Prisjetimo se zadatka s kojim smo se suočili prilikom pronalaženja određenih integrala:
ili dy = f(x)dx. Njeno rešenje:
i svodi se na izračunavanje neodređenog integrala. U praksi se češće javlja težak zadatak: funkcija pronalaženja y, ako je poznato da zadovoljava odnos oblika
Ovaj odnos povezuje nezavisnu varijablu x, nepoznata funkcija y i njegove derivate do reda n uključujući, nazivaju se .
Diferencijalna jednadžba uključuje funkciju pod znakom izvoda (ili diferencijala) jednog ili drugog reda. Najviši red se zove red (9.1) .
- prva narudžba,
Druga narudžba
- peti red itd.
Funkcija koja zadovoljava datu diferencijalnu jednačinu naziva se njeno rješenje , ili integralni . Rešiti ga znači pronaći sva njegova rešenja. Ako za traženu funkciju y uspjeli dobiti formulu koja daje sva rješenja, onda kažemo da smo je pronašli zajednička odluka, ili opšti integral .
Zajednička odluka
sadrži n proizvoljne konstante 
i izgleda
Ako se dobije relacija koja se odnosi x, y I n proizvoljne konstante, u obliku koji nije dozvoljen u odnosu na y -
onda se takav odnos naziva opštim integralom jednačine (9.1).
Cauchy problem
Svako specifično rješenje, tj. svaka specifična funkcija koja zadovoljava datu diferencijalnu jednadžbu i ne ovisi o proizvoljnim konstantama, naziva se određeno rješenje , ili parcijalni integral. Da bi se iz opštih dobili posebna rješenja (integrale), potrebno je dati specifične konstante numeričke vrijednosti.
Graf određenog rješenja naziva se integralna kriva. Opće rješenje, koje sadrži sva parcijalna rješenja, je porodica integralnih krivulja. Za jednačinu prvog reda ova porodica zavisi od jedne proizvoljne konstante, za jednačinu n-ti red - od n proizvoljne konstante.
Cauchyjev problem je pronaći određeno rješenje za jednadžbu n-ti red, zadovoljavajući n početni uslovi:
kojima su određene n konstante c 1, c 2,..., c n.
Diferencijalne jednadžbe 1. reda
Za diferencijalnu jednadžbu 1. reda koja nije riješena u odnosu na izvod, ona ima oblik
ili za dozvoljeno relativno
Primjer 3.46. Pronađite opšte rješenje jednačine
Rješenje. Integrisanje, dobijamo
gdje je C proizvoljna konstanta. Ako C dodijelimo određene numeričke vrijednosti, dobićemo određena rješenja, na primjer,
Primjer 3.47. Uzmite u obzir sve veći iznos novca koji se deponuje u banci podložan obračunu od 100 r složena kamata godišnje. Neka Yo bude početni iznos novca, a Yx - na kraju x godine. Ako se kamata obračunava jednom godišnje, dobijamo
gdje je x = 0, 1, 2, 3,.... Kada se kamata obračunava dva puta godišnje, dobijamo
gdje je x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Prilikom obračuna kamata n jednom godišnje i ako je x uzima sekvencijalne vrijednosti 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., zatim
Označite 1/n = h, tada će prethodna jednakost izgledati ovako:
Sa neograničenim uvećanjem n(u 
) u limitu dolazimo do procesa povećanja novčanog iznosa uz kontinuirano obračunavanje kamate:
Stoga je jasno da uz kontinuirane promjene x zakon promjene novčane mase izražava se diferencijalnom jednačinom 1. reda. gdje je Y x nepoznata funkcija, x- nezavisna varijabla, r- konstantno. Hajde da rešimo ovu jednačinu, da bismo to uradili, prepisujemo je na sledeći način:
gdje 
, ili 
, gdje P označava e C .
Iz početnih uslova Y(0) = Yo, nalazimo P: Yo = Pe o, odakle je Yo = P. Dakle, rješenje ima oblik:
Razmotrimo drugi ekonomski problem. Makroekonomski modeli su također opisani linearnim diferencijalnim jednadžbama 1. reda, koje opisuju promjene prihoda ili proizvodnje Y kao funkcije vremena.
Primjer 3.48. Neka nacionalni dohodak Y raste po stopi proporcionalnoj njegovoj vrijednosti:
i neka deficit u državnoj potrošnji bude direktno proporcionalan prihodu Y sa koeficijentom proporcionalnosti q. Deficit potrošnje dovodi do povećanja državnog duga D:
Početni uslovi Y = Yo i D = Do pri t = 0. Iz prve jednačine Y= Yoe kt. Zamjenom Y dobijamo dD/dt = qYoe kt . Opšte rješenje ima oblik
D = (q/ k) Yoe kt +S, gdje je S = const, što je određeno iz početnih uslova. Zamjenom početnih uslova dobijamo Do = (q/ k)Yo + C. Dakle, konačno,
D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),
ovo pokazuje da se državni dug povećava istom relativnom stopom k, isto kao i nacionalni dohodak.
Razmotrimo najjednostavnije diferencijalne jednadžbe n reda, ovo su jednadžbe oblika
Njegovo opće rješenje može se dobiti korištenjem n vremena integracije.
Primjer 3.49. Razmotrimo primjer y """ = cos x.
Rješenje. Integrisanje, nalazimo
Opšte rješenje ima oblik
Linearne diferencijalne jednadžbe
Oni se široko koriste u ekonomiji, hajde da razmotrimo rešavanje takvih jednačina. Ako (9.1) ima oblik:
tada se naziva linearnim, gdje je ro(x), r1(x),..., rn(x), f(x) - specificirane funkcije. Ako je f(x) = 0, onda se (9.2) naziva homogenom, u suprotnom se naziva nehomogenom. Opće rješenje jednadžbe (9.2) jednako je zbiru bilo kojeg od njenih pojedinačnih rješenja y(x) i opće rješenje homogene jednadžbe koja joj odgovara:
Ako su koeficijenti r o (x), r 1 (x),..., r n (x) konstantni, tada (9.2)
(9.4) naziva se linearna diferencijalna jednadžba sa konstantnim koeficijentima reda n .
Za (9.4) ima oblik:
Bez gubitka opštosti, možemo postaviti p o = 1 i zapisati (9.5) u obliku
Tražićemo rješenje (9.6) u obliku y = e kx, gdje je k konstanta. Imamo: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Zamjenom rezultirajućih izraza u (9.6) imat ćemo:
(9.7) je algebarska jednadžba, njena nepoznata je k, naziva se karakterističan. Karakteristična jednačina ima stepen n I n korijena, među kojima mogu biti i višestruki i složeni. Neka je onda k 1 , k 2 ,..., k n realno i različito 
- posebna rješenja (9.7) i opšta
Razmotrimo linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima:
Njegova karakteristična jednačina ima oblik
(9.9)
njegov diskriminant D = p 2 - 4q, u zavisnosti od predznaka D moguća su tri slučaja.
1. Ako je D>0, tada su korijeni k 1 i k 2 (9.9) realni i različiti, a opće rješenje ima oblik:
Rješenje. Karakteristična jednačina: k 2 + 9 = 0, odakle je k = ± 3i, a = 0, b = 3, opšte rješenje ima oblik:
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
Linearne diferencijalne jednadžbe 2. reda se koriste pri proučavanju ekonomskog modela web tipa sa zalihama robe, gdje stopa promjene cijene P zavisi od veličine zaliha (vidi paragraf 10). Ako su ponuda i potražnja linearne funkcije cijene, tj
a je konstanta koja određuje brzinu reakcije, tada se proces promjene cijene opisuje diferencijalnom jednadžbom:
Za određeno rješenje možemo uzeti konstantu
smislena ravnotežna cijena. Devijacija 
zadovoljava homogenu jednačinu
(9.10)
Karakteristična jednačina će biti sljedeća:
U slučaju da je termin pozitivan. Označimo 
. Korijeni karakteristične jednadžbe k 1,2 = ± i w, stoga opšte rješenje (9.10) ima oblik:
gdje su C i proizvoljne konstante, one se određuju iz početnih uslova. Dobili smo zakon promjene cijene tokom vremena:
I. Obične diferencijalne jednadžbe
1.1. Osnovni pojmovi i definicije
Diferencijalna jednadžba je jednačina koja povezuje nezavisnu varijablu x, traženu funkciju y i njegove derivate ili diferencijale.
Simbolično, diferencijalna jednadžba se piše na sljedeći način:
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0
Diferencijalna jednadžba se naziva običnom ako tražena funkcija ovisi o jednoj nezavisnoj varijabli.
Rješavanje diferencijalne jednadžbe naziva se funkcija koja pretvara ovu jednačinu u identitet.
Red diferencijalne jednadžbe je red najveće derivacije uključene u ovu jednačinu
Primjeri.
1. Razmotrimo diferencijalnu jednačinu prvog reda
Rješenje ove jednadžbe je funkcija y = 5 ln x. Zaista, zamjena y" u jednačinu, dobijamo identitet.
A to znači da je funkcija y = 5 ln x– rješenje ove diferencijalne jednadžbe.
2. Razmotrimo diferencijalnu jednačinu drugog reda y" - 5y" +6y = 0. Funkcija je rješenje ove jednadžbe.
Zaista, .
Zamjenom ovih izraza u jednačinu dobijamo: , – identičnost.
A to znači da je funkcija rješenje ove diferencijalne jednadžbe.
Integriranje diferencijalnih jednadžbi je proces pronalaženja rješenja diferencijalnih jednačina.
Opće rješenje diferencijalne jednadžbe naziva se funkcija forme 
, koji uključuje onoliko nezavisnih proizvoljnih konstanti koliko je redoslijed jednadžbe.
Parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe je rješenje dobiveno iz općeg rješenja za različite numeričke vrijednosti proizvoljnih konstanti. Vrijednosti proizvoljnih konstanti nalaze se na određenim početnim vrijednostima argumenta i funkcije.
Graf određenog rješenja diferencijalne jednadžbe se zove integralna kriva.
Primjeri
1. Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednačine prvog reda
xdx + ydy = 0, Ako y= 4 at x = 3.
Rješenje. Integracijom obe strane jednačine dobijamo
Komentar. Proizvoljna konstanta C dobijena kao rezultat integracije može se predstaviti u bilo kom obliku pogodnom za dalje transformacije. U ovom slučaju, uzimajući u obzir kanonsku jednadžbu kruga, pogodno je predstaviti proizvoljnu konstantu C u obliku .
- opšte rješenje diferencijalne jednadžbe.
Konkretno rješenje jednačine koje zadovoljava početne uslove y = 4 at x = 3 se dobija iz opšteg zamenom početnih uslova u opšte rešenje: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
Zamjenom C=5 u opšte rješenje dobijamo x 2 +y 2 = 5 2 .
Ovo je posebno rješenje diferencijalne jednadžbe dobivene iz općeg rješenja pod datim početnim uvjetima.
2. Pronađite opšte rješenje diferencijalne jednadžbe
Rješenje ove jednadžbe je bilo koja funkcija oblika , gdje je C proizvoljna konstanta. Doista, zamjenom , u jednadžbe, dobivamo: , .
Posljedično, ova diferencijalna jednadžba ima beskonačan broj rješenja, jer za različite vrijednosti konstante C, jednakost određuje različita rješenja jednadžbe.
Na primjer, direktnom zamjenom možete provjeriti da li su funkcije 
su rješenja jednadžbe.
Problem u kojem trebate pronaći određeno rješenje jednačine y" = f(x,y) zadovoljavajući početni uslov y(x 0) = y 0, zove se Cauchyjev problem.
Rješavanje jednačine y" = f(x,y), zadovoljavajući početni uslov, y(x 0) = y 0, naziva se rješenjem Cauchyjevog problema.
Rješenje Cauchyjevog problema ima jednostavno geometrijsko značenje. Zaista, prema ovim definicijama, riješite Cauchyjev problem y" = f(x,y) s obzirom na to y(x 0) = y 0, znači pronaći integralnu krivu jednadžbe y" = f(x,y) koji prolazi kroz dati poen M 0 (x 0,y 0).
II. Diferencijalne jednadžbe prvog reda
2.1. Osnovni koncepti
Diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba oblika F(x,y,y") = 0.
Diferencijalna jednačina prvog reda uključuje prvi izvod i ne uključuje izvode višeg reda.
Jednačina y" = f(x,y) naziva se jednadžba prvog reda riješena u odnosu na izvod.
Opće rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda je funkcija oblika , koja sadrži jednu proizvoljnu konstantu.
Primjer. Razmotrimo diferencijalnu jednačinu prvog reda.
Rješenje ove jednadžbe je funkcija.
Zaista, zamenivši ovu jednačinu njenom vrednošću, dobijamo
to je 3x=3x
Stoga je funkcija opće rješenje jednadžbe za bilo koju konstantu C.
Pronađite određeno rješenje ove jednačine koje zadovoljava početni uvjet y(1)=1 Zamjena početnih uslova x = 1, y =1 u opšte rešenje jednačine, dobijamo odakle C=0.
Dakle, dobijamo posebno rešenje iz opšteg tako što u ovu jednačinu zamenimo rezultujuću vrednost C=0– privatno rješenje.
2.2. Diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama
Diferencijalna jednadžba sa odvojivim varijablama je jednadžba oblika: y"=f(x)g(y) ili kroz diferencijale, gdje f(x) I g(y)– specificirane funkcije.
Za one y, za koje , jednadžba y"=f(x)g(y) je ekvivalentan jednadžbi, 
u kojoj je varijabla y je prisutna samo na lijevoj strani, a varijabla x je samo na desnoj strani. Kažu, "u jednadžbi. y"=f(x)g(y Hajde da razdvojimo varijable."
Jednačina oblika naziva se jednadžba odvojene varijable.
Integriranje obje strane jednačine By x, dobijamo G(y) = F(x) + C je opšte rješenje jednačine, gdje je G(y) I F(x)– neki antiderivati, odnosno, funkcija i f(x), C proizvoljna konstanta.
Algoritam za rješavanje diferencijalne jednadžbe prvog reda sa odvojivim varijablama
Primjer 1
Riješite jednačinu y" = xy
Rješenje. Derivat funkcije y" zamijenite ga sa
hajde da odvojimo varijable
Integrirajmo obje strane jednakosti:
Primjer 2
2yy" = 1- 3x 2, Ako y 0 = 3 at x 0 = 1
Ovo je jednačina odvojene varijable. Zamislimo to u diferencijalima. Da bismo to učinili, prepisujemo ovu jednačinu u obliku 
Odavde 
Integrirajući obje strane posljednje jednakosti, nalazimo
Zamjena početnih vrijednosti x 0 = 1, y 0 = 3 naći ćemo WITH 9=1-1+C, tj. C = 9.
Stoga će traženi parcijalni integral biti 
ili 
Primjer 3
Napišite jednačinu za krivu koja prolazi kroz tačku M(2;-3) i ima tangentu sa ugaonim koeficijentom
Rješenje. Prema stanju
Ovo je jednadžba sa odvojivim varijablama. Dijeljenjem varijabli dobijamo: 
Integracijom obe strane jednačine dobijamo: 
Koristeći početne uslove, x = 2 I y = - 3 naći ćemo C:
Prema tome, tražena jednačina ima oblik 
2.3. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda
Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba oblika y" = f(x)y + g(x)
Gdje f(x) I g(x)- neke specificirane funkcije.
Ako g(x)=0 tada se linearna diferencijalna jednadžba naziva homogena i ima oblik: y" = f(x)y
Ako je onda jednačina y" = f(x)y + g(x) nazivaju heterogenim.
Opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe y" = f(x)y je data formulom: gdje WITH– proizvoljna konstanta.
Konkretno, ako C =0, onda je rješenje y = 0 Ako linearna homogena jednadžba ima oblik y" = ky Gdje k je neka konstanta, onda njeno opće rješenje ima oblik: .
Opće rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe y" = f(x)y + g(x) je data formulom 
,
one. jednak je zbiru opšteg rešenja odgovarajuće linearne homogene jednačine i posebnog rešenja ove jednačine.
Za linearnu nehomogenu jednačinu oblika y" = kx + b,
Gdje k I b- neki brojevi i određeno rješenje bit će konstantna funkcija. Stoga, opće rješenje ima oblik .
Primjer. Riješite jednačinu y" + 2y +3 = 0
Rješenje. Hajde da predstavimo jednačinu u obliku y" = -2y - 3 Gdje k = -2, b= -3 Opće rješenje je dato formulom.
Dakle, gdje je C proizvoljna konstanta.
2.4. Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda Bernoullijevom metodom
Pronalaženje općeg rješenja linearne diferencijalne jednačine prvog reda y" = f(x)y + g(x) svodi na rješavanje dvije diferencijalne jednadžbe sa odvojenim varijablama korištenjem zamjene y=uv, Gdje u I v- nepoznate funkcije iz x. Ova metoda rješenja naziva se Bernoullijeva metoda.
Algoritam za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda
y" = f(x)y + g(x)
1. Unesite zamjenu y=uv.
2. Razlikujte ovu jednakost y" = u"v + uv"
3. Zamjena y I y" u ovu jednačinu: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ili u"v + uv" + f(x)uv = g(x).
4. Grupirajte članove jednačine tako da u izvadi iz zagrada:
5. Iz zagrade, izjednačavajući je sa nulom, pronađite funkciju
Ovo je jednadžba koja se može odvojiti: 
Podijelimo varijable i dobijemo: 
Gdje 
.
.
6. Zamijenite rezultirajuću vrijednost v u jednačinu (iz koraka 4):
i pronađite funkciju Ovo je jednadžba sa odvojivim varijablama:
7. Opće rješenje napišite u obliku: 
, tj. .
Primjer 1
Pronađite određeno rješenje jednačine y" = -2y +3 = 0 Ako y=1 at x = 0
Rješenje. Hajde da to riješimo zamjenom y=uv,.y" = u"v + uv"
Zamena y I y" u ovu jednačinu, dobijamo
Grupisanjem drugog i trećeg člana na levoj strani jednačine izvlačimo zajednički faktor u van zagrada
Izjednačavamo izraz u zagradama sa nulom i, nakon što smo riješili rezultirajuću jednadžbu, nalazimo funkciju v = v(x)
Dobili smo jednačinu sa odvojenim varijablama. Integrirajmo obje strane ove jednadžbe: Nađi funkciju v:
Zamenimo rezultujuću vrednost v u jednacinu dobijamo:
Ovo je jednačina odvojene varijable. Integrirajmo obje strane jednačine: 
Nađimo funkciju u = u(x,c) 
Hajde da nađemo opšte rešenje: 
Nađimo određeno rješenje jednačine koje zadovoljava početne uslove y = 1 at x = 0:
III. Diferencijalne jednadžbe višeg reda
3.1. Osnovni pojmovi i definicije
Diferencijalna jednadžba drugog reda je jednačina koja sadrži derivate ne većeg od drugog reda. U opštem slučaju, diferencijalna jednačina drugog reda se piše kao: F(x,y,y",y") = 0
Opće rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda je funkcija oblika , koja uključuje dvije proizvoljne konstante C 1 I C 2.
Posebno rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda je rješenje dobiveno iz općeg rješenja za određene vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1 I C 2.
3.2. Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantni koeficijenti.
Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima naziva jednačina oblika y" + py" +qy = 0, Gdje str I q- konstantne vrijednosti.
Algoritam za rješavanje homogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda sa konstantnim koeficijentima
1. Napišite diferencijalnu jednačinu u obliku: y" + py" +qy = 0.
2. Kreirajte njegovu karakterističnu jednačinu, označavajući y" kroz r 2, y" kroz r, y u 1: r 2 + pr +q = 0
The online kalkulator omogućava rješavanje diferencijalnih jednadžbi na mreži. Dovoljno je da unesete svoju jednačinu u odgovarajuće polje, označite izvod funkcije kroz apostrof i kliknete na dugme „reši jednačinu“ i sistem, implementiran na osnovu popularnog WolframAlpha sajta, će dati detaljan opis rješavanje diferencijalne jednadžbe potpuno besplatno. Također možete definirati Cauchyjev problem tako da iz cijelog skupa moguća rješenja izaberite količnik koji odgovara datim početnim uslovima. Cauchyjev problem se unosi u posebno polje.
Diferencijalna jednadžba
Po defaultu, funkcija u jednadžbi y je funkcija varijable x. Međutim, možete odrediti svoju oznaku za varijablu ako upišete, na primjer, y(t) u jednačinu, kalkulator će to automatski prepoznati y postoji funkcija iz varijable t. Uz pomoć kalkulatora možete riješiti diferencijalne jednadžbe bilo koje složenosti i tipa: homogene i nehomogene, linearne ili nelinearne, prvog ili drugog i višeg reda, jednačine sa odvojivim ili neodvojivim varijablama itd. Rješenje dif. jednačina je data u analitičkom obliku, has Detaljan opis. Diferencijalne jednadžbe su vrlo česte u fizici i matematici. Bez njihovog izračunavanja nemoguće je riješiti mnoge probleme (posebno u matematičkoj fizici).
Jedna od faza rješavanja diferencijalnih jednadžbi je integracija funkcija. Postoje standardne metode za rješavanje diferencijalnih jednačina. Potrebno je svesti jednadžbe na oblik sa odvojivim varijablama y i x i posebno integrirati razdvojene funkcije. Da biste to učinili, ponekad se mora izvršiti određena zamjena.
