uobičajene metode, na primjer faktorizacija, kao i tehnike koje se koriste samo za rješavanje trigonometrijskih jednačina. Postoji dosta ovih tehnika, na primjer, razne trigonometrijske zamjene, transformacije uglova, transformacije trigonometrijskih funkcija. Nediskriminatorna primjena bilo koje trigonometrijske transformacije obično ne pojednostavljuje jednačinu, već je katastrofalno komplikuje. Da biste razvili opći plan za rješavanje jednadžbe, da biste skicirali način da se jednačina svede na najjednostavniji, prvo morate analizirati uglove - argumente trigonometrijskih funkcija uključenih u jednadžbu.

Danas ćemo govoriti o metodama rješavanja trigonometrijskih jednačina. Pravilno odabrana metoda često može značajno pojednostaviti rješenje, tako da sve metode koje smo proučavali uvijek treba imati na umu kako bi se trigonometrijske jednadžbe riješile najprikladnijom metodom.

II. (Pomoću projektora ponavljamo metode rješavanja jednačina.)

1. Metoda svođenja trigonometrijske jednadžbe na algebarsku.

Potrebno je sve trigonometrijske funkcije izraziti kroz jednu, sa istim argumentom. To se može učiniti koristeći osnovni trigonometrijski identitet i njegove posljedice. Dobijamo jednačinu s jednom trigonometrijskom funkcijom. Uzimajući to kao novu nepoznanicu, dobijamo algebarsku jednačinu. Pronalazimo njegove korijene i vraćamo se na staru nepoznanicu, rješavajući najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe.

2. Metoda faktorizacije.

Za promjenu uglova često su korisne formule za redukciju, zbir i razliku argumenata, kao i formule za pretvaranje sume (razlike) trigonometrijskih funkcija u proizvod i obrnuto.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. Način uvođenja dodatnog ugla.

4. Metoda korištenja univerzalne zamjene.

Jednadžbe oblika F(sinx, cosx, tanx) = 0 svode se na algebarsku korištenjem univerzalne trigonometrijske zamjene

Izražavanje sinusa, kosinusa i tangente u terminima tangenta poluugla. Ova tehnika može dovesti do jednačine višeg reda. Rešenje za koje je teško.

Video kurs “Osvoji A” obuhvata sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješenje složeni zadaci 2 dijela Jedinstvenog državnog ispita.