Dajte definiciju funkcije stepena i navedite primjere. Metodologija za proučavanje teme “Svojstva funkcije stepena”

Funkcija napajanja je funkcija forme y = x p, gdje je p dati realni broj.

Svojstva funkcije snage

1. Ako indikator p = 2n- čak prirodni broj:
   • domen definicije - svi realni brojevi, odnosno skup R;
   • skup vrijednosti - nenegativni brojevi, tj. y ≥ 0;
   • funkcija je parna;
   • funkcija opada na intervalu x ≤ 0 i raste na intervalu x ≥ 0.
   Primjer funkcije s eksponentom p = 2n: y = x 4.


2. Ako indikator p = 2n - 1- neparan prirodni broj:
   • domen definicije - skup R;
   • skup vrijednosti - skup R;
   • funkcija je neparna;
   • funkcija raste na cijeloj realnoj osi.
   Primjer funkcije s eksponentom p = 2n - 1: y = x 5.


3. Ako indikator p = -2n, Gdje n- prirodni broj:
   • skup vrijednosti - pozitivni brojevi y > 0;
   • funkcija je parna;
   • funkcija raste na intervalu x 0.
   Primjer funkcije s eksponentom p = -2n: y = 1/x 2.


4. Ako indikator p = -(2n - 1), Gdje n- prirodni broj:
   • domen definicije - skup R, osim x = 0;
   • skup vrijednosti - skup R, osim y = 0;
   • funkcija je neparna;
   • funkcija se smanjuje na intervalima x 0.
   Primjer funkcije s eksponentom p = -(2n - 1): y = 1/x 3.


5. Ako indikator str- pozitivan realni necijeli broj:
   • domen definicije - nenegativni brojevi x ≥ 0;
   • skup vrijednosti - nenegativni brojevi y ≥ 0;
   • funkcija raste na intervalu x ≥ 0.
   Primjer funkcije s eksponentom p, gdje je p pozitivan realni necijeli broj: y = x 4/3.


6. Ako indikator str- negativan realni necijeli broj:
   • domen definicije - pozitivni brojevi x > 0;
   • skup vrijednosti - pozitivni brojevi y > 0;
   • funkcija se smanjuje na intervalu x > 0.
   Primjer funkcije s eksponentom p, gdje je p negativan realni necijeli broj: y = x -1/3.

10. razred

FUNKCIJA NAPAJANJA

Snaga pozvaofunkcija data formulomGdje, str – neki pravi broj.

I . Indikator- paran prirodan broj. Zatim funkcija snage Gdjen

D ( y )= (−; +).

2) Raspon vrijednosti funkcije je skup nenegativnih brojeva, ako:

skup nepozitivnih brojeva ako:

3) ) . Dakle, funkcijaOy .

4) Ako, tada funkcija opada kaoX (- ; 0] i raste saX i smanjuje se naX \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Grafikon (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije $f\left(x\right)=x^(2n)$

Svojstva funkcije stepena s prirodnim neparnim eksponentom

Domen definicije su svi realni brojevi.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funkcija je neparna.

$f(x)$ je kontinuirano u cijelom domenu definicije.

Opseg su svi realni brojevi.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funkcija se povećava u cijelom domenu definicije.

$f\left(x\right)0$, za $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \levo(2n-1\desno)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funkcija je konkavna za $x\in (-\infty ,0)$ i konveksna za $x\in (0,+\infty)$.

Grafikon (slika 3).

Slika 3. Grafikon funkcije $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funkcija stepena s cjelobrojnim eksponentom

Prvo, hajde da uvedemo koncept stepena sa celobrojnim eksponentom.

Definicija 3

Snaga realnog broja $a$ sa cijelim eksponentom $n$ određena je formulom:

Slika 4.

Razmotrimo sada funkciju stepena s cjelobrojnim eksponentom, njenim svojstvima i grafom.

Definicija 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ naziva se funkcija stepena sa cjelobrojnim eksponentom.

Ako je stepen veći od nule, dolazimo do slučaja funkcije stepena s prirodnim eksponentom. Već smo o tome raspravljali gore. Za $n=0$ dobijamo linearnu funkciju $y=1$. Njegovo razmatranje prepustićemo čitaocu. Ostaje da razmotrimo svojstva funkcije stepena sa negativnim celobrojnim eksponentom

Svojstva funkcije stepena s negativnim cijelim eksponentom

Domen definicije je $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent paran, onda je funkcija parna, ako je neparna, onda je funkcija neparna.

$f(x)$ je kontinuirano u cijelom domenu definicije.

Opseg:

Ako je eksponent paran, onda $(0,+\infty)$ ako je neparan, onda $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$;

Za neparan eksponent, funkcija se smanjuje kao $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Za paran eksponent, funkcija se smanjuje kao $x\in (0,+\infty)$. i raste kao $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ preko cijelog domena definicije

U domeni definicije funkcije stepena y = x p vrijede sljedeće formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Svojstva funkcija stepena i njihovi grafovi

Funkcija stepena sa eksponentom jednakim nuli, p = 0

Ako je eksponent funkcije stepena y = x p jednak nuli, p = 0, tada je funkcija stepena definirana za sve x ≠ 0 i konstanta je jednaka jedan:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funkcija stepena sa prirodnim neparnim eksponentom, p = n = 1, 3, 5, ...

Razmotrimo funkciju stepena y = x p = x n sa prirodnim neparnim eksponentom n = 1, 3, 5, ... .

Ovaj indikator se takođe može napisati u obliku: n = 2k + 1, gdje je k = 0, 1, 2, 3, ... nenegativan cijeli broj. Ispod su svojstva i grafovi takvih funkcija. Grafikon funkcije stepena y = x n sa prirodnim neparnim eksponentom at različita značenja

eksponent n = 1, 3, 5, ... . -∞ < x < ∞
Opseg: -∞ < y < ∞
Više značenja: paritet:
neparno, y(-x) = - y(x) monoton:
monotono raste ekstremi:
br
konveksno:< x < 0 выпукла вверх
na -∞< x < ∞ выпукла вниз
u 0 Pregibne tačke:
Pregibne tačke:
x = 0, y = 0
;
Ograničenja:
Privatne vrijednosti:
na x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Reverzna funkcija:
za n = 1, funkcija je njena inverzna: x = y

za n ≠ 1, inverzna funkcija je korijen stepena n:

Funkcija stepena sa prirodnim parnim eksponentom, p = n = 2, 4, 6, ...

Razmotrimo funkciju stepena y = x p = x n sa prirodnim parnim eksponentom n = 2, 4, 6, ... .

eksponent n = 1, 3, 5, ... . -∞ < x < ∞
Opseg: Ovaj indikator se takođe može napisati u obliku: n = 2k, gdje je k = 1, 2, 3, ... - prirodno. Svojstva i grafikoni takvih funkcija su dati u nastavku.< ∞
Više značenja: Grafikon funkcije stepena y = x n sa prirodnim parnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ....
neparno, y(-x) = - y(x)
0 ≤ y
parno, y(-x) = y(x)
monotono raste za x ≤ 0 monotono opada
br za x ≥ 0 monotono raste
u 0 ekstremi:
minimum, x = 0, y = 0 Pregibne tačke:
x = 0, y = 0
;
Ograničenja:
konveksno nadole Točke preseka sa koordinatnim osa:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
na x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1:
za n = 2,

kvadratni korijen

za n ≠ 2, korijen stepena n:

Funkcija stepena s negativnim cijelim eksponentom, p = n = -1, -2, -3, ...

Razmotrimo funkciju stepena y = x p = x n sa negativnim cijelim eksponentom n = -1, -2, -3, ... .

Ako stavimo n = -k, gdje je k = 1, 2, 3, ... prirodan broj, onda se može predstaviti kao:

eksponent n = 1, 3, 5, ... . Grafikon funkcije stepena y = x n sa negativnim cijelim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = -1, -2, -3, ....
Opseg: Neparni eksponent, n = -1, -3, -5, ...
Više značenja: paritet:
neparno, y(-x) = - y(x) Ispod su svojstva funkcije y = x n sa neparnim negativnim eksponentom n = -1, -3, -5, ....
monotono raste ekstremi:
br
x ≠ 0< 0 : выпукла вверх
y ≠ 0
u 0 ekstremi:
minimum, x = 0, y = 0 ekstremi:
monotono opada
x ≠ 0< 0, y < 0
na x
x = 0, y = 0
; ; ;
Ograničenja:
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
za x > 0: konveksno nadole
znak:< -2 ,

za x > 0, y > 0

kada je n = -1,

eksponent n = 1, 3, 5, ... . Grafikon funkcije stepena y = x n sa negativnim cijelim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = -1, -2, -3, ....
Opseg: kod n
Više značenja: Grafikon funkcije stepena y = x n sa prirodnim parnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ....
neparno, y(-x) = - y(x)
x ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
Parni eksponent, n = -2, -4, -6, ...
monotono raste ekstremi:
br za x ≥ 0 monotono raste
u 0 ekstremi:
minimum, x = 0, y = 0 ekstremi:
monotono opada kod n
x = 0, y = 0
; ; ;
Ograničenja:
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Ispod su svojstva funkcije y = x n sa parnim negativnim eksponentom n = -2, -4, -6, ....
znak:< -2 ,

y > 0

Razmotrimo funkciju stepena y = x p sa racionalnim (razlomkom) eksponentom, gdje je n cijeli broj, m > 1 je prirodan broj. Štaviše, n, m nemaju zajedničke djelitelje.

Imenilac frakcionog indikatora je neparan

Neka je imenilac razlomnog eksponenta neparan: m = 3, 5, 7, ... . U ovom slučaju, funkcija stepena x p je definirana i za pozitivne i za negativne vrijednosti argumenta x.

Razmotrimo svojstva takvih funkcija stepena kada je eksponent p unutar određenih granica.< 0

P-vrijednost je negativna, p Neka je racionalni eksponent (sa neparnim nazivnikom m = 3, 5, 7, ...): .

manje od nule

Grafovi funkcija stepena s racionalnim negativnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta, gdje je m = 3, 5, 7, ... - neparno.

Neparni brojilac, n = -1, -3, -5, ...

eksponent n = 1, 3, 5, ... . Grafikon funkcije stepena y = x n sa negativnim cijelim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = -1, -2, -3, ....
Opseg: Neparni eksponent, n = -1, -3, -5, ...
Više značenja: paritet:
neparno, y(-x) = - y(x) Ispod su svojstva funkcije y = x n sa neparnim negativnim eksponentom n = -1, -3, -5, ....
monotono raste ekstremi:
br
x ≠ 0< 0 : выпукла вверх
y ≠ 0
u 0 ekstremi:
minimum, x = 0, y = 0 ekstremi:
monotono opada
x ≠ 0< 0, y < 0
na x
x = 0, y = 0
; ; ;
Ograničenja:
Svojstva funkcije stepena y = x p predstavljamo s racionalnim negativnim eksponentom, gdje je n = -1, -3, -5, ... neparan negativan cijeli broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodni cijeli broj.
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1

pri x = -1, y(-1) = (-1) n = -1

Parni brojilac, n = -2, -4, -6, ...

eksponent n = 1, 3, 5, ... . Grafikon funkcije stepena y = x n sa negativnim cijelim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = -1, -2, -3, ....
Opseg: kod n
Više značenja: Grafikon funkcije stepena y = x n sa prirodnim parnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ....
neparno, y(-x) = - y(x)
x ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
Parni eksponent, n = -2, -4, -6, ...
monotono raste ekstremi:
br za x ≥ 0 monotono raste
u 0 ekstremi:
minimum, x = 0, y = 0 ekstremi:
monotono opada kod n
x = 0, y = 0
; ; ;
Ograničenja:
Svojstva funkcije stepena y = x p s racionalnim negativnim eksponentom, gdje je n = -2, -4, -6, ... paran negativan cijeli broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodni cijeli broj .
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1

pri x = -1, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1

P-vrijednost je pozitivna, manja od jedan, 0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Grafikon funkcije stepena s racionalnim eksponentom (0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

eksponent n = 1, 3, 5, ... . -∞ < x < +∞
Opseg: -∞ < y < +∞
Više značenja: paritet:
neparno, y(-x) = - y(x) monoton:
monotono raste ekstremi:
br
x ≠ 0< 0 : выпукла вниз
Neparni brojilac, n = 1, 3, 5, ...
u 0 Pregibne tačke:
minimum, x = 0, y = 0 Pregibne tačke:
monotono opada
x ≠ 0< 0, y < 0
na x
x = 0, y = 0
;
Ograničenja:
za x > 0: konveksno prema gore
pri x = -1, y(-1) = -1
pri x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1

za x = 1, y(1) = 1

Parni brojilac, n = 2, 4, 6, ...< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

eksponent n = 1, 3, 5, ... . -∞ < x < +∞
Opseg: Ovaj indikator se takođe može napisati u obliku: n = 2k, gdje je k = 1, 2, 3, ... - prirodno. Svojstva i grafikoni takvih funkcija su dati u nastavku.< +∞
Više značenja: Grafikon funkcije stepena y = x n sa prirodnim parnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ....
neparno, y(-x) = - y(x)
x ≠ 0< 0 : монотонно убывает
Prikazana su svojstva funkcije stepena y = x p sa racionalnim eksponentom unutar 0
monotono raste za x > 0: monotono raste
br minimum pri x = 0, y = 0
u 0 ekstremi:
minimum, x = 0, y = 0 Pregibne tačke:
monotono opada konveksno prema gore za x ≠ 0
x = 0, y = 0
;
Ograničenja:
za x ≠ 0, y > 0
pri x = -1, y(-1) = -1
pri x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1

pri x = -1, y(-1) = 1

Indeks p je veći od jedan, p > 1

Grafikon funkcije stepena s racionalnim eksponentom (p > 1) za različite vrijednosti eksponenta, gdje je m = 3, 5, 7, ... - neparan.

Neparni brojilac, n = 5, 7, 9, ...

eksponent n = 1, 3, 5, ... . -∞ < x < ∞
Opseg: -∞ < y < ∞
Više značenja: paritet:
neparno, y(-x) = - y(x) monoton:
monotono raste ekstremi:
br
konveksno:< x < 0 выпукла вверх
na -∞< x < ∞ выпукла вниз
u 0 Pregibne tačke:
minimum, x = 0, y = 0 Pregibne tačke:
x = 0, y = 0
;
Ograničenja:
za x > 0: konveksno prema gore
pri x = -1, y(-1) = -1
pri x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1

Svojstva funkcije stepena y = x p s racionalnim eksponentom većim od jedan: .

Gdje je n = 5, 7, 9, ... - neparni prirodni, m = 3, 5, 7 ... - neparni prirodni.

eksponent n = 1, 3, 5, ... . -∞ < x < ∞
Opseg: Ovaj indikator se takođe može napisati u obliku: n = 2k, gdje je k = 1, 2, 3, ... - prirodno. Svojstva i grafikoni takvih funkcija su dati u nastavku.< ∞
Više značenja: Grafikon funkcije stepena y = x n sa prirodnim parnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ....
neparno, y(-x) = - y(x)
x ≠ 0< 0 монотонно убывает
Parni brojilac, n = 4, 6, 8, ...
monotono raste za x > 0: monotono raste
br za x ≥ 0 monotono raste
u 0 ekstremi:
minimum, x = 0, y = 0 Pregibne tačke:
x = 0, y = 0
;
Ograničenja:
za x ≠ 0, y > 0
pri x = -1, y(-1) = -1
pri x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1

Svojstva funkcije stepena y = x p s racionalnim eksponentom većim od jedan: .

Neka je imenilac razlomnog eksponenta paran: m = 2, 4, 6, ... . U ovom slučaju, funkcija stepena x p nije definirana za negativne vrijednosti argumenta. Njena svojstva se poklapaju sa svojstvima funkcije stepena s iracionalnim eksponentom (pogledajte sljedeći odjeljak).

Funkcija snage s iracionalnim eksponentom

Razmotrimo funkciju stepena y = x p sa iracionalnim eksponentom p.

Za pozitivne vrijednosti argumenta, svojstva zavise samo od vrijednosti eksponenta p i ne zavise od toga da li je p cijeli broj, racionalan ili iracionalan.< 0

eksponent n = 1, 3, 5, ... . y = x p za različite vrijednosti eksponenta p.
Opseg: kod n
neparno, y(-x) = - y(x) Ispod su svojstva funkcije y = x n sa neparnim negativnim eksponentom n = -1, -3, -5, ....
br za x ≥ 0 monotono raste
u 0 ekstremi:
minimum, x = 0, y = 0 ekstremi:
x = 0, y = 0 ;
Funkcija snage sa negativnim eksponentom p x > 0

Privatno značenje:

Za x = 1, y(1) = 1 p = 1< p < 1

eksponent n = 1, 3, 5, ... . Funkcija stepena s pozitivnim eksponentom p > 0
Opseg: Indikator manji od jedne 0
neparno, y(-x) = - y(x) monoton:
br x ≥ 0
u 0 ekstremi:
minimum, x = 0, y = 0 Pregibne tačke:
x = 0, y = 0
Ograničenja: y ≥ 0
x > 0

konveksno prema gore

eksponent n = 1, 3, 5, ... . Funkcija stepena s pozitivnim eksponentom p > 0
Opseg: Indikator manji od jedne 0
neparno, y(-x) = - y(x) monoton:
br za x ≥ 0 monotono raste
u 0 ekstremi:
minimum, x = 0, y = 0 Pregibne tačke:
x = 0, y = 0
Ograničenja: y ≥ 0
x > 0

Za x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Indikator je veći od jedan p > 1

I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.

Vidi također:

Osnovne elementarne funkcije, njihova inherentna svojstva i odgovarajući grafovi su jedna od osnova matematičkog znanja, slična po važnosti tablici množenja. Elementarne funkcije su osnova, oslonac za proučavanje svih teorijskih pitanja.

Članak u nastavku pruža ključni materijal na temu osnovnih elementarnih funkcija. Uvest ćemo pojmove, dati im definicije; Proučimo detaljno svaku vrstu elementarnih funkcija i analizirajmo njihova svojstva.

• Razlikuju se sljedeće vrste osnovnih elementarnih funkcija:
• Definicija 1
• konstantna funkcija (konstanta);
• n-ti korijen;
• funkcija snage;
• eksponencijalna funkcija;;
• logaritamska funkcija;

trigonometrijske funkcije

bratske trigonometrijske funkcije.

Konstantna funkcija je definirana formulom: y = C (C je određeni realni broj) i također ima ime: konstanta. Ova funkcija određuje korespondenciju bilo koje realne vrijednosti nezavisne varijable x istoj vrijednosti varijable y - vrijednosti C.

Grafikon konstante je prava linija koja je paralelna sa apscisnom osom i prolazi kroz tačku koja ima koordinate (0, C). Radi jasnoće predstavljamo grafike konstantnih funkcija y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (na crtežu su označene crnom, crvenom i plavom bojom). Definicija 2 Ovo

Razmotrimo dvije varijacije funkcije.

1. n-ti korijen, n – paran broj

Radi jasnoće, ukazujemo na crtež koji prikazuje grafikone takvih funkcija: y = x, y = x 4 i y = x8. Ove karakteristike su označene bojama: crna, crvena i plava.

Grafovi funkcije parnog stepena imaju sličan izgled za druge vrijednosti eksponenta.

Definicija 3

Svojstva n-te korijenske funkcije, n je paran broj

• domen definicije – skup svih nenegativnih realni brojevi [ 0 , + ∞) ;
• kada je x = 0, funkcija y = x n ima vrijednost jednaku nuli;
• dato funkcija-funkcija opšti pogled(nije ni paran ni neparan);
• raspon: [ 0 , + ∞) ;
• ova funkcija y = x n za parne korijenske eksponente raste u cijeloj domeni definicije;
• funkcija ima konveksnost sa smjerom prema gore u cijeloj domeni definicije;
• nema pregibnih tačaka;
• nema asimptota;
• graf funkcije za parno n prolazi kroz tačke (0; 0) i (1; 1).

1. n-ti korijen, n – neparan broj

Takva funkcija je definirana na cijelom skupu realnih brojeva. Radi jasnoće, razmotrite grafove funkcija y = x 3 , y = x 5 i x 9 . Na crtežu su označene bojama: crna, crvena i plava i krive respektivno.

Druge neparne vrijednosti korijenskog eksponenta funkcije y = x n dat će graf sličnog tipa.

Definicija 4

Svojstva n-te korijenske funkcije, n je neparan broj

• domen definicije – skup svih realnih brojeva;
• ova funkcija je neparna;
• raspon vrijednosti – skup svih realnih brojeva;
• funkcija y = x n za neparne korijenske eksponente raste u cijelom domenu definicije;
• funkcija ima konkavnost na intervalu (- ∞ ; 0 ] i konveksnost na intervalu [ 0 , + ∞);
• tačka pregiba ima koordinate (0; 0);
• nema asimptota;
• Graf funkcije za neparan n prolazi kroz tačke (- 1 ; - 1), (0 ; 0) i (1 ; 1).

Funkcija napajanja

Funkcija snage je definirana formulom y = x a.

Izgled grafova i svojstva funkcije zavise od vrijednosti eksponenta.

• kada funkcija snage ima cijeli indikator a, tada tip grafa funkcije stepena i njena svojstva zavise od toga da li je eksponent paran ili neparan, kao i koji predznak ima eksponent. Razmotrimo sve ove posebne slučajeve detaljnije u nastavku;
• eksponent može biti razlomačan ili iracionalan - ovisno o tome, tip grafova i svojstva funkcije također variraju. Posebne slučajeve ćemo analizirati postavljanjem nekoliko uslova: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• funkcija stepena može imati nulti eksponent, u nastavku ćemo također detaljnije analizirati ovaj slučaj.

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je a neparan pozitivan broj, na primjer, a = 1, 3, 5...

Radi jasnoće, ukazujemo na grafove takvih funkcija stepena: y = x (crna grafička boja), y = x 3 (plava boja grafikona), y = x 5 (crvena boja grafikona), y = x 7 (grafička boja zelena). Kada je a = 1, dobijamo linearnu funkciju y = x.

Definicija 6

Svojstva stepena funkcije kada je eksponent neparno pozitivan

• funkcija raste za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konkavnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) (isključujući linearnu funkciju);
• tačka pregiba ima koordinate (0 ; 0) (isključujući linearnu funkciju);
• nema asimptota;
• tačke prolaza funkcije: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je a paran pozitivan broj, na primjer, a = 2, 4, 6...

Radi jasnoće, ukazujemo na grafikone takvih funkcija snage: y = x 2 (grafička boja crna), y = x 4 (plava boja grafikona), y = x 8 (crvena boja grafikona). Kada je a = 2, dobijamo kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.

Definicija 7

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent čak pozitivan:

• domen definicije: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• smanjenje za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funkcija ima konkavnost za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• nema pregibnih tačaka;
• nema asimptota;
• tačke prolaza funkcije: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Na slici ispod prikazani su primjeri grafova funkcije snage y = x a kada je a neparan negativan broj: y = x - 9 (grafička boja crna); y = x - 5 (plava boja grafikona); y = x - 3 (crvena boja grafikona); y = x - 1 (grafička boja zelena). Kada je a = - 1, dobijamo inverznu proporcionalnost, čiji je graf hiperbola.

Definicija 8

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent neparno negativan:

Kada je x = 0, dobijamo diskontinuitet druge vrste, pošto je lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 1, - 3, - 5, …. Dakle, prava linija x = 0 je vertikalna asimptota;

• raspon: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x);
• funkcija je opadajuća za x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0) i konkavnost za x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nema pregibnih tačaka;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kada je a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• tačke prolaza funkcije: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Na slici ispod prikazani su primjeri grafika funkcije stepena y = x a kada je a paran negativan broj: y = x - 8 (grafička boja crna); y = x - 4 (plava boja grafikona); y = x - 2 (crvena boja grafikona).

Definicija 9

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent čak negativan:

• domen definicije: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kada je x = 0, dobijamo diskontinuitet druge vrste, pošto je lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 2, - 4, - 6, …. Dakle, prava linija x = 0 je vertikalna asimptota;

• funkcija je parna jer je y(-x) = y(x);
• funkcija raste za x ∈ (- ∞ ; 0) i opada za x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija ima konkavnost na x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• nema pregibnih tačaka;
• horizontalna asimptota – prava y = 0, jer:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kada je a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• tačke prolaza funkcije: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Od samog početka obratite pažnju na sledeći aspekt: ​​u slučaju kada a – pozitivan razlomak sa neparnim nazivnikom, neki autori uzimaju interval - ∞ kao domenu definicije ove funkcije stepena; + ∞ , uvjetujući da je eksponent a nesvodljiv razlomak. On trenutno Autori mnogih obrazovnih publikacija o algebri i principima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena, gdje je eksponent razlomak s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Dalje ćemo se pridržavati upravo ove pozicije: uzet ćemo skup [ 0 ; + ∞) . Preporuka za učenike: saznajte stav nastavnika o ovom pitanju kako biste izbjegli nesuglasice.

Dakle, pogledajmo funkciju snage y = x a , kada je eksponent racionalan ili iracionalan broj pod uslovom da je 0< a < 1 .

Ilustrujmo funkcije stepena grafovima y = x a kada je a = 11 12 (grafička boja crna); a = 5 7 (crvena boja grafikona); a = 1 3 (plava boja grafikona); a = 2 5 (zelena boja grafikona).

Druge vrijednosti eksponenta a (pod uvjetom da je 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definicija 10

Svojstva funkcije snage na 0< a < 1:

• raspon: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija raste za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija je konveksna za x ∈ (0 ; + ∞);
• nema pregibnih tačaka;
• nema asimptota;

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je eksponent necijeli racionalan ili iracionalan broj, pod uslovom da je a > 1.

Ilustrirajmo grafovima funkciju snage y = x a pod datim uslovima koristeći sledeće funkcije kao primer: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (crni, crveni, plavi, zeleni grafikoni, respektivno).

Druge vrijednosti eksponenta a, pod uvjetom da je a > 1, dat će sličan grafikon.

Definicija 11

Svojstva funkcije snage za a > 1:

• domen definicije: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• raspon: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
• funkcija raste za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija ima konkavnost za x ∈ (0 ; + ∞) (kada je 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• nema pregibnih tačaka;
• nema asimptota;
• prolazne tačke funkcije: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Imajte na umu da je a negativan razlomak sa neparnim nazivnikom, u radovima nekih autora postoji stav da je domen definicije u! u ovom slučaju– interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) uz upozorenje da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Trenutno autori edukativni materijali u algebri i principima analize NE ODREĐUJU funkcije stepena sa eksponentom u obliku razlomka sa neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Dalje, pridržavamo se upravo ovog gledišta: uzimamo skup (0 ; + ∞) kao domenu definicije funkcija stepena sa razlomkom negativnih eksponenta. Preporuka za učenike: U ovom trenutku razjasnite viziju svog nastavnika kako biste izbjegli nesuglasice.

Nastavimo temu i analizirajmo funkciju snage y = x a predviđeno: - 1< a < 0 .

Predstavimo crtež grafova sljedećih funkcija: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (crna, crvena, plava, zelena boja linije, respektivno).

Definicija 12

Svojstva funkcije snage na -1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• raspon: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
• nema pregibnih tačaka;

Crtež ispod prikazuje grafike funkcija stepena y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (crna, crvena, plava, zelene boje krive).

Definicija 13

Svojstva funkcije snage za a< - 1:

• domen definicije: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
• funkcija se smanjuje za x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; + ∞ ;
• nema pregibnih tačaka;
• horizontalna asimptota – prava linija y = 0;
• točka prijelaza funkcije: (1; 1) .

Kada je a = 0 i x ≠ 0, dobijamo funkciju y = x 0 = 1, koja definiše liniju iz koje je isključena tačka (0; 1) (dogovoreno je da izraz 0 0 neće dobiti nikakvo značenje ).

Eksponencijalna funkcija ima oblik y = a x, gdje je a > 0 i a ≠ 1, a grafik ove funkcije izgleda drugačije na osnovu vrijednosti baze a. Razmotrimo posebne slučajeve.

Prvo, pogledajmo situaciju kada je baza eksponencijalna funkcija ima vrijednost od nula do jedan (0< a < 1) . Jasan primjer poslužit će grafovi funkcija za a = 1 2 (plava boja krive) i a = 5 6 (crvena boja krive).

Grafovi eksponencijalne funkcije će imati sličan izgled za druge vrijednosti baze pod uvjetom 0< a < 1 .

Definicija 14

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza manja od jedan:

• raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
• eksponencijalna funkcija čija je baza manja od jedan opada u cijelom domenu definicije;
• nema pregibnih tačaka;
• horizontalna asimptota – prava linija y = 0 sa promenljivom x koja teži + ∞;

Sada razmotrite slučaj kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan (a > 1).

Ilustrujmo ovaj poseban slučaj sa grafikom eksponencijalnih funkcija y = 3 2 x (plava boja krive) i y = e x (crvena boja grafika).

Druge vrijednosti baze, veće jedinice, dat će sličan izgled grafu eksponencijalne funkcije.

Definicija 15

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza veća od jedan:

• domen definicije – cijeli skup realnih brojeva;
• raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
• eksponencijalna funkcija čija je baza veća od jedan raste kao x ∈ - ∞; + ∞ ;
• funkcija ima konkavnost na x ∈ - ∞; + ∞ ;
• nema pregibnih tačaka;
• horizontalna asimptota – prava linija y = 0 sa promenljivom x koja teži - ∞;
• tačka prijelaza funkcije: (0; 1) .

Logaritamska funkcija ima oblik y = log a (x), gdje je a > 0, a ≠ 1.

Ova funkcija je definirana samo kada pozitivne vrijednosti argument: za x ∈ 0 ; + ∞ .

Graf logaritamske funkcije ima različite vrste, na osnovu vrijednosti baze a.

Razmotrimo prvo situaciju kada je 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Druge vrijednosti baze, ne veće jedinice, dat će sličan tip grafikona.

Definicija 16

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza manja od jedan:

• domen definicije: x ∈ 0 ; + ∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže +∞;
• raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
• logaritamski
• funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; + ∞ ;
• nema pregibnih tačaka;
• nema asimptota;

Pogledajmo sada poseban slučaj kada je baza logaritamske funkcije veća od jedan: a > 1 . Crtež ispod prikazuje grafikone logaritamskih funkcija y = log 3 2 x i y = ln x (plava i crvena boja grafika, respektivno).

Druge vrijednosti baze veće od jedan će dati sličan tip grafa.

Definicija 17

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza veća od jedan:

• domen definicije: x ∈ 0 ; + ∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže - ∞ ;
• raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ (cijeli skup realnih brojeva);
• ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
• logaritamska funkcija raste za x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija je konveksna za x ∈ 0; + ∞ ;
• nema pregibnih tačaka;
• nema asimptota;
• tačka prijelaza funkcije: (1; 0) .

Trigonometrijske funkcije su sinus, kosinus, tangent i kotangens. Pogledajmo svojstva svakog od njih i odgovarajuću grafiku.

Općenito, sve trigonometrijske funkcije karakterizira svojstvo periodičnosti, tj. kada se vrijednosti funkcije ponavljaju na različita značenja argumenti koji se međusobno razlikuju po periodu f (x + T) = f (x) (T – period). Tako se na listu svojstava trigonometrijskih funkcija dodaje stavka „najmanji pozitivni period“. Osim toga, naznačit ćemo vrijednosti argumenta pri kojima odgovarajuća funkcija postaje nula.

1. Sinusna funkcija: y = sin(x)

Graf ove funkcije naziva se sinusni val.

Definicija 18

Svojstva sinusne funkcije:

• domen definicije: cijeli skup realnih brojeva x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• funkcija nestaje kada je x = π · k, gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
• funkcija raste za x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z i opadajući za x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• sinusna funkcija ima lokalne maksimume u tačkama π 2 + 2 π · k; 1 i lokalni minimumi u tačkama - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• sinusna funkcija je konkavna kada je x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• nema asimptota.

1. kosinusna funkcija: y = cos(x)

Graf ove funkcije naziva se kosinusni val.

Definicija 19

Svojstva kosinusne funkcije:

• domen definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• najmanji pozitivni period: T = 2 π;
• raspon vrijednosti: y ∈ - 1 ; 1 ;
• ova funkcija je parna, budući da je y (- x) = y (x);
• funkcija raste za x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z i opadajući za x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• kosinusna funkcija ima lokalne maksimume u tačkama 2 π · k ; 1, k ∈ Z i lokalni minimumi u tačkama π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• kosinusna funkcija je konkavna kada je x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• tačke pregiba imaju koordinate π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• nema asimptota.

1. Tangentna funkcija: y = t g (x)

Poziva se graf ove funkcije tangenta.

Definicija 20

Svojstva tangentne funkcije:

• domen definicije: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
• Ponašanje tangentne funkcije na granici domene definicije lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Dakle, prave x = π 2 + π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;
• funkcija nestaje kada je x = π · k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
• raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ova funkcija je neparna, budući da je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija raste kao - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• tangentna funkcija je konkavna za x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z i konveksan za x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• tačke pregiba imaju koordinate π · k ; 0 , k ∈ Z ;

1. Kotangens funkcija: y = c t g (x)

Graf ove funkcije naziva se kotangentoid. .

Definicija 21

Svojstva kotangens funkcije:

• domen definicije: x ∈ (π · k ; π + π · k) , gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);

Ponašanje kotangens funkcije na granici domene definicije lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dakle, prave x = π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;

• najmanji pozitivni period: T = π;
• funkcija nestaje kada je x = π 2 + π · k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
• raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ova funkcija je neparna, budući da je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija je opadajuća za x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• kotangens funkcija je konkavna za x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z i konveksna za x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• tačke pregiba imaju koordinate π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
• Nema kosih ili horizontalnih asimptota.

Inverzne trigonometrijske funkcije su arksinus, arkosinus, arktangens i arkkotangens. Često, zbog prisutnosti prefiksa "luk" u nazivu, inverzne trigonometrijske funkcije nazivaju se lučne funkcije .

1. Funkcija arc sinusa: y = a r c sin (x)

Definicija 22

Svojstva arcsinusne funkcije:

• ova funkcija je neparna, budući da je y (- x) = - y (x) ;
• arcsinusna funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; 1 i konveksnost za x ∈ - 1 ; 0 ;
• tačke pregiba imaju koordinate (0; 0), što je ujedno i nula funkcije;
• nema asimptota.

1. Arc kosinus funkcija: y = a r c cos (x)

Definicija 23

Svojstva arc kosinus funkcije:

• domen definicije: x ∈ - 1 ; 1 ;
• raspon: y ∈ 0 ; π;
• ova funkcija je opšteg oblika (ni parna ni neparna);
• funkcija se smanjuje u cijelom domenu definicije;
• arc kosinus funkcija ima udubljenje na x ∈ - 1; 0 i konveksnost za x ∈ 0; 1 ;
• tačke pregiba imaju koordinate 0; π 2;
• nema asimptota.

1. Arktangentna funkcija: y = a r c t g (x)

Definicija 24

Svojstva arktangentne funkcije:

• domen definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• raspon vrijednosti: y ∈ - π 2 ; π 2;
• ova funkcija je neparna, budući da je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija se povećava u cijelom domenu definicije;
• arktangentna funkcija ima konkavnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konveksnost za x ∈ [ 0 ; + ∞);
• tačka pregiba ima koordinate (0; 0), što je ujedno i nula funkcije;
• horizontalne asimptote su prave linije y = - π 2 kao x → - ∞ i y = π 2 kao x → + ∞ (na slici su asimptote zelene linije).

1. Funkcija tangente luka: y = a r c c t g (x)

Definicija 25

Svojstva arkkotangentne funkcije:

• domen definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• raspon: y ∈ (0; π) ;
• ova funkcija je opšteg oblika;
• funkcija se smanjuje u cijelom domenu definicije;
• arc kotangens funkcija ima konkavnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) i konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• tačka pregiba ima koordinate 0; π 2;
• horizontalne asimptote su prave linije y = π na x → - ∞ (zelena linija na crtežu) i y = 0 na x → + ∞.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter